Relaciones de divisibilidad asociadas al máximo común divisor y al mínimo común múltiplo de dos números naturales

INTRODUCCIÓN

En el contexto escolar la enseñanza de la divisibilidad se ha limitado a la aplicación de algoritmos y a la memorización de fórmulas, dejando de lado las relaciones existentes entre números, lo que imposibilita al estudiante reflexionar sobre lo que hace, para poderlo aplicar en diferentes situaciones, tanto dentro del ámbito escolar como en su vida diaria.

La enseñanza y aprendizaje de la divisibilidad, implica tener una mirada estructurada de los conceptos, para que el estudiante reconozca las relaciones existentes entre múltiplo, factor y divisor, y lograr una mejor comprensión de los mismos, dejando de lado la actitud de valerse de la memorización de algoritmos y definiciones para resolver los talleres.

La finalidad que se ha trazado con la investigación, es la de indagar qué tipo de relaciones de divisibilidad establecen los estudiantes al abordar problemas de máximo común divisor y mínimo común múltiplo, analizando sí en los diferentes procedimientos y estrategias que realizan los alumnos, establecen algún tipo de conexión entre los conceptos "ser múltiplo de" y "ser divisor de", o si por el contrario los ven como elementos separados.

Este trabajo se realizó en la Institución Educativa María Auxiliadora del municipio de Caldas (Ant), con 45 estudiantes del grado 6º, durante un año y medio, donde se observó la forma como los educadores del área de matemáticas dictaban las clases, además, de tener la oportunidad de convertirnos en docentes, preparar las clases y aplicar estrategias didácticas, lo que posibilitó analizar dificultades para el continuo mejoramiento de la labor docente.

La investigación realizada es de corte cualitativo, empleando el estudio de casos, como metodología. Se seleccionaron tres estudiantes para el análisis de resultados, Andrés Soto García, María Fernanda Giraldo Escobar, Yuliana Echavarriaga Acevedo, a quienes se les hizo un seguimiento continuo, tanto dentro como fuera del aula, analizando el por qué y el cómo de sus respuestas.

El desarrollo del trabajo está estructurado en cinco capítulos:

En el primer capítulo titulado: planteamiento del problema, se realiza una justificación sobre la pertinencia e importancia de la investigación. Además, se muestran los diferentes trabajos que se consultaron sobre el tema y por último se presenta la pregunta y el objetivo que orientó el estudio.

En el segundo capítulo se exponen los referentes teóricos que apoyan la investigación. Partiendo de los elementos Históricos de la divisibilidad, la importancia de las relaciones de divisibilidad, teoría APOE, y algoritmos estereotipados. Los autores abordados son Samuel Bodí et al, Rina Zazkis, Modesto Sierra et al y José Antonio Fernández Bravo.

El tercer capítulo da cuenta del diseño metodológico de la investigación, en éste se realiza una caracterización de los tres participantes y se explican los diferentes instrumentos utilizados, para la recolección de la información.

En el cuarto capítulo se analizan los resultados, a partir de tres categorías que emergieron de la información recogida, en las cuales se intenta dar solución al objetivo y al problema de la investigación. Para lograrlo se realiza una triangulación entre el marco teórico, las voces de los participantes y las voces de los autores del trabajo.

En el quinto capítulo se presentan las conclusiones que surgieron de los análisis de los resultados y que sintetizan el trabajo, además se presentan algunas recomendaciones que pueden servir de apoyo para nuevas investigaciones y para fortalecer la labor de los docentes en ejercicio.

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.

La educación matemática en Colombia ha sufrido múltiples cambios, así lo muestra los documentos para tal fin como la Renovación Curricular de la década de los ochenta, los Lineamientos Curriculares de 1998 y, los Estándares Básicos de Matemáticas del 2006, vigentes en el sistema educativo colombiano, los cuales ofrecen elementos de orden didáctico para el mejoramiento de las metodologías de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Desde las interacciones en el aula, se puede observar que la metodología de las clases de matemáticas, no ha cambiado sustancialmente en relación con la de aquellos tiempos, en que lo más relevante era la enseñanza de fórmulas y algoritmos, además, que sus contenidos eran impartidos en forma fragmentada, privando a los estudiantes de comprender su estructura y de observar las relaciones que se dan entre los conceptos matemáticos.

