Elementos de mecánica celeste

1 s Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica Elementos de Mecánica Celeste Elements of Celestial Mechanics Alexander Moreno Sánchez Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica Bogotá. D. C, Colombia. [email protected] Recibido 01-03- 2013; Aceptado 30 – 03- 2013; Publicado en línea 10 – 05 – 2013 Resumen Siendo la mecánica celeste uno de los grandes capítulos de las ciencias físicas, de gran belleza y de enorme sentido organizacional, se presenta una corta introducción de algunos elementos propios de la misma, se muestran algunas ecuaciones generales que fundamentan las deducciones analíticas y las predicciones fabulosas que permite hacer la mecánica celeste. PACS : 45.50.Pk, 95.10.Ce Palabras Claves: Mecánica newtoniana, leyes de Kepler, ecuaciones orbitales, integrales de movimiento. Abstract Celestial mechanics being one of the greatest chapters in the physical sciences, of great beauty and enormous organizational sense, we present a short introduction to some elements of it, are some general equations underlying analytical deductions and predictions fabulous which allows celestial mechanics. PACS : 45.50.Pk, 95.10.Ce Keywords: Newtonian mechanics, Kepler’ laws, orbital equations, integrals of motion. c 2013. Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica. Todos los derechos reservados. Introducción En estos días que se investiga, se pública, se anuncia y se desarrollan grandes proyectos cienti…cos; a mi parecer, nos olvidamos de algunos campos de la ciencia que han contribuido de forma sin igual a la comprensión y al desarrollo de la humanidad, sabemos de los grandes adelantos en materia espacial, de lo importante que resultan los satélites arti…ciales para mejorar y construir nuestra tecnología moderna, y ahora que nos intimada una posible colisión con un cuerpo espacial, sí que toma mayor importancia recordar, y para aquellos estudiosos comprender, como es que se mueven los cuerpos en el espacio, la causa y efecto de su movimiento, la descripción física de las órbitas, en …n, por ello es previsible, que la mecánica celeste tome mayor importancia, por lo menos en los centros de estudio, ya que sin éste importante campo de las ciencias físicas, quizá, no seamos capaces de sobrevivir en el futuro próximo.

3 2 3 r 1 2 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL Este corto y escueto trabajo no pretende sustituir los principios teóricos completos, ya que existen portentosos tratados sobre esta ciencia los cuales permiten alcanzar un nivel de comprensión único en este campo de estudio, solo se muestran algunos desarrollos importantes, se tocan algunos temas muy especiales y se intenta dar una visión de las complejidades propias de los sistemas gravitantes. Ahora bién, si el lector se interesase de forma especial por algún tema partícular deberá acudir a la literatura especializada, ya que aquí simplemente se desea crear cierta motivación hacia estos temas[1][2][3]. Dinámica Fundamental La mecánica celeste conjuga de manera única y elegante la teoría mecánica newtoniana y la teoría matemática clásica analítica, para describir gracilmente el movimiento planetario alrededor del sol, los satélites alrededor de sus planetas, los pares estelares, el movimiento de cometas y asteroides, entre otros muchos cuerpos que gravitan de manera elegante en el universo. Desde el punto de vista histórico, se considera como punto de partida las conocidas y clásicas leyes de Kepler para el movimiento planetario 1. La órbita de cada planeta es una elipse con el sol en uno de sus focos. 2. El radio vector que une el sol con el planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. 3. La razón entre los cuadrados de los periodos de dos planetas cualesquiera es igual a la razón entre los cuadrados de su distancia media desde el sol. Además desde el punto de vista fundamental, la única, elegante y hermosa ley de la gravitación universal, concebida por Newton, establece que si dos partículas de masa m1 y de masa m2 están situadas a una distancia r de separación mutua, cada partícula atrae a la otra con una fuerza de…nida por Gm1 m2 =r2 , donde G es una constante universal y las fuerzas reciprocas actuan sobre la línea que une las partículas[1]. Movimiento bajo una fuerza central Cuando la fuerza resultante sobre una partícula causa un movimiento acelerado alrededor de un punto …jo, el movimiento se llama de fuerza central, en donde dicho punto …jo se conoce como centro de fuerzas, este tipo de movimiento es bastante frecuente en muchos tipos de sistemas planetarios y estelares, los planetas se mueven en órbitas tales que la fuerza de atracción debido al sol siempre pasa a través del mismo punto; por ejemplo, en un sistema de dos estrellas, una de ellas gira alrededor de la otra bajo la acción de la fuerza gravitacional. Ahora bién, se pueden derivar varias propiedades importantes del movimiento producido por una fuerza central, las cuales son independientes de la forma análitica precisa de la ley de fuerzas, en partícular muchas aplicaciones astronómicas involucran la ley del cuadrado inverso de Newton. En consecuencia tenemos los siguientes resultados[1][10] 3.1 Ley de las Áreas Entonces, considérese una partícula de masa m en una posición r, relativo a un origen …jo o, y si la partícula describe una curva c; bajo la acción de una fuerza central F , la cual puede estar dirigida hacía el centro o o hacía afuera del centro o, por lo tanto para una masa constante la seguna ley de Newton puede establecerse como[1][7][10] mv = F ur , considerando, el producto vectorial con el vector de posición r (1) mv = r F ur = 0 . (2) Ahora, podemos considerar la velocidad areal (razón de cambio del área barrida con el tiempo), de…nida como A = 1 2 r v = 2 r uA , (3) 2

