La enseñanza de las operaciones aritméticas: Aspectos fundamentales a priorizar (página 2)

Analizando la enseñanza: una propuesta metodológica

Siguiendo el esquema planteado anteriormente pensar la enseñanza de la aritmética desde el sentido de las operaciones, supone tres niveles de análisis: el del concepto como objeto, el del problema como estrategia de aprendizaje y el de la articulación de la comprensión del problema y la elección del procedimiento adecuado para su resolución.

Teoría de los Campos Conceptuales

Esta teoría, cuyo principal expositor es Gérard Vergnaud, servirá de guía para desarrollar los niveles de análisis planteados. Se analizarán los siguientes elementos que componen la TCC: Conceptos; Esquemas; Invariantes Operatorias; Campos Conceptuales; Situaciones.

Conceptos

Analicemos la definición de concepto (C) según Vergnaud:

Una terna de conjuntos, C = (S, I, R) donde:

S es un conjunto de situaciones que dan sentido al concepto;

I es un conjunto de invariantes (objetos, propiedades y relaciones) sobre las cuales reposa la operacionalidad del concepto, o un conjunto de invariantes que pueden ser reconocidos y usados por los sujetos para analizar y dominar las situaciones del primer conjunto;

R es un conjunto de representaciones simbólicas (lenguaje natural, gráficos y diagramas, sentencias formales, etc.) que pueden ser usadas para indicar y representar esos invariantes y, consecuentemente, representar las situaciones y los procedimientos para lidiar con ellas.

Esquemas

Para Vergnaud el concepto de esquema "(…) refiere a la organización invariante de la conducta, para una clase dada de situaciones. Es en los esquemas donde se debe investigar los elementos cognitivos que le permiten a la acción del sujeto ser operatoria.", es decir, dar una respuesta eficaz a un conjunto de problemas determinado. Cuando la respuesta no es eficaz, surge la necesidad de cambiar, sustituyendo o modificando el esquema (asimilación y acomodación).

Es de destacar que los errores remiten, en general, a conceptualizaciones insuficientes y/o equivocadas.

Invariantes operatorias

Cuando un individuo puede aplicar un esquema referido a una situación a otras situaciones de la misma clase, ha descubierto una invariante. Es decir, la generalización del esquema en cuestión.

El concepto de invariante operatorio reúne a los conocimientos contenidos en los esquemas organizados en conceptos y teoremas en acto

Campos Conceptuales

Tal como se viene sosteniendo desde las más diversas corrientes de pensamiento, los conceptos no se encuentran aislados unos de otros. Lo novedoso del planteo de Vergnaud al definir los campos conceptuales, es que organiza los conceptos según su operatividad, relacionando las situaciones, los conceptos y los teoremas en acción.

Un campo conceptual sería pues "un conjunto de situaciones, lo que permite generar clasificaciones que se basan en el análisis de de tareas cognitivas y de los procedimientos que pueden ponerse en juego en cada una de ellas".

Al analizar la enseñanza de las operaciones aritméticas Vergnaud define dos campos conceptuales, el de las estructuras aditivas y el de las estructuras multiplicativas.

Cada uno de estos campos está constituido por el conjunto de situaciones – en el sentido de tareas – que demandan una adición, una sustracción o una combinación de tales operaciones, en el primer caso; y una multiplicación, una división o una combinación de tales operaciones, en el segundo.

Al respecto se recomienda profundizar en variada bibliografía, entre otros Mónica Pena (2002), Peltier 2003 y el propio autor (Vergnaud, 1997).

Situaciones

Primeramente cabe señalar que el Vergnaud conceptualiza con el mismo nombre que Brousseau hechos de diferente naturaleza, por lo cual no debe confundirse las situaciones didácticas sobre las que teoriza este último, con el instrumento que integra la TCC.

En el marco de esta teoría, las situaciones son instrumentos de análisis de las dificultades conceptuales, en tanto enfrenta a los sujetos a tareas/problemas cuya resolución supone poner en juego determinados esquemas. Básicamente señalan la relación entre los datos conocidos y no conocidos.

Existe una gran variedad de situaciones en un campo conceptual que dejan ver qué conocimientos han sido adquiridos y dominados por el sujeto. A esto se le denomina historia personal del aprendizaje.

