6 6.4 6.5 c Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica VARIACIONES ORBITALES 6.3 Inclinación del eje Pero aun hay un tercer factor clave para explicar los ciclos glaciales. Fue Milutin Milankovi´ quien propuso por primera vez su in‡uencia. El eje de giro de la Tierra cambia su inclinación lentamente con el tiempo, (oblicuidad de la eclíptica). La amplitud del movimiento es de 2,4 grados. Esta precesión del eje sigue un ciclo de aproximadamente 41.000 años. Cuando la inclinación aumenta a 24,5 grados, los inviernos son más fríos y los veranos son más calurosos. Cuando la inclinación es menor (22,1 grados), los inviernos son más apacibles y los veranos más frescos. Actualmente el eje de rotación de la Tierra tiene una inclinación de 23,5 grados sobre el eje de la órbita. Para Milankovic no eran los inviernos rigurosos sino los veranos suaves los que desencadenan un período glacial. La teoría a…rma que siempre nieva su…cientemente en las regiones polares como para hacer crecer los glaciares pero la diferencia determinante está en la cantidad de hielo que se funde en los veranos. Si la fusión es insu…ciente, crecerán; si es excesiva, retrocederán. Se observó entonces que un efecto no era determinante sin la participación del otro. Es decir que ni las variaciones de excentricidad ni las de inclinación son, por sí solas, su…cientes para producir una glaciación pero que, en conjunto podían superponerse sus efectos y desencadenar un período glacial[3][4][5]. La oscilación del plano de la eclíptica La variación en la inclinación de la órbita de la Tierra tiene un período de aproximadamente 70.000 años y fue estudiada por Milankovitch. Recientes investigaciones observaron que el plano de la órbita de la Tierra se mueve por la in‡uencia de los demás planetas. El principal perturbador es el planeta Júpiter y la eclíptica oscila alrededor del plano de la órbita de Júpiter que es el plano que permanece aproximadamente invariante. La oscilación de la eclíptica es de unos 100.000 años respecto al plano invariable. Este ciclo de 100.000 años es el ciclo predominante en las edades de hielo. Se ha propuesto que un disco de polvo y otros desperdicios están en el plano invariable, y esto afecta el clima de la Tierra a través de varios medios. La Tierra se mueve actualmente a través de este plano alrededor del 9 de enero y el 9 de julio, seran los momentos en que se intercepten, también recientemente se ha observado por radar un aumento de meteoros[4]. La combinación de los cuatro factores La conclusión …nal de todo esto es que cada cierto tiempo los cuatro factores se alían o combinan para producir un período glacial. Estos períodos son mucho más largos (unos 100.000 años) que los breves intervalos interglaciales. Ninguno de ellos por sí solo podría desencadenar quizá una glaciación pero cuando con‡uyen las condiciones favorables entonces se inicia el proceso. Pero aun así los cálculos no salen, es decir no coinciden con los datos observacionales. Las variaciones orbitales son demasiado leves. Lo que ocurre es que hay que tener en cuenta dos retroalimentaciones positivas: el aumento del albedo terrestre y el aumento de CO2 . La intuición nos diría que los inviernos rigurosos deberían regir los pulsos glaciales pero parece ser que son los veranos suaves son los que lo hacen. La inclinación es aun de 23,4 grados pero sigue disminuyendo. Cuanto menor sea ésta, menor será la insolación en los veranos. Aun con toda la complejidad con que se ha estudiado el problema sigue sin establecerse aún una explicación total para los ritmos glaciales y es que hay que tener en cuenta otros factores no explicados por las variaciones astronómicas. A pesar de todo sí se puede a…rmar que, en gran medida, el ciclo climático vienen regido por las variaciones orbitales[2][3][4]. Es importante mencionar, que hoy día hay quienes a…rman que nos dirigimos hacia un nuevo período gla- cial, por lo cual el calentamiento global no correspodería propiamente al aumento de CO2 ; ya que el aumento desproporcionado de CO2 producidos por las emanaciones volcánicas, superan con creces las producidas por el hombre, es decir que el CO2 no es el causante del calentamiento global, bueno esto último lo dejamos como una hipótesis, hasta tener unos estudios concluyentes sobre este tema tan interesante, claro está que de con…rmarse esto, mostaría que el movimiento planetario es en realidad el causante de tan drásticos cambios. 16
