– identificar una función en cualquiera de sus posibles sistemas de representación; – representarla en aquellos sistemas que resulten más pertinentes en cada caso; – saber pasarla –“traducirla”– de cada sistema a los demás. Ya nos hemos referido a las dos primeras competencias. Vamos a trabajar ahora con la tercera; primero formulamos una lista de enunciados para que el (la) lector(a) intente resolver cada tarea individualmente; y después podrá confrontar su resolución con la que se propone en el texto a continuación. También iremos intercalando algunos comentarios que considera- mos de utilidad con el fin de profundizar en el conocimiento de las funciones.
a) Forme la tabla de valores (o el diagrama de Venn) correspondiente a la consigna “ser la capital de” aplicada a los 20 países hispanoparlantes del continente americano. b)Formelatabladevalores(oeldiagramadeVenn)correspondientealaconsigna“pertene- ceralcontinente”aplicadaalossiguientespaíses:{PuertoRico,Myanmar,Moldavia,Nueva Zelanda, Bangladesh, Burkina Faso, Australia, Chile, Kenia, Vietnam, Egipto, Eslovenia, Fili- pinas, Canadá, Islandia} y continentes:{África, América, Asia, Europa, Oceanía}. c) Forme la tabla de valores correspondientes a la consigna “ser el triple de…, más 5 uni- dades”, aplicada a los diez primeros números naturales. d) Formule la consigna correspondiente a la función que se representa mediante la si- guiente tabla de valores:
e) Formule la consigna correspondiente a la función que se representa mediante la si- guiente tabla de valores numéricos:
f) Escriba la fórmula de f (n) correspondiente a la tabla anterior. g) Escriba la fórmula de f (n) correspondiente a la tabla siguiente (derivada de la anterior):
h) Construya la tabla de valores para los 4 primeros elementos correspondientes a la función: f (n) = , n = 1, 2, 3,… i) A partir de la regla “un metro de tela cuesta 30 pesos”, construya una tabla de valores para seis medidas de la tela, una fórmula que represente la función (utilizamos c para los costos y m para las medidas) y, posteriormente, una gráfica cartesiana de la función. j) Apartir de la regla “un cuaderno cuesta 20 pesos”, construya la gráfica cartesiana de la función. k) Un camión de mudanzas cobra 30 pe- sos por alquiler y, posteriormente, por el tiempo de trabajo hasta que se vacíe el camión, a razón de 60 pesos por hora. Represente gráficamente la función y calcule el costo de una mudanza que dura 4 horas y 40 minutos. l) Elabore una tabla de valores y una grá- fica cartesiana para representar la fun- ción “porcentaje a pagar como impues- to por los ingresos anuales” que se rige por la siguiente regla: Si la persona gana menos de 20.000 pesos al año, no paga nada; si gana desde 20.000 hasta menos de 50.000, paga un porcentaje del 5% de su ingreso; desde 50.000 hasta menos de 100.000, el 10%; desde 100.000 has- ta menos de 250.000, el 20%; y si gana desde 250.000 en adelante, el 30%. m) Dibuje una gráfica cartesiana para representar el costo de una llamada te- lefónica si el acceso a la línea cuesta 0,5 pesos y cada minuto de conversación cuesta un peso. n) Para efectos de asignación de la tasa de pago por el servicio de recogida de la basura, las ciudades suelen estar dividi- das en sectores caracterizados habitual- mente por la condición socioeconómica
17
de sus moradores. Suponga que la ciudad M se considera dis- tribuida en 8 sectores (del sector A al H) y que los dos primeros cancelan la tasa 1, los tres siguientes la tasa 2, y los tres últimos la tasa 3. Represente esta función. ñ) Exprese una regla o consigna que corresponda a la siguiente representación gráfica: gente se me quedaba mirando al pasar tan apresurada; sólo pude aflojar la marcha al final y llegué muy cansada. 1. ¿A qué día corresponde cada una de las gráficas? 2. ¿Qué historia podría contar la protagonista, correspondiente a la gráfica que ha quedado libre?
[El ejercicio es una adaptación del primero que se encuentra en esta dirección: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/02/actipre. html ]
p) Un comerciante dispone de azúcar de diferentes precios: 100 kg cuyo costo es de 5 pesos/kg, 60 kg cuyo costo es de 8 pesos/ kg y 40 kg cuyo costo es de 4 pesos/kg. Si se mezclan todas estas cantidades, ¿cuál debe ser el precio del kilogramo de mezcla?
q) Un reloj adelanta 12 segundos cada hora. Si lo hemos ajusta- do hoy a las 6 a.m., ¿qué hora marcará mañana a las 9:30 p.m.? o) Las cuatro figuras que siguen representan cuatro situaciones correspondientes a una misma persona que se desplaza de su casa al trabajo en cuatro días distintos. En los cuatro días tarda el mismo tiempo (t) en recorrer la misma distancia (d). Pero la caminata de cada día tiene una historia diferente; he aquí tres de esas historias, contadas por la propia protagonista: Día x: Hoy amanecí con flojera y salí caminando con mucha calma, pero a mitad de camino miré el reloj y me di cuenta de que a ese paso iba a llegar tarde así que, progresivamente, fui acelerando la marcha y llegué casi a la carrera.
Día y: Hoy salí muy acelerada y, claro, al poco tiempo tuve que descansar durante un rato y recobrar la respiración. Luego em- pecé a caminar muy suave, acelerando poco a poco; pero como vi que ya me sentía bien, agarré la marcha inicial y sólo la aflojé hacia el final del recorrido, tanto, que llegué andando muy des- pacio.