3 2 d 2 (6) 3.2 1 2 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL donde uA es un vector unitario perpendicular a r y v , es decir perpendicular al plano instantáneo de…nido por estos vectores, entonces se concluye que una partícula de masa m que se mueve bajo una fuerza central describe una órbita la cual yace en un plano. Si la magnitud de la velocidad areal es 1 h; entonces el área descrita en un tiempo t está dada por A = 1 2 ht + c , (4) de lo anterior se concluye, que para cualquier fuerza central, la segunda ley de Kepler del movimiento planetario se mantiene, es decir A = cte , (5) la cual es la segunda ley de Kepler, "en periodos iguales se barren áreas iguales", el área barrida por el radio vector es directamente proporcional al tiempo, el inverso de esto también es cierto, si el área barrida por el radio vector es directamente proporcional al tiempo, la fuerza es una fuerza central. Asumiendo A = pt + q; tenemos A = p entonces r2 = 2p , por lo tanto (r ) = 2rr + r2 = 0 , dt es decir 2rr + r2 expresión que corresponde a la aceleración la cual es cero, quiere decir esto que no hay aceleración, por lo tanto no hay ninguna fuerza perpendicular a r , en consecuencia la órbita yace sobre un plano. Velocidades Lineales y Angulares Otros resultados cinemáticos se siguen del movimiento bajo una fuerza central. De tal modo que si p denota la distancia perpendicular del origen o a una tangente T sobre la trayectoria de la partícula, tenemos[1][7] con la cual se puede obtener 2A = r v = huA , (7) v = h p , (8) donde p = rsen , y v la velocidad lineal de una partácula moviéndose bajo la acción de una fuerza central, es inversamente proporcional a la distancia perpendicular desde o a la tangente instantánea a la órbita, por lo tanto A = 1 2 r v , (9) de tal forma que la velocidad angular de la partícula en p está dada por = h r2 , (10) por lo tanto se puede establecer que r2 = 2p . (11) De este modo puede decirse que la velocidad angular de una partícula moviéndose bajo la acción de una fuerza central varía inversamente proporcional con el cuadrado de la distancia desde el origen a la partícula, así que A = 2 r uA . 3 (12)

3 3.3 d 1 d 2 , 1 Z (18) dr , Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL Integrales de momentum angular y energía De la segunda ley de Newton deducimos las ecuaciones de movimiento de una masa m que son[1][7][10] mv = F ur , (13) L = r mv = r F ur = 0 , (14) esto implica que el momentum angular L de una partícula moviéndose bajo una fuerza central permanece constante en magnitud y dirección, esto implica que el momentum angular es perpendicular al plano órbital L = r mv = mr2 uA . (15) Entonces la integral de la ecuación de movimiento de la partícula implica que el momentum angular es constante y vale mh; ahora, mv v = F v ur ; pero v v = dt ( 2 v v) = dt ( 1 v2 ) , asi que ur es perpendicular a u , en consecuencia por lo tanto tenemos vur = (rur + r u )ur = r , (16) d 1 ( mv2 ) = F dt 2 dr dt (17) y suponiendo que F solo depende de la longitud del radio vector r , es decir F = F (r); de tal forma que integrando obtenemos mv2 = F (r)dr + E , 2 esto quiere decir que el trabajo hecho por F en el cambio de posición es la integral a lo largo de la órbita. Tenemos que F = F (r)ur es una fuerza conservativa, por tanto, existe una energía potencial V (r) tal que F (r) = dV , de tal modo que se puede escribir 1 2 mv2 + V (r) = E , (19) la cual establece que la energía cinética más la energía potencial de una partícula moviéndose bajo la acción de una fuerza central es constante, ley de conservación de la energía, así que E, constituye una segunda integral de movimiento, que conduce a la siguiente expresión v = r 2(E V (r)) m (20) y como la raíz solo depende de r, se observa que la velocidad para todas las órbitas que tienen la misma enegía total, sin consideración de sus formas, es la misma a una distancia dada r desde el centro de fuerzas. 3.4 Ecuación de la órbita Si se denota la fuerza por F (r);entonces las ecuaciones de movimiento obtenidas de la segunda ley de Newton, en coordenadas polares son[1][7] 2 m[r r ] = F (r) , (21) mr2 = mh , 4 (22)

