Carlos? Guadalupe. de Inés”- algo así como: “mamá de” Inés? Guadalupe. Esta forma de representación tiene la En el ejemplo del párrafo anterior, Inés actúa como variable independiente para la regla “ser la mamá de”, mientras que Guada- lupeeslavariabledependientedelarelación. En efecto, Guadalupe sólo aparece, como mamá, cuando la maestra diga el nombre de la niña; en otras palabras, la aparición de Guadalupe “depende de” que sea nombrada la niña; mientras la maestra diga el nombre de otras niñas o de otros niños, Guadalupe no se dará por aludida, pero en cuanto oiga el nombre de su hija Inés se presentará como su mamá. En este ejemplo podemos decir que la consigna “es la mamá de” está esperan- do el nombre de una niña o de un niño (variable independiente) para que se le asocie el nombre de su mamá (variable dependiente). Esto incluye, por ejemplo, el caso de que Inés tenga un hermanito en el mismo salón (supongamos que se llama Carlos): también se podrá decir “mamá de”
Hay muchas reglas o consignas de este tipo que forman parte de nuestras conversa- ciones, o de las cosas que se escriben y lee- mos; por ejemplo, las relaciones familiares [ser hermano(a) de, ser abuelo(a) de, etc.], las relaciones del tipo “es la capital de” cuando las aplicamos a ciudades que son capitales de países, o de regiones, departamentos, pro- vincias, municipios… También aparecen en otras muchas situaciones diarias: ser el jefe de (en una relación laboral), ser el siguiente de (en una lista o en una cola), y un etcétera muy largo. Incluso hay acciones que funcionan como consignas; por ejemplo, pulsamos un botón o una palanca y se prende una deter- minada lámpara, o movemos un botón y van apareciendo distintos canales de televisión o distintas emisoras de radio… En todas estas situaciones se dice que la regla establece una correspondencia entre elementos de los dos conjuntos que son afec- tados por la relación; por ejemplo, entre el 7 acompañante, de referencia, de verificador de la variación de la otra variable (sin ser su causa directa, en términos de acción). En estos términos y en esta vida mortal, hay una variable inde- pendiente por excelencia: el tiempo. El tiempo parece “transcurrir” por su cuenta sin que nadie lo empuje ni lo detenga y en su transcurso se hace manifiesta la variación de un sinnúmero de variables; por ejemplo, todas las variables personales, sean físicas o psicológicas; y otras muchas más, como las ya citadas: medidas diariamente a lo largo de un año, las temperaturas extremas, las precipitaciones, las horas de salida y puesta del sol, los niveles máximos de presión atmosférica y de humedad, el número de inasistencias de alumnos a nuestro centro escolar; medidas a lo largo de los meses o de los años, el número de viviendas construidas en un país, el crecimiento en peso o en es- tatura de un niño…; o, también, la distancia d recorrida por un vehículo que se mueve a una velocidad constante v durante cierto período de tiempo t [d = vt ]. En todos estos casos, el tiempo no “produce” la variación que se puede observar y medir en cada una de esas variables; no es el factor que la causa en términos de producción física, pero sí acompaña esa variación y le sirve de referencia y control. Por ejemplo, la siguiente tabla de valores relaciona la variable “estatura de un niño”, medida mensualmente en centí- metros, con la variable tiempo, medida en meses a lo largo de un año:
Evidentemente, el tiempo no produce la variación en la estatura del niño (ésta depende “causalmente” de los aspectos genéticos, de la alimentación y de las condiciones sanitarias que afectan al niño); pero sí sirve de control y referencia para su variación. Así, decimos que en Enero el niño mide 127 cm, o que la estatura de 133 cm se alcanza en Octubre; es decir, que para cada valor de medida del tiempo, se puede asociar algún valor de la estatura del niño. Y este tipo de relación es suficiente para establecer que, en esta situación, el tiempo actúa como variable independiente con respecto a la variable dependiente estatura del niño.
Otra de las maneras en que la dependencia de una variable con respecto a una segunda se da en términos de relación, de acompañamiento entre variables, es la que acontece cuando existe una regla o una fórmula que liga ambas variables. Por ejemplo, en una reunión escolar de los alumnos con sus mamás, si por un lado tenemos el conjunto de niños y niñas de un sa- lón de clase y, por otro, el conjunto de sus mamás, la regla o consigna “ser la mamá de” asocia a cada niño o niña con su mamá.
