Experiencias metodológicas en el proceso de enseñanza – aprendizaje de la Matemática (página 2)

Es de importancia que los estudiantes de agronomía también relacionen los procesos químicos, físicos, biológicos y sociales que ocurren en los agrosistemas, reconociendo las especies y variedades de plantas y animales presentes, con preceptos de conservación y protección, utilizando modelos matemáticos con el auxilio de la computación como herramienta y con el apoyo de la bibliografía necesaria y disponible.

El trabajo profesional en la esfera agrícola no está excento del desarrollo matemático alcanzado mundialmente, su aplicación a problemas biotecnológicos, la aplicación de técnicas de simulación, entre otros, así lo confirman.

La Matemática en la especialidad tiene como objetivo fundamental, modelar situaciones que conduzcan a problemas de la rama agropecuaria con una interpretación económica que justifique su efectividad, utilizando la computadora como una herramienta de trabajo sistemático, que agilice y de respuestas efectivas a dichos problemas.

A continuación destacamos la influencia de algunos núcleos básicos de la Matemática y las disciplinas en las cuales hay incidencias:

Analicemos algunos de los modelos que con más frecuencia se utilizan en las diferentes disciplinas de la especialidad de Agronomía, refiriendo al núcleo básico al que pertenecen:

• Cálculo del PH de los suelos conociendo la concentración de Hidrónio, de utilidad en Química por su importancia en el estudio de característica de los suelos asi como el proceso inverso (funciones)

• Curvas de respuesta (funciones)

La relación entre los incrementos del rendimiento de los cultivos y el nutriente con que son abonados se denomina curva de respuesta al fertilizante.

En general, el incremento del rendimiento que resulta de cada sucesiva adición de nutriente, va siendo cada vez menor. Este fenómeno se denomina ley de los aumentos decrecientes. Matemáticamente, puede hallarse un gran número de formas funcionales que reflejan la disminución de los incrementos.

Entre las curvas de respuesta a los fertilizantes comúnmente usadas, figura la siguiente:

• Ecuación de MITSCHERLICH.

donde:

y0- rendimiento obtenido sin adición de nutriente.

y- rendimiento correspondiente a la aplicación de x unidades de nutrientes.

x- nivel de fertilización.

d- respuesta limitada

k- medida de la curvativa de la curva de respuesta.

Este modelo tiene un alto nivel de generalización en el componente del sistema que estudia, lo que se expresa en considerar:

1 – Un rendimiento inicial sin aplicación de fertilizantes yo.

2 – Una asíntota para niveles normalmente altos de fertilización.

Sus limitaciones son:

• 1- No considera que el rendimiento inicial sin aplicación de fertilizante es función de la composición inicial del suelo.

• 2- No toma en cuenta la brusca disminución de los rendimientos producidos por una sobredosis de fertilizantes.

• El equilibrio de una partícula cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre esa partícula es cero (Algebra Lineal)

• Dos Parcelas de la misma clase de tierra, pero una horizontal y otra a media ladera, que tengan ambas la misma superficie agraria, tienen la misma capacidad productiva. La importancia de los surcos teniendo en cuenta las curvas de nivel es proteger los cultivos de la erosión de los suelos producto de las lluvias (Geometría Analítica)

• Cálculo de la dosis óptima de fertilizantes basado en modelos continuos de respuesta. (cálculo diferencial e integral)

• Condición de máxima eficiencia en la sección transversal de un canal con la misma inclinación de taludes (cálculo diferencial e integral)

• Condición de mínima filtración en la sección transversal de un canal con la misma inclinación de taludes (cálculo diferencial e integral)

• Para calcular trabajo en los isoprocesos (cálculo diferencial e integral)

• Para calcular área de terrenos de forma irregular a partir de mediciones en el campo (cálculo diferencial e integral)

• Calculo del índice de crecimiento de una planta (cálculo diferencial e integral)

• Velocidad de infiltración (cálculo diferencial e integral)

Fórmula de A.N. Kostiakov. Establecida mediante investigaciones teóricas y experimentales

Para conocer la lámina de agua acumulada ht, para determinado tiempo de infiltración se procede:

Donde V0 – velocidad media de infiltración en la primera unidad de tiempo.

Para conocer la velocidad media de infiltración para un tiempo dado se procede:

El conocimiento de la permeabilidad de los suelos es de importancia primordial en el establecimiento de la técnica de riego.

• En termodinámica para definir la entropía de un sistema (cálculo diferencial e integral)

T- temperatura dq- depende del tipo de proceso

• Distribución normal (cálculo diferencial e integral)

Se utiliza fundamentalmente para comparar poblaciones de plantas ó animales.

Por lo tanto:

Con el uso de tablas estadísticas se puede hallar el área bajo ésta curva o en algún intervalo que sea de interés para calcular la probabilidad de ocurrencia de un fenómeno de carácter agropecuario.

• Multiplicacion de las Bacterias (Ecuaciones Diferenciales)

Bajo el supuesto de que la velocidad de multiplicación es proporcional al número disponible de bacterias en cada instante, se expresa mediante la ecuación diferencial:

0 (1)

x- número de bacterias presentes en t minutos

t- tiempo

k- constante de multiplicación.

su solución es en la literatura se reconoce como curva de multiplicación, que graficada se obtiene:

Se observa que a medida que transcurre el tiempo, el número de bacterias crece exponencialmente.

• Desnaturalización protéica de las enzimas (Ecuaciones Diferenciales

• Dinámica de crecimiento de una población (Ecuaciones Diferenciales)

Han sido solo algunos ejemplos de la infinita variedad de modelos matematicos establecidos o no, que reflejan mediante expresiones un proceso biologico, quimico o fisico. La matemática le brinda al estudiante la posibilidad de modelarlo, resolverlo e interpretar la solución obtenida, asi como desarrollar en él las habilidades del pensamiento lógico que propicien volver al objeto inicial y comparar fenómeno solución y elaborar conclusiones, desarrollando capacidades en la toma de decisiones. Pero debemos lograr que estas disciplinas en años superiores enfoquen estos fenómenos de la misma forma como continuidad del proceso integral de formacion del ingeniero.

Y poco a poco contribuir, entre todos, a erradicar de la mente de alumnos, profesores y profesionales de la rama la idea de la poca o nula necesidad de la matemática en la formación del agrónomo.

Programa Director de Matemática.

La propuesta curricular de la Matemática fundamentada en el enfoque sistémico estructural funcional se concibió a partir de precisar el objeto fundamental de estudio, analizar la estructura y funciones de este y los niveles jerárquicos por los cuales tiene que transitar su estudio. La matemática de forma directa e indirecta contribuye a la formación profesional del especialista, de forma indirecta en la formación básica que requieren las disciplinas y de forma directa en la solución de problemas vinculadas a su perfil profesional, de esta forma es preciso esclarecer cuales son estos problemas fundamentales para determinar las funciones de la Modelación Matemática en la Carrera de Agronomía y estructurar la disciplina de forma que estas funciones se concreten a través de los componentes fundamentales del proceso docente: docencia, producción e investigación, considerados en mutua interrelación.

En la especialidad de Agronomía se pone en vigor el Plan "A" con las asignaturas Matemática Superior I, II, III, lográndose un equilibrio en las horas clases a impartir y el volumen de los contenidos incluidos en cada una de ellas. Este Plan no fue tan efectivo como se esperaba puesto que la distribución de los contenidos no respondía a la articulación con las demás disciplinas y en la enseñanza prevalecieron los métodos expositivos, por esto se comienza la implantación del perfeccionamiento dando lugar al Plan de estudios "B".

En el Plan "B" fundamentalmente se realiza una integración y redistribución de los contenidos de las asignaturas, manteniendo como asignaturas, Matemáticas I, II, III.

Entre los lineamientos del perfeccionamiento (Plan "B") se orienta reforzar la aplicación de la computación, el uso del idioma extranjero, además de emplear la Matemática y las técnicas de computación como herramientas que le permitan agilizar la solución de problemas relacionadas con la profesión.

Este Plan adoleció de no poder impartir todos los que estaban fundamentados en el perfil del especialista. Para suplir esta deficiencia se comienza un nuevo perfeccionamiento que da lugar en 1990 al Plan estudios "C".

En el Plan "C" se realiza una nueva reestructuración del contenido mediante disciplinas, con ello se logra un nivel matemático superior, al confeccionarse como documento único el programa de la disciplina, se incluye la Programación Lineal, muy necesaria para el futuro especialista, pues mediante esta técnica pueden resolverse diversos problemas vinculados con los procesos agropecuarios. Uno de los mayores logros de la creación del Plan "C" es la concepción de un especialista de perfil amplio.

Para esto se instrumenta como uno de los objetivos fundamentales de las Matemáticas la modelación de problemas concernientes a toma de decisiones planteadas en las esferas agropecuarias. Se trabajó en una readecuación del plan de estudios "C", la cual se aviene con las condiciones socioeconómicas y productivas, con la finalidad de concretar y consolidar las concepciones y experiencias acumuladas en el orden pedagógico científico y productivo.

En el plan "C" la Carrera de Agronomía tenia 3 disciplinas muy relacionadas entre sí: Matemática Superior (tres asignaturas), Computación (una asignatura) y Biometría (dos asignaturas). En este perfeccionamiento se incluyen en la disciplina de Matemática cuatro asignaturas: Matemática I, Matemática II, Computación y Biometría y Diseño, eliminándose la Matemática III, aunque se mantiene la modelación de problemas como el objetivo fundamental y el sistema de conocimientos no sufren cambios significativos.

La disciplina en el plan "C" constaba con 178 horas, las cuales se dedicaban solo a la impartición de contenidos Matemáticos. En el plan "C" perfeccionado, el número de horas es de 340, pero a las Matemáticas solo se dedican 154 horas siendo el resto dedicadas a las asignaturas de Computación y Biometría y Diseño. Como se observa en el nuevo plan a las Matemáticas solo se le reducen 24 horas, lo que no influye negativamente en la impartición de las asignaturas si se utilizan nuevos métodos y medios de enseñanza en el proceso de aprendizaje como son:

• - Concretar y estructurar racionalmente los contenidos de las asignaturas de Matemática que necesita el Ingeniero Agrónomo para resolver problemas de la especialidad, aplicando la modelación Matemática y los medios de cómputo como una herramienta de solución.

• - Hacer énfasis en conceptos y definiciones dejando la excesiva cantidad de cálculos en un segundo plano.

• - Hacer una utilización más eficiente de los textos básicos y complementarios en el estudio sistemático e individual del estudiante y confeccionar materiales de estudio para el mejor desarrollo del proceso docente.

• - Diseñar actividades y tareas que integre la aplicación de los contenidos matemáticos dentro y fuera de la disciplina Matemática que culmine con la realización al final del año de un trabajo de curso donde se vinculen la mayoría de las asignaturas incluyendo la Matemática.

• - Aplicación de métodos que influyan en la participación activa de los estudiantes en el proceso de aprendizaje tanto individual como colectivamente, incluyendo técnicas de aprendizaje.

Nuestra propuesta respeta esta concepción de asignaturas y horas, pero fundamenta una redistribución de contenidos dentro de las Matemáticas, para realizar la misma se hizo un estudio exploratorio, se aplicaron encuestas y entrevistas a jefes de carrera, disciplinas, profesores de experiencia, alumnos de diferentes años de la carrera. Se revisaron planes de estudio, programas, textos, planes de clases y se logró determinar en que aspectos podría la Modelación Matemática trabajar directamente sobre los contenidos de las 16 disciplinas que integran el plan de estudio.

Teniendo en cuenta estos aspectos, se estructuraron los contenidos de las matemáticas para Agronomía de forma que se pueda contribuir al logro de los objetivos declarados en el modelo del especialista y que sea un instrumento importante en la solución de los problemas que se le presentan al egresado en la práctica profesional actual y perspectiva.

Se propone impartir una nueva asignatura, no incluida hasta el momento en el plan de estudio: Optimización de procesos Agropecuarios, en dos variantes: facultativa y opcional, ya que en el último año de la carrera le ofertan muchas asignaturas de interés a los estudiantes, para seleccionar, por lo que también tendrán la oportunidad de cursarla en 4to año de forma facultativa

Sistema de conocimientos:

El problema de la Programación Lineal. Supuesto del Modelo. Conjuntos Convexos. Propiedades. Puntos extremos. Hiperplanos. Solución gráfica de un problema de PL. Ideas básicas del método Simplex. Resolución de problemas de PL utilizando paquetes de programas. Interpretar la solución óptima.

Conceptos básicos de los sistemas de servicio y de inventario. Modelos Matemáticos y algoritmos de solución. Análisis de sistemas. Introducción a la Simulación de eventos discretos. Técnicas para su uso. Análisis estadístico de los datos de entrada y salida. Ejemplos prácticos generales.

Sistemas de Habilidades.

• 1. Modelar fenómenos de carácter agropecuario utilizando la programación Lineal.

• 2. Resolver problemas propios de su especialidad utilizando software especializado e interpretar la solución.

• 3. Mantenerse actualizados sobre la importancia de la Simulación en la solución de problemas agropecuarios como tendencia mundial.

Recomendaciones Metodológicas:

• 1. Se recomienda discutir los modelos más utilizados en la literatura científica:

• Planificación de las raciones óptimas multi – ingredientes.

• El balance alimentario vacuno.

• El parque de tractores y maquinarias agrícolas.

• Planificación del riego.

• 2. Utilización de paquetes de programas como INSOL, STORM, SIMUFRE, Mathprog, entre otros.

• 3. Realizar seminarios donde se debatan los diferentes problemas de PL y se refleje el nivel actual y los problemas principales de aplicación de la Simulación a temáticas agropecuarias.

• 4. Realizar un trabajo de curso que aplique los conocimientos adquiridos y que de solución a problemas de la rama agropecuaria, que redunde en beneficio de la sociedad.

La propuesta curricular antes expuesta tiene un carácter integrador y está concebida como un sistema único, capaz de ayudar a la formación de un profesional de perfil amplio y creador. Además es novedosa pues propone el tema "Introducción a la simulación" como un aspecto de gran importancia para la formación del Ingeniero Agrónomo teniendo en cuenta que los procesos agropecuarios tienen carácter biológico. El conocimiento de aspectos de esta ciencia contribuirá a pronosticar y por ende a decidir sobre el comportamiento de diferentes fenómenos de carácter aleatorio que inciden en la producción agropecuaria. Así el futuro ingeniero podrá de una forma hábil y creadora resolver los disímiles problemas que se presentan en las unidades agropecuarias, contribuyendo de esta forma a la recuperación a corto plazo de la agricultura cubana.

Experiencias en el trabajo metodológico en la impartición de la Matemática I y Matemática II, utilizando este diseño curricular:

• Se implementó el uso sistemático paquetes de programas y tablas matemáticas

Tradicionalmente en la carrera de Agronomía se utilizaban con mucha frecuencia los métodos de cálculos impartidos por el profesor en clases. Los estudiantes se veían en la necesidad de resolver derivadas e integrales de funciones que en ocasiones no resultaban tan sencillas y que ellos nunca se iban a encontrar en problemas prácticos de su profesión, conscientes de que de todos los medios de cálculos actuales, las computadoras electrónicas son las más importantes herramientas que se deben utilizar en el proceso de enseñanza de la Matemática y su uso sistemático es imprescindible para adquirir habilidades en el manejo del software que se imparta, en el estudio de la Matemática los estudiantes de agronomía aplican la computación en temas como:

• Ajuste de curvas.

• Integración aproximada.

• Trazado de curvas

• Programación Lineal

Utilizándose como medio de enseñanza, para motivar al estudiante y resolver problemas vinculados con su especialidad, así como herramienta de cálculo: eliminando el desarrollo de habilidades de cálculos engorrosos dejando esto a la computadora. Se utiliza también para desarrollar el trabajo independiente de los estudiantes, en las tareas extraclases, donde se promueve además de la interdisciplinaridad, el desarrollo del carácter investigativo de los estudiantes.

• Se desarrollaron dos seminarios sobre:

• Teoremas fundamentales del cálculo diferencial.

• Aplicación del Cálculo Integral a la solución de problemas

• Trabajo extraclase sobre el trazado de curvas aplicando la computación.

• Evaluaciones parciales integradoras con la participación de varias disciplinas.

• Desarrollamos un seminario sobre problemas de PL (utilizando literatura actualizada y artículos científicos)

• Trabajo de control extraclase donde el estudiante busca, modela, resuelve e interpreta la solución de un problema de P. Lineal buscado en una empresa del territorio. Se finaliza la tarea con un taller evaluativo donde se exponen los mejores problemas presentados por los estudiantes. Algunos de estos trabajos vinculados a la asignatura integradora Práctica Agrícola y todos aplicando la computación.

La evaluación, componente esencial del proceso

Es una realidad que la matemática en las carreras de Ingeniería constituye uno de los obstáculos fundamentales para sobrepasar los primeros semestres y muchos la consideran como un medio para decantar la matrícula de estas carreras. La Ingeniería Agronómica, no escapa de este fenómeno actual por lo que nuestro trabajo pretende responder varias de las interrogantes que se han generado del problema:

• ¿Qué matemática enseñar a estos estudiantes?

• ¿Cómo enseñar la matemática?

• ¿Cómo evaluar lo que enseñamos?

Los medios y procedimientos utilizados para tomar muestras de los resultados del proceso enseñanza – aprendizaje en forma sistemática y cuyo análisis permiten hacer un juicio sobre la medida y calidad con que se logran los objetivos, son los controles.

Algunos tipos de controles desarrollados en el proceso:

Sistemáticos, Parciales, Trabajos extraclases, Seminarios, Talleres, Concursos

Prueba Parcial Integradora: interrelacionando con otras asignaturas del año (anexo)

Luego de varios años vinculándonos con diferentes asignaturas para realizar diversas evaluaciones parciales, se diseñó esta prueba integradora de conocimientos, cuyos resultados han sido superiores en comparación con el resto de las pruebas parciales aplicadas en el primer semestre:

Medios de enseñanza confeccionados

• Manual "Problemas y ejercicios de análisis matemático para estudiantes de Ingeniería Agronómica".

Proporciona a los estudiantes de 1er año un único libro donde no sólo se han adecuado los ejercicios, según las necesidades actuales y futuras de los agrónomos, sino que todos los capítulos que están desarrollados en él, tienen la misma concepción de interdisciplinaridad con un enfoque problémico y se resuelven algunos ejemplos vinculados con las asignaturas de la especialidad.

Capítulo I Nociones de Algebra Lineal.

Capítulo II Funciones

Capítulo III Límite y continuidad de una función de variable real

Capítulo IV Cálculo Diferencial

Capítulo V Cálculo Integral

Capítulo VI Ecuaciones Diferenciales

Capítulo VII Problemas de Optimización

Capítulo VIII Programación Lineal

• Folleto "Problemas de programación lineal aplicados a la producción agropecuaria".

Concebido como material donde profesores y estudiantes pueden estudiar, profundizar conocimientos, ya que no sólo está dirigido a los estudiantes del primer año, sino que debe ser bibliografía obligada para una asignatura que se está proponiendo impartir de forma optativa o facultativa a los estudiantes de años superiores.

Los problemas aquí presentados pueden ayudar en la formación de un profesional capaz de tomar decisiones que eleven la productividad de la esfera agropecuaria a niveles tales que satisfagan en alguna medida las crecientes demandas de la población. Han sido recopilados de artículos y textos anteriores, así como enriquecidos con los problemas de la esfera social y productiva que durante varios años nuestros estudiantes han modelado, resuelto e interpretado en sus tareas extraclases.

Bibliografía:

• 1. Cañas, Raúl. Análisis de sistemas de simulación en el planteamiento de modelos para la resolución de problemas agrícolas. RCIA, Chile, 1992, V19, N1-2.

• 2. Hing Corton, Rosina. Seminario de Educación Matemática. Conferencia #2. Universidad EAFIT, Medellín, Colombia. 1997.

• 3 López Fleites, Ramon y colectivo de autores. Modelo del profesional y plan de estudio del Ingeniero Agrónomo. Habana, Marzo 1999.

• 4  López Palacio, Juan. Los Principios Didácticos y el proceso docente en la educación superior. UCLV, 1982.

• 5 López, Jesús. Análisis bidimensional en la infiltración en el riego por surcos. Revista Agrociencia, México, 1997, V31, N3.

• 6 Ortega Díaz, Ramón A. Metodología de la enseñanza de la asignatura Programación Lineal en la Carrera de agronomía. UCLV, 1996.

• 7 Ortega Diaz, Ramón A. Perfeccionamiento de la Enseñanza de la Matemática en la Carrera Agronomía. Tesis para optar por el grado Maestro en Ciencia. UCLV. 2000.

• 8 Talízina, N.F. Conferencias de la Educación Superior. Editorial Pueblo y Educación, 1985.

• 9 Rodríguez, Eugenio C.La superación del profesor de Matemática en la Universidad de hoy. Una experiencia cubana.COMAT´99. Matanzas 1999.

• 10 Yepis Vargas, Olga y colectivo de autores. El perfeccionamiento del trabajo interdisciplinario por año como herramienta básica para la formación integral del profesional universitario. Conferencia internacional de Ciencias de la Educación. Universidad de Camagüey. Diciembre 1999

Anexo

Universidad Central "Marta Abreu" de Las Villas.

Facultad de Ciencias Agropecuarias

Especialidad: Agronomía

Año: primero

Evaluación integradora

Semana 16

Asignaturas:

• ? Practica agrícola I

• ? Matemática I

• ? Computación

Problema: Estimar áreas de campos de cultivos

Objetivos:

• ? Determinar el área de superficies irregulares aplicando modelos matemáticos sencillos y de alguna complejidad utilizando además la computación como una herramienta auxiliar.

• ? Demostrar destreza en la aplicación de los conocimientos de la asignatura computación en otras asignaturas.

Tareas a realizar

• 1. Hacer el trabajo práctico de campo

• 2. Elaborar un esquema del campo con todas sus magnitudes.

• 3. Realizar la estimación del área del campo por métodos de la geometría elemental (descomponiendo en tantas figuras geométricas como sea necesario).

• 4. A partir de las magnitudes conocidas aplicar el modelo Integral Definida y los métodos numéricos para estimar el área.

• 5. Utilizar programas de computación para hacer dichos cálculos.

• 6. Demostrar habilidades en el uso de la computación teniendo en cuenta los conocimientos recibidos.

Criterio para otorgar la evaluación:

Las asignaturas en particular manejarán criterios en sus evaluaciones parciales, pero a los estudiantes se les otorgará una evaluación única, que recogerá el criterio parcial de las tres asignaturas a evaluar.

Autor:

MSc. Ramón A. Ortega Díaz

Lic. Aida M.Torres Alfonso

Dra. Norma Santos Marín

Dr. Ramón López Fleites

U.C.L.V.

Santa Clara Cuba