Estadística descriptiva (página 3)

n = 30 100%

¿Qué más podemos obtener? Recuerde todo lo estudiando anteriormente.

Actividades

1. Represente los mismos datos (*)en forma descendente , i = 5

2. LLene los casilleros en blanco de la siguiente tabla que corresponde a EDADES DE LOS EMPLEADOS DE UN CENTRO DE REHABILITACIÓN

3. De su texto básico página 52 desarrolle todos los ejercicios

AUTOEVALUACIÓN:

ESCRIBA UNA (V) SI EL ENUNCIADO ES VERDADERO O UNA (F) SI EL

ENUNCIADO ES FALSO

RESPECTO A LA PREGUNTA 2 DE LA ULTIMA ACTIVIDAD RECOMENDADA

¿Una información se la puede representar de otra forma?

5. REPRESENTACIONES GRÁFICAS

1. ¿Qué son las representaciones gráficas?

Como podemos observar son formas generales de presentar la información de los cuadros estadísticos.

Las representaciones gráficas tienen por objeto ofrecer una visión de conjunto del fenómeno que está investigando.

Es más fácil examinar datos que estén representados en gráficos antes que cuando estén dados en tablas o en cuadros numéricos.

Las representaciones gráficas hacen uso de todos los medios geométricos, en consecuencia se atienen a la rigurosidad y precisión de las construcciones geométricas.

2. ¿Qué recomendaciones debemos tener presente para la construcción de gráficos?

Para la construcción de gráficos se debe tener presente las siguientes recomendaciones:

2.1. Elegir la escala que más se adapta al fenómeno a representarse para que puedan apreciarse todos los detalles, y se vea uniformidad y simetría en su información.

2.2. Las dimensiones para el eje X y para el eje Y deben ser a escala, utilizando siempre el primer cuadrante del sistema de coordinadas rectangulares. (revise, coordenadas rectangulares, texto básico página 30).

2.3. Colocar en la parte superior el título, en la inferior la fuente de donde se obtuvo los datos. La simbología o leyenda no debe faltar para su análisis e interpretación. Y el gráfico correspondiente.

2.4. Distribuir los datos de menor a mayor, puesto que así se encuentran las rectas numéricas en el sistema de coordenadas. Especialmente considerar las frecuencias, puesto que las variables cualitativas pueden ir de acuerdo a su orden de presentación en el cuadro respectivo.

2.5. Si la serie es de intervalos de clase se sugiere orientarse por el punto medio o marca de clase.

2.6. Construir el gráfico en papel cuadriculado o milimetrado, porque de esta manera es más fácil para el que construye el gráfico, como para el que interpreta el mismo.

2.7. Cuando el valor menor observado este distante del origen, es necesario cortar el eje, esto significa un recogimiento del mismo y f(0). Por ejemplo abramos

nuestro texto y observemos las figuras 8.1.b, 10.1.

3. ¿Cuántas clases de gráficos podemos obtener?

Varias. Pero principalmente encontramos en los medios de comunicación y en lo que propone su texto, en la unidad 8, páginas 34 –41, los siguientes:

A. Gráfico lineales.

Es un tipo de gráfico que utiliza el primer cuadrante del sistema de coordenadas rectangulares.

Para construir este tipo de gráfico es necesario de que existan dos tipos de variables: Dependiente e independiente. En la mayoría de los casos: las variables se representan en el eje de las "x" y las frecuencias en el eje de las "y", a excepción de la frecuencia acumulada , como veremos más adelante.

Polígono de frecuencia.

Es un gráfico lineal que se forma por la intersección de la variable con las frecuencias dando origen al llamado polígono de frecuencias o curva de frecuencias.

CUADRO 7

Frecuencia acumulada (Ojiva de Galton o Curva de magnitud)

Es un diagrama lineal que para graficarlo , se ordena en el eje de las equis la frecuencia acumulada y los valores de la variable en el eje Y, la intersección de todos los puntos da origen a la curva de magnitud.

CUADRO 8

Polígono de frecuencias relativas

Para este diseño necesitamos que las frecuencias relativas se ubiquen en el eje de las "y" y las variables en el eje de las "x"

Polígono de porcentajes

Como vemos, de la misma manera los porcentajes obtenidos de cada variable irán en el eje de las "y" y las variables en el eje de las "X"

B. Gráficos de Superficie

Es un tipo de representación que se la realiza por medio de puntos, líneas y superficies; es decir que existe proporcionalidad entre línea y superficie de los valores propuestos.