En el caso particular de la divisibilidad, los métodos de enseñanza tradicional han sido un obstáculo para el establecimiento de relaciones entre los conceptos de múltiplo, divisor y factor, y para la comprensión significativa de los mismos dentro de la teoría de números. Tal como lo afirma Sierra et al, 1997:

Con la corriente de la matemática moderna, tanto la geometría como la teoría de los números quedaron relegadas en los currículos de las matemáticas en la enseñanza primaria y secundaria, y aunque la geometría volvió a recuperar su protagonismo, no ocurrió lo mismo con la teoría de números, quizá por no haberse encontrado un término medio entre su presentación como un simple recetario o su enseñanza más profunda con las dificultades que ello conlleva. (p.11).

También se ha encontrado, que las investigaciones realizadas sobre la divisibilidad son pocas y las existentes tienen su origen en países como España, Estados Unidos y Canadá, la mayoría se enfocan en indagar la forma cómo los estudiantes interactúan con los conceptos asociados a la divisibilidad y las relaciones que se tejen entre los mismos, encontrando que los estudiantes establecen relaciones muy elementales entre números naturales, hecho este que nos motivó a realizar un trabajo sobre el tema, a nivel local.

A continuación, se mencionan algunos trabajos consultados al respecto que permiten acercarnos al estado del tema y a ver la relevancia sobre el trabajo de investigación que hemos abordado.

El libro de Didáctica de las matemáticas llamado "Divisibilidad" cuyo autor es Modesto Sierra et al, plantea como debe ser la enseñanza y el aprendizaje de distintos conceptos relacionados con la divisibilidad, partiendo de la idea que para introducir cualquier concepto se debe iniciar con una situación motivadora, que permita un acercamiento a dicho aprendizaje.

Según los autores, los alumnos deben aproximarse a la construcción del concepto matemático de múltiplo y divisor a través de este tipo de actividades, ya que son situaciones contextualizadas frente a la realidad de los niños. Igualmente descubrir, que para calcular los múltiplos de un número, se multiplica dicho número por la serie de números naturales y que la serie de los múltiplos de un número es ilimitada.

Se plantea también, que las dificultades presentadas por los estudiantes al establecer relaciones entre múltiplos y divisores, se debe a que no han comprendido bien las conexiones entre la multiplicación y división. Expresan además, que el múltiplo presenta menos dificultad que el concepto de divisor por la reversibilidad que lleva involucrado.

Otro aspecto que confunde a los alumnos es la aparente contradicción entre mínimo y múltiplo, máximo y divisor, por ejemplo, al identificar que los múltiplos son mayores o iguales que el número, no se entiende el por qué de mínimo común múltiplo, es decir, por qué se habla de mínimo si los múltiplos son mayores o iguales al número. Lo mismo sucede con los divisores de un número puesto que éstos son menores o iguales que el número y se habla del máximo común divisor.

La segunda fuente consultada es: "La Comprensión de la Divisibilidad en N. Un Análisis Implicativo" de Samuel D. Bodí, Julia Valls, Salvador Llinares. En este trabajo de corte investigativo, se analiza la comprensión de estudiantes de secundaria, sobre la divisibilidad en los naturales y la relación de dicha comprensión con los modos de representación decimal y factorial de un número. Las actividades planteadas demandaban a los estudiantes movilizar sus ideas sobre las diferentes acepciones léxicas así como los significados dados a sus equivalencias (P es divisor de Q ? Q es múltiplo de P ? P es un factor de Q ? Q es divisible por P).

La investigación anterior llegó a la conclusión que en la comprensión de la divisibilidad es determinante, el uso que los estudiantes hacen de los diferentes modos de representación de los números, factorial y decimal, además, resalta la importancia de la unicidad de la descomposición factorial para la comprensión de la divisibilidad.