Veamos este caso con más detalle. Si la mamá de Inés es Guadalupe, entonces podríamos representar esta relación –además de verbalmente, al decir sin más “Guadalupe es la mamá virtud de destacar los elementos que forman parte de la relación establecida: “mamá de” es la regla o consigna, Inés es la niña, Guadalupe es la mamá de Inés.
chua ? texto en castellano; el texto en quechua se considera como variable independiente, asociando pares de números naturales: “el doble de” 4 ? 8, situación en la que 4 funge de conjunto de alumnos y el conjunto de sus mamás, la regla nos dice que Inés y Guadalupe están en correspondencia, así como Carlos y Guadalupe. Además, en cada uno de estos casos identificamos como variable independiente aquel nombre de persona u objeto al que se le aplica la regla, y como variable depen- diente, aquel nombre de persona u objeto que resulta de esa aplicación. Por ejemplo, si Tomás trabaja subordinado a Ángela, decimos “jefe de” Tomás ? Ángela; Tomás actúa como variable independiente y Ángela, como variable dependiente. Ojo con este ejemplo: estamos hablando de variables dependientes o independientes en sentido matemático, aun cuando en el terreno laboral sea Tomás quien dependa de Ángela, su jefa. Estas reglas o fórmulas también funcionan en otras situaciones, tales como las traduccio- nes. Por ejemplo, traducir un texto escrito en quechua al castellano entra en el esquema del que estamos hablando; podría escribirse como regla de esta manera: “Traducir texto en” que- y el texto traducido al castellano, resultado de esa traducción, como variable dependiente: lo que se va a escribir en castellano depende de lo que esté escrito en quechua.
El ejemplo anterior nos introduce en un ámbito muy interesante, el de los diversos lenguajes; tenemos la escritura en signos telegráficos (Morse), en signos para ciegos (Braille), mediante signos manuales y corporales para sordomudos, etc. Traducir textos de un lenguaje a otro se incluye en este ámbito de las relaciones establecidas mediante reglas o consignas.
También podemos destacar aquí la criptografía [del griego: kriptós, oculto, y –grafía, escritura. 1. f. Arte de escribir con clave secreta o de un modo enigmático]. Es el arte –y hoy día, una rama de las matemáticas- de la escritura en clave, muy utilizada en el ám- bito militar y en el de los negocios, y cada vez que deseamos decir algo que queremos sea captado sólo por el grupo de destinatarios que nos interesa, grupo que debe estar al tanto de las claves de traducción utilizadas. Estas claves pueden consistir en cambiar unas letras por otras, o por números o símbolos, etc.
Por cierto, un caso cotidiano de esta práctica lo tenemos en la elaboración de los men- sajes de texto que enviamos por medio de los móviles o celulares. Por ejemplo, pulsar dos veces seguidas la tecla numérica 2 “se traduce” en la letra b; y así para las demás letras. Evidentemente, existe un mecanismo interno en el aparato encargado de estas traducciones.
Y como no podía faltar, las reglas, consignas y fórmulas también están presentes en el propio mundo de los objetos matemáticos. Por ejemplo, la regla de “ser el doble de” puede ir
8 variable independiente, y 8, de variable de- pendiente; o también, “la mitad de” 8 ? 4, situación en que las variables independiente y dependiente son, ahora, 8 y 4, respectiva- mente.
En el mundo matemático, estas reglas vienen representadas de diversas maneras. Tomemos el caso sencillo de la suma de dos números naturales; la regla podría denotar- se así: “suma de” [sumando 1º] y [sumando 2º]? resultado de la suma. La “regla” de su- mar viene dada por las tablas básicas de la suma y por las normas que rigen los algorit- mos o procedimientos para sumar. Igual ocu- rre con las demás operaciones aritméticas.
Entre estas últimas, detengámonos por un momento en el caso de las operaciones de sumar, restar y multiplicar. En ellas observa- mos que la variable dependiente (el resultado de cada una de las operaciones: la suma, la diferencia, el producto, respectivamente) de- pende de un par de variables independientes (los dos sumandos, el minuendo y el sus- traendo, los dos factores, respectivamente). Son, pues, situaciones en las que la variable dependiente depende de más de una variable independiente. Claro que, en algunos casos particulares, esa dependencia puede reducir- se a la de una sola variable independiente; esto es lo que ocurre, por ejemplo en las ta- blas de sumar y de multiplicar, cuando toma- mos una tabla en particular. Así, dentro de la tabla de multiplicar del 5, el producto depen- de tan sólo del factor variable por el que se va a multiplicar el 5: “multiplicar por 5” el factor 7? 35. También cabe destacar que estas opera- ciones, con sus reglas particulares (tablas y algoritmos) y sus variables independientes y dependiente, poseen sus propios símbolos de descripción: a + b = c, m – n = p, r x s = t, respectivamente.