El papel del lenguaje y las representaciones simbólicas (Significados y Significantes)

"Son los sistemas que una situación o un significante evoca en el individuo lo que constituye el sentido de la situación."

Una situación, en tal como fue definida, exige al niño en primer término analizar y comprender el enunciado del problema, lo que supone una operación lingüística que pone en juego las representaciones simbólicas de los sujetos.

Desde hace varios años en el campo de la didáctica se ha asumido el aporte cognitivista de la estructuración del pensamiento en esquemas y, para su desarrollo de representaciones.

Frente a un problema, el niño debe desarrollar alguna clase de representación para su resolución, esto nos habla de dos procesos que si bien están estrechamente ligados, son diferentes. El primero permite pensar la situación y el segundo pasar a la acción y así arribar a la resolución final.

Estas representaciones pueden agruparse en dos grandes categorías según su nivel de abstracción: las modalidades icónicas, figurativas o analógicas (aquellas que sostienen una base concreta, una relación directa con el objeto, como diagramas, puntos, colecciones, etc.) y las simbólicas (aquellas que reparan en las relaciones entre los objetos, son más abstractas y ricas en el plano operativo, y permiten identificar con mayor claridad los objetos matemáticos. Aquí se encuentran las operaciones aritméticas, que constituyen una modalidad experta y permiten dar respuesta más eficiente a una gran diversidad de situaciones, y supone un avance desde las modalidades más concretas, una construcción de lo que llamamos sentido).

En suma, el análisis de un problema (y con él de una clase de problemas), como se dijo, supone el desarrollo de esquemas. Éstos están asociados a modelos de representación lingüística que permiten 1- designar elementos y relaciones, 2- anticipar los efectos de las relaciones, 3- pensar, razonar e inferir, 4- organizar la acción, y 5- planificar y controlar.

Se reconoce pues, una triple función del lenguaje: comunicar, representar y auxiliar al pensamiento.

Relevancia didáctica de la Teoría de los Campos Conceptuales

Lo interesante de pensar didácticamente desde esta teoría es que permite visualizar el aprendizaje de las operaciones como un proceso largo y lento en el cual el sujeto construye los conceptos a partir de las diferentes facetas analizadas en cada situación presentada. Reconociendo así que la intervención docente no se agota en sí misma, ni en un nivel, sino que contribuye a complejizar este proceso.

La Teoría de los Campos Conceptuales cobra relevancia en tanto al trabajar desde la resolución de problemas, como se verá, se puede desarrollar unas secuencias de enseñanza que permitan abordar los diferentes aspectos de los conceptos matemáticos. En particular, el abordaje facetas relacionadas a las operaciones artiméticas.

A su vez se estimula el desarrollo de respuestas que en tanto invariantes, sirven para resolver problemas dentro de un mismo campo conceptual. Es decir, en tanto el niño logre abstraer de cada situación particular la regularidad, podrá luego utilizar la respuesta dada como un esquema ante situaciones del mismo tipo (lo que denomináramos clases de problemas).

Los problemas: eje de la propuesta didáctica

Actualmente se sostiene casi por unanimidad que el problema debe ser utilizado como elemento gestor del aprendizaje, sin desmedro de los otros usos que se le pueden dar a dicho recurso (p. ej. evaluación, utilización de conocimientos ya adquiridos en otros campos). Quizás lo más importante sea tener en cuenta que el problema debe tener un fuerte componente de obstáculo, siempre que el alumno se vea enfrentado a una situación que no pueda resolver mediante la simple aplicación de un esquema conocido (lo cual constituiría un ejercicio), se estará frente a un "problema".

El problema por ser una herramienta didáctica que permite no sólo la reproducción de conocimientos sino también la producción de los mismos, ejerce una acción liberadora, por lo cual es a su vez una buena opción teleológica.

¿Qué entendemos por problema?

Siguiendo a J. Brun, "Un problema generalmente se define como una situación inicial con un objetivo por alcanzar, que le pide al sujeto realizar una serie de acciones o de operaciones para alcanzar ese objetivo. Sólo hay un problema en la relación sujeto–situación, y sólo cuando la situación no está disponible de golpe pero es posible construirla.".