También se revisó la tesis doctoral titulada: "Análisis de la Comprensión de Divisibilidad en el Conjunto de los Números Naturales". De Samuel David Bodí Pascual. Esta investigación se centró en caracterizar la comprensión de los estudiantes de secundaria sobre divisibilidad, teniendo como referente teórico la teoría de APOE1 (Dubisky, 1991; Asiala 1996) y los tres niveles de desarrollo del esquema intra, inter, trans (Piaget y Garcia, 1982; Clark et al 1997), éstas teorías consisten en estudiar la comprensión que tienen los estudiantes sobre algún concepto, establecida ésta por diferentes niveles de acuerdo a las actuaciones del estudiante.

La acción, predomina en los estudiantes de secundaria, es decir, tienen una comprensión procedimental de los conceptos, esto se debe a que la mayoría de alumnos entrevistados manifiestan una disposición de carácter operativo de las ideas de múltiplo y de divisor, asociándolos a las operaciones de multiplicar y dividir, la mayoría de los estudiantes que vinculan la idea de ser divisible a la representación decimal del número, realizan la operación de dividir y comprueban si el resultado es exacto, sin establecer la relación: b es divisible por a entonces a es un factor de b.

Otro resultado fue el desconocimiento que tienen los estudiantes sobre los criterios elementales de divisibilidad, dado que, sólo pueden calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor por un procedimiento algorítmico, teniendo en cuenta que estos conceptos son los que más confunden y desconocen su significado.

En la investigación se resalta la importancia de los modos de representación, y la idea de unicidad de la descomposición de factores primos de los números naturales, puesto que, estos conceptos influyen en la comprensión de la divisibilidad. Al analizar la obtención de divisores y múltiplos de un número mediante el uso de descomposición de factores primos, ha sido una de las características que ha posibilitado determinar el nivel de desarrollo de comprensión de la divisibilidad.

Otra investigación consultada es "Múltiplos, Divisores y Factores: Explorando la Red de Conexiones de los Estudiantes" de Rina Zazkis. El interés central de este estudio son los conceptos fundamentales de múltiplos, divisores y factores; los significados que construyen los estudiantes sobre estos tres conceptos, así como los vínculos entre las tres nociones y las conexiones con otros conceptos de la teoría elemental de números, tales como números primos, descomposición en números primos y divisibilidad.

En el ámbito local se encontró un trabajo titulado "Movilización de Pensamiento Numérico desde las Relaciones de Divisibilidad en la Educación Básica Primaria", sin embargo, el enfoque del trabajo no le aporta a nuestra investigación dado que en éste se trabajó la variación de los conceptos asociados a la divisibilidad y su principal objetivo era validar una estrategia de intervención pedagógica en la clase de matemáticas

Los diferentes estudios encontrados sobre divisibilidad, ya sean de corte didáctico o investigativo, centraron la mirada en caracterizar la comprensión que tienen los estudiantes sobre la divisibilidad, y en examinar cómo debe ser la enseñanza de los diferentes conceptos involucrados en ésta, y las dificultades que se presentan en los estudiantes, dejando de lado el análisis de relaciones de divisibilidad, y la construcción de estas por parte del alumno, a cambio de la costumbre del docente de dar definiciones sobre estos conceptos.

Por lo anterior vemos que es necesario realizar una investigación, donde se pueda determinar qué tipo de relaciones de divisibilidad establecen los niños; tema que es de especial interés a nivel de la matemática escolar.

A partir de las teorías encontradas y las observaciones en el trabajo del aula, se evidencia la necesidad de indagar la forma como los estudiantes abordan actividades asociadas a los conceptos Máximo común divisor y mínimo común múltiplo; y poder documentar desde allí el tipo de relaciones que construyen, por lo tanto surge la pregunta que motivó el trabajo de investigación: ¿Qué relaciones establecen los estudiantes al abordar situaciones asociadas al máximo común divisor y al mínimo común múltiplo de dos números naturales?

El objetivo de la investigación es Analizar relaciones que los estudiantes tejen al resolver situaciones asociadas al máximo común divisor y al mínimo común múltiplo de dos números naturales.