9 Un caso muy singular representa la operación de división, ya que como se indicó en el Cuaderno Nº 7, de los valo- res que posean el dividendo y el divisor dependen los valores del cociente y del resto; es decir, cociente y resto son las variables dependientes, mientras que dividendo y divisor actúan como varia- bles independientes.
Vemos, pues, que en el caso de las ope- raciones aritméticas, la regla de dependencia entre las variables independientes y depen- dientes viene dada por las tablas y los algo- ritmos de dichas operaciones. Pero hay otros casos en el terreno matemático en el que esta dependencia se concreta todavía más, tomando el aspecto de verdaderas fórmulas que relacionan las variables independientes (que pueden ser más de una) con una varia- ble dependiente.
Tal es el caso, por ejemplo, del perímetro p de un cuadrado cuyo lado mida l unidades; en la forma en que venimos describiendo esta relación pondríamos: “multiplicar por 4 la longitud del lado” l ? p. Pero la forma habitual de indicarlo es: p = 4l. De manera similar, para expresar el área A de un rectán- gulo cuyos lados miden b y h disponemos de la fórmula: A = bh.
Con el fin de resumir lo que venimos diciendo acerca de las formas de relacionar las variables dependientes e independientes en el caso de los objetos matemáticos, vamos a construir una tabla en la que se indicarán, para varios de estos objetos, las variables que intervienen y, en los casos en que sea posible, la fórmula que liga las variables:
Bien. Vamos a detenernos un momento con el fin de resumir, a grandes trazos, las ideas expuestas hasta ahora:
1.Existen fenómenos, situaciones, obje- tos, que muestran variabilidad en los valores o niveles en los que se mani- fiestan.
2.Esta variabilidad revela una situación de dependencia de ciertas variables (dependientes) con respecto a otras (independientes).
3.La dependencia puede ser causal o de relación; la primera revela situaciones de causa-efecto entre las variables independiente(s) y dependiente.
4.La relación de dependencia no cau- sal puede manifestarse: · por la presencia de una variable independiente (por ejemplo, el tiempo) que sirve de referencia para registrar la variación de la variable dependiente; · mediante la expresión de una re- gla o consigna, que establece una correspondencia entre las variables independiente y dependiente; regla que puede expresarse de manera verbal o en forma de algoritmos matemáticos; · mediante una fórmula matemá- tica que liga la(s) variable(s) inde- pendiente(s) con la variable depen- diente.
10 2. La función matemática
El recorrido anterior nos coloca frente al fenómeno de la variación de ciertas variables de los mundos físico, social y mental, variación que puede interpretarse en términos de depen- dencia de unas variables con respecto a otras, tal como acaba de describirse. Este fenóme- no variación-dependencia tampoco resulta ajeno a la matemática (que, como se ve, está en todo…), disciplina que lo ha tomado como objeto de estudio. Pues bien, en este terreno, el objeto matemático que sirve de pivote para el estudio de los fenómenos de variación-dependencia entre variables se denomina función. Obsérvese que ya el término forma parte de nuestro vocabulario habitual; por ejemplo, solemos escuchar: “el aumento del sueldo [variable dependiente] se hará en función de la productividad del empleado y de la disponibilidad de recursos de la empresa [variables inde- pendientes]”, “la decisión de ir de paseo [variable dependiente] se tomará en función de las condiciones climatológicas” [variables independientes]; y muchas otras expresiones que el (la) lector(a) puede agregar por su cuenta.
2.1 El concepto de función matemática
No es fácil dar una definición precisa –una sola- del concepto de función ya que, como hemos visto, la dependencia entre variables se manifiesta de diversas maneras: causal o rela- cional; y dentro de esta última categoría, como relación con una variable de referencia, como regla que establece correspondencias, o como fórmula. Lo mejor es quedarse con esta diversi- dad: la función puede entenderse –y aceptarse- como la expresión de una dependencia causa- efecto, o como una relación entre variables que puede adoptar la forma de una regla, de una correspondencia entre elementos de al menos dos conjuntos, o de una fórmula. Y dejar que el contexto en el que se utilice sea el factor determinante para definir la función en cada caso.
Desarrollo histórico del concepto de función El concepto de función –y el propio término que lo designa- son de aparición relativamente tardía en la historia de la matemática. En opinión de Kline (1992), el fenómeno físico cuyo estudio sirve de punto de partida para que empiece a hablarse de relaciones funciona- les entre variables (aunque no se utilicen estos términos) es el del movimiento. Ya Galileo (1564-1642) lo estudia y establece algunas relaciones (fórmulas), en el lenguaje de las pro- porciones, entre las variables espacio recorrido, velocidad, aceleración y tiempo, según sea el tipo de movimiento; cabe agregar que este fenómeno también se estudia a partir de las curvas que lo representan.
La definición más explícita de función dada en el s. XVII, es ésta de Gregory (1667): “Canti- dad que se obtiene de otras cantidades mediante una sucesión de operaciones algebraicas o mediante cualquier otra operación imaginable”. Por esas mismas fechas, Leibniz (1673) designa como función “cualquier cantidad que varía de un punto a otro de una curva”. Y Jean Bernoulli (1697): “Cantidad formada, de cualquier manera posible, de variables y constantes”. Y nuevamente Leibniz (1714): “Cantidad que depende de una variable” (Kline, o. c., p.449). Ya avanzado el siglo XVIII, Euler (1748) se refiere a una función como “cualquier expresión analítica [es decir, una fórmula] formada, de modo arbitrario, a partir de una cantidad va- riable y de constantes” (Id., p. 539). Este es el concepto predominante en ese siglo, aunque también se oyen otras versiones, como ésta del propio Euler (1755): “Si unas cantidades de- pendendeotrasdetalmodoquesufrenunavariacióncuandoestasúltimasvarían,entonces se dice que las primeras son funciones de las segundas” (Id., p. 672). A caballo entre los siglos XVIII y XIX, Lagrange (1797) continúa concibiendo las funciones al estilo predominante hasta ese momento: “Función de una o varias variables: cualquier expresión útil para el cálculo en que dichas variables intervienen de cualquier manera”. Y también: “Una función es una combinación de operaciones” (Id., p. 541). En el siglo XIX se introducen algunas precisiones en los conceptos y en los términos uti- lizados. Así, Cauchy (1821) escribe: “Se llama variable a una cantidad que se considera tiene que tomar sucesivamente muchos valores diferentes unos de los otros”. “Cuando se relacionan cantidades variables entre ellas de modo que estando dado el valor de una de éstas, se puedan determinar los valores de todas las otras, ordinariamente se concibe a estas cantidades diversas expresadas por medio de la que está entre ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; y las otras cantidades expresadas por medio de la va- riable independiente son aquellas que uno llama funciones de esta variable” (Id., p. 1254). Finalmente, Dirichlet (1839) se expresa en términos matemáticos más precisos: “y es una función de x cuando a cada valor de x en un intervalo dado, le corresponde un único valor de y. No importa si en todo este intervalo y depende de x de acuerdo a una ley o más, o si la dependencia de y con respecto a x puede expresarse por medio de operaciones matemá- ticas” (Id., p. 1254). Como puede apreciarse, los intentos por dar un concepto de función presentan la misma di- versidad que hallamos en la descripción de la dependencia entre variables. Algunos autores destacanlarelacióndedependenciaodevariaciónconjuntaentrelasvariables,porencima de su concreción en una fórmula; otros exigen la necesaria presencia de un algoritmo o de una fórmula que permita obtener los valores de la variable dependiente; finalmente, otros insisten en la necesidad de que se puedan precisar estos valores de la variable dependiente, aun cuando la forma de conseguirlo sea arbitraria (empírica) y no responda a una fórmula precisa. También cabe destacar que algunos autores interpretan la expresión “la variable dependiente es función de la variable independiente” como una identificación entre los conceptos y términos “función” y “variable dependiente”. Hasta ahora hemos manejado los fenó- menos variación-dependencia entre variables sin mayores restricciones. Y hemos descu- bierto que, históricamente, ese tipo de fenó- menos ha sido estudiado por la matemática mediante la introducción del objeto matemá- tico función. A este respecto, fijémonos por un momento en el concepto presentado por Dirichlet: “y es una función de x cuando a cada valor de x en un intervalo dado, le co- rresponde un único valor de y ”.
Nota: Al hilo de la observación de Di- richlet, a partir de este momento nos ce- ñiremos al estudio de las funciones en las que intervengan una variable depen- diente y una sola variable independi- ente, sin que esta restricción afecte a lo esencial de este estudio de las funciones matemáticas.
Aquí, además del uso de cierta notación muy precisa (y, x, intervalo), se está impo- niendo una restricción muy concreta al con- cepto matemático de función: que a cada valor de la variable independiente (x) en un conjunto de valores dado (en un inter- valo dado), le corresponda un único va- lor de la variable dependiente (y). En otras palabras, si a algún posible valor de la varia- ble independiente no le corresponde ningún valor de la variable dependiente, o bien, si le corresponde más de un valor de la variable dependiente, la relación de dependencia que estamos estudiando no será una función en sentido matemático. Bueno, a lo mejor el párrafo anterior nos ha dejado sorprendidos y en el aire… Parece romperelhilodeldiscursoquetraíamoshasta aquí. Yes que se nos está olvidando algo muy importante: todo concepto se expresa me- diante algún(os) sistema(s) de representación; 11
vamos a hablar de este aspecto de las fun- ciones matemáticas y, después, volveremos sobre las afirmaciones del párrafo anterior.
2.2 Notación y sistemas de representación de una función
De entrada, tenemos que adoptar algún sistema básico de representación de una fun- ción. Hasta hora hemos hablado de variables independientes y dependientes; esto nos hace suponer que existen sendos conjuntos que contienen los posibles valores de ambos tipos de variables. Así hablaremos del con- junto de partida o dominio de la función; igualmente, del conjunto de llegada o co- dominio de la función. La regla o forma de hacer corresponder a cada valor de la varia- ble independiente un valor de la variable de- pendiente representa la función. Si designamos con las letras A y B los conjuntos de partida y de llegada, respec- tivamente (el dominio y el codominio de la función), por x e y sendos elementos de esos conjuntos, y por f la función, podemos representar todo lo anterior de la siguiente manera:
f :A? B de tal forma que, a nivel de elementos, tenemos: x ? y ó x ? f(x) o también: f ( x ) = y Expresión que leemos: y es imagen de x mediante la función f.
12 En algunas oportunidades –no en todas, como hemos visto–, la regla puede escribirse en términos matemáticos; por ejemplo, tome- mos este caso sencillo en que cada número de la columna de la izquierda se relaciona con uno de la derecha:
1 ? 3 2 ? 6 3 ? 9 4 ? 12
El dominio de la función es el conjunto C = {1, 2, 3, 4} y el conjunto de llegada, D = {3, 6, 9, 12}; la función es muy sencilla: es la regla “multiplicar por 3”. De este modo escribiremos: f :C? D de tal forma que, a nivel de elementos, tenemos: x? y ó x? f (x) o también: x? 3x ó f (x) = 3x La última expresión es la más operativa; así, f (1) = 3 x 1 = 3, f (4) = 3 x 4 = 12, etc. Vayamos ahora a la restricción de la que nos habla Dirichlet: que a cada valor de la variable independiente (x) en un conjunto de valores dado (en un conjunto de partida), le corresponda un único valor de la variable de- pendiente (y) (en un conjunto de llegada). Si tomamos el caso de los niños y niñas de un salón de clase (conjunto de partida E) y el grupo completo de sus mamás (conjunto de llegada L), y como regla m “ser la mamá de”, podemos escribir: m (Inés) = Guadalupe; y también, m (Carlos) = Guadalupe. Y así se- ría con cada pareja niño(a) – mamá. ¿La regla m puede calificarse como fun- ción? Desde luego, cada niño(a) sólo tiene una mamá, de modo que a cada uno(a) de ellos(as) no le corresponde más de una “ima- gen”; pero si en el grupo de niños(as) hay alguno(a) cuya mamá murió, entonces ese niño(a) no tiene “imagen” según esta regla, por lo cual m no sería una función; evidente- mente,sinohayningún(a)niño(a)huérfano(a) de mamá, m sí es una función. Y, ojo, no im- porta si Inés y Carlos tienen la misma imagen, Guadalupe; lo único que importa es que cada niño(a), sin excepción, tenga a su mamá pre- sente. Supongamos ahora que trabajamos con los mismos conjuntos, pero con la regla h “ser hijo(a) de”. Evidentemente, el conjunto de las variables independientes es ahora L y el de las dependientes, E (¿de acuerdo?). Así, se expresará: h (Guadalupe) = Inés [Inés es hija de Guadalupe]; y también, h (Guadalupe) = Carlos [Carlos es hijo de Guadalupe]. Como se aprecia, h no es una función en sentido matemático, ya que al elemento Guadalupe del conjunto de partida le corresponden dos imágenes, Inés y Carlos, en el conjunto de llegada.
a a a 2 2 2 e e e Como puede observarse, las condiciones para que la situación refleje la presencia de una función matemática atañen solamente a los elementos del conjunto de partida; en el conjunto de llegada puede haber elementos que no sean imagen de ninguno del conjunto de partida (casos 3, 5 y 7), o que lo sean de más de un elemento del conjunto de partida (casos 4 y 7), o que se den ambas condiciones simultáneamente (caso 7); pero esto no impide que se esté en presencia de una verdadera función en sentido matemático. Conviene hacer notar que el conjunto de elementos del conjunto de llegada que son ima- gen de algún elemento del conjunto de partida, recibe el nombre de rango o recorrido de D B C 1 2 3 4 D B C A 1 2 3 B C A 2 3 4 X
1 b d
c Y a 2 3 X
1 la función; también se le conoce como con- junto imagen. Las observaciones del párrafo anterior pueden ahora enunciarse diciendo que el rango o conjunto imagen no tiene por qué coincidir con el codominio o conjunto de llegada de la función. Y vamos a otro punto muy importan- te: ¿Recuerdan la diversidad de sistemas de representación que encontramos para el concepto de fracción (Cuaderno Nº 9)? Pues bien, algo similar ocurre en el caso de las funciones. Vamos a ver algunos de estos sistemas mediante los cuales manifestamos la variabilidad y dependencia de determinadas variables dependientes en relación con otras variables independientes. a.Verbal:Incluyehastalasmanifestacio- nes de nuestros sentimientos o pensamientos; pero hacemos énfasis particularmente en las reglas o consignas: “ser la madre de”, “ser la cuarta parte de”, “ser el siguiente de”, “ser el doble de…, más 3 unidades”, etc. En este sentido, una función se aseme- ja a una máquina en la cual se introduce un elemento x y cuya salida correspondiente es f (x): X f (x) b. Tablas de valores: Tablas en las que aparecen explícitamente los pares de valores [variable independiente – variable depen- diente] que expresan la correspondencia que define determinada función. Como ejemplos nos pueden servir las tablas que recogen dia- riamente y a lo largo de un año las temperatu- ras extremas, las precipitaciones, las horas de salida y puesta del sol, los niveles máximos 13 1. Si llevamos estas condiciones a un sistema de representación gráfico, podemos con- siderar los siguientes 7 casos y preguntar: ¿En qué casos no estamos en presencia de una función? Y Y Y X X X 1 b 1 b 1 b c c c d d d 3 3 3
Caso 1 Caso 2 Caso 3
X Y X Y Caso 4 Y
D Caso 5 Caso 6 Caso 7 máquina f
de presión atmosférica y de humedad, el número de inasistencias de alumnos a nuestro centro escolar, etc. O también, las tablas en las que recogemos las estaturas de nuestros alumnos al inicio de un curso escolar, o sus pesos.
He aquí unos ejemplos de funciones representadas mediante tablas de valores: 1) Pesos (en Kg) de los 11 jugadores del equipo de fútbol de la clase:
2) Número de víctimas –heridos o muertos- en accidentes de tránsito durante una semana en el país:
3) Impuesto al valor agregado (IVA) pagado en pesos por las compras efectuadas o los servicios solicitados por una familia durante los cuatro fines de semana de un mes (tasa: 12%): 2. En cada uno de los tres casos anteriores:
a) ¿Cuál es la variable independiente? b) ¿Y la variable dependiente? c) ¿Cuál es el dominio de cada función? d) ¿Y el codominio?