De esta definición vale la pena resaltar, tal como lo hace Vergnaud dos aspectos. En primer lugar, un problema para un individuo lo es sí y sólo sí tiene los conceptos que le permiten abordarlo pero además si la resolución supone la reorganización y síntesis de los mismos.

En segundo lugar que constituye una relación dialéctica entre la conceptualización y la resolución, es decir, al enfrentarse a un problema se está ante una clase de problemas. En el proceso se van desarrollando esquemas eficientes para la resolución de dicha clase de problemas. Cuando ya se construyeron los esquemas para su resolución estas situaciones dejan de ser problemas, y pasan a formar parte del repertorio que permite abordar nuevas situaciones, nuevas clases de problemas.

Definiendo las operaciones aritméticas

La Aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Etimológicamente proviene del griego arithmos y techne que quieren decir números y habilidad, respectivamente.

Se pueden definir las operaciones aritméticas como un conjunto de acciones por las cuales se transforman numéricamente unas cantidades en otras; una función dentro de un campo numérico, que relaciona todos los pares ordenados con su resultado.

Así una operación es la acción de un operador sobre una selección de elementos (numéricos) de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales del conjunto de partida y los relaciona con otro u otros elementos de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no.

En la escuela se trabaja básicamente con el campo de los números enteros, y consecuentemente se deberá investigar cuál es la definición de cada operación aritmética y sus propiedades en dicho campo. Ello aportará conocimientos que permitan elaborar las secuencias didácticas pertinentes según el aspecto de las operaciones que se desee enseñar

A continuación se intentará relacionar estos conceptos con la propuesta didáctica desarrollada: la TCC

Aplicando la Teoría de los Campos Conceptuales a la enseñanza de las Operaciones Aritméticas

Conocer la definición y las propiedades de las operaciones aritméticas, cómo resolverlas, relacionando correctamente los elementos iniciales con el resultado; es muy necesario mas no suficiente.

Como se ha visto, la conceptualización de las operaciones aritméticas tiene mucho que ver con el sentido de que cobran en cada situación. Siendo este el núcleo duro de la propuesta.

En este marco es necesario tener en cuenta a la hora de planificar la intervención docente la necesidad de presentar secuenciadamente diversas situaciones que involucren los distintos sentidos de las operaciones.

Se propone organizar el campo conceptual en dos estructuras que ya fueron mencionadas: el campo de las estructuras aditivas y el de las estructuras multiplicativas. Tal como sugiere Peltier "Desde un punto de vista práctico, es muy compleja la tarea delegada al maestro, que consiste en seleccionar o construir clases de problemas que permitan a los alumnos construir un concepto tal como el de una operación aritmética (…) el parámetro fundamental es la estructura del problema. El análisis de esta estructura, la identificación de la subcategoría dentro de la estructura dada, que es función del elemento que se busca, permite ubicar con precisión los conocimientos en juego, entrever a priori los procedimientos y, en consecuencia, preparar las ayudas que puedan ser necesarias." (el subrayado no es del original).

A continuación se enumeran las diferentes categorías de cada estructura. En el trabajo de Pena (2002) se desarrollan y ejemplifican de manera más exhaustiva.

Estructuras aditivas

Según el tipo de relación entre los elementos se pueden reconocer diferentes tipos de problemas aditivos.

Vergnaud propone la siguiente clasificación, que como se dijo, no se profundizará en ella por lo basta, se deja al lector la tarea:

* Composición de dos medidas: son problemas de reunión o fraccionamiento de colecciones o magnitudes medibles.

* Relación de transformación de estados: se puede identificar un estado inicial y una transformación (positiva o negativa) que opera sobre este estado para llegar a un estado final.

* Relación de comparación aditiva: dos estados relativos a dos magnitudes o localizables se comparan de manera aditiva, donde una de las magnitudes desempeña el papel de referente de la otra

* Las composiciones de transformaciones: dos transformaciones o más se aplican sucesivamente a estados desconocidos. Que no aparece en el currículo escolar, al igual que las siguientes:

* Las composiciones de relaciones

* Las composiciones de transformaciones

Estructuras multiplicativas

En este campo se distinguen:

* La comparación múltiple de magnitudes: una única magnitud y dos estados relativos a esa magnitud son objeto de la comparación multiplicativa: uno representa el papel de referente del otro.