2. MARCO TEÓRICO.

2.1. ELEMENTOS HISTÓRICOS DE LA DIVISIBILIDAD

Indagar acerca de la divisibilidad dentro de la historia e investigación matemática, conduce a una revisión de los trabajos realizados por algunos matemáticos e investigadores que han orientado el desarrollo del tema a través del tiempo, permitiendo la recopilación de teorías válidas sobre los conceptos construidos sobre el mismo y que han aportado al crecimiento del conocimiento matemático. Esto se logra partiendo de la revisión bibliográfica encontrada, desde matemáticos antiguos hasta los teóricos contemporáneos.

Se presenta un recorrido histórico acerca de algunos trabajos e investigaciones importantes que ayudaron a la construcción de la divisibilidad, tomando como punto de partida a Euclides, que define número, divisor y múltiplo en términos de magnitudes, hasta Gauss con su trabajo de la divisibilidad con números enteros.

Con base en la tesis doctoral de Samuel Bodí (2006), encontramos que en la antigüedad, la divisibilidad se desarrolla al resolver problemas en la agricultura y la ganadería, y su dependencia y relación con las estaciones climáticas y ciclos lunares que hizo que se desarrollaran distintos tipos de calendarios.

Hasta principios del siglo XIX los objetos principales de las matemáticas estaban constituidos por lo números, las magnitudes y las figuras; igualmente, el estudio de los múltiplos, de los divisores y de la descomposición factorial de los números naturales ha constituido un capitulo fundamental de la Aritmética desde el comienzo de la Matemática.

Entre los matemáticos destacados de la Antigüedad se encuentra Euclides de Alejandría (año 300 a.C.), en cuyos "Elementos", recoge de manera axiomática el saber matemático de su tiempo. Los tratados de Aritmética se encuentran en los libros VII, VIII y IX.

Euclides en su libro VII, mediante 22 definiciones, establece los conceptos de:

"Número" -"Un número es una pluralidad compuesta de unidades" (Definición 2) "Una unidad es aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay, se llama una" (Definición 1). El "número" para Euclides es una magnitud.

"Parte" (Divisor)- "Un número es parte de un número, el menor del mayor, cuando mide al mayor"- "Partes" (no divisor)- "Cuando no lo mide". "Múltiplo"-" Y el mayor es múltiplo del menor cuando es medido por el menor"- (Definiciones 3, 4 y 5, respectivamente).

Clasifica los números en pares e impares; parmente par e impar; imparmente (desde las definiciones 6 a 10). Número "primo"- "el medido por la sola unidad"- Números "primos entre sí"- "los medidos por la sola unidad como medida común"- (Definiciones 11 y 12, respectivamente). Número "compuesto"- "es el medido por algún número" – Números "compuestos entre sí" – "son los medidos por algún número como medida común"- (Definiciones 13 y 14, respectivamente). Por último, tras establecer que "un número multiplica a un número cuando el multiplicado se añade a sí mismo tantas veces como unidades hay en el otro y resulta un número".

Para ese entonces, las definiciones de número, divisor y múltiplo, fueron realizadas en términos de magnitudes.

Los griegos "consideraron razones (P: Q) entre magnitudes o proporciones, pero conceptualmente no pudieron formar el producto P x L entre magnitudes genéricas, noción que nunca definieron. Generalmente, entendieron el "producto" de dos longitudes como un área o un volumen si uno de los factores era una longitud y el otro un área, si bien estos productos nunca constituyeron actos reflexivos y conscientes". Bochner, 1991, citado por Bodí (2006)

Lo anterior muestra la dificultad de los griegos, quienes no alcanzaron a definir el producto como una operación entre dos magnitudes, tampoco concibieron el producto de los números reales, lo que imposibilitó construir el Teorema Fundamental de la Aritmética, pues no lograron separar la existencia de las matemáticas de la posibilidad de su constructibilidad.

A partir del siglo XVI la teoría de la divisibilidad se amplía a otros conjuntos, introducidos por necesidades tecnológicas, científicas y mercantiles, el primero en lograrlo es Stevin, quien en 1634 publica un libro con la extensión del algoritmo de Euclides al cálculo del máximo común divisor de dos polinomios.