Como puede apreciarse, el uso de ta- blas de valores para representar funciones es muy apropiado para el caso de las llamadas 14 3. Establezca la relación de correspon- dencia existente entre las siguientes montañas y los países en que se encuen- tran (puede hacerlo con flechas pero además, en este caso y para contrastarla con la respuesta al final del Cuaderno, indique como respuesta los pares “letra número” adecuados): 4. En el ejemplo anterior: a) ¿Cuáles son los elementos del con- junto de llegada que no pertenecen al rango de la función? b) ¿Con qué regla o consigna identifica- ría la función de este ejemplo?
Comentario 1 El ejemplo anterior nos brinda la opor- tunidad de apreciar la necesidad de definir con precisión el dominio de la función. Si hubiéramos planteado la consigna general “está ubicada en”, aplicada al conjunto de partida {mon- tañas de Suramérica}, no estaríamos en presencia de una función, ya que exis- funciones empíricas, aquéllas en las que hay que referirse a valores de la variable depen- diente que son recogidos de una forma em- pírica, es decir, tal como se presentan en la propia realidad. c. Diagramas de Venn: Son gráficas como las siete que aparecen en el ejercicio 1 que acabamos de proponer. Como se pue- de apreciar, en estos diagramas se muestran los conjuntos de partida y de llegada con sus respectivos elementos y las corresponden- cias establecidas entre éstos, representadas por flechas de unión. Esta representación sólo es útil en el caso de que los conjun- tos de partida y de llegada contengan pocos elementos.
ten algunas montañas que se consideran “compartidas” por más de un país; tal es el caso, por ejemplo, de Ojos del Salado, Tupungato y Volcán Llullaillaco, los tres entre Chile y Argentina, o el Volcán Pa- rinacota entre Bolivia y Chile, etc. Esto significaría que estos elementos del do- minio tendrían más de una imagen, con lo cual esta correspondencia dejaría de ser una función. Como esto no ocurre con el conjunto de montañas señalado en el ejercicio, estamos en presencia de una verdadera función.
d. Gráficas cartesianas: Son gráficas que se construyen a partir de dos ejes de refe- rencia –llamados ejes de coordenadas–, uno horizontal (eje de abscisas) y otro vertical (eje de ordenadas). Habitualmente, en el primero se colocan los valores de la variable indepen- diente como si se tratara de una recta real, or- denados y crecientes de izquierda a derecha; y en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente, también como si se tra- tara de una recta real, ordenados y crecientes de abajo hacia arriba. Los valores de ambas variables deben ser, pues, numéricos. En Cuadernos anteriores ya hemos uti- lizado gráficas referidas a estos dos tipos de ejes, horizontal y vertical, en los que se ubi- can los valores de los datos de dos variables diferentes; por ejemplo, las que representan el número de viviendas construidas en un país a lo largo de varios años (histograma) [Ver Cuaderno Nº 17, p. 27], o el número de inasistencias diarias de alumnos a nuestro centro escolar (gráfica de barras) [Ver Cuader- no Nº 17, p. 11]. Pero ahora hay una diferencia de trata- miento con estos datos o valores de las varia- bles, al llevarlos a la gráfica. Así, en referencia a la gráfica de barras, ya no nos interesa levantar una barra completa desde el punto del valor de la variable independiente en el eje horizontal; ahora nos interesa tan sólo marcar el punto de “altura” (ordenada) que está en el extremo su- perior de la barra. Porque la gráfica cartesiana es una gráfica de puntos, de valores de la variable dependiente (de ordenadas).
Si la variable independiente es continua –es decir, puede tomar todos los valores com- prendidos entre dos extremos, como ocurre en el caso del tiempo- tendremos como gráfica una línea de trazos continuos, formada por la secuencia de puntos (valores) de la variable dependiente que van correspondiendo a la secuencia de puntos (valores) de la variable in- dependiente; en caso contrario, la gráfica se compondrá de puntos aislados. Un ejemplo del primer caso es el de la gráfica de la distancia recorrida por un móvil en un lapso de tiempo determinado; y del segundo caso, el número de alumnos inasistentes a la escuela durante los días de un mes determinado. Evidentemente, el uso de gráficas cartesianas resulta más adecua- do para el caso en que la variable independiente sea continua.
He aquí ahora un par de ejemplos de fun- La gráfica nos “describe” la distancia re- ciones representadas por gráficas cartesia- corrida en función del tiempo transcu- nas: rrido; así, vemos que en los 20 primeros minutos se llegan a recorrer 10 km, a una 1) En el eje de abscisas colocamos la varia- velocidadconstante;después,hayundes- ble tiempo t medida en minutos (en inter- canso de 10 m; posteriormente, el ciclista valos de 10 m); y en el eje de ordenadas, avanza 15 km durante 20 minutos, a una la variable distancia d recorrida por una velocidad constante, algo mayor que la persona que pasea en bicicleta, medida inicial del paseo (quizá ahora le tocó ir en km (en intervalos de 5 km). cuesta abajo…); vuelve a descansar otros 10 minutos y, finalmente avanza 5 km en 10 minutos; en total, ha recorrido 30 km en 70 minutos de paseo.
2) Ahora, en el eje de abscisas volvemos a colocar la variable tiempo t medida en minutos (en intervalos de 5 m); y en el eje de ordenadas, la variable velocidad v que va alcanzando un carro, medida en km/h (en intervalos de 20 km/h). He aquí la descripción de la variación de la velocidad en función del tiempo transcurrido; vemos que el móvil parte
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del reposo y que durante 5 minutos va acelerando de manera constante hasta al- canzar la velocidad de 60 km/h; después, mantiene esa velocidad durante 10 mi- nutos, y en los 5 minutos siguientes des- acelera hasta alcanzar una velocidad de 40 km/h; en ese instante vuelve a acelerar de manera constante durante 5 minutos y alcanza la velocidad de 80 km/h; y en los 10 últimos minutos, sigue acelerando con una intensidad constante hasta llegar a la velocidad de 120 km/h.
5. En los dos ejemplos anteriores: a) ¿Cuáles son los dominios de cada función? b) ¿Cuáles son los conjuntos de llegada en cada caso? c) ¿Cuáles son los rangos de cada función?
John Venn (1834-1923) fue un lógi- co británico que popularizó el uso de diagramas para la explicación y com- prensión de las reglas de la lógica y, por
16 ende, de la teoría de conjuntos. En cuanto al calificativo de cartesianas aplicado a ciertas gráficas, proviene del apellido de René Descartes (1596-1650), filósofo, matemático y científico francés, cuyos planteamientos tuvieron una gran influencia en el pensamiento occidental posterior. En el caso de las matemáticas, introdujo el sistema de coordenadas que permitió, entre otras cosas, traducir a expresiones algebraicas lo que hasta el momen- to eran gráficas geométricas de determinadas curvas, con lo que prestó una herramienta importante para su estudio y, en general, para el de las funciones matemáticas.
e. Fórmulas: Son expresiones algebraicas (pueden incluir números y símbolos literales) que expresan la relación existente entre las variables independientes y la variable dependiente. Por ejemplo, para el área A de un cuadrado de acuerdo con la medida l de su lado [A = l 2] o para el área A de un círculo con respecto a la medida r de su radio [A = ?r 2]; para la longitud c de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, conocidas las medidas a y b de sus catetos [c = ], o para la distancia d recorrida por un móvil de acuerdo con la velocidad v que lleva y el tiempo t en que se mueve a esa velocidad de manera constante [d = v t ]. Como puede apreciarse, la representación de una función por medio de fórmulas no es siempre posible.
6. Una persona cuenta un secreto a 6 personas, y cada una de éstas se lo cuenta a otras 6 personas diferentes. Si el chisme se propaga a esta velocidad, a) ¿cuántas personas lo conocen al cabo de tres rondas?; b) ¿y al cabo de n rondas [ésta es la fórmula de la fun- ción]?
2.3 Traducciones entre sistemas de representación de una función
Bien; acabamos de toparnos con la diversidad en cuanto a la tarea de representar el concepto de función: existen, al menos, cinco posibles sistemas de representación. A estas alturas del curso, la situación no es nueva; ya la previnimos en el propio Cuaderno nº 1: buscamos construir una matemática que asuma y genere diversidad. En particular, la “diversidad en los sistemas de representación de un concepto es algo tan importante que los autores estiman que una persona llega a dominar un concepto matemático sólo cuando es capaz de:
– identificarlo en cualquiera de sus posibles sistemas de representación; – representarlo en todos ellos; – saber pasarlo –“traducirlo”– de cada sistema a todos los demás” (Cuaderno nº 1).
En el Cuaderno nº 9 seguimos esa línea de trabajo al tratar el tema de las fracciones. Y vamos a hacerlo también ahora en el caso de las funciones. Por consiguiente, debemos llegar a alcanzar estas tres competencias:
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