* La proporcionalidad simple: pueden representarse mediante tablas numéricas y están asociadas a una función lineal o a una regla de tres.

* La proporcionalidad simple compuesta: intervienen tres magnitudes, se definen dos relaciones de proporcionalidad simple y la situación conduce a componer estas dos relaciones de proporcionalidad.

* La proporcionalidad doble o múltiple: intervienen dos dominios de magnitudes o más que son independientes, y tales que una relación asocia a una pareja de medidas de cada magnitud una tercera magnitud, llamada magnitud producto.

Aspectos a tener en cuenta para la enseñanza de las Operaciones

Luego de haber explicitado el marco conceptual y referencial didáctico, se presentarán diversos aspectos que deben ser tenidos en cuenta para el abordaje didáctico.

• La problematización como estrategia didáctica orientadora.
• La secuenciación de las propuestas, de modo de abordar los distintos sentidos de cada una de las operaciones en los dos campos conceptuales.
• Tener en cuenta el orden jerárquico de los conocimientos, es decir, cuales son los conceptos estructurantes necesarios para lograr un nuevo conocimiento.
• Tener en cuenta que las operaciones deben entenderse como una de las posibles formas de calcular.
• La necesidad de establecer acuerdos institucionales.

La relevancia de los dos primeros aspectos se ha intentado desarrollar a lo largo de todo lo previo. Por lo cual sólo se desarrollarán los restantes a continuación:

Tener en cuenta el orden jerárquico de los conocimientos, es decir, cuales son los conceptos estructurantes necesarios para lograr un nuevo conocimiento

Si bien el currículo organiza este contenido de una manera explícita, existen otras posibles secuenciaciones que tienen en cuenta la naturaleza del objeto, las relaciones internas y entre objetos, y que por lo tanto pueden ser exploradas y fundamentadas. Teniendo en cuenta la naturaleza compleja, que no se elabora de forma lineal sino que se va complejizando al abordar las distintas situaciones.

Pena (retomando un documento francés, en la Revista de la Educación del Pueblo Nº103) propone un análisis en etapas para cada operación.

En general plantea la necesidad de conocer y manejar las propiedades de nuestro sistema de numeración decimal así como debe existir un dominio o reconocimiento de los sentidos de las operaciones.

En el caso de la suma o adición de números enteros plantea como requisito la comprensión fundamental del sistema decimal: el agrupamiento en base 10, y la eficacia en la adición de números inferiores a 10 (tabla de adición).

Para la suma de números decimales debe existir además una comprensión de la escritura de los ‘números con coma’, trasladándose así la agrupación en base 10, y el valor posicional. Un número de n–cifras: anan-1…a1a0= an×10n+ an-1×10n-1+…+ a1×101+ a0×100. Es decir, la posición de cada cifra determina la potencia a la que se eleva la base, que se va acumulando (p.ej. 735=7×102+3×101+5×100=700+30+5).

En el caso de la resta o sustracción se enumera entre otras dificultades la relacionada con la existencia de diversas técnicas (o algoritmos) que se sustentan en propiedades y principios diversos (lo cual no sucede con la suma). Igualmente se destaca que cada técnica requiere del manejo de conceptos previamente adquiridos, por ejemplo, la invariabilidad de una diferencia al agregar simultáneamente un mismo número a ambos términos de la sustracción (a – b = (a+c) – (b+c)).

La multiplicación de números naturales supone conocer y manejar las tablas de multiplicación, la numeración decimal (al "llevarse" desde una potencia a la otra tanto en los productos parciales como en la adición final), la "regla del cero", y la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.

La multiplicación de decimales requiere conocer la relación entre los números decimales y los enteros (p.ej. 145,86 = 14586 / 100, o 145,86 x 100 = 14586).

La división en los enteros es una operación que se destaca por varias características, entre ellas, que el resultado es un par de ordenado de números, el cociente y el resto, se define a través del resultado (a/b = <c,r>, tal que a = bxc + r), presenta incertidumbre en el momento de calcular, en tanto se utiliza la estimación incluso en los algoritmos estándar.

Evidentemente es imposible realizar en este trabajo un análisis exhaustivo de las propiedades de cada operación y en consecuencia de qué conocimientos involucra el trabajo con cada una de ellas. Esa será una tarea que invitamos al lector a realizar.