3 d 2 1 r ) m r , 1 n , d du 2 , d du 2 , d du 2 Z Z du 2 ( r u u Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL este conjunto de ecuaciones constituye un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden que debe conducir a cuatro constantes de integración, no obstante ya se han encontrado dos de ellas, según se mostró en los apartados anteriores, las cuales son las integrales de momento angular y de energía, las otras dos integrales se obtienen de la solución de las ecuaciones de movimiento, pero para ello se requiere …jar dos condiciones iniciales, las cuales permitiran …jar la órbita completa. Si de…nimos u = , con lo cual, = hu2 ; r = 2 h2 u2 ( d u ); en consecuencia obtenemos m[ hu2 ( d2 u d 2 h2 u3 ] = F (r) , (23) la cual conduce a d2 r dt2 1 h2 = F (r) + 2 . (24) La ecuación diferencial obtenida para u como función de conduce a la ecuación polar de la órbita, cuando la ley de fuerzas es conocida y si se realiza una expasión en términos de u d2 u d 2 + u = 1 F ( u ) mh2 u2 (25) ahora bién, si suponemos que la fuerza varía como F (r) = rn , entonces F ( u ) = u ; con lo cual d2 u d 2 + u = u n mh2 2 (26) con algunas manipulaciones algebraicas, obtenemos 2 [( ) + u2 ] = d d ( 2 mh2 )( n 1)u n 2 du d (27) la cual se puede simpli…car para obtener [( ) + u2 ] = d d u (n+2) du d (28) donde es una constante, ahora integrando una vez, es decir obtenemos [( ) + u2 ]d = d d du u (n+2) d , d (29) d ) + u2 = n +1 u (n+1) + c , (30) donde c es una constante de integración, por lo tanto se obtiene du d = c u2 + ( n +1 )u (n+1) , (31) y si se integra nuevamente Zu0 du[c u2 + ( n +1 )u (n+1) ] 1=2 = Z 0 d , (32) obtenemos Zu0 q c du u2 + ( n+1 )u (n+1) = 0 con n 6= 1, (33) 5

3 Z Z R 1 Z , , , , Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica donde u0 y 0 son puntos iniciales sobre la órbita. MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL Cuando se conoce n; la ecuación anterior de…ne u como una función de , ésta se conoce con el nombre de ecuación polar de la órbita. La integral anterior es de la forma (a + bu2 + cu n 1 ) 1=2 du , (34) cuando n es un entero, resultaran funciones trigonométricas si n es menor de 2, de tal modo que n está restringido a n = 1; n = 2 , n = 3, sin embargo, n = 1 ya fue excluido, entonces solo queda n = 2 y n = 3. Si consideramos n = 1; la integral se convierte en (a + bu2 + cu 2 ) 1=2 du , (35) la cual se puede expresar como (au2 + bu4 + c) 1=2 udu; que con la sustitución v = u2 se obtiene (bv2 + av + c) 1=2 dv , (36) 2 al realizar la integral conduce a funciones trigonométricas. De este modo se puede concluir que cuando una fuerza central varía como rn , cuando n = +1; 2; 3 , la ecuación polar de la órbita puede ser expandida en términos de funciones trigonométricas. En el caso de potencias superiores de r esto conduce a soluciones en términos de funciones circulares. Puede mostrarse en general que cuando n = +5; +3; 0; 4; 5; 7 , la ecuación polar de la órbita se expresa en términos de funciones elípticas[1]. 3.5 Fuerza cuadrática Inversa En muchas aplicaciones astronómicas se considerá la fuerza central como una fuerza inversa cuadrática, que como se conoce fue propuesta por Newton, la cual tiene la siguiente forma[1][7] F (r) = GM m r2 (37) donde G es la constante gravitacional de Newton, que junto con M constituyen la "potencia" o "intensidad" de la fuerza central, y m es la masa del cuerpo que está siendo acelarada, que en términos del cambio de variable propuesto anteriormente, se puede expresar como 1 F ( ) = u GM m 1=u2 (38) en consecuencia, esta forma de la ley de fuerzas conduce a la siguiente ecuación de movimiento d2 u GM d 2 + u = h2 , que sí se integra, permite obtener la siguiente solución (39) u = A cos( 0 ) + GM h2 , (40) de tal modo que en términos de r tenemos r = 1+ h2 =GM Ah2 ( GM ) cos( 0 ) (41) ésta es conocida como ecuación polar de la órbita. Ahora bién, la ecuación estándar de una sección cónica, en coordenadas polares es r = p 1 + e cos( 0 ) (42) 6

3 p e , du 2 ( d u2 d 1 du = du 2 r h2 d h d ; 1 du GM r mh2 : 2E d h r r h h Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL donde e es la excéntricidad, manera es la distancia del foco a la direcctriz, entonces podemos relacionar de la siguiente p = h2 GM , e = Ah2 GM (43) de la geometría análitica se sabe que los paramétros p; e determinan la forma de la sección cónica, y entre otras cosas se sabe que si e < 1 , la cónica es una elipse e = 1 , la cónica es una parábola e > 1 , la cónica es una hipérbola Estos parámetros geométricos dependen de las constantes de integración A y de las constantes físicas del sistema h , G , M: Por lo tanto, podemos considerar la siguiente ecuación de movimiento d ) + u2 = 2GM u h2 + c , (44) el vector velocidad en la órbita se puede expresar como v =rur + r u , así que podemos obtener las siguientes expresiones r = siguiente (45) h du , r = hu , con esto obtenemos lo v = [(h d ) + h2 u2 ]1=2 (46) además tenemos que 2 tanto ( du )2 = = = GM u la cual corresponde a la energía potencial por unidad de masa, por lo con estas expresiones llegamos a v2 = 2GM u + ch2 , y bajo algunos procedimientos algebraicos adicionales conduce a (47) 1 2 1 mv2 GM mu = mch2 , 2 (48) expresión que corresponde a la energía total de la partícula bajo una fuerza central de tipo inverso cudrado, que se puede expresar como E = 1 2 mv2 GM mu , (49) así que podemos obtener el valor de la constante de integración c = Para el eje transversal de la cónica r = h du = 0; implica que u2 2GM u h2 2E mh2 =0 , (50) esto es una cuadrática en u cuya solución se puede expresar como GM u = 2 [1 1+ 2Eh2 mG2 M 2 ] , (51) esta expresión permite determinar los valores máximos y mínimos sobre el eje transversal de la cónica, de tal modo que estos valores son GM GM umax = 2 + A = 2 [1 + 1 + 2Eh2 mG2 M 2 ] , (52) 7