Por ejmplo, los gráficos de barras, gráficos circulares, etc

Histograma.

Un histograma es una serie de rectángulos que tienen las siguientes características.

• La base está sobre el eje X, Si la serie es de intervalos de clase haremos centro del rectángulo el punto medio. Tenga presente que la longitud horizontal es igual al ancho del intervalo de clase. Como podemos ver en el texto básico pág. 53 la variable se ubica en el eje de la equis. Asimismo la frecuencia se la ubica en el eje de las yes (es decir las alturas de las figuras geométricas).

• Para representar un histograma de una serie ordenada en intervalos es conveniente representar en el eje de las equis el punto medio también se puede escribir los límites de cada intervalo, y en el eje de las yes se ubica las frecuencias.

Señor o señorita estudiante: De acuerdo a lo descrito, la última gráfica de esta unidad es un histograma. ¿Verdad?

Gráficos de Barras.

Para la construcción de gráficos de barras se tiene que tomar en cuenta algunos aspectos:

como ser el ancho de las barras, la distancia entre las barras y la escala a usarse.

Es un diagrama que se lo representa mediante rectángulos; el eje de las equis sirve de base de los rectángulos, y no tiene el mismo significado que en los histogramas. Cada uno de los rectángulos tiene una sola representación, y en este tipo de gráfico los rectángulos no están unidos como en el histograma.

Para su representación utilizamos el eje de las "X" para las variables y el eje de las "Y" para las frecuencias, a excepción de las barras horizontales que hacemos lo contrario.

Podemos usar diferentes tipos de barras. Por citar:

a) Barras horizontales

b) Barras verticales

c) Barras compuestas

d) Barras superpuestas

e) Barras mixtas

Veamos las dos primeras clases en su orden.

¿Qué son las barras compuestas?

En la página 39 ( figura 8.6) de su texto básico tenemos un ejemplo.

A este tipo de gráfico se lo llama barra subdividida y se lo utiliza cuando se desea representar dos o más series de datos.

Este tipo de gráfico se lo utiliza para realizar comparaciones en el rendimiento de dos hechos diferentes.

Otro ejemplo: Representar en barras compuestas las calificaciones de Ciencias Naturales de dos cursos diferentes.

¿Cuáles son las barras de porcentajes de las barras compuestas?

Como vemos es un tipo de gráfico mediante el cual se representan los porcentajes, y donde todas las barras tienen la misma altura, que corresponde al 100%.

Se utiliza para representar dos o más fenómenos. Por ejemplo rendimiento de dos asignaturas, sexo masculino y femenino, estaturas de un mismo curso y de 3 paralelos, vivienda en los sectores: urbano, rural, etc.

Para trazar el gráfico se ubica los puntos medios en el eje de las equis y los porcentajes tanto de A, como de B, en el eje de las yes, tomando una columna para cada intervalo. Para obtener los porcentajes, recuerde la fórmula y trabajar en base al total de las dos frecuencias, puesto que la información de los hechos se unen en una sola barra.

¿Para que sirven las barras superpuestas?

Este tipo de barras, por lo general son utilizadas cuando se trata de una población estudiantil, o sea escuelas, colegios, etc., o un conjunto bien definido.

Para representar gráficamente se procede así:

1. Ordenar el cuadro estadístico. Por ejemplo, la población estudiantil de un Colegio en forma ordenada nos quedaría así ( ver el cuadro siguiente).

2. Se utiliza dos semiejes.

a. En el semieje horizontal no se lo escala con respecto al cuadro, sino se centraliza para colocar las barras.

b. En el semieje vertical se lo escala con las frecuencias, o sea con el número mayor que exista de alumno con cualquier curso o ente que se encuentre. Por ejemplo observamos que el número 240 es mayor por lo cual este semieje debe tener ese máximo, con una escala igual de acuerdo al espacio que se va a utilizar.