Día z: Hoy sí amanecí bien distraída, porque al ratico de salir me acordé que había olvidado las llaves de mi lugar de trabajo, así que tuve que volver rápidamente a la casa a recogerlas. El resto del recorrido es fácil imaginarlo: casi a la carrera, tanto, que la
18 d t fig. 1 d t fig. 2 d t fig. 3 d t fig. 4
He aquí algunas respuestas a los ejercicios planteados y algunos comentarios intercalados:
a) Este es un caso de traducción de una representación verbal a una en forma de tabla o diagrama de Venn. La tabla es bastante amplia, y sólo representaremos los dos primeros y los dos últimos países en orden alfabético:
Obsérvese que el conjunto de los 20 países forma el conjunto de partida o dominio de la función, y el conjunto de las 20 capitales, el codominio y también el rango de la función.
b) Este es otro caso de traducción de una representación verbal a una en forma de tabla o diagrama de Venn pero, a diferencia del ejemplo anterior, ahora se precisa nombrar explícitamente los elementos de los conjuntos de partida y de llegada. La tabla de valores puede representarse así (análogamente el diagrama):
c) Sigue siendo otro caso de traducción de una representación verbal a una en forma de tabla, sólo que la consigna es de naturaleza operatoria con números naturales. d) Este ejercicio nos pide pasar de la represen- tación tabular a la verbal, en forma de consig- na o regla que establece la correspondencia entre el conjunto de partida (los ríos citados) y el de llegada (los cinco continentes). La consigna puede ser “pertenecer al continen- te”. Obsérvese que aunque no se menciona ningún río de Oceanía, la consigna represen- ta una verdadera función: cada río nombrado pertenece a un solo continente.
e) La regla puede enunciarse así: “elevar al cuadrado y agregar 1 unidad”, aplica- da a los 9 primeros números naturales.
f) La fórmula de la función es: f (n) = n 2 + 1, Dominio = {0, 1, 2,…, 8}
g) La fórmula ahora es: f (n) = v (n – 1), Dominio = {1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65}
19
Comentario 2 La resolución de los ejercicios anteriores nos sugiere volver a insistir en la necesidad de definir con precisión el dominio de cualquier función, como ya se hizo anteriormen- te, en el Comentario 1. Por ejemplo, en el ejercicio d), referido a la pertenencia continen- tal de determinados ríos, la precisión del dominio es fundamental, pues si la consigna se refiriera a todos los ríos del mundo, es posible que haya algún(os) río(s) que transite(n) tanto por tierras europeas como asiáticas, en cuyo caso la consigna ya no representaría una función (¿por qué?). En cambio, si el dominio se restringe a los ríos de África, América y Oceanía, la consigna de pertenencia continental sí representa una función. Análogamente, en los ejercicios f ) y g ) la precisión del dominio es necesaria para ajus- tarse a la tabla de valores de la que se parte; desde luego, esa restricción no impide que ambas funciones –las fórmulas– puedan extenderse a más valores y que, incluso, puedan aplicarse a cualquier número natural. Pero, en este caso, esta extensión debe indicarse en el dominio de la función. Moraleja: una función no queda totalmente definida –así se adelante su fórmula– hasta que se haya indicado su dominio.
h) La tabla de valores es:
i) Vamos con la primera tarea; he aquí una tabla de valores (costos en pesos) para ciertas medidas (en metros) de la tela:
¡Sorpresa! La tabla anterior representa, sencillamente, un caso de proporcionalidad direc- ta (Cuaderno nº 11) entre las variables medida y costo de la tela; precisamente, el valor de 30 pesos/m expresa la razón de esta proporcionalidad directa: cada valor de la variable dependiente se obtiene multiplicando por 30 el valor de la correspondiente medida de la tela. De aquí se deduce que la fórmula que representa esta función será: c (m) = 30m, o bien, sencillamente, c = 30m. Para construir la gráfica cartesiana, colocamos los valores de medida en el eje de abscisas y los correspondientes valores de los costos, en el de ordenadas:
20 En la gráfica, las ordenadas correspon- dientes a cada valor de la abscisa vienen señaladas por los extremos superiores de las flechas verticales. Esos puntos están todos alineados entre sí y con el origen (el punto 0 de medida y 0 de costo), lo que nos sugiere trazar una línea recta que pase por todos ellos. El resultado de este trazado se muestra en la figura siguiente:
Obsérvese que los pares de puntos abscisa-ordenada que aparecen en la tabla de valores están todos incluidos en la recta que representa la función. ¿Por qué hemos podido dibujar una rec-
ta continua, y no sólo esos seis puntos? Porque la variable independiente “medida” es una variable continua: en principio, es posible comprar cualquier cantidad de tela y, de he- cho, siempre se puede calcular el precio de esa cantidad; es decir, para cualquier valor de la variable independiente (para cualquier abscisa, más allá incluso del valor 6) se puede calcular el correspondiente valor de la variable dependiente (la ordenada correspondien- te), lo que marca un punto de la recta que representa la función.
Comentario 3 Cabe destacar que las funciones que responden a situaciones de proporcionalidad directa tienen la forma f (x) = mx, donde m representa, precisamente, la razón de pro- porcionalidad directa de cada caso. Y hemos visto que, si la variable independiente es continua, su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas. También podemos inferir que, si conservamos la distribución de los valores de las varia- bles en sus respectivos ejes, cuanto mayor sea el valor de m, la recta tenderá a acercarse a una recta vertical. Por ejemplo, imaginemos que estamos hablando de una tela más cara, cuyo precio sea de 180 pesos/metro; a la abscisa 1 metro le correspondería una ordenada de 180 pesos; y al unir este punto con el origen se nos dibujaría una recta casi perpendi- cular al eje de abscisas. Por esta razón, m recibe el nombre de pendiente de la recta, como si se tratara de la pendiente o inclinación de la cuesta representada por la recta. Su cálculo es muy sencillo: se toman dos puntos de la recta y se divide la diferencia de sus ordenadas entre la diferencia de sus abscisas.
