LO NUMÉRICO Y LO ARITMÉTICO
¿Qué propiedades de los números se conservan y/o se modifican al cambiar de conjunto numérico? ¿Y las propiedades de las operaciones? ¿Cómo se vincula la relación de divisibilidad en Z con la resolución de ecuaciones? ¿Cuál es el alcance de la relación de divisibilidad? ¿Qué significa “a dividido b” en cada conjunto numérico? ¿Cómo se cuentan los elementos de una colección? ¿Qué camino permite ir de lo finito a lo infinito? ¿Cómo se construyen propiedades generales de los números y de ciertas operaciones? ¿Cómo hacer más accesibles estos objetos a través de un método más general?
LO PROBABILISTICO Y LO ESTADISTICO
¿Cuáles son las diferencias entre un experimento aleatorio y un experimento determinístico? ¿Cómo se cuantifica la posibilidad de que ocurra un evento aleatorio? ¿Cómo se modelizan situaciones dónde interviene la aleatoriedad? ¿Cómo se describe estadísticamente un conjunto de datos? ¿Cómo obtener información sobre las características de una población basándose en una muestra? ¿Existe relación causal o asociación entre las variables en estudio? ¿Cuál es la variable que mejor explica a otra? ¿Cómo se puede predecir el valor de una variable bajo condiciones de incertidumbre?
LO ALGEBRAICO
¿Qué significa resolver la ecuación A1x1 + A2x2 + … + Anxn = 0? o un sistema de ecuaciones de ese tipo para coeficientes en determinados conjuntos? ¿Qué propiedades e interpretación geométrica tiene el conjunto solución? ¿Cómo optimizar funciones sujetas a restricciones dadas por inecuaciones lineales? ¿Qué significa resolver P(x) = 0, siendo P un polinomio? ¿Cómo se relaciona la factorización de un polinomio con la resolución de ecuaciones polinómicas? ¿Cómo reconocer cónicas o cuádricas dadas por ecuaciones polinómicas? ¿Qué propiedades tienen las operaciones definidas en un conjunto? ¿Qué caracterizaciones de los conjuntos son posibles a partir de las propiedades de sus operaciones? ¿Cómo se relacionan las estructuras algebraicas?
Algunos vínculos entre núcleos Estudio de las estructuras algebraicas definidas por algunas isometrías con la operación composición (Geo-Alg) Caracterización del conjunto de los números construibles, estudio de los conjuntos numéricos incluidos en este conjunto y explicitación de un número construible a partir del álgebra de los polinomios. (Geo-Num y Arit) Cálculo de probabilidades geométricas y cálculo de áreas de figuras geométricas. (Geo-Alg-Ana- Prob y Est) La construcción de la tabla de la normal – desarrollos en serie de potencias y teorema fundamental del Cálculo (Prob y Est -Ana). Uso de matrices para obtener las expresiones canónicas de cónicas y cuádricas (Geo-Alg) Posibilidad o no de realizar construcciones con regla y compás (Geo-Alg) Soluciones aproximadas de una ecuación (Ana-Alg) Las estructuras algebraicas y los conjuntos numéricos y las operaciones definidas en ellos (Alg- Num y Arit)
Entrada a distintos núcleos Núcleo: Lo Geométrico Núcleo: Lo Analítico Núcleo: Lo Aritmético y Lo Numérico Núcleo: Lo Algebraico Núcleo: Lo Probabilístico y Estadístico
LO INVARIANTE
¿Qué propiedades y/o elementos son invariantes bajo ciertas condiciones? ¿Qué invariancias o regularidades caracterizan los diferentes objeto? LO CONSTRUIBLE
¿Qué figuras y lugares geométricos son construibles a partir de distintos instrumentos?
