La Metodología de las Raíces Unitarias (página 2)

VII. Instrumentalizacion de la Metodología de Vectores Autorregresivos (VAR)

En esta parte del artículo se analizara los detalles técnicos asociados con estimación y uso de los Vectores Autorregresivos (VAR), en particular en el manejo de series de tiempo no estacionarias útil para analizar la interrelación entre las diferentes series de tiempo. El objetivo fundamental de la propuesta es proporcionar una estrategia de modelización que al evitar la generosa imposición de restricciones en que se apoya la identificación de los modelos econométricos convencionales, permita reflejar lo más fielmente posible las regularidades empíricas e interacciones entre las variables objeto de análisis.

Cuando se tienen varias series, es necesario tomar en cuenta la interdependencia entre ellas. Una forma de hacerlo es estimar un modelo de ecuaciones simultáneas, pero con rezagos en todas las variables. Este modelo se conoce como modelo dinámico de ecuaciones simultáneas . Sin embargo, esta formulación supone dos pasos: primero, es preciso clasificar las variables en dos categorías: endógenas y exógenas; segundo: deben imponerse ciertas restricciones en los parámetros para lograr la identificación. Para superar esto se propone el uso de los "Vectores Autorregresivos" que no es más que una generalización del modelo Autorregresivo AR ( p ) a las series de tiempo múltiples.

Los Vectores Autorregresivos han proveído una exitosa técnica para hacer pronósticos en sistemas de variables de series de tiempo interrelacionadas, donde cada variable ayuda a pronosticar a las demás variables. VAR es también frecuentemente utilizado, aunque con considerable controversia en el análisis del impacto dinámico de diferentes tipos de perturbaciones y controles fortuitos en sistemas de variables. Un VAR es un sistema de variables que hace de cada variable endógena una función de su propio pasado y del pasado de otras variables endógenas del sistemas . El estudio de las interacciones dinámicas estimadas es una de las motivaciones fundamentales de los usuarios de los modelos VAR y, de hecho, los usos típicos de estos modelos reflejan esta motivación. Tales usos son el computo de las funciones impulso-respuesta y de la descomposición de la varianza del error de predicción. Las implicaciones dinámicas del modelo estimado dependerán evidentemente de la estructura de correlaciones contemporáneas reflejada en la matriz de perturbaciones. Explicar cómo realizar esta incorporación, el computo de las estimaciones VAR, de la función impulso-respuesta y de la descomposición de la varianza del error de predicción, serán el objeto de estudio de las siguientes secciones. La estimación del modelo VAR es más sencillo, ya que es posible utilizar el método de los Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO). Toda esta exposición esta basada en los trabajos de Christopher A. Sims, "Macroeconomics and Reality" (1980) y "Macroeconometrics VAR: A Explanations" (1991).

Metodología del Vector Autorregresivo

La metodología VAR es, en cierta forma ,una respuesta a la imposición de restricciones a priori que caracteriza a los modelos econométricos convencionales: en un sistema de ecuaciones simultáneas se requiere imponer restricciones sobre los parámetros de las mismas para garantizar la identificación y posible estimación de las ecuaciones que lo conforman. Para ello, además, es indispensable diferenciar entre las variables endógenas y las predeterminadas, es decir, aquellas cuyos valores no son determinados por el modelo en el período actual. Estas últimas pueden ser exógenas o endógenas rezagadas.

El VAR presenta alternativamente, un sistema de ecuaciones simultáneas en el que cada una de las variables son explicadas por sus propios rezagos y los del resto de variables del sistema. Es decir no se admite restricciones a priori y todas las variables son consideradas endógenas. La única información a priori que se incluye está referida al número de rezagos de las variables explicativas que se incorporan en cada ecuación.

No obstante, en términos operativos, una correcta especificación del sistema requiere que la determinación de las variables a ser incluidas en él, se base en el conocimiento de un modelo teórico relevante. Un VAR tiene en general la siguiente especificación:

(1) Yt = P iYt +i +m t

Donde Yt é Yt-1 son vectores de orden m1 (m es el número de rezagos del sistema) y P i es la matriz (cuadrada de orden m) de coeficientes del rezago i de las variables explicativas en las m ecuaciones.

De esta forma, se puede observar que deberán estimarse tantas matrices P i como rezagos se incluyan en el sistema. Matricialmente: (2)

Y1t a11(L) a12(l) … a1m(L) Y1t m 1t

Y2t a21(L) a2m(L) Y2t m 2t

. = . . . . + .