Comentario 4 El (La) lector(a) avispado(a) ya se habrá percatado de que los ejercicios f ), g) y h) son similares a los propuestos en el Cuaderno nº 19 (Introducción al Álgebra) cuando se ha- blaba de la representación de patrones o términos generales de una sucesión de números; allá se buscaba la expresión del término general de tales sucesiones, que se designaba como an; y ahora podemos ver que en realidad –aunque sin mencionarlo explícitamente– estábamos hablando de funciones f (n). Además, el ejercicio i) nos muestra cómo la proporcionalidad directa puede entenderse también como la expresión de una función. Este par de observaciones nos permite asegurar que el estudio de las funciones repre- senta también una vía de acceso al Álgebra desde el campo de la Aritmética, ya que también la función se muestra como un modo de generalizar diversas relaciones que se dan en el campo de la Aritmética. j) El caso es similar al anterior, puesto que se trata también de una situación de proporcionalidad directa. Para llegar a la gráfica cartesiana resulta conveniente –aunque no se solicite explícitamente en el ejercicio– pasar por alguna tabla de valores y por la fórmula que representa la función. La tabla puede ser la siguiente (no se ne- cesitan muchos valores; de hecho, bas- tan dos; e incluso, uno solo que no sea el origen de coordenadas: ¿por qué?):
Y la fórmula correspondiente: c(n) = 20n (c representa el costo, y n el número de cuadernos). En cuanto a la gráfica, tam- bién será similar a la del ejercicio ante- rior, con una salvedad notable: ahora la variable independiente es discreta (el número de cuadernos sólo toma valores enteros), de modo que obtendremos la siguiente gráfica, formada sólo por pun- tos alineados entre sí y con el origen de coordenadas:
21
Comentario 5
Ahora podemos completar el conteni- do del Comentario 3. La función que hemos representado es c(t) = 30 + 60t. Pues bien, las funciones que tienen la forma general f(x) = mx + b, en la que m y b reciben el nombre de parámetros (habitualmente suelen ser números), y cuyas variables independientes son continuas, se denominan funciones lineales y su gráfica es una recta.
Si el parámetro b vale 0, estamos en el caso particular de las funciones que responden a situaciones de proporcio- nalidad directa f(x) = mx con variable independiente continua, cuya gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas, como ya vimos. Pero si b ? 0, la recta que representa la función lineal no pasa por el origen de coorde- nadas; es como si la hubiéramos “subi- do” toda ella. Ahora bien, ¿cuánto vale ese escalón de subida?; precisamente, el valor de b; por esta razón, este valor de b se denomina la ordenada en el origen.
Hay muchas situaciones en la vida en las que aparecen estas funciones linea- les. Por ejemplo, cuando en algunas ciudades tomamos un taxi: hay un costo inicial por disponer del carro; y después pagamos una cantidad variable (aun- que a una tasa fija), que depende de los metros recorridos o de los minutos de tiempo invertidos en el traslado (esta cuenta la suele llevar mecánicamente el taxímetro). k) Como en el ejercicio anterior, resulta procedente elaborar una tabla de valores y la fór- mula de la función, siendo las variables el tiempo t (independiente, en horas) y costo c de la mudanza (dependiente, en pesos). Para ello, tomamos algunos casos particulares:
Ya se ve cuál es la fórmula para calcular el costo c(t) = 30 + 60t, en la que t debe estar indicada en horas (admite expresiones decimales o fraccionarias). Una tabla de valores puede ser la siguiente:
Para construir la gráfica cartesiana correspondiente, empezamos por representar los pun- tos anteriores; pero como la variable independiente es continua (la mudanza puede durar cualquier cantidad de tiempo, y no sólo un número entero de horas), ya sabemos por adelantado que la gráfica será una lí- nea también continua. Finalmente, para calcular el costo de una mudanza que dura 4 horas y 40 minutos, podemos tomar como referencia que cada minuto cuesta 1 peso (1 hora cuesta 60 pesos), con lo cual el costo total será: 30 (alquiler del camión) + 240 (4 horas) + 40 (40 minutos) = 310 pesos. También pode- mos aplicar directamente la fórmula de la función para el valor t = 4 2/3 (40 minutos equivalen a 2/3 de 1 hora); y así: c(4 2/3) = 30 + 60 x 4 2/3 = 30 + 60 x 14/3 = 30 + 840/3 = 30 + 280 = 310 pesos.
22
l) Esta vez la tabla de valores puede hacerse no para valores aislados de ingreso anual de una persona, sino por intervalos de este ingreso:
La gráfica cartesiana, en la que los ingresos actúan como variable independiente y la tasa de porcentaje como variable dependiente, sería así:
Comentario 6 Las funciones que vienen representadas por gráficas como ésta reciben el nombre de fun- ciones escalonadas. Como se ve, corresponden a funciones cuyo dominio viene dado por intervalos de valores de la variable independiente, que se considera continua. Cabe observar que hay diversas situaciones de la vida diaria que encajan en el modelo de funciones escalonadas; por ejemplo, las que corresponden al pago de servicios públicos tales como la luz (de acuerdo con el consumo de Kwh), el agua (en función de la cantidad de m3 consumidos), etc.
m) La representación de la función “costo de una llamada telefónica” en las condiciones indicadas, supone una tarea que integra las situaciones contempladas en los ejercicios k) y l). En efecto, existe un pago previo al consumo de tiempo, más un costo en función de los minutos que dure la lla- mada, entendiéndose que toda fracción de minuto se cobra igual que si fuera el minuto completo. La gráfica puede ser ésta (c para el costo en pesos y t para el tiempo en minutos:
Como se puede apreciar, es una función escalonada, pero con una “ordenada en el origen”, que en este caso es 1,5. También aquí cabe recordar que hay si- tuaciones de la vida diaria que encajan en este modelo de función. Por ejemplo, el envío de encomiendas: una tasa fija por pago del servicio de correo, más una tarifa según intervalos de peso o de ta- maño de la encomienda; o con el pago acumulado del alquiler de una vivienda o de un local: un pago fijo por motivo de depósito o fianza, más el pago mensual del canon de alquiler por el tiempo que dure el contrato.