7 7 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica ESTABILIDAD DEL SISTEMA SOLAR Estabilidad del Sistema Solar El Sistema Solar muestra una disposición claramente regular, con un objeto estelar central, el Sol, donde se concentra la mayor parte de la masa del sistema y los planetas girando en su entorno. Estos últimos se dividen en dos tipos principales[9][10][11]: los de tipo terrestre tienen menos masa, presentan una super…cie sólida y una …na atmósfera; y más al exterior se encuentran los planetas gigantes, de gran masa y gaseosos en la mayor parte de su volumen. En esta sección trataremos de explicar las razones de esta disposición y su posible estabilidad durante un período prolongado de tiempo. Para ello se considerará una breve exposición histórica. El trabajo de Newton dejo claro que las leyes de Kepler toman en cuenta únicamente la interacción Sol-Planeta a la hora de calcular el movimiento del mismo. Las interacciones originadas por el resto de los planetas, aunque muy pequeñas, producen unas perturbaciones en las perfectas órbitas elípticas de Kepler, y no está claro si su efecto, a largo plazo, puede ser la de destruirlas. De hecho Newton se dio cuenta de éste problema y pensó que sería Dios el que entre tiempo y tiempo tendría que reajustar el movimiento de los planetas para que se mantuviera la estabilidad de las órbitas. En la mecánica desarrollada en el siglo XVIII las relaciones entre el movimiento elíptico de los distintos planetas eran calculadas mediante series perturbativas, en las cuales se con…aba debido a su …delidad, a pesar de que nadie había demostrado de su convergencia. Poincaré (a …nes del siglo XIX ), en su trabajo "Sobre el problema de tres cuerpos y las conexiones con la dinámica", distingue los siguientes aspectos: La estabilidad tiene que estar relacionada con la periodicidad del movimiento orbital, los argumentos dinámicos se pueden convertir en argumentos topológicos, es decir considerar elementos teóricos so…sticados, el problema de Hill restringido ( una partícula de masa despreciable moviéndose perpendicularmente a un plano donde están situadas dos masas que se mueven en órbitas elípticas alrededor de un foco común) Debido a que la masa del cuerpo más pequeño, por ejemplo un cometa, se puede hacer despreciable el movi- miento kepleriano de los planetas no se ve alterado y puede construirse una descripción topológica representando la velocidad del cometa frente al tiempo cada vez que éste atraviesa el plano planetario, por lo tanto, para ciertas condiciones se encuentra que este movimiento es periódico, aunque inestable, de forma que el planeta cruza el plano a intervalos regulares. Cuando Poincaré examinó en el espacio de fases el movimiento que tiene lugar en la vecindad del punto …jo correspondiente a éste movimiento, encontró una situación similar a los puntos de equilibrio inestable del péndulo. Así habrá trayectorias que se separan rápidamente de él mientras que las otras lo hacen, pero cuando invertimos el tiempo, es decir cuando va hacía atras. Existía una diferencia importante entre el resultado del péndulo simple y lo que encontró Poincaré; en el primero, la separatriz cuando se propagaba la rama emergente y la rama incidente coincidían de forma perfecta cuando se cruzaban, pero esto no era así cuando consideramos un caso con perturbación, donde la rama emergente cruza la rama incidente en lo que hemos llamado punto hemoclínico primario y a partír de allí tienen lugar in…nitos cruces. Además la rama va haciendo una serie de oscilaciones, que reciben el nombre de oscilaciones homoclínicas, que se van complicando. Esta complicación surge de dos hechos, por un lado, como el mapa de Poincaré es un mapa que conserva el área, el área de la parte superior del lóbulo tiene que coincidir con la del lóbulo inferior, y por otra parte, una rama no puede cortarse a sí misma, de tal forma que sucesivos cortes tienen que ir haciendo …guras cada vez más complicadas. El resultado es una maraña de una complejidad formidable, imagen de la dinámica caótica subyacente. Poincaré demostró que las series de la mecánica celeste, deducidas por Lagrange y Laplace, no son en general convergentes por lo que puede existir caos en un sistema considerado desde siempre tan regular y estable como el sistema solar. Años más tarde, mediante el teorema KAM (Kolmogórov-Arnold-Moser) se demostró el mecanismo de destrucción de órbitas regulares por efecto de las perturbaciones no lineales. Pero éste teorema no alcanza para dar una respuesta concluyente al problema de la estabilidad del sistema solar. Sussman y Wisdan (1984) mediante simulaciones, encontraron que el movimiento de Pluton es caótico, con un coe…ciente de Lyapunov de 20 millones de años. Pero la in‡uencia de este planeta sobre el resto del sistema solar es pequeña. Laskar deduce una dinámica aproximada de todo el sistema solar y encuentra que el movimiento de los planetas interiores (Mercurio, Venus, Tierra, Marte) es caótico, con un exponente de Lyapunov de 5 millones de años. Éste resultado no nos asegura que en los próximos 100 millones de años vaya a tener lugar un evento catastró…co para la Tierra, tal como una colisión con Marte o Venus, sino que los métodos tradicioneales de 17