3 h h r h r , 2 r , 3.6 , , , , Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL umin GM = 2 GM A = 2 [1 1+ 2Eh2 mG2 M 2 ] , (53) de este modo tenemos GM A = 2 1+ 2Eh2 mG2 M 2 (54) Ah pero como e = GM , por lo tanto se llega a una relación fundamental entre la excentricidad y la energía total de la partícula, de tal forma se pude escribir como e = 1+ 2Eh2 mG2 M 2 (55) y así se tiene que si 1. E = 0; e = 1 , la órbita es una parábola 2. E < 0; e < 1 , la órbita es una elipse 3. E > 0; e > 1 , la órbita es una hipérbola Ecuación polar de la órbita Si consideramos un punto …jo o y una línea …ja AB a una distancia D de o y si suponemos que un punto P en el plano de o y AB se mueve de manera que la relación entre su distancia al punto o a su distancia a la recta AB es siempre igual a una constante positiva e. Por lo tanto, la curva que describe P expresada en cooordenadas polares (r; ) está dada por[1][10] r = p 1 + e cos (56) donde el punto o se llama foco, la línea AB directriz, y el radio e es la excentricidad. La curva frecuentemente se llama sección cónica debido a que puede obtenerse por la intersección de un plano y un cono a diferentes ángulos, y como se anotó anteriormente existen tres cónicas según el valor de la excentricidad. 1. Parábola : E = 0; e = 1: La ecuación de la parábola se puede expresar como r = p 1 + cos (57) ahora si q denota la distancia del foco al vértice, tenemos p = h2 GM = 2q , (58) así que obtenemos la ecuación de la órbita r = 2q 1 + cos( 0 ) (59) y la velocidad en la órbita a una distancia r desde el centro de fuerzas es vp = r 2GM r (60) se conoce como velocidad de escape del centro de fuerzas. 2. Elipse: E < 0; e < 1 Si C es el centro de la elipse y CV = CU = a es la longitud del semieje mayor, entonces la ecuación de la elipse puede escribirse como 8

3 , p , , GM h2 p (66) , 1 p (69) p 1 p (70) . Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL r = a(1 e2 ) 1 + e cos (61) Nótese que el eje mayor es la recta que une los vértices V y U de la elipse con una longitud 2a, si b es la longitud del semieje menor y si c es la distancia CO desde el centro al foco, entonces tenemos el siguiente resultado c = a2 b2 = ea , (62) y como en el caso anterior si q denota el radio vector del vértice de la elipse cerca del origen, y si q0 denota el radio vector a la distancia máxima desde el origen, de hecho el origen es el foco, pero como el semieje mayor es 2a , entonces q = p 1+ e , q = p 1 e (63) de este modo q + q = 2a , (64) por lo tanto para la elipse se encuentra que p = a(1 e2 ); así que la ecuación de la elipse puede escribirse como r = a(1 e2 ) 1 + e cos( 0 ) (65) de otra parte como p = , la velocidad areal que es constante está dada por h = GM a(1 e2 ) , de esta forma se puede encontrar una expresión para la energía, la cual es E = GM m 2a (67) también se puede encontrar la velocidad a una distancia r desde el centro de fuerzas, dada por v2 = GM [ 2 1 r a ] , (68) Según los resultados anteriores se puede deducir una expresión para el período en una órbita eliptica. Si A denota el área barrida por el radio-vector en un tiempo t , entonces tenemos A = GM a(1 e2 )t + c , 2 donde c es una constante de integración. Así que, en un período el radio vector barre una área donde el semieje menor es b = ap1 ab = a2 1 e2 = GM a(1 e2 ) , 2 e2 , entonces el período está dado por 2 a3=2 = pGM (71) Lo anterior corresponde a la tercera ley de Kepler. Aquí M es cercanamente la misma para cada planeta y es aproximadamente la masa del Sol. 3. Hipérbola E > 0; e > 1 La hipérbola consta de dos ramas, que son asintóticas a dos rectas llamadas asíntotas que se cortan en un punto llamado centro denotado por C, la distancia CV = a del centro al vértice V se llama semieje mayor, y el 9