23
2.Lahistoriapuedesermásomenosésta: Hoy también salí de casa muy acelerada, pero una miradita al reloj al llegar a la mitad del camino me hizo ver que anda- ba holgada de tiempo, así que empecé a bajar la marcha poco a poco y llegué a un paso constante pero reposado.
p) El precio del kilogramo de mezcla se calcula dividiendo el costo total de la mercancía entre el número total de ki- logramos, que es 200 kg. Ahora bien, el costo total de la mercancía se obtiene mediante la suma de los costos de los di- versos tipos de azúcar; así, los 100 kg a 5 pesos/kg cuestan 500 pesos; los 60 kg a 8 pesos/kg cuestan 480 pesos; y los 40 kg a 4 pesos/kg cuestan 160 pesos; el costo total es, pues, de 1.140 pesos. Por consi- guiente, el precio del kilogramo de mez- cla será de 1.140/200 = 5,70 pesos/kg.
q) El enunciado nos dice que pasada 1 hora, se habrá adelantado en 12 segun- dos; pasadas 2 horas, en 24 s, etc. Evi- dentemente, estamos en presencia de una relación de proporcionalidad direc- ta entre las variables “número de horas transcurridas” (n, independiente y conti- nua, ya que puede hablarse de cualquier fracción decimal de una hora) y “adelan- to” (a, dependiente, continua y medida en segundos). La fórmula del caso es: a = 12n. Según los datos del enunciado, el valor de n es de 39,5 horas (verifíquelo); por consiguiente, el reloj habrá acumu- lado un adelanto a = 12 x 39,5 = 474 segundos = 7 minutos y 54 segundos. El reloj marcará las 9h 37m y 54 s. n) En este caso, la variable independiente es discreta (hay 8 sectores en la ciudad) y no numérica. Por consiguiente, resulta más procedente representar la función mediante un diagrama de Venn o una tabla de valores; esta última podría ser así:
Comentario 7 El caso analizado en el ejercicio anterior puede ser considerado como una clasificación: los distintos valores de la variable independiente se organizan en clases, a cada una de las cuales se les asigna un valor de la variable dependiente, bien con una tasa o, de manera general, con un nombre o etiqueta. Así funciona, por ejemplo, la clasificación de los seres en alguno de los tres reinos: mineral, vegetal o animal; dado un ser (variable independiente), la función clasificación le asigna la etiqueta del reino al cual pertenece. Y esto “funciona” cuando la variable independiente es discreta (los ejemplos son innume- rables) y también cuando es continua. De hecho, las funciones escalonadas son una clase particular de funciones de clasificación, como la que vimos en el ejercicio l). Otra función similar es la que distribuye las zonas de la tierra en diversas franjas etiquetadas como los casquetes polares ártico y antártico, las zonas templadas y la zona tropical; en este ejemplo, la delimitación de estas zonas se hace en función de determinados paralelos de la superficie esférica terrestre (como los trópicos de Cáncer y de Capricornio), y cada una de las franjas presenta un carácter de continuidad sobre el globo terráqueo.
ñ) La observación de la gráfica nos hace ver que: la función es discreta, la variable inde- pendiente son los números naturales (los puntos suspensivos después del 10 nos remiten al conjunto N completo), la variable dependiente se reduce al conjunto {0, 1, 2}, y la regla consiste en asignar los valores 0, 1 y 2, sucesivamente y con saltos de tres números, a todos los números naturales. Pensando un poco las cosas, podemos darnos cuenta de que esos tres valores de la variable dependiente pueden ser los restos o residuos de dividir cada número natural entre 3; así, por ejemplo, al dividir 7 : 3, el residuo es 1, al dividir 5 : 3 el residuo es 2, etc. El hecho de averiguar la regla nos permite obtener la imagen de cualquier otro número natural; por ejemplo, al número 968 le corresponde el valor 2, que es el resto de la división 968 : 3.
o) 1. Las asociaciones día – gráfica son las siguientes: día x – fig. 2; día y – fig. 4; día z – fig. 3.
24
3. Algunas funciones notables
3.1 La función lineal y la función escalonada
De ellas ya hemos hablado en el punto anterior. Volvemos a destacar la importancia de la función lineal por su representación car- tesiana como recta –lo que nos lleva a inferir que toda recta en el sistema de coordenadas cartesiano representa una función lineal cuya variable independiente es continua- y por- que, además, incluye como caso particular las relaciones de proporcionalidad directa estudiadas en Aritmética.
7.Sienlaexpresióngeneraldelafunción lineal: f (x) = mx + b, el parámetro m vale 0, la función queda reducida a: f (x) = b, denominada función constante. ¿Cómo será su representación cartesiana? 8. Si en el anterior ejercicio k) el conductor del camión y los obreros de la mudanza son amigos de la casa y sólo van a cobrar por el alquiler del camión, a) ¿cuánto se tendrá que pagar por la mudanza si ésta dura 4 horas y 40 minutos? b) ¿Y si dura 2 horas y 20 minutos?
Tome sendos recibos de notificación de pago por el servicio de luz y de agua, revise las normas mediante las cuales se establece el monto a pagar por el servicio y construya las co- rrespondientes gráficas cartesianas.