3. Representación

Se observa el cuadro estadístico y se toma el que tenga menor frecuencia, se lo coloca como barra en el centro del semieje horizontal, en nuestro caso es el de tercer curso del ciclo diversificado que tiene la menor frecuencia que es 110, luego el que le siga frecuencia se grafica encima del primero, o sea el de segundo curso del mismo ciclo que tiene 120 y así sucesivamente todas las demás barras. Se considera para cada barra el mismo ancho y su formación es a partir del semieje horizontal.

4. Leyenda de la gráfica

Al haber construido la gráfica se pinta cada barra de diferente color o se raya de diferente manera cada una para diferenciar y a la derecha de la gráfica se coloca la leyenda indicando el color o rayado utilizado para cada barra.

¿A qué llamamos barras mixtas?

Este fenómeno se representa en uno sólo bloque. A diferencia de las compuestas, que en vez de ir los datos hacia arriba, las representaciones van unos a continuación de otros en sentido horizontal, como apreciamos la información del ejemplo anterior.

En dos centros educativos existe la siguiente planta docente:

Mús. Activ. P. Mat.

¿Qué opinión merecen los gráficos circulares o de sectores?

Este tipo de gráficos es de uso común. Consiste en repartir los 360 grados de la circunferencia en forma proporcional a las frecuencias de cada una de las variables.

Ejemplo:

En una sección de la biblioteca de la U.T.P.L. entre otros libros, encontramos: 100 de

Estadística, 200 de matemática, 220 de historia, 500 de economía y 380 de inglés.

Para representar esta información en un diagrama circular.

Primero.- Determinamos cuántos grados de los 360o corresponden a cada materia

Segundo.- Formamos una tabla que presenta dicha información

Tercero.- Construimos el diagrama

Teniendo presente:

Que el radio de la circunferencia puede tener cualquier longitud, según el espacio que se disponga, luego procedemos a ubicar cada una de las partes, partiendo del semieje positivo de las X y siguiendo el sentido contrario de las manecillas del reloj.

En nuestro ejemplo la circunferencia se divide en 5 partes y para medir los grados utilizamos el graduador.

Si estamos trabajando en el computador. Ponemos los datos, manchamos la tabla y vamos a gráfico del pastel.

Por ejemplo:

SERVICIO AL CLIENTE EN LAS INST.PUB. EN EL AÑO 2003

¿Existen otros tipos de gráficos?

Por supuesto. Tenemos los pictogramas y los cartogramas.

C. Gráficos diversos o de libre expresión

¿Qué son los pictogramas?

Primero observe la figura 8.2 , pág. 37 de su texto básico. Luego descubra su construcción.

Estas representaciones conocidas como gráficos diversos y muy aplicables a la vida cotidiana nos permiten representar la realidad institucional, local, provincial, etc. Y de igual forma alcanzar un mayor acercamiento con los cambios que producen en nuestra sociedad en los diferentes campos.

Los pictogramas o diagrama de figuras, son utilizados a menudo para representar datos estadísticos de tal forma que llame la atención al lector, en este gráfico se demuestra originalidad y creatividad en el arte de representación.

Es clásico ver este tipo de gráfico en los diarios de circulación local, nacional e internacional, donde nos explican el crecimiento o decrecimiento de un hecho específico, o de lo que pueda ocurrir.

¿A qué llamamos cartogramas?

A más de ser un mapa geográfico nos permite deducir fácilmente las características de cada región, provincia, país, maqueta, croquis, etc.; así como las diferencias existentes entre ellas, para este propósito se utilizan las figuras, puntos, rayas, colores, entre otras.

Los gráficos que presenta su texto básico consideramos que son de mayor funcionalidad en el campo educativo, existen otros que también son de mucha importancia y pertenecen obviamente a otros casos, como el siguiente.

UNIDAD # 4.

Análisis e interpretación

¿En qué consiste el análisis e interpretación de resultados?

En describir los datos expresados cuantitativa o cualitativamente en forma individual o grupal.

Al realizar la interpretación, no es necesario transcribir los valores de la frecuencia y/o porcentaje, por cuanto ya están dados en el cuadro estadístico, o representados en la gráfica respectiva. Es decir al momento de hacer un análisis o interpretarlos debemos expresarlos de manera cualitativa fundamentarnos en argumentos del hecho o fenómeno investigado, en forma concisa y precisa, obviamente esto se alcanza cuando la investigación de campo la realiza el propio investigador.