4 , , p (74) , 4 4.1 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS eje mayor es la distancia entre los vértices V y U . De tal modo que la ecuación de la hipérbola puede escribirse como r = a(e2 1) 1 + e cos (72) también, puede decirse que una elipse puede de…nirse como el lugar o trayectoria de todos los puntos cuya suma de las distancias, desde dos puntos …jos es una constante. En términos de lo anotado anteriormente, tenemos que 2a denota el eje transverso de la cónica, en consecuen- cia la geometría de la órbita indica que p = a(e2 1) , de tal modo que r = a(e2 1) 1 + cos( 0 ) (73) y como en los casos anteriores la velocidad areal es constante, dada por y la energía total dada por h = GM a(e2 1) , E = GM m 2a (75) de igual forma podemos determinar la velocidad a una distancia r desde el centro de fuerzas, dada por 2 1 v2 = GM [ + ] , r a (76) Como se había mencionado anteriormente, en lo deducido anteriormente, está implicita la primera ley de Kepler[1]. El Problema de los dos Cuerpos En física este es una de los problemas paradigmáticos, se tienen resultados clásicos y cuánticos, pero aquí, se considerará la solución clásica apropiada para consideraciones de mecánica celeste, de tal forma que se asumirá que las masas involucradas son esfericamente simétricas y homógeneas en capas concéntricas, en consecuencia se atraen las masas una a otra como si la masa de cada una estuviese concentrada en el centro de la esfera, de forma más simple es como si se tuviesen dos partículas con masa a una distancia igual a la distancia entre los centro, igualmente se resalta que las dos masa están su…cientemente aisladas de otras masas, en consecuencia unicamente tenemos una fuerza cuadrática inversa de atracción mutua a lo largo de la línea que une los centros. Por lo tanto, la dinámica del movimiento resultante permite evidenciar dos problemas relevantes para la mecánica celeste 1. Dada la posición y velocidad en el espacio de una masa puntual como función del tiempo, encontrar los elementos geométricos de la órbita 2. Dados los elementos orbitales, o parámetros, de…nir la forma y orientación del camino dinámico, para encontrar la posición de las masas en un instante dado[3][4][5] Movimiento del centro de masa Si imaginamos un sistema de referencia inercial con o como origen del sistema y dos masas localizadas por los vectores de posición r1 , r2 , ahora, si consideramos que R es el vector de posición del centro de masa, y r; de…ne el vector de posición de m2 relativo a m1 . Por lo tanto según la ley de gravitación universal, la fuerza sobre m1 debida a m2 está dada por F12 = k2 m1 m2 r2 ur , (77) 10

4 Z Z 0 0 0 0 0 r1 y 0 0 0 0 0 m1 m2 0 0 r3 m2 m1 0 0 r2 0 2 M 2 (r1 ) Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS de igual forma se puede considerar la fuerza sobre m2 debida a m1 dada por F12 = k2 m2 m1 r2 ur , (78) en estas expresiones se considerá k2 como constante gravitacional universal, diferente a G, debido a considera- ciones de tipo algebraico, ahora bien, podemos considerar las ecuaciones de movimiento para las masas, dadas por m1 r1 = k2 m1 m2 r2 r ; (79) m2 r2 = k2 m2 m1 r2 r ; (80) en consecuencia si reliazamos la respectiva integración del sistema se obtiene ((m1 r1 + m2 r2 )dt)dt = m1 r1 + m2 r2 + c1 t + c2 t , (81) está integral debe ser nula, ya que la suma de las fuerzas gravitacionales es cero y además ninguna fuerza externa actua sobre el sistema, por lo tanto, tenemos m1 r1 + m2 r2 = c1 t + c2 t , entonces, si el lado izquierdo es M R por la de…nición de centro de masa, se puede obtener m1 r1 + m2 r2 = M R , así que, (82) (83) R = c1 M t + c2 M , (84) lo cual índica que el centro de masa se mueve sobre una línea recta en el espacio, donde M es la masa total del sistema[1][5][6] 4.2 Movimiento relativo El movimiento de m1 y de m2 relativo al centro de masa se puede considerar de la siguiente manera r1 = R + r1 , r2 = R + r2 , donde r1 ; r2 denotan el vector de posición de m1 y de m2 respecto al centro de masas, entonces r = r2 como R = 0 , tenemos que m1 r1 = m1 r1 ; m2 r2 = m2 r2 ; por lo tanto (85) (86) (87) m1 r1 + m2 r2 = k2 (r2 r1 ) k2 (r2 r1 ) , (88) así que después de algunas manipulaciones algebraicas podemos obtener lo siguiente r1 = m3 r k ( 2 ) 01 3 , 11 (89)