Los trabajos de Fermat en el siglo XVII, sobre la Teoría de Números, destacando la teoría de la divisibilidad, los números primos, el tratamiento de los números perfectos, números amigos y cuadrados mágicos.

Euler en 1770 intentó ampliar el concepto de divisor más allá de los números enteros y los polinomios, encontrando que en esa extensión no es posible conservar todas las propiedades, en especial, las de la existencia del máximo común divisor y de la unicidad de la descomposición en factores primos.

Hasta el siglo XIX con Gauss, la teoría de la divisibilidad se desarrolló en el campo de los números enteros. En su trabajo se incluía el Teorema Fundamental de la Aritmética para el Dominio de Integridad de los números enteros, que indica que todo número entero puede expresarse como un producto finito de números primos, en el que algunos factores pueden repetirse, y tal que su representación es única.

De acuerdo con Bodí (2006) la Teoría Elemental de Números abarca desde el siglo XX un amplio espectro en el ámbito de las matemáticas, destacando el estudio de la estructura multiplicativa y la divisibilidad en el conjunto de los números naturales, los conceptos de múltiplo, divisor, factor, ser divisible, criterios de divisibilidad; divisores y múltiplos comunes; el máximo común divisor, el mínimo común múltiplo; número primo, número compuesto, y el Teorema Fundamental de la Aritmética.

2.2. IMPORTANCIA DE LAS RELACIONES DE DIVISIBILIDAD

La enseñanza y el aprendizaje de la divisibilidad han sido fuente de atención en la educación matemática, debido a la posibilidad que brinda de establecer relaciones entre los números. Por lo tanto, diversos autores han centrado sus trabajos en esta dirección, con el propósito de aportar a la comprensión de relaciones numéricas en este ámbito conceptual.

Según Sierra et al (1997), la teoría de la divisibilidad surge, esencialmente, para estudiar relaciones entre números, planteando la necesidad de la comprensión de los conceptos relacionados con ésta, partiendo de las relaciones que entre ellos se pueden tejer, lo que facilita examinar su aprendizaje en términos de la conexión entre los conceptos múltiplo, divisor y factor.

Investigaciones realizadas por Zazkis, 2001 y Brown et al. 2002, citados por Bodí (2006); ponen de manifiesto que un primer aspecto a considerar en el análisis de la comprensión de la divisibilidad en los Naturales2 deberían ser las relaciones entre las distintas acepciones léxicas de la divisibilidad.

Dichas relaciones entre divisor, factor y múltiplo, pueden ser entendidas como una equivalencia entre estos conceptos, es decir, si a es divisor de b, es porque b es múltiplo de a. Asimismo si b es múltiplo de a, es porque b es divisible por a, siendo a un factor de b. Comprendiendo como factor, todos los números que hacen parte la descomposición factorial de otro. Es decir, 210 puede ser expresado como 2 x 3 x 5 x 7, donde cada uno de estos números representa un factor del 210.

Según Zazkis, (2001) y Sierra et. al. (1997), los conceptos de divisor, factor y múltiplo pueden ser entendidos por los estudiantes de dos formas, la primera de ellas concibe los conceptos como una acción dentro de la multiplicación o la división, por lo tanto, los conceptos son vistos como roles dentro de las operaciones y por esta razón el estudiante no está tomando los conceptos como una relación entre números, puesto que, se está pensando en un procedimiento, y se reemplazan las relaciones de "ser divisor de" y "ser múltiplo de" por los procedimientos "dividido por" y "producto de" respectivamente.

Otra interpretación para estos conceptos es la de relaciones entre números, entendiendo un factor como "dados dos números naturales a y b, el número b se llama factor de a, si y sólo si, existe un número natural c tal que cxb=a" (Zazkis, 2001). Según esta autora, la definición de divisor y factor es la misma, puesto que en la teoría de números se perciben como semejantes y representan una relación entre números naturales. De otra manera "un número natural a es múltiplo de otro número natural b cuando existe un número natural c tal que a= b xc" (Sierra et al, 1997. Pág. 67)

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