Por ejemplo:

Examinemos los cuadros de esta guía didáctica.

Por ejemplo: Podemos decir del CUADRO 3. Que los alumnos obtuvieron calificaciones desde 9 hasta 20. Que 8 alumnos obtuvieron la calificación de 15. Que muy pocos alumnos tienen la calificación de…. Que el % que obtuvo la máxima calificación, es… etc. etc.

¿QUÉ DECIR DE LAS REPRESENTACIONES ESTADÍSTICAS ?

Como podemos darnos cuenta las representaciones gráficas tienen por objeto ofrecer una visión más amplia y de conjunto del fenómeno o hecho que se investiga. Además y a partir de esta representación se puede hacer su análisis e interpretación en una determinada investigación.

Si intentáramos hacer una interpretación de la figura 10.4, pág. 55 del texto, se puede decir: "De acuerdo con los datos obtenidos, en este curso existen tres grupos, para el primero muy significativo, la prueba tuvo un elevado grado de dificultad, se trata de un grupo heterogéneo cuyas diferencias individuales son bien marcadas dentro de él; con respecto al segundo grupo, se puede hablar de una normalidad, esto significa que todos están en iguales condiciones,…, se entiende que hay ciertos contenidos difíciles de comprender y alcanzar un dominio de los mismos…

Por otra parte, en el grupo dos, el grado de dificultad se ubica dentro de los parámetros normales, esto significa que la mayor cantidad de alumno son buenos… De esto se desprende que para un reducido porcentaje de alumnos (tercer grupo) la prueba fue fácil y son quienes alcanzaron una calificación de excelente… Todo esto no implica que todas las preguntas fueron contestadas exitosamente .

¿Cuál sería la interpretación pedagógica del polígono de frecuencias?.

El polígono de frecuencias nos permite observar como se distribuyen los puntajes en un grupo, y se puede estimar si el tipo de evaluación es normal, demasiado difícil, sin tomar en cuenta otros criterios sicopedagógicos. Así:

* Si en el polígono de frecuencias existe un agrupamiento mayor en el extremo derecho se puede decir que la evaluación fue demasiado fácil (analice e interprete

el cuadro7 y su gráfica de esta guía).

* Asimismo si el polígono de frecuencias existe un agrupamiento mayor en el extremo izquierdo, se puede decir que la evaluación tuvo un alto grado de dificultad. (Observe el primer polígono de la página anterior).

* En cambio si existen dos agrupamientos en el polígono de frecuencias, diremos que es un curso en el cual hay dos grupos de estudio, para el primer grupo la prueba es inadecuada por ser difícil, y para el segundo grupo la prueba es demasiado fácil.

(Analice e interprete el segundo polígono de la página anterior).

* Si los puntajes se distribuyen en forma uniforme o normal, se puede decir entonces que la evaluación tomada ha sido normal ( como si sus resultados formaran un triángulo).

A continuación realicemos la interpretación pedagógica de la frecuencia acumulada

La curva de magnitud asimismo nos permite observar la distribución de la variable, es así que puede resultar de mucha utilidad en el campo pedagógico, para clasificar las evaluaciones y sin tomar en cuenta ningún criterio sicopedagógico.

• La posición de la curva acumulada nos indica que la evaluación que se ha tomado ha sido normal. (Según datos de la serie).

• La posición de la curva por encima de la normal nos indicaría que el tipo de evaluación ha sido demasiado fácil.

• La posición de la curva por debajo de la normal, asimismo nos indica que la evaluación ha estado difícil.

AUTOEVALUACIÓN:

Según el presente gráfico podemos decir entre otros aspectos lo siguiente:

En la línea anote V si es VERDADERO o una F si es FALSO

a) El gráfico corresponde a barras verticales

b) En el eje de las x las estaturas quedaron ordenadas de menor a mayor

c) Se puede leer que 2 niños tienen estaturas entre 145 y 148

d) 7 niños miden entre 148 y 151

e) Los niños que miden 151 cm son 7

f) 9 niños miden hasta 151 cm

g) 8 alumnos tienen la estatura más alta

TAREA 1

Instrucciones:

En el paréntesis correspondiente escriba una V o F según al veracidad o falsedad de los siguientes enunciados.