3.2 Las funciones de N en N
Volvamos por un momento a algunos ejercicios resueltos anteriormente. En el ejercicio c) llegábamos a la consigna “el triple de…, más 5 unidades”, aplicada a los 10 primeros números naturales. Algo similar ocurría con el ejercicio f), cuya fórmula era: f (n) = n 2 + 1, Dominio = {0, 1, 2,…, 8}. Igualmente con el ejercicio j), que nos llevaba a la fórmula c(n) = 20n (c repre- sentaba el costo, y n el número de cuadernos). Como vemos, los elementos del conjunto de partida y de llegada son números naturales. En realidad, podemos extender el dominio señalado en esos tres ejercicios hasta llegar al con- junto N; es decir, definir esas funciones para todo número natural. Y podemos considerar como N el conjunto de llegada, aun cuando el rango de la función no llene todo N (requisito que ya sabemos no es indispensable para que exista la función). De este modo se definen las funciones del tipo f : N ? N, notación a la que se agrega la consigna o fórmula correspon- diente. Por ejemplo, para los tres casos anteriores:
Son numerosos los casos de funciones definidas de N en N; entre ellas están, por ejemplo, cada una de las tablas de multiplicar. En efecto, podemos considerar el caso de la tabla de mul- tiplicar por 5, que a cada número natural le hace corresponder su quíntuplo, y que podríamos representar así: m 5: N ? N / m 5 (n) = 5n.
Comentario 8 Algunas de estas funciones no tienen, como sí ocurre con las anteriores, una fórmula fija para todos los términos de la sucesión, sino que dependen de los valores que se van obteniendo progresivamente. Por ejemplo, en la función cuyo recorrido es {3, 9, 21, 45,
25
93, …}, es difícil encontrar una fórmula en función de n, tal que, al sustituir n por 0, 1, 2, …, se vayan obteniendo estos valores. Pero no es difícil encontrar la regla que produce tales números: a partir del 3, cada término posterior se obtiene duplicando el anterior y agregándole 3 unidades (verifíquelo). La “fórmula” de esta función puede escribirse así: f (0) = 3 f (n) = 2 x f (n-1) + 3, n = 1, 2, …
Las funciones de este tipo reciben el nombre de funciones recursivas y son muy impor- tantes en matemática como modelos de muchas situaciones que se desarrollan por pasos y en las que el resultado de cada paso depende de los resultados anteriores. Una de las funciones de este tipo más famosas es la que se conoce como sucesión de Fibonacci (sobrenombre de Leonardo de Pisa, matemático italiano, c.1175-c.1240): {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …}, función recursiva que responde a esta fórmula:
f (0)=0 f (1)=1 f ( n ) = f ( n -1) + f ( n -2 ), n = 2, 3, …
Si tiene tiempo –y si no, trate de buscarlo, porque vale la pena- asómese a Internet y entre por la puerta “Fibonacci”; encontrará un mundo de resultados sorprendentes relacionados con situaciones inesperadas.
Las funciones de N en N pueden representarse de diversas maneras, como ya hemos visto en varios de los ejercicios anteriores, pero las representaciones más pertinentes serían las que vienen dadas mediante una regla o consigna, o bien mediante una fórmula (cuando la regla permita este tipo de expresión). En cambio, la gráfica cartesiana (una secuencia de puntos aislados en el plano), el diagrama de Venn y la tabla de valores no pueden dar de suyo esa sensación de generalidad, de abarcar todo el dominio, de referirse a todo número natural. Por ello, si se utilizan estos sistemas se requiere agregar unos puntos suspensivos para dar a entender esa referencia a todo N.
9. Tenemos la siguiente distribución numérica: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ………. ¿En qué fila se encuentra el número 671? Y si las columnas se numeran de izquierda a derecha, de 1 a 7, ¿en cuál de las siete columnas se halla 671?
26 3.3 La función medida
Aunque la medida es una vieja conocida nuestra, quizá es la primera vez que la de- nominamos de esta manera, como función. Desde el primer Cuaderno hasta ahora, son muchas las veces en que hemos estado mi- diendo; por ejemplo, hemos medido (contar es una manera de medir) el número de ele- mentos de un conjunto, la cantidad de dece- nas o centenas contenidas en un número, las longitudes de los segmentos o las distancias entre dos puntos, las áreas de polígonos y objetos planos, los volúmenes de sólidos, la amplitud de un ángulo, la probabilidad de un evento, el valor de la media de un conjunto de datos… Y también hemos hecho referen- cia a la medida de otras magnitudes físicas: el tiempo, el peso, la temperatura, la presión at- mosférica, la humedad, etc. Pero también he- mos sido capaces de medir la relación entre diversas medidas; así ocurría con la relación entre una parte y el todo al que pertenece, con la relación entre las medidas de dos mag- nitudes, etc.
Como función, la medida tiene:
? como dominio o conjunto de partida, las magnitudes que son susceptibles de ser medidas (cantidades, longitudes, tiempo, peso…) o las relaciones que pueden esta- blecerse entre ellas; ? como regla o consigna, el algoritmo mediante el cual se mide cada magnitud (cómo contar; cómo medir longitudes o distancias, amplitudes de ángulos, áreas, volúmenes; cómo medir diversas magnitu- des físicas; cómo establecer razones, etc.) y, en algunos casos, alguna fórmula ad hoc (áreas de determinados polígonos, volúme- nes de determinados sólidos, etc.); y ? como codominio, el conjunto de los nú- meros que expresan estas medidas y las relaciones entre ellas.
Vamos con este último punto. ¿Cuáles son los tipos de números que nos sirven para expresar las diversas medidas que podemos efectuar? Vamos a reunirlos por primera vez: ? los números naturales: con ellos nos to- pamos al contar u ordenar los elementos de cualquier conjunto; ? las fracciones y los decimales: con los primeros nos encontramos al expresar la relación entre una parte y el todo al que pertenece; y con los segundos, como un sistema de representación de las fracciones y al efectuar diversas medidas “no enteras” de magnitudes físicas; ? las razones: como expresión de la relación entre las medidas de dos magnitudes; in- cluido el caso excepcional del número ? (3,141592…) como razón de las magnitu- des longitud de la circunferencia y longitud de su radio; ? los números de la forma “raíz cuadra- da” y “raíz cúbica”: los primeros, por ejemplo, como expresión de la medida de la longitud de la hipotenusa o de alguno de los catetos de un triángulo rectángulo, cuando se conocen las otras dos medidas; o también como expresión de la longitud del radio de un círculo o del lado de un cuadrado cuando se conocen sus áreas res- pectivas; y en cuanto a los números con forma de “raíz cúbica”, como expresión de la longitud del radio de un círculo o del lado de un cubo cuando se conocen sus volúmenes respectivos. Pues bien, todos estos tipos de números pue- den considerarse como integrantes de un conjunto, al que designaremos con la letra M (no porque sea la inicial del nombre del que escribe esto, sino en referencia a la palabra “medida”). Así, pues, los elementos de M son todos los números que sirven para ex- presar el resultado de diferentes medidas o de relaciones entre ellas. El conjunto M contiene a todos los números que hemos uti- lizado hasta el presente y es el gran conjunto de la matemática básica.