7 7.2 . Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica ESTABILIDAD DEL SISTEMA SOLAR la mecánica celeste son incapaces de predecir si uno de éstos acontecimientos va a suceder. Analizando sus resultados, Laskar fue capáz de explicar el origen del caos del sistema solar. Los responsables son dos resonancias; una que involucra Marte y la Tierra, y la otra que involucra los movimientos de Mercurio, Venus y Júpiter. Las resonancias destruyen la predictibilidad porque ampli…can los efectos gravitatorios al juntar periódicamente a los cuerpos implicados. Sussman y Widson con…rmaron los resultados de Laskar. El caos que encontraron en el sistema solar tiene dos componentes; la primera asociada al ángulo o fase que determina la posición del planeta en su órbita, y la segunda tiene que ver con la forma de ésta, la cual puede medirse con la exentricidad. El caos asociado a la fase, como el que ocurre con el caso de Plutón, es bastante benigno pues sólo signi…ca que con el tiempo perdemos la capacida de predecir su posición, pero el planeta sigue su curso en la misma zona del espacio. En cambio, el caos asociado a la forma, que es importante en el caso de Mercurio y Marte, implica que las perturbaciones de su movimiento son más importantes, y en el caso de Mercurio, puede signi…car la expulsión del sistema solar. La conclusión de todos estos trabajos y el papel que juega el caos en la dinámica del sistema solar todavía no está totalmente entendido. De hecho, el Sistema Solar ha sobrevivido con más o menos su forma actual durante 100 millones de años, tiempo mucho mas largo de lo que sugiere el exponente de Lyapunov calculado, entonces que sucede o el sistema es muy complejo y somos incapaces de determinar todo su comportamiento o nuestras teorías adolecen de elementos que permitan estudiar de forma completa estos sistemas[6][7]. 7.1 Oblicuidad de los planetas La oblicuidad, ángulo del eje de rotación respecto del plano de la eclíptica es facilmente caótica. En general impediría el desarrollo de la vida al imposibilitar el ciclo día noche. La luna, vía el efecto de las mareas juega un importante rol, el de eliminar el caos en la oblicuidad terrestre. Responsable de las estaciones climáticas en la Tierra. El plano del ecuador terrestre y el de la eclíptica, se cortan en una línea que tiene en un extremo el punto Aries, y en el diametralmente opuesto el punto Libra. Cuando el Sol cruza el punto Aries se produce el equinoccio de primavera (alrededor del 20-21 de marzo, iniciándose la primavera en el hemisferio norte y el inicio del otoño en el hemisferio sur), y a partir del cual el Sol se encuentra en el hemisferio norte terrestre; hasta que alcanza el punto Libra, en el equinoccio de otoño (alrededor del 22-23 de septiembre, iniciándose el otoño en el hemisferio norte y la primavera en el hemisferio sur). La oblicuidad en 2010 fue de 23 26’ 1600 (23.4377o ). En 1907 fue exactamente de 23 27’ Está disminuyendo actualmente a razón de 0.47" por año, debido al movimiento terrestre denominado nutación[4][5][6][7], como se ha dicho anteriormente, entonces por ello se a…rma al comienzo que la variación del ángulo de rotación se puede hacer caótico, en los últimos tiempos se ha logrado trazar mapas del cambio del polo norte terrestre, se observa una fuerte variación sin seguir un patrón de…nido. Balanceo caótico de Hiperión (satélites de Saturno) En otros sistemas de cuerpos celestes como en el caso de Hiperión, el más externo de los satélites mayores de Saturno, también se ha observado movimiento caótico, su masa es unas 10 veces menor que la de la Luna, su forma es análoga a una pelota de rugby irregular, sus dimensiones aproximadas son 380 Km x 290 Km x 230 Km. Es importante y bastante curioso por la orientación de su eje de rotación respecto al planeta Saturno. Se estudió la dinámica de sus movimientos, en 1984, llegando a la conclusión siguiente: Aunque su movimiento orbital elongado es estable gracias a la in‡uencia del satélite gigante Titán, su movimiento de balanceo es caótico, encontrándose en una zona de caos en el espacio de fases, es decir en su diagrama topológico. Así se puede predecir donde se encontrará el satélite Hiperión en una fecha futura, pero es imposible predecir cual será su orientación. Esto se corroboró por observaciones astronómicas midiendo la variación de su brillo, hechas en Chile, en las que no se encontró que dicho balanceo se ajustara a ninguna función con un único período[9], en pocas palabras su orientación es caótica. 18
8 7.3 8 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica CONCLUSIONES Huecos en un cinturón de asteroides. Anillos de Saturno La existencia de huecos en el cinturón de asteroides es uno de los casos más singulares de caos y resonancia. La fórmula de Titius-Bobe determina la posición de los planetas del sistema solar, bueno ley empírica ya que no se conoce los principios que la fundamentan. Ésta fórmula es corroborada para todos los planetas excepto para uno existente entre Marte y Júpiter. Allí se observó una multitud de asteroides (1.000.000), a la que se denominó cinturón de asteroides. Debido a la inmensa cantidad de cuerpos interactuando, ésta es una zona caótica la mayor parte del tiempo con excentricidades estables (no se debe pensar en un escenario en que se estén chocando constantemente entre sí, ya que la distancia media entre asteroides es de varios Km). Es previsible entre ellos una dinámica complicada. Las fuerzas gravitatorias debidas al Sol y a Júpiter se incrementan en forma periódica a medida que los asteroides recorren sus órbitas. Los asteroides se mueven bajo la acción del Sol, con períodos de revolución que dependen de su distancia, pero están sometidos a la perturbación debida a Júpiter. Por tanto, según el teorema KAM, el teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser, obtenido en el estudio de sistemas dinámicos y cuyo marco principal es el estudio de la persistencia de movimientos cuasiperiódicos, dicho teorema resuelve el problema de los divisores pequeños, los cuales originan los problemas de convergencia en sistemas con múltiples frecuencias, desde el punto de vista topológico, el movimiento en un sistema integrable está con…nado a una super…cie toroidal, donde diferentes condiciones iniciales del sistema originan diferentes toros en el espacio fásico. El teorema KAM establece que, si un sistema está sometido a una pequeña perturbación no lineal, algunos toros serán deformados y otros destruidos. Los que sobreviven son aquellos que tienen un cociente de frecuencias su…cientemente irracional. Es decir, se destruyen aquellos cuyo cociente de frecuencias se acerca más a un número racional, dados por la relación, algunos de sus movimientos son regulares y otros caóticos. Si se grá…ca el número de asteroides versus el cociente entre sus frecuencias y la de Júpiter, aparecen huecos notables en aquellos cuyo cociente es un número racional, pues los que faltan estarían en resonancia con el planeta, cuyo efecto, al cabo de muchos ciclos, acaba por sacarles de su órbita. Algo parecido ocurre con Saturno, donde la perturbación debida a algunos satélites es la causa de los huecos entre los anillos[9][11]. Conclusiones Se ha hecho una corta presentación de algunos aspectos de la mecánica celeste, sin pretender reemplazar a los fabulosos tratados existentes sobre esta materia, igualmente, se puede observar que la descripción de los sistemas planetarios es bastante compleja y que por lo mismo solo se hacen ciertas aproximaciones ya que son muchos y variados los elementos involucrados en un sistema de cuerpos gravitantes; las soluciones aceptadas hoy día y consideraradas con rigor son las obtenidas mediante simulaciones numéricas ya que es la mejor forma de la que disponemos para resolver y predecir los elementos propios de los sistemas gravitantes, sus comportamientos y las predicciones; como en el caso del estudio del caos en sistemas planetarios, ya que no poseemos en este momento una herramienta lo su…cientemente exacta y versátil para determinar el comportamientol total y completo de un sistema planetario, por ello se recurre a simulaciones y predicciones teóricas, no quiero decir con esto que la teoría del caos sea incompleta o incoherente. A pesar de todas estas limitaciones se han logrado grandes avances en el conocimiento del sistema solar como también en materia de viajes espaciales, de predicciones y observaciones planetarias, etc. Bueno, de eso se trata de encontrar las descripciones más completas y exactas para todos aquellos sistemas naturales. 19
8 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica Imagen que ilustra la precesión y nutación terrestre. (Google Imágenes) Elementos orbitales, es decir aquellos parámetros necesarios para describir una órbita celeste.(Google Imágenes) 20 CONCLUSIONES
Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica REFERENCES Imagen que muestra el movimiento orbital terrestre, con algunos nombres e identi…caciones especiales. (Google Imágenes) References [1] S. W. McCuskey, Introduction to Celestial Mechanics, 1963. [2] D. L. Otálora, F. J. Poveda, Solución para un planeta rotante, 05 de Abr.2006. [3] José Luis Pérez Díaz, Astronomía, mecánica celeste y exploración espacial, Departamento de Ingeniería Mecánica. Universidad Carlos III de Madrid. [4] Seminario de Astronomía y Geodesia, Universidad Complutence, publicación 132, 1983. [5] Christian Nitschelm, Mecánica celeste, ecuaciones de movimiento, Julio del 2011. [6] Ernesto Pérez Chavela, El sistema Solar bajo la Mecánica Celeste, U. A. M. , 1999. [7] Andres Esteban de la Plaza, Cálculo de órbitas Planetarias, 2012. [8] Abel Gutarra, Introducción a la Mecánica Celeste, Facultad de Ciencias-UNI, 1997. [9] Sebastián Ferrer, Mecánica Celeste el problema de n-cuerpos, misiones espaciales y nuevos sistemas planet- arios, Universidad de Murcia 2009. [10] Murray R. Spiegel, Mecánica Teórica, 1976 [11] Wikipedía, sistemas caóticos, 2013. 21
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