Los resultados de un concurso de Oratoria, con puntaje máximo de 50 se detalla

en el siguiente cuadro estadístico de intervalos o serie tipo III. Observe el cuadro

de puntajes y señale la respuesta correcta:

16. La serie está ordenada en forma:

a. ascendente b. descendente

17. El punto medio del primer intervalo es:

a. 26.5

b. 6

18. La frecuencia acumulada del último intervalo es:

a. 4

b. 49

19. La columna principal corresponde a:

a. puntajes

b. frecuencias

20. El porcentaje de alumnos que obtuvieron la mayor puntuación es:

a. 8.16%

b. 81.6%

21. El porcentaje de alumnos del penúltimo intervalo es:

a. 45%

b. 20.4%

22. El número de alumnos participantes es:

a. 45

b. 49

23. La frecuencia relativa del grupo de alumnos de la menor frecuencia es:

a. 0.08

b. 4

24. El límite superior del tercer intervalo es:

a. 41.5

b. 41

25. Los límites reales del primer intervalo son:

a. 23.5 – 29.5

b. 24 – 29

26. El siguiente conjunto de datos corresponde a la estatura en centímetros de un grupo de alumnos de un colegio.

162 155 147 161 163 160 159 155 154 154 166 154 157 156 164 157 153

158 152 160 145 153 157 153 162 158 157 160 160 162 165 161 162 162

160 153 153 150 153 157 157 160 158 155 152

Tabule los datos y construya un cuadro estadístico de intervalo i=4 en forma descendente, luego encuentre: frecuencia absoluta, frecuencia acumulada, frecuencia relativa, porcentaje de cada una de las frecuencias anteriores, límites reales y realice un análisis sobre los resultados obtenidos.

27. Elabore un polígono de frecuencias y una ojiva para el siguiente cuadro estadístico

28. Muestre la siguiente información en barras verticales y en un diagrama circular

CALIFICACIONES DE FISICA DE CUARTO CURSO DEL COLEGIO X

PARTE II

Unidad 5. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

5.1. Media aritmética

5.2. Mediana

5.3. Modo

5.4. Media Geométrica

5.5. Media Armónica

Unidad 6. MEDIDAS DE DISPERSIÓN

6.1. Rango

6.2. Desviación Media

6.3. Desviación típica

6.4. Varianza

Unidad 7. OTRAS MEDIDAS

7.1. Cuartiles

7.2. Deciles

7.3. Percentiles

7.4. Rango intercuartílico

7.5. Rango semintercuartílico

7.6. Coeficiente de variación

SERIE I: MEDIA ARITMÉTICA DE UNA SERIE ESTADÍSTICA SIMPLE

Supongamos que en un curso de 10 alumnos las calificaciones en la asignatura de matemáticas fueron: 20, 15, 12, 18, 12, 17, 15, 16, 19, 17. Encontremos la media aritmética.

SOLUCIÓN.

La media aritmética simple se obtiene con la fórmula:

SERIE 2.MEDIA ARITMÉTICA DE UNA SERIE ESTADÍSTICA DE FRECUENCIA

Para determinar la media aritmética de una serie estadística de frecuencia multiplicamos

la variable por la frecuencia respectiva, posteriormente sumamos estos productos y

dividimos por el número de casos, su fórmula es:

Ejemplo

Los datos del siguiente cuadro estadístico corresponden a estaturas en cm. de 25 alumnos

de la especialidad de Físico Matemáticas de la UTPL.

SERIE 3. MEDIA ARITMÉTICA DE UNA SERIE ESTADÍSTICA DE INTERVALOS

Para determinar la media aritmética de una serie estadística de intervalos podemos seguir el siguiente procedimiento:

? Obtenemos los puntos medios de la serie

? Multiplicamos las frecuencias por las marcas de clase o puntos medios

? Sumamos los productos por las marcas de clase o puntos medios

? Por último dividimos la suma obtenida por el número de elementos de la serie

Ejemplo:

La presente tabla de frecuencia muestra de calificaciones de 35 alumnos del 9no año de

Educación Básica de un Centro educativo de la ciudad de Loja.

5.2. MEDIANA (Mdn)

La mediana es el valor que queda ubicado justo en el medio de un conjunto de datos, cuando están ordenados ya sea en sentido ascendente o descendente.