Tener en cuenta que las operaciones deben entenderse como una de las posibles formas de calcular

El cálculo es una de las opciones que surgen luego del análisis de un problema, existiendo diversas alternativas; siendo el cálculo una relación entre cantidades según propiedades y relaciones numéricas. Aquí es donde el dominio de las estructuras aditivas y multiplicativas, es decir, del campo conceptual, permitirá optar por la o las operaciones aritméticas adecuadas.

Se pueden distinguir diversas formas de cálculo. Una clasificación utilizada habitualmente reconoce: cálculo mental, cálculo escrito y cálculo instrumental. El cálculo escrito suele identificarse con las técnicas operatorias escritas, que se desarrollan mediante algoritmos y durante mucho tiempo ha sido el centro de la enseñanza escolar.

Interesa destacar la importancia de trabajar con los distintos tipos de cálculo ya que esto posibilita reconocer que el sujeto desarrolla diferentes estrategias personales, y que esas estrategias permiten construir el sentido de las operaciones y sirven de plataforma para el desarrollo de las técnicas.

El cálculo mental es el camino en la búsqueda de respuestas ante un problema y que no utiliza las técnicas operatorias (entendidas como algoritmos). Puede utilizar soportes escritos o concretos. Se asocia a la expresión de cálculo reflexivo o razonado en tanto pone énfasis en el método y no tanto en la eficiencia y velocidad del mismo.

Respecto al cálculo instrumental, teniendo en cuenta el cada vez mayor acceso a los medios tecnológicos, como computadoras, calculadoras, etc. es relevante la incorporación a la propuesta didáctica de estos instrumentos.

¿Cuál es el lugar de los algoritmos?

Comencemos con la definición del concepto: se trata de un método que se realiza paso a paso para solucionar un problema, de manera precisa (debe describir los datos de entrada, el orden de realización de cada paso y la salida o resultado), definida (cada vez que se aplique se debe obtener el mismo resultado) y finita (debe terminar en algún momento).

La enseñanza y utilización de algoritmos es relevante, tal como señala Calvo (2004) en cuanto: es una demanda social, siendo un resultado esperado y un bien cultural; son útiles como estrategia que ahorra tiempo y esfuerzo; pueden reforzar la comprensión del sistema numérico y de las propias operaciones, sobre todo si se hacen explícitas tales relaciones y propiedades; permiten desarrollar estrategias de estimación, cálculo mental y verificación.

Los algoritmos desde la óptica analizada deben entenderse como herramientas que deben mecanizarse luego de haber construido el sentido de su uso. Ahora bien, en la escuela el tiempo que se debe dedicar a este tema es importante, ya que está en construcción, ese proceso debe ser monitoreado por los docentes.

Lo que está en discusión no es la presencia de los algoritmos aritméticos en la escuela sino la forma de enfocarlos, sobre lo que se ha intentado polemizar.

La necesidad de establecer acuerdos institucionales

Tal es la complejidad en el abordaje de este tema y la diversidad de estrategias, factibles de ser desarrolladas, que se hace imprescindible el establecimiento de acuerdos institucionales que den continuidad y coherencia al proceso de aprendizaje de los sujetos. Buscando que la historia de aprendizaje sea tenida en cuenta.

La existencia de rupturas en las propuestas didácticas desconoce la integralidad de los sujetos que transitan por la institución. El proceso largo y complejo de construcción del sentido de las operaciones aritméticas debe estar acompañado por propuestas coherentes. (Por ejemplo, si un docente trabaja en profundidad la naturaleza de la potencia de diez en nuestro sistema de numeración, y usa luego ese conocimiento en relación a las operaciones genera ciertos esquemas de pensamiento. Es necesario que al año siguiente se reconozca su existencia y se potencie el aprendizaje a partir de los mismos).

Finalizando…

Luego de haber transitado por el desafío de pensar la tarea docente en un tema tan sensible, se deja abierta la aventura de debatir y profundizar estas ideas bajo la luz de los autores referenciados, y la bibliografía recomendada.

Bibliografía consultada

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Mtros. Cecilia de la Peña Sosa

Javier Alliaume Molfino

Montevideo – Uruguay