3.4 La función inversa
En uno de los primeros ejemplos que presentamos en este Cuaderno hablamos de la relación “ser madre de” (m) que, aplicada a los casos de Inés y de Carlos, daba como imagen a Guadalupe, madre de ambos: m(Inés) = Guadalupe; m(Carlos) = Guadalu- pe; y afirmábamos estar en presencia de una función si, además, estaban presentes todas las mamás de todos los niños de la clase. Veíamos también cómo la relación opuesta, “ser hijo(a) de” (h), no era una función, por cuanto, aplicada al caso de Guadalupe, da- ría como imágenes tanto a Inés como a Car- los. Algo similar ocurría con otros ejemplos reseñados anteriormente (los referidos a las montañas y los ríos…). En este punto surge una pregunta espontánea: ¿Qué condiciones debería cumplir m para que h fuera también una función? Helas aquí: 1. Que todos los elementos del dominio de m (el conjunto de niños) tengan imágenes diferentes en el conjunto de las madres; es decir, que no haya ninguna mamá que lo sea de más de un(a) niño(a) presente. 2. Que el codominio y el recorrido de m sean el mismo conjunto; es decir, que no haya ninguna madre cuyo(a) hijo(a) no esté presente. Al cumplirse ambas condiciones, h se convierte en una función cuyo dominio es el conjunto de las madres presentes, y cuyo co- dominio es el conjunto de los niños presen- tes. En efecto, la condición 1 nos garantiza que ningún elemento del dominio de h ten- drá dos imágenes en el conjunto de los niños; por su parte, la condición 2 nos garantiza que todos los elementos del dominio de h tendrán una imagen en el conjunto de los niños. Si sólo se cumple la condición 1, la fun- ción m se califica como inyectiva; y si sólo se cumple la condición 2, la función m se ca- lifica como sobreyectiva; pero si se cumplen ambas, m se califica como biyectiva. Pues bien, cuando una función f : A ? B es bi- yectiva, existe una función en sentido inverso g : B ? A que se denomina función inversa de f. En nuestro ejemplo, si se cumplen las condiciones 1 y 2, m es biyectiva y puede de- cirse que h es una verdadera función y que es, además, la función inversa de m.
10. ¿Puede asegurarse que h es también biyectiva? Razone su respuesta.
11. Tome como referencia los casos 3 a 7 descritos en los diagramas de Venn del ejercicio 1. y determine cuáles de estas funciones son: a) inyectivas; b) sobreyec- tivas; c) biyectivas.
12. ¿Puede una función escalonada por intervalos ser biyectiva? Razone su res- puesta.
En el siguiente diagrama se nos muestra cómo r : A ? B no es una función, sin que eso impida que s: B ? A sí lo sea. Esta situación no contradice lo que aca- bamos de decir; lo que ocurre en este
27
caso es que s no puede ser calificada como función inversa de r por la sencilla razón de que r no es una función. a b c d 1 2 3 A B es el tiempo máximo en que debemos hacer la mudanza, si sólo disponemos de 255 pesos para pagarla? Para obtener la respuesta podemos proceder por varias vías: a) Tomar la fórmula original c = 30 + 60t y dar a c el valor de 255. Con ello pasamos a la ecuación 255 = 30 + 60t, cuya resolución (hágalo) nos lleva a la respuesta t = 225/60 = 3 horas y 45/60 de hora, es decir, 3 horas y 45 minutos.
b) Obtener la fórmula de la función inversa t = (c – 30)/60 y hallar la imagen de t para el valor de c = 255. Con ella llegamos en un solo paso a t = 225/60 y a la misma respuesta. c) Proceder por vía aritmética: de esos 255 pesos, hay que restar 30 del alquiler del ca- mión, con lo que llegamos a 225 pesos pagados sólo por el tiempo de la mudanza; esta cantidad la dividimos entre 60 con el fin de saber cuántas horas nos llevó el trabajo; y llegamos a la misma respuesta.
Observe la diversidad de las vías seguidas: algebraica (resolver una ecuación), funcional (hallar la imagen de un elemento) y aritmética (resolver el problema manejando siempre los datos concretos del enunciado). El hecho de que en el caso de la vía algebraica se llega a una ecuación al sustituir el valor de la variable dependiente y tener que despejar la independiente, ha generado el uso de la expresión “la ecuación de”, aplicada sobre todo a las fórmulas de determinadas gráficas de funciones. Así, por ejemplo, a la fórmula y = mx + b de la función lineal se le suele llamar “la ecuación de una recta en el plano”.
14. Si al doble de un número se le restan 3 unidades, y esta diferencia se duplica a su vez, se obtiene como resultado 102. ¿Cuál es el número?
Comentario 9 Hasta aquí, en este Cuaderno, hemos tratado de conocer y comprender el concepto de función –cómo surge de la vida y, en particular, de la Aritmética y de la Geometría- y su fuerza generalizadora que trasciende los campos de donde brota. También hemos visto que, en retorno, tiene un inmenso caudal de aplicación a numerosos objetos, no sólo del campo de la Aritmética, de la Geometría, de la Estadística y de la Probabilidad, sino de todos aquellos ámbitos disciplinares en los que se detecta variabilidad en alguna magni- Obsérveseques:B?Aesunafunciónso- breyectiva, pero no inyectiva (¿por qué?).