Si tenemos la serie: 12 –15 – 13 – 10 – 11, ordenando en sentido descendente: 15 – 13 – 12

–11 – 10.

La mediana es 12 porque es el valor central, observamos que tanto a la izquierda como a

la derecha de 12 se encuentra el 50 % de elementos.

Si la serie es: 9 – 12 – 10 – 15 – 11 – 14, ordenando en sentido ascendente tenemos: 9 – 10

– 11 – 12 – 14 – 15; como la serie consta de un número par de términos, para determinar

la mediana sumamos los términos centrales y dividimos para 2, así:

11 + 12 = 23/2 = 11,5

SERIE 3. MEDIANA DE UNA SERIE ESTADÍSTICA DE INTERVALOS

Para calcular la mediana de una serie estadística de intervalos procedemos de la siguiente manera:

? Se determina N/2 (este valor nos permite localizar la posición que corresponde

la mediana, buscamos la frecuencia acumulada igual o que sobre pasa a N/2).

? Se calcula la frecuencia acumulada.

? La mediana de calcula con la fórmula:

En el ejemplo anterior

¿Cuáles son los datos de este ejemplo?

Desarrollo

= 16,5 + 0,15

= 16,65, aprox. 17, es el valor central de la serie.

RECUERDE QUE LOS CALCULOS SEW REALIZAN DE ACUERDO AL TIPO DE SERIE.

Así en el cuadro 3 de esta guía la mediana será 14

Como tenemos tres tipos de series. Que tipo de serie es el cuadro 3?. Cuál sería la mediana de esta serie ordenada y de frecuencias? = 14

Por cuanto N/2 es 22, buscamos en la columna de la frecuencia acumulada y observamos que pertenece al valor 14. ¿Es un valor central?

5.3. MODA (Mo)

¿ L a m o d a e s e l d a t o q u e m á s v e c e s s e r e p i t e ? ¡ P o r s u p u e s t o ¡

Esta última medida de tendencia central es la más sencilla de las 3 medidas y para su determinación, no se necesita cálculo alguno, basta observar en la columna de las frecuencias el dato que tiene mayor frecuencia.

Si tenemos la serie: 10 –11 – 11 – 12 – 13 – 14, la moda es 11 por ser el valor que tiene mayor frecuencia.

Por lo general las distribuciones son unimodales; es decir sólo tienen una moda, sin embargo es posible que una distribución tenga varias modas como por ejemplo si tenemos las serie: 5 – 6 – 6 – 6 – 7 – 8 – 8 – 9 – 8 es bimodal. (Mo = 6 y 8).

Aunque la moda es una medida fácil de determinar, no es muy utilizada, porque no es muy estable de una muestra a otra y con frecuencia existe más de una moda para un determinado conjunto de datos.

¿La moda en una serie de frecuencias?

En cuadro de frecuencias o tipo II la moda es muy fácil de determinar. Nos fijamos en el valor que tiene la mayor frecuencia.

¿Cómo encontramos la moda de una serie de intervalos?

Recurramos a un ejemplo.

La edad de los profesores que trabajan en un Instituto Superior "DAB" de la ciudad de

Loja son:

Como los datos están agrupados en una serie de intervalos, primeramente localizamos

el intervalo de mayor frecuencia (44 – 48 ), en el cual estará localizada la moda, la misma

que la calculamos con la fórmula:

Desarrollo

Si la serie esta ordenada en sentido descendente, el valor de la moda es el mismo, lo invito a verificar, como que se prepara para sus tareas.

Actividades

1 . Recurra a un centro educativo y solicite las calificaciones de matemática del ciclo básico. Luego encuentre la , la Mda y la Mo.

2 . P o r c u a l q u i e r f u e n t e d e i n f o r m a c i ó n a v e r i g ü e l a e d a d a l m o m e n t o d e l a

p o s i c i ó n d e l o s 5 ú l t i m o s p r e s i d e n t e s d e l E c u a d o r . L u e g o e n c u e n t r e l a :

m e d i a a r i t m é t i c a , l a m e d i a g e o m é t r i c a y l a m e d i a a r m ó n i c a .

3. En los siguientes resultados de un test sobre 100 puntos . Determine la media aritmética, la mediana y la moda.