. . . . . .

Ymt aml(L) … amm(L) Ymt m mt

En este sistema:

(3) E[m tm t-j] = 0 " j ¹ 0

(4) E[m tm ´ t] = S

Como se observa, todas las explicativas del sistema son predeterminadas (endógenas rezagadas); además, los errores tienen una varianza constante y no presentan autocorrelación. Por ello, el mejor estimador asintótico de este modelo es el de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) aplicado ecuación por ecuación. En términos prácticos se recomienda:

1-Limpiar cada una de las series de cualquier tipo de estacionariedad.

2-Estimar por MCO cada ecuación individualmente.

3-Determinar el número de rezagos de las variables explicativas que deben permanecer en cada ecuación.

Para ello se sugieren dos tipos de test: primero el test F por bloques, para probar la hipótesis nula de que un número i de rezagos deben incluirse como explicativas en cada ecuación, versus la alternativa de que dicho número es i + r > i.

Este test tiene el problema de que debe ser aplicado individualmente a cada ecuación, pudiendo llegarse a la conclusión de que el número de rezagos a incluirse en ellas es diferente en cada caso. Esto le restaría eficiencia al estimador de MCO; segundo, el test de Máxima Verosimilitud para el conjunto de ecuaciones. La hipótesis nula de este test es el que el sistema tiene un número i de rezagos versus la alternativa de que este número es j + r . El estadístico seria:

{ T – C } * { log |S i| – log |S i + r |}

donde

log |S i|=logaritmo del determinante de la matriz de varianzas y covarianzas para el modelo con i rezagos.

T = Número de observaciones.

C = Parámetros del modelo no restringido en cada ecuación:

{12 (j + r) +1}

Este test se distribuye c 2 con grados de libertad igual al número de restricciones en el sistema {4 ( i + r ) 2}. Este test tiene poco poder para rechazar test sucesivos de restricción de rezagos; por ello el rezago referencial debe ser el de mayor valor en el sistema, es decir, cualquier hipótesis nula debe ser contrastada contra el rezago ( i + r ).

No se debe utilizar el test " t" ni dar importancia a los signos de los coeficientes, ya que existe una gran multicolinealidad entre las variables de cada ecuación. La magnitud de los coeficientes es un indicador relativo de la significancia de la variable (un coeficiente pequeño generalmente acompaña a una variable poco significativa).

Nótese que una de las desventajas del uso de este modelo es que su estimación implica calcular m2p coeficientes, sin considerar los de la matriz S 2.

Una forma alternativa de representación VAR consiste en hacer depender el vector de valores actuales de las variables del valor actual y los infinitos rezagos del vector de errores:

(5) Yt=P i Li Yt + m t

(6) [ I – P i Lj] Yt = m t

(7) A(L)Yt = m t

(8) Yt = m t / A(L)

(9) Yt = d + m t +Y 1m t-1 +Y 2 m t-2 + .…

donde ( 9 ) es una representación MA (¥ ).

Esta representación puede ser transformada de tal forma que los valores actuales sean una función de los valores presentes y pasados de un vector de innovaciones ortogonales: como los errores (5) no tienen porque estar correlacionados, se acostumbra premultiplicar dicha ecuación por la única matriz triangular (T) , con unos en la diagonal principal, que diagonaliza la matriz de covarianzas del error. Así, se obtiene un nuevo modelo con errores ortogonales:

TYt = TP i Yt-1 + h t

donde: h t = Tm t es el vector de las innovaciones ortogonalizadas, y D = TS T. Es decir, para cada matriz S real, simétrica y definida positiva existe una única matriz triangular P con unos en la diagonal principal y una única matriz diagonal D con entradas positivas en la diagonal, tal que : S = PDP´.

Si se requiere obtener un nuevo modelo con errores ortogonales, bastará con hacer T = P-1, de forma tal que:

E(h th ´t) = [ P-1] E (m tm ´t) [P-1]

= [P-1]S [P-1]´

= [P-1]PDP´[P´]-1

E(h th ´t) = D

Donde D, la matriz de varianzas y covarianzas de los errores transformados, es una matriz diagonal que garantiza su ortogonalidad. A partir de este modelo transformado se pueden obtener las interacciones dinámicas estimadas: la función de impulso-respuesta ortogonalizada, calculando el efecto sobre Yt+s de un impulso unitario h t+s ; y de descomposición de la varianza del error de predicción, los cuales serán materia de discusión en las secciones siguientes.

Especificación del Sistema VAR.