13. Si el dominio y codominio de una función f no tienen igual número de ele- mentos, ¿puede garantizarse la existen- cia de una función inversa de f ? Razone su respuesta.
En el caso de que una función venga ex- presada por una fórmula y sea biyectiva, es posible obtener la fórmula de su función in- versa por la vía del despeje de la variable in- dependiente. Por ejemplo, si tomamos la fun- ción c = 30 + 60t del ejercicio k), podemos pasar a c – 30 = 60t, y de aquí, t = (c – 30)/60, lo que nos daría el tiempo de la mudanza en función del costo pagado.
Volviendo al problema k), podríamos plantearnos la siguiente pregunta: ¿Cuál
28
tud –sea de la naturaleza que ésta sea-, ligada a situaciones de dependencia en- tre magnitudes.
Ycabe preguntarse: ¿dónde no se dan es- tas situaciones de variabilidad y depen- dencia? De hecho, en todos los ámbitos de la vida de la naturaleza, de la socie- dad y de nuestro propio ser nos encon- tramos con esas situaciones. Y muchas veces, el progreso de la humanidad –el verdadero progreso- radica en la mejor comprensión de las mismas.
De ahí que la función se haya convertido en uno de los objetos matemáticos más importantes dentro de la disciplina, un auténtico pivote sobre el cual descansan y se estructuran innumerables objetos matemáticos –no importa si son básicos o muy sofisticados-, ya que todos ellos pueden ser caracterizados y definidos como funciones.
Nosotros cerramos por ahora esta puer- ta de nuestro Curso de Desarrollo del pensamiento matemático. Pero lo hace- mos, en realidad, dejando abiertas otras muchas puertas hacia una matemática más compleja (compleja porque hay más objetos matemáticos y más relacio- nes entre ellos; pero no porque sea más complicada, más difícil). Y entre estas puertas abiertas queremos destacar la de la generalización que nos posibilita la in- troducción en el Álgebra y en el mundo de las funciones; eso sí, sin perder ni la Aritmética ni la Geometría en el intento. Feliz travesía… 4. Y ahora, otros ejercicios “para la casa”…
15. Obtenga la fórmula de la siguiente función en la que ambas variables son continuas:
16. Averigüe cómo es la puntuación en las carreras de carros de Fórmula 1 y establezca la correspondiente tabla de valores.
17. Halle el área de un cuadrado si su perímetro mide 20 cm.
29
18. En la sucesión definida por la fun- ción f (n) = 2n (n + 1), n = 1,2,…, ¿qué término vale 180?
19. El costo neto de fabricación de una silla es de x pesos; el fabricante la vende al mayorista con un aumento del 20%, y el mayorista la vende a la tienda de muebles con un recargo del 30% sobre el precio al que la compró; finalmente, la tienda lo vende al cliente al doble del precio que pagó por ella. Escriba la fór- mula que representa el precio de venta al público (p) en función del costo de producción x.
20. Atención: 45, 150, 105, 30 y 90 son “plikos”. Pero 24, 50, 18, 125, 66, 6 y 80 no son “plikos”. ¿Cuáles de los siguientes números: 40, 75, 120, 36, 60, 96 y 135 son “plikos”?
21. Un ganadero tiene 100 m de vallado para construir un cercado rectangular de anchura a y de fondo b.
a) Exprese la variable b en función de la variable a (no se olvide del dominio de la función).
b) Dibuje la gráfica cartesiana de esta relación.
30 c) Encuentre la relación que existe entre la anchura del cercado y su área A.
22. Elabore una gráfica cartesiana para representar esta función: Se trata de valorar la ca- pacidad para resolver sudokus que posee un grupo de estudiantes; los puntos p se asignan de acuerdo al tiempo t (en minutos) utilizado para resolver cada juego siguiendo la norma que se establece en esta tabla de valores:
23. Se tiene el plano de una casa, hecho a una escala 1 : 50. Si las dimensiones de la planta de la casa, que tiene forma rectangular, son de 18 cm x 20 cm en el plano, ¿cuál es el área de la planta de la casa en la realidad?
Tome un texto literario cualquiera, haga un cambio de letras similar al anterior (el que se le ocurra), transcriba el texto correspondiente y déselo a sus colegas para que lo interpreten (no lo ponga muy difícil…).
29. Necesitamos hacer un viaje de ida y vuelta entre dos ciudades y para ello al- quilamos un carro. La agencia Andes nos pide un pago fijo de 1.100 pesos, más el pago de 16 pesos por km recorrido; en cambio, la agencia Caribe nos pide un pago fijo de 600 pesos, más el pago de 18 pesos por km recorrido. Queremos saber: a) el costo a pagar en cada agencia por un recorrido total de 200 km; b) para una distancia de 100 km, ¿los costos totales serán la mitad de los an- teriores?; c) las fórmulas que nos dan los cos- tos en cada agencia, en función de la distancia recorrida (utilizamos ca y cc para los costos en las agencias Andes y Caribe, respectivamente, y d para la distancia recorrida); d) el nombre de la agencia que nos re- sulta más económica, si los puntos de conexión entre las dos ciudades distan exactamente 140 km.
En el problema anterior, haga la gráfi- ca cartesiana de ambas funciones en los mismos ejes coordenados (d en las abscisas y ca y cc en las ordenadas). Si ambas gráficas se cruzan,
31 24. El promedio de 8 números es 10; al agregar un noveno número, el promedio sube a 11. ¿Cuánto vale este noveno número?
25. En la siguiente sucesión de figuras hechas con palillos, ¿cuál es la fórmula que nos da el número t de palillos que se utilizan para la figura que ocupa la posición enésima?
26. Obtenga la fórmula del volumen V de un cono cuya altura h mide el triple del radio r de su base [es decir, escriba el volumen del cono como una función sólo del radio de su base].
27. La presión atmosférica, al nivel del mar, es de 1 atmósfera y disminuye a medida que ascendemos: aproximadamente al ascender un km, la presión es 0,9 veces la existente un km más abajo. a) ¿Qué presión se tendría a un km de altura? ¿Y a 2? ¿Y a 3? b) Encuentra una fórmula que nos dé la presión p que existe, dependiendo de la altura h en km. c) Si un montañero desciende desde 1.000 m. al nivel del mar y otro desciende desde una altitud de 5.000 m a 4.000 m, ¿la presión aumentará lo mismo en ambos casos?
28. El siguiente es un fragmento de una novela que ha sido transcrito utilizando un te- clado en el que cinco teclas no escriben la letra que las identifica, sino otra; eso sí, estos cinco errores son constantes. Trate de identificar cuáles son las teclas erradas y cuál es el cambio de letras que han producido.
“El hetel ena in edficie panzide de in asanille apagade qie se cenfindía cen el desiente a si alnededen. Tenía la altina de ciatne pises y ventanales geneneses cen ina tensinacién tniangilan selne la cennisa”.
32 a) ¿cuál es el valor de la abscisa del punto de corte?
b) Sustituya ese valor en las dos fórmulas obtenidas en el punto c) del problema ante- rior; ¿qué relación existe entre ambos valores?
30. En la sucesión 4, …, …, …, 32, a partir del tercer término, cada número es la suma de los dos anteriores. ¿Cuánto suman los tres últimos?
31. Obtenga la fórmula del área A de un rectángulo cuya base b mide el doble de la altura h [es decir, escriba el área del rectángulo como una función sólo de su altura]. 32. Un vehículo hace un viaje de ida y vuelta; la ida es muy complicada y la ve- locidad promedio apenas llega a 20 km/h; en cambio, el regreso es más fácil y la ve- locidad promedio alcanza los 60 km/h. ¿Cuál es la velocidad promedio de todo el viaje?
Dibujelagráficadelafunción“redondeo”, esdecir,delafunciónqueseaplicaatodos los posibles valores de las medidas y actúa de esta manera: toma todos los decimales que siguen a la parte entera y si son iguales o mayores que 500 milésimas, da como resultado el número natural siguiente; y en caso contrario, da como resultado el nú- mero natural anterior; por ejemplo, la fun- ción hace corresponder a 7,51 el número 8, mientras que a 0,4782 le hace corres- ponder 0 [Observe que esta función, a la que podemos designar como r, tiene como dominio M y como recorrido N; es decir, r: M ? N].
La función r: M ? N definida en el proble- ma anterior, ¿es inyectiva?; ¿es sobreyecti- va?; ¿tiene función inversa?
Referencias bibliográficas y electrónicas
– Actividades para la detección de conocimientos previos y repaso (s.f.). Disponible en: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/ Matematicas/02/actipre.html
– Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures. Dordrecht: D. Reidel Publishing Company.
– Kline, M. (1992). El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días. Madrid: Alianza. Respuestas de los ejercicios propuestos
1. Casos 1 y 2 2. a) jugadores; días de la semana; gastos; b) pesos; número de víctimas; pagos por IVA; c) {jugadores indicados}; {días de la semana}; {gastos indicados}; d) {pesos indicados}; {5, 6, 7, 9, 11, 12, 16}; {pagos indicados} 3. (a, 9), (b, 6), (c, 8), (d, 3), (e, 7), (f, 3), (g, 9), (h, 7), (i, 8) 4. a) Venezuela, Uruguay, Chile, Brasil, Paraguay; b) “la montaña … está en” 5. a) intervalo [0 m, 70 m]; intervalo [0 m, 35 m]; b) intervalo [0 km, 30 km]; intervalo [0 km/h, 120 km/h]; c) coinciden con los codominios 6. a) 216 personas; b) f (n) = 6n, n = 1, 2,… 7. Una recta paralela al eje de abscisas 8. a) 30 pesos; b) 30 pesos 9. Fila 112, columna 6 10. Sí 11. a) 3, 5, 6; b) 4, 6; c) 6 12. No 13. No 14. 27 15. y = 4 + 2x 16. 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2, 1, para los clasificados del 1º al 8º lugar, respectivamente 17. 25 cm 2 18. 9º 19. p = 3,12x 20. 75, 120, 60, 135 (múltiplos de 15) 21. a) b = 50 – a, 0 < a < 50; b) A = a (50 – a) 22. Es una gráfica escalonada descendente; primer escalón a la altura 10 y último escalón a la altura 1 23. 90 m 2 24. 19 25. t = 3(n + 1), n = 1, 2,… 26. V = ?r 3 27. a) 0,9 atm; 0,81 atm; 0,729 atm; b) p = (0,9)h, h = 0, 1, 2,…; c) no 28. {b, m, o, r, u} ? {l, s, e, n, i}, en el orden indicado 29. a) c a = 4.300 pesos; c c = 4.200 pesos; b) no; c) c a = 1.100 + 16d ; c c = 600 + 18d; d) Andes 30. 64 31. A = 2h2 32. 30 km/h
33
34 Serie “Desarrollo del pensamiento matemático” 1-El conocimiento matemático 2-El sistema numérico decimal 3-La adición 4-Sustracción 5-Multiplicación 6-Potenciación 7-División 8-Divisibilidad
35 11-Razones y proporciones 9-Fracciones I. Concepto y representación 10-Fracciones II. Orden y operaciones 12-Geometría: Conceptos y construcciones elementales 13-Polígonos. Triángulos 16-Cuerpos geométricos 14-Cuadriláteros y otros polígonos. Simetrías 15-La circunferencia y el círculo 17-Introducción a la estadística 19-Introducción al álgebra 20-La función matemática 18-Introducción a la probabilidad
| Página siguiente |