4 0 ) 0 . 1 0 M 2 (r1 )3 2 0 2 M 2 (r2 ) ^ ^ (94) { | { | p 1 3 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS r2 = k2 ( m3 r2 M 2 (r2 )3 (90) Esto corresponde a las aceleraciones de las masas m1 ; m2 relativas al centro de masa, por ende podemos conocer las respectivas posiciones en cualquier instante resolviendo las ecuaciones anteriores, pero nos encon- tramos con dos constantes de integración, las cuales no son conocidas, además no existe forma de determinarlas absolutamente, ya que ellas estan de…nidas respecto a un origen …jo en el espacio, por ello, debemos restringirnos a una solución para el movimiento relativo de una masa respecto de la otra. Entonces, no podemos encontrar una solución absoluta, es decir conocer la posición de cada masa en todo tiempo, debido al desconocimiento de c1 ; c2 surgidas de la integración de las ecuaciones de movimiento. Por lo tanto, si nos restringimos a considerar m1 en el origen del sistema de referencia, se obtiene r1 = k2 ( m3 r1 ) 0 = 0; (91) r = m3 r k ( 1 ) 02 3 , (92) la cual bajo algunas operaciones algebraicas obtenemos r = k2 M r3 r , (93) en consecuencia, el problema de dos cuerpos se redujo al problema de un cuerpo, ya que m2 es la masa que se mueve alrededor de m1 , esta expresión es la que nos permitirá determinar órbitas y paramétros. Bueno, solo que para algunos …nes es conveniente expresar esta expresión en términos de coordenadas cartesianas, la cual es (x^ + y^ + zk) = kM (x2 + y2 + z2 )1=2 (x^ + y^ + zk) . La solución de la ecuación anterior introduce doce constantes de integración, las cuales necesariamante se deben de …jar mediante las condiciones iniciales, pero ignorando el movimiento del centro de gravedad, se reduce el número a seis constantes de integración. Ahora bien, si conocemos la posición, es decir tres componentes de posición, y la velocidad, también tres componentes, se pueden encontrar las seis constantes de integración. Sin embargo, estas cantidades no están disponibles en aplicaciones astronómicas, para subsanar esto, se debe considerar las coordenadas geométricas de la masa durante al menos tres instantes diferentes y de allí deducirse las componentes de velocidad, esto quizá sea uno de los problemas de la teoría orbital[1][10]. 4.3 Integral de las áreas El movimiento relativo de m2 al rededor de m1 de forma estricta se considera como un movimiento bajo una fuerza central, por lo tanto la velocidad areal es constante, que según el tratamiento hecho anterior y siguiendo los desarrollos algebraicos convencionales, se puede expresar como 1 2 1 2 (yz (xz yz) = xz) = 1 2 1 2 c1 , c2 , (95) (96) 1 1 (xy xy) = c2 , (97) 2 2 donde h = c2 + c2 + c2 y si son dadas las cooordenadas iniciales y las componentes de velocidad, se pueden determinar las constantes. En lo mostrado anteriormente, se han ilustrado algunos elementos para la determinación matemática de las órbitas planetarias, la determinación de las constantes de movimiento, y los parámetros físicos relevantes, este 12

5 5 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica SERIE DE MOVIMIENTOS DE LA TIERRA esquema teórico, de forma sistemática se programa en un entorno computacional el cual permite determinar, de forma precisa las órbitas, y condiciones necesarias en el movimiento de los cuerpos celestes, hoy día procedimento rutinario en algunos centros, otrora trabajos de muchisimas horas. En lo que sigue se reportaran algunos fenoménos …sicos importantes, originados en el movimiento planetario, y cuyo fondo de estudio es la mecánica celeste[1][10]. Serie de movimientos de la Tierra Se conoce de investigaciones seguidas durante mucho tiempo, que la Tierra posee alrededor de catorce movimi- entos, a saber[7][8][9]: 1. Rotación Oeste-Este, la cual toma 23 horas, 56 minutos, su efecto es la sucesión de los días y las noches, para ser precisos, se de…ne el día solar medio como el promedio del día solar verdadero, que corresponde con el tiempo civil y que equivale a 86.400 segundos, unidad que actualmente se de…ne a partir de propiedades atómicas muy precisas, lo cual permite medir las diferencias con el día solar verdadero. Es así como se denomina día al lapso que tarda la Tierra desde que el Sol está en el punto más alto sobre el horizonte hasta que nuevamente vuelva a estar en la misma localización, esto no es más que una forma de medir el tiempo, además se sabe de la observación astronómica que dependiendo de la referencia que se use para medir la rotación terrestre, se puede hablar de tiempo solar o de tiempo sidéreo, el primero toma como referencia al Sol y el segundo toma como referencia a las estrellas. Es convencional considerar el "día" como día solar medio, base del tiempo civil, que se divide en 24 horas, de 60 minutos, de 60 segundos, y dura, por tanto, 86.400 segundos. El día sidéreo o día sideral es el lapso transcurrido entre dos culminaciones, o tránsitos, sucesivos del primer punto de Aries, o equinoccio Vernal. Se podría de…nir igualmente respecto al primer punto de Libra. El día sidéreo es 4 minutos más corto que el día solar medio. 2. Revolución Anual, la cual se da alrededor del Sol en 366.24 días siderales, como consecuencia tenemos la aberración de la luz, y el día solar se hace más largo que el sideral. El periodo de rotación de la Tierra es aproximadamente 24 horas ( exactamente 23.9344 h = 86.164 s = 1 día sidéreo) 3. Precesión de los Equinoccios, la cual toma 25.765 años aproximadamente, que corresponde a 50" de arco por año, esto trae como consecuencia que, el año trópico dure 20 minutos de arco menos que el año sideral, que los signos del zodíaco no tengan una posición …ja en las constelaciones y que los polos celestes cambien paulatinamente de posición. Se denomina año trópico o año tropical al tiempo preciso requerido para aumentar la longitud media del Sol en 360 grados sobre la eclíptica; es decir, en completar una vuelta completa. Su duración es de 365,242198 días de tiempo solar medio (365 días 5 h 48 m 45,9 s). Debido a la precesión de los equinoccios y a la nutación, este tiempo es distinto al que media entre dos pasos sucesivos del Sol por el equinoccio de primavera; es decir, entre dos pasos sucesivos por el llamado primer punto de Aries. Para comprender la diferencia con el año sidéreo se debe tener en cuenta la precesión de los equinoccios. Cuando se hace referencia a un equinoccio o a un solsticio, se habla del punto de la órbita terrestre en que el eje de rotación de la Tierra se alinea (solsticio) o se sitúa perpendicular (equinoccio) a la línea imaginaria Sol-Tierra. Resulta que ese eje, debido a la citada precesión de los equinoccios, da una vuelta sobre la perpendicular a la eclíptica en unos 26.000 años[11]. 4. Nutación, causada por atracción de la Luna, que toma 18 años, 8 meses, ocasionando que el valor de la precesión de los equinoccios sufra ciertas oscilaciones, al igual que la diferencia entre el año trópico y el sideral, como también el cambio en la oblícuidad de la eclíptica. 5. Rotación de la línea de los ápsides, o sea, de la línea perigeo-apogeo, en una cantidad de 11"5 por año, de tal forma que en 55.000 años se invierte esta línea, y que en 110.000 años vuelva a estar en su primitiva posición. Para este movimiento cada ápside se mani…esta describinedo una circunferencia en el espacio, cuyo diámetro es aproximadamente de 300 millones de kilómetros. 6. Disminución de la Oblicuidad de la Eclíptica, que toma 0.48" de arco cada año, este movimento hace como si la órbita terrestre girase alrededor de la línea de los equinoccios, acercándose al ecuador, pero sin confundirse con él, ya que cuando llega a la inclinación de 1.21 minutos de arco la inclinación nuevamente vuelve a crecer. 7. Perturbaciones Planetarias, estas son debido al cambio de posición de los planetas, produciendo variaciones en la fuerza de atracción que éstos ejercen sobre la Tierra. 13

6 6 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica VARIACIONES ORBITALES 8. Variación de la excentricidad de la órbita terrestre, dicha variación se veri…caen un periodo de 80.000 años, durante el cual la excentricidad pasa por un máximo de 0.02 y por un mínimo de 0.0003, actualmente el valor es de 0.01675 en descenso, calculándose que dentro de 24.000 años alcanzará el mínimo citado, y entonces la órbita de Tierra será casi circular, y a partir de esa época, se iniciará el proceso ascendente. 9. Desplazamiento del centro de gravedad del sistema solar, corresponde al centro determinado por el Sol y por las posiciones variables de los planetas, en torno del cual gira anualmente los planetas. 10. Movimiento mensual de la Tierra, se veri…ca el movimiento de la Tierra en torno del centro de gravedad del par Tierra-Luna, se sabe que el centro de gravedad está ochenta veces más cercano a la Tierra, que a la Luna. 11. Corrimiento de los polos terrestres, se da en forma espiral, y cuya amplitud no sobrepasa los 15 metros, el cual tiene su origen en la plasticidad del planeta, que tiene como consecuencia las ligeras variaciones en la latitud de todos los lugares del planeta. 12. Mareas de la corteza terrestre, consisten en el levantamiento del suelo dos veces por día en 30 cm a la latitud de 45 grados y en 50 cm en el ecuador. 13. Movimiento general de traslación del Sistema Solar, es decir del centro de gravedad del sistema, el cual se traslada hacia la estrella Vega de la Lira, a razón de 20 Km por segundo. 14. Movimiento general de traslación galáctico, el centro de gravedad del sistema galáctico también se traslada, el cual se desplaza hacia un punto de la constelación de Capricornio, a razón de 600 Km por segundo. Como podrá observarse, el movimiento real y completo de nuestro planeta, es bastante más complejo de lo que usualmente pensamos, pero como siempre sucede en muchas campos de la ciencia, sólo se consideran aprox- imaciones o simpli…caciones de un fenómeno o conjunto de fenómenos, para obtener resultados, o explicaciones coherentes como también predicciones que nos permitan profundizar en la comprensión de nuestro mundo físico, por ello no es muy frecuente encontrar teorías o desarrollos tecnológicos basados en esto que combinen todos los elementos anteriores en un único marco explicativo, es así como dependiendo del aspecto o interés partícular se tomará uno o más elementos de los considerados anteriormente. Por ello me parece de gran alcance, cómo pueblos primitivos podían determinar ciclos y fenómenos que con gran di…cultad hoy podemos determinar, por ejemplo la civilización maya, y posiblemente los olmecas, usaban tablas complejas para predecir acontecimientos celestes como por ejemplo los eclipses, las alineaciones planetarias, los equinoccios, etc, por ejemplo es notable, su capacidad para predecir alineaciones planetarias, lo cual requeria conocimientos de un orden diferente, se necesitaría haber conocido todo lo relacionado con la precesión de los equinoccios, cuyo problema principal es que es sumamente lenta, ya que tarda, como se mencionó, algo así como 25.765 años en completar un ciclo, el cual se puede determinar observando la posición del Sol en el equinoccio de primavera respecto a las estrellas del zodíaco, haciendo esto se descubre que la posición del Sol en el primer día de la primavera retrocede a través del zodíaco a un ritmo aproximado de un grado cada sesenta y dos años, entonces se debía contar con registros históricos para poder inferir este conocimiento, problema que los estudiosos han considerado y al que no le han dado una debida explicación. Variaciones Orbitales En esta sección y en las siguientes me referire, sin entrar en los detalles o la descripción completa, a algunos aspectos de interés partícular, como es la explicación de las eras glaciales, y de consideraciones climáticas, no obstante considerando que el sustento teórico de los mismos está basado en la descripción analítica rigurosa esquematizada anteriormente y en los estudios detallados que se han adelantado durante muchos años[1][6][7][8]. El Sistema Solar presenta perturbaciones mutuas entre los diferentes cuerpos que lo constituyen, en partícular la órbita terrestre se encuentra perturbada, es decir que los otros cuerpos afectan la estabilidad de la órbita, sus elementos y la foma de la misma, dichas modi…caciones tienen por su puesto sus consecuencias, conduciendo a lo que se conoce como variaciones o perturbaciones orbitales; entre los efectos producidos por ellas están, la aparición y desaparición de los períodos glaciales e interglaciales holocénicos (El Holoceno, del griego holos, todo, y kainos, reciente: la era totalmente reciente, una división de la escala temporal geológica, es la última y actual época geológica del período Cuaternario. Comprende los últimos 11.784 años, desde el …n de la última glaciación. Es un período interglaciar en el que la temperatura se hizo más suave y la capa de hielo se derritió, lo que provocó un ascenso en el nivel del mar. Esto hizo que Indonesia, Japón y Taiwán se separaran de Asia; Gran 14

6 6.1 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica VARIACIONES ORBITALES Bretaña, de la Europa continental y Nueva Guinea y Tasmania, de Australia. Además, produjo la formación del estrecho de Bering)[11]. Si bien la luminosidad solar se mantiene prácticamente constante a lo largo de millones de años, no ocurre lo mismo con la órbita terrestre. Ésta oscila periódicamente, haciendo que la cantidad media de radiación que recibe cada hemisferio ‡uctúe a lo largo del tiempo. Son éstas variaciones las que provocan las pulsaciones o cambios glaciares llevando a veranos e inviernos de largo período. Son los llamados períodos glaciales e interglaciales. Hay que tener en cuenta varios factores que contribuyen a modi…car las características órbitales haciendo que la insolación media en uno y otro hemisferio varíe aunque no lo haga el ‡ujo de radiación global. La excentricidad, la inclinación axial, y la precesión de la órbita de la Tierra varía en el transcurso del tiempo produciendo las glaciaciones del Cuaternario cada 100.000 años. El eje de la Tierra completa su ciclo de precesión cada 25.765 años. Al mismo tiempo el eje mayor de la órbita de la Tierra gira, en unos 22.000 años. Además, la inclinación del eje de la Tierra cambia entre 22,1 grados a 24,5 grados en un ciclo de 41.000 años. El eje de la Tierra tiene ahora una inclinación de 23,5o respecto a la normal del plano de la eclíptica. Precesión de los equinoccios La precesión de los equinoccios es el cambio en la dirección del eje de giro terrestre, más o menos dura 25.765 años alrededor del eje de la eclíptica. En 1842 el matemático francés Joseph Adémar postuló que la precesión del eje terrestre llevaría a una precesión de los equinoccios y solsticios que los harían desplazarse a lo largo de la órbita coincidiendo unas veces cerca del afelio y otras del perihelio. Esto es debido a que el cambio en la dirección del eje de rotación causa una variación del punto Aries o corte del ecuador y la eclíptica y por tanto cambia el inicio de la primavera y en consecuencia el ángulo que forma con la línea de los ápsides, lo cual tiene incidencia en el momento en que la Tierra en su traslación alrededor del Sol alcanza el perihelio y el afelio. Adémar pensó que esto explicaría la última glaciación que terminó hace 10.000 años. Cuando el punto Aries se alinea con la dirección de la línea de los ápsides de la órbita de la Tierra (perihelio), un hemisferio tendrá una diferencia mayor entre las estaciones mientras el otro hemisferio tendrá las estaciones más benignas. El hemisferio que está en verano en el perihelio recibirá un aumento en la radiación solar, pero ese mismo hemisferio estará en invierno en el afelio y tendrá un invierno más frío. El otro hemisferio tendrá un invierno relativamente más caluroso y el verano más fresco. Cuando el punto Aries es perpendicular a la línea de los ápsides los hemisferios norte y sur tendrán los contrastes similares en las estaciones. En la actualidad el verano del hemisferio sur ocurre durante el perihelio y su invierno durante el afelio. Así las estaciones del hemisferio sur deben tender a ser algo más extremas que las estaciones del hemisferio norte. Este efecto queda en parte compensado por el hecho de que el norte tiene más Tierra y el sur mucho más océano y es conocido que el efecto del mar es suavizar las máximas y elevar las mínimas[7][8][9][11]. 6.2 Excentricidad órbital Un factor importante