LO ANALÍTICO- LO SINTÉTICO
¿Qué diferentes conocimientos geométricos (nociones, propiedades, representaciones) sobre los objetos proporciona uno y otro método? Lo Geométrico
Transformaciones Figuras y lugares geométricos
Lo euclídeo
LO INVARIANTE
LO CONSTRUIBLE
LO ANALÍTICO- LO SINTÉTICO Lo Geométrico Instrumentos
El uso de los distintos instrumentos para construir figuras planas y tridimensionales y lugares geométricos. Relación de los distintos instrumentos con las propiedades que se mantienen invariantes en la construcción. Estudio de las restricciones teóricas que imponen los distintos instrumentos y de las Geometrías que se elaboran a partir de estas restricciones Estudio de problemas de construcción de la Geometría sintética que permiten responderse a partir de los aportes de la Geometría analítica.
Estudio de las propiedades geométricas que se mantienen invariantes en las figuras planas y tridimensionales a partir de la aplicación de semejanzas e isometrías. Estudio de la posibilidad de construcción de figuras y lugares geométricos con distintos instrumentos. Discusión sobre el perímetro, área y volumen de figuras y lugares geométricos. Estudio de las curvas clásicas (cónicas, cicloide, lemniscata, espirales, …) y de las cuádricas. Estudio y caracterización de algunos fractales. Aproximación a las figuras y lugares geométricos desde los puntos de vista sintético y analítico. Propiedades y construcción de las figuras y lugares geométricos, vinculación entre ellas.
Análisis de propiedades que se mantienen invariantes bajo transformaciones proyectivas, afines, isometrías, semejanzas e inversión.
Estudio de conceptos relacionados con la invariancia (por ejemplo razón cruzada en el espacio proyectivo y longitud en el espacio euclídeo).
Caracterización de transformaciones semejantes e isométricas a partir de la relación entre un elemento y su transformado. Estudio de las transformaciones isométricas desde lo sintético y lo analítico
Las propiedades invariantes del espacio euclídeo con relación al V postulado. La vinculación del V postulado con la construcción de las Geometrías no euclídeas. Estudio de problemas de la geometría euclídea desde los métodos sintético y analítico. La importancia del sistema axiomático euclídeo para la organización y comunicación de los conocimientos geométricos
Exploración y elaboración de conjeturas sobre los objetos geométricos. Análisis del dominio de validez de las conjeturas. Uso flexible del lenguaje (coloquial, gráfico, algebraico) y su doble función. Reflexión sobre los objetos geométricos mediante el uso de figuras de análisis. Uso de instrumentos. Reflexión sobre el papel de éstos en el hacer geométrico. Discusión sobre la dualidad construcción física o teórica. Uso flexible de los métodos analítico y sintético analizando la conveniencia de cada uno en la resolución de problemas geométricos. Recursos tecnológicos: lápiz y papel, instrumentos clásicos de Geometría (compás, regla, escuadra, transportador), instrumentos mecánicos, softwares, entre otros. Software de Geometría dinámica y software que conecta interactivamente representaciones algebraicas, geométricas y numéricas.
Lo Geométrico En relación con la comunicación, los usos y la finalidad de “Lo Geométrico”
Objetivos Elaborar criterios que permitan llevar adelante un estudio matemático de los conocimientos vinculados a los procesos de construcción de figuras y lugares geométricos. Reflexionar sobre las potencialidades de las tareas de construcción para abordar el estudio de las relaciones matemáticas presentes en los objetos geométricos. Reconocer las vinculaciones entre las distintas Geometrías a partir del conocimiento de las propiedades que se mantienen invariantes respecto de las diferentes transformaciones. Identificar los diferentes conocimientos que proporcionan los métodos sintético y analítico en el estudio de los objetos geométricos. Lo Geométrico
Analizar las potencialidades y limitaciones de los métodos sintético y analítico en la resolución de un problema. Elaborar y utilizar modelos involucrando conocimientos geométricos que resulten adecuados para interpretar sistemas matemáticos y no matemáticos. Elaborar criterios que le permitan diferenciar aspectos propios de la Geometría, respecto de otros dominios de la Matemática, como ser los modos de validación en Geometría, los diferentes registros de representación, los métodos o procedimientos aceptados.
Lo Geométrico
Experiencias sugeridas para desarrollar durante la formación inicial Los estudiantes: exploran los problemas de construcción recurriendo a diferentes instrumentos (elementos de Geometría, software de Geometría dinámica) o a mano alzada. Conjeturan propiedades y validan sus conjeturas desplegando diferentes relaciones geométricas. abordan situaciones problemáticas elaborando figuras de análisis como herramienta para visualizar las relaciones que sería necesario poner en juego para desarrollar una construcción. abordan problemas geométricos con herramientas proporcionadas por los métodos sintéticos y analíticos, discutiendo en colectivo la pertinencia y limitaciones de cada uno en cada problema particular. Lo Geométrico
estudian la historia analizando los problemas que se constituyeron en motores de avance del conocimiento geométrico (por ejemplo, la discusión en torno al quinto postulado, la imposibilidad de construcción con regla y compás de los problemas clásicos, la organización de las geometrías en términos de grupos de transformaciones cuyos invariantes se buscan) y las nuevas herramientas matemáticas (objetos matemáticos y sistemas de representación) que posibilitaron esos avances. realizan lecturas críticas de textos de Geometría de nivel superior comparando el lenguaje utilizado, las propiedades consideradas como punto de partida, el uso de figuras de análisis, la equivalencia de definiciones, entre otros.
Lo Geométrico
CRITERIOS PARA RECONOCER AVANCES EN LA COMPRENSIÓN DE LOS CONTENIDOS Nivel I: Al promediar la formación inicial Nivel II: Al finalizar la formación Inicial Nivel III: En los primeros años de desempeño profesional Lo Geométrico Explora, conjetura, valida y demuestra propiedades de las figuras geométricas a partir de problemas de construcción mediante el uso de distintos instrumentos.
Analiza demostraciones de una misma propiedad identificando los distintos conocimientos desplegados y los supuestos asumidos por la comunidad de la clase y/o por la comunidad matemática.
Produce e interpreta demostraciones a partir de diferentes conocimientos desplegados y supuestos asumidos.
Analiza críticamente desde los puntos de vista matemático y didáctico diferentes tareas que permitan abordar en el aula la exploración, la generación de conjeturas, la validación, el tratamiento de las definiciones y propiedades de las figuras y lugares geométricos. Genera consensos en el aula con referencia a los modos de validación en Geometría, las diferentes representaciones, los métodos o procedimientos aceptados, entre otros, teniendo como referencia los acuerdos convenidos en el seno de la comunidad matemática y los conocimientos de esa clase.
LO VARIACIONAL ¿De qué modo describir matemáticamente la variación de los procesos que modelizan el mundo físico y material? ¿Cómo obtener información de procesos variacionales que permita describirlos, estimar magnitudes, optimizar procesos y predecir comportamientos?
LO LINEAL PARA APROXIMAR LO NO LINEAL ¿Cómo aproximar linealmente funciones? ¿Cómo expresar analíticamente razones de cambio? ¿Cómo optimizar procesos? ¿Cómo estimar áreas y volúmenes?
LO INFINITAMENTE GRANDE O PEQUEÑO ¿Cómo precisar la noción de tendencia? ¿Qué caracteriza al conjunto de números reales y lo distingue del conjunto de los números racionales? ¿Qué precisiones matemáticas se requieren para formalizar el Análisis?
Lo Analítico
Nociones físicas, geométricas y de optimización Elementos para fundamentar el Análisis
Las funciones, sus representaciones y su estudio
LO VARIACIONAL
LO LINEAL PARA APROXIMAR LO NO LINEAL
LO INFINITAMENTE PEQUEÑO O GRANDE Lo Analítico Métodos exactos y aproximados del Análisis
Estudio matemático de nociones físicas, geométricas y de optimización (ondas, flujo del calor, velocidad, centros de gravedad, aceleración, problemas de máximos y mínimos, recta y plano tangente, etc.)
Superficies orientadas, trayectorias. Recta tangente a una curva y plano tangente a una superficie. Derivadas. Diferencial. Hessiano. Multiplicadores de Lagrange. Gradiente. Rotor. Integración en una y varias variables, cálculos de longitudes de curvas. Ecuaciones diferenciales. Series de potencia, Series de Fourier, Complejos. Funciones complejas, etc.
Las funciones: sus representaciones y su estudio
Funciones elementales de una y de varias variables. Tipos de funciones. Coordenadas: cartesianas, polares, etc. Funciones vectoriales. Funciones complejas (holomorfas) Función implícita. Comportamientos funcionales, distintos elementos para su análisis (ceros/máximos/inflexión/punto silla, asíntotas, continuidad, etc.). Resolución de ecuaciones. Proceso inverso y funciones inversas.
Elementos para fundamentar el Análisis
Teoría de conjuntos. Paradojas del infinito. Noción de sucesiones. Límite funcional. Series. Concepto de número real y conjunto de los números reales: construcción, expresión decimal. Completitud. Sucesiones de Cauchy. Tipos de infinito (numerabilidad y no numerabilidad). El concepto de función como terna funcional.
Métricas. Generalizaciones de conceptos y resultados a espacios métricos y topológicos.
Métodos exactos y aproximados del Análisis
Aproximación de funciones mediante polinomios y mediante polinómicas a trozos. Recta y plano tangente. Fórmula de Taylor. Estudio de cotas de errores. Integración: métodos exactos y aproximaciones numéricas. Controles del error Volúmenes de sólidos y volúmenes de revolución. Vínculo entre derivación e integración. Resolución numérica de ecuaciones. Métodos (bisección, Newton, etc.) y análisis de convergencia.
Pensamiento variacional. Pensamiento aritmético-algebraico-funcional Tratamiento de las igualdades Procesos de modelización matemática. Método de resolución de problemas: Heurístico – Dialéctico- Aproximaciones analíticas y geométricas- Métodos numéricos y su potencialidad para resolver problemas que no admiten solución exacta. Utilidad de elementos analíticos para superar el enfoque geométrico. estudio de problemas de optimización uso flexible de las formas de representar los procesos variacionales: verbal (coloquial), visual, numérica y algebraicamente. Argumentación, validación. Sistemas de representación gráfica de funciones (coordenadas polares, cartesianas, etc.). Cambios de coordenadas. Parametrizaciones. Gráficos de curvas y superficies. Recursos Tecnológicos: graficadores, planillas de cálculo, procesadores simbólicos, sistemas y plataformas informáticas.
Lo Analítico En relación con la comunicación, los usos y la finalidad de “Lo Analítico”
Objetivos Modelizar matemáticamente procesos variacionales con descripciones simplificadas de los fenómenos de la realidad. Utilizar modelos matemáticos para estudiar fenómenos, anticipar comportamientos variables, entre otros. Utilizar la intuición proveniente de los modelos físicos como medio para formalizar definiciones y teoremas e interpretar resultados. Conocer desarrollos históricos de distintas nociones del Análisis. Utilizar métodos numéricos como herramienta para proponer soluciones aproximadas a problemas. Comprender las razones del funcionamiento de los métodos, compararlos y explicarlos. Comprender los conceptos y propiedades que permiten fundamentar el Análisis.
Lo Analítico
Los estudiantes
Realizan rastreos históricos de nociones matemáticas para identificar problemas que dieron origen a las nociones en cuestión. Se identifican posibles fuentes de dificultades y se estudia la conveniencia de propuestas didácticas que recuperen antiguos sentidos. Se enfrentan con la resolución de problemas, elaboran acercamientos, buscan información en textos de nivel superior, sintetizan información, la explican oralmente, retoman la actividad con herramientas matemáticas apropiadas y analizan la actividad matemática puesta en juego. Modelizan situaciones reconociendo que hipótesis adicionan, que variables descartan, cómo es el planteo del problema matemático, lo resuelve, verifican la solución, reformulan el modelo si es necesario. Exploran con graficadoras el comportamiento de funciones desconocidas, planteando conjeturas sobre su comportamiento para luego abordarlas con herramientas matemáticas. …. Experiencias sugeridas para desarrollar durante la formación inicial Lo Analítico
CRITERIOS PARA RECONOCER AVANCES EN LA COMPRENSIÓN DE LOS CONTENIDOS Nivel I: Al promediar la formación inicial Nivel II: Al finalizar la formación Inicial Nivel III: En los primeros años de desempeño profesional LO ANALÍTICO
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