En la práctica es frecuente la existencia de más de dos variables endógenas y muchas veces más de un rezago. El modelo de Autorregresión Vectorial con tres rezagos para cada una de las 2 variables endógenas e incluyendo la constante sería:

Y = a 0 + b 1Yt- 1 + b 2Yt-2 + b 3Yt-3 + b 4 Xt-1 + b 5 Xt-2 +b 6 Xt-3 + x 1.

X = a 1 + b 13Yt- 1 + b 14Yt-2 + b 15Yt-3 + b 16 Xt-1 + b 17 Xt-2 +b 18 Xt-3 + x 2.

Hemos considerado el sistema en términos lineales (el sistema también puede escribirse en términos del operador de retardos L), a fin de tener una expresión convergente para las variables endógenas en términos de las innovaciones ( x 1, x 2,):

Yt = A1Yt-1 + ………+ApYt-p + x t

Y1t = D -1[(1-a nnL)x 1t + a 1nLx 2t+…..a nnLx nt]

Para el caso de un modelo, con 2 variables endógenas: Yt, Xt, y 3 rezagos para cada una de ellas, la primera ecuación sería:

Yt = a 1 +b j Yt-j +d j Xt-j + x 1

Xt = a 2 +f jYt- j+l jXt-j+ x 2t

Estimación y Calibrado Econométrico VAR.

Desde una perspectiva Bayesiana, el problema de estimación consiste en obtener una estimación de los coeficientes partiendo de la distribución de los mismos y la nueva información incorporada en el vector de observaciones de las variables endógenas. La estimación se completa cuando se han procesado todas las observaciones muéstrales de acuerdo con las ecuaciones de actualización, obviamente, llevar a término el proceso requiere especificar el sistema VAR , así como la distribución que debe ser interpretada como condicional en la historia premuestral. Un principio básico de esta metodología es evitar a priori exclusiones injustificadas de variables; de otro lado, la introducción de coeficientes que dependen del tiempo tiene como objetivo capturar posibles no linearidades en el vector estocástico modelado.

Los coeficientes estimados de un VAR son difíciles de interpretar. Por causa de esto es muy probable observar en la función de impulso-respuesta y de descomposición de la varianza del sistema, ciertas implicaciones acerca del VAR .

Teóricamente, en cada ecuación el coeficiente de la propia variable rezagada tendrá una media inicial de 1, y todos los demás tendrán una media inicial de 0, con la varianza de la variable a priori disminuyendo a medida que aumenta la longitud del rezago. Al aumentar la longitud del rezago, disminuye la varianza; es decir, cada vez es mayor la certeza de que el coeficiente es cero. Para todos los demás coeficientes, dicho valor inicial será de 0 y los valores iniciales de los coeficientes rezagados se concentrarás más en torno a cero.

Como el objetivo de la modelación VAR es el estudio de las interacciones dinámicas de diferentes tipos de perturbaciones y controles fortuitos, y de hecho, los usos típicos de esta modelación reflejan esta motivación, se pasará al análisis de las funciones impulso-respuesta y de la descomposición de la varianza ,a fin de realizar evaluación de políticas y el análisis del poder predictivo del sistema, tópicos que se describen en las siguientes secciones del artículo.

Función Impulso-Respuesta.

Esta función es simplemente la representación de medias móviles asociada con el modelo estimado y explica la respuesta del sistema a shocks en los componentes del vector de perturbaciones . La función impulso-respuesta traza la respuesta de las variables endógenas en el sistema ante un shock en los errores. Un cambio en x 1 cambiaría inmediatamente el valor de Y . Ello además cambiaría todos los valores futuros de las demás variables endógenas del sistema, debido a la estructura dinámica del sistema.

En una función mpulso-respuesta , separa los determinantes de las variables endógenas dentro de los shocks o identifica innovaciones con variables específicas. Entonces, traza el efecto corriente y valores futuros de las variables endógenas ante un "shock" de una desviación estándar a las innovaciones (variables estocásticas).

Si todos los componentes estocásticos de nuestro sistema VAR son incorrelativos, la interpretación es directa, x 1 es la innovación Y , x 2 es la innovación X, y así sucesivamente. Una función impulso-respuesta para x 2 mide el efecto de una desviación estándar ante un shock en X actual y futuro para las variables endógenas.

Por desgracia, este no es casi nunca el caso pues los errores son totalmente incorrelativos. Cuando los errores se correlacionan, ellos tienen un componente común el cual no puede ser identificado con cualquier variable específica. Un método algo arbitrario de negociación con este problema es atribuir todo el efecto a cualquier componente común a la variable, aquel que venga primero en el sistema VAR. En nuestro sistema, el componente común de x 1 y x 2 es totalmente atribuido a x 1, porque x 1 precede a x 2; x 1 es la innovación Y y x 2 es la innovación X transformado o removido el componente común.

Más técnicamente los errores son ortogonalizados por una descomposición Choleski, así la matriz de covarianza resultante es triangular inferior (los elementos por encima de la diagonal principal son cero). La descomposición Choleski es extensamente usada, es un método un poco arbitrario de atribución de efectos comunes. Cambiando el orden de las ecuaciones, se puede cambiar dramáticamente las funciones impulso-respuesta, hay que tener cuidado con las interpretaciones de estas funciones.

Descomposición de la Varianza del error de predicción.

La descomposición de la varianza de un VAR brinda información acerca de la potencia relativa de innovaciones aleatorias para cada variable endógena. Este ejercicio consiste en descomponer la varianza de las variables endógenas en componentes que permitan aislar el porcentaje de variabilidad de una endógena explicado por una de las innovaciones para distintos horizontes predictivos. Tal descomposición se obtiene luego de "ortogonalizar" el vector de perturbaciones ,que consiste en distribuir la responsabilidad de las correlaciones reflejadas en la matriz de covarianza entre los distintos componentes del vector de perturbaciones. La intensión al hacer explícita esta conexión entre el modelo originalmente estimado y el obtenido, es clarificar que el modelo obtenido una vez realizada la ortogonalización, no es una forma reducida, sino una forma estructural; y que por tanto, el proceso de ortogonalización es de hecho una forma de identificación. De esta manera se pueden calcular las contribuciones de las innovaciones sobre el error de predicción del período siguiente. Es de esperar que en el corto plazo la propia innovación explique la mayor proporción de este error.

Evaluación de política y análisis del poder predictivo de un sistema VAR.

Uno de los objetivos finales de la Econometría y tal vez el que le dé mayor uso potencial, es la evaluación de políticas . Este objetivo se refiere a una situación en la cual los que realizan la toma de decisiones deben elegir una política, denominada "plan", a partir de un conjunto de políticas alternativas dado. La evaluación de políticas esta íntimamente relacionada con la predicción y, al igual que la predicción, se asumirá que la elección de políticas es cuantitativa, explícita e inequívoca. De hecho, la predicción y la evaluación de políticas están interrelacionadas dentro de un sistema de retroalimentación: un pronóstico debe estar basado, en parte, en supuestos concernientes a la elección de quienes toman decisiones relevantes. A la inversa, la evaluación de políticas debe estar fundamentada, también en parte, sobre predicciones de los efectos de las distintas políticas alternativas.

De esta manera el cálculo de las funciones impulso-respuesta y de descomposición de la varianza, sugieren las mismas interacciones dinámicas. Estas desviaciones fueron calculadas mediante un ejercicio de Montecarlo (bajo el supuesto que los errores tienen una distribución normal) utilizando la distribución a posteriori del operador autorregresivo. El método de Montecarlo es la única vía practicable para este cálculo dada la relación no lineal que existe entre las representaciones autorregresiva y de medias móviles.

Vectores Autorregresivos y Cointegración.

Existe una relación simple entre la técnica de Vectores Autorregresivos y la Cointegración . Si las raíces características (eingenvalor) de la matriz de coeficientes del VAR son iguales a la unidad, las series de ambas son integrales de primer orden, pero no cointegrales ; si precisamente el número de raíces es uno, las series son cointegrales. Si ninguna de las raíces es unitaria, las raíces son estacionarias, de tal forma que no son integrales ni cointegrales.

¿Cómo se encuentra la relación cointegrable a partir del modelo VAR? El procedimiento es el siguiente: encontrar las raíces características (eigenvalores) ; después, correspondiendo a cada raíz, encontrar el vector característico; luego construimos una matriz con los vectores característicos obtenidos e invertimos dicha matriz, entonces, las columnas de esta matriz dan las combinaciones lineales requeridas .En la práctica es necesario probar las raíces unitarias. Esto se lleva a cabo por medio de la metodología de Johansen desarrollada en su obra: "Statistical Analysis of Cointegration Vectors"(1991).

Test de Cointegración en un Sistema VAR.

Un grupo de series de tiempo esta cointegrado si es que existe una combinación lineal estacionaria y dicha combinación no tiene una tendencia estocástica. La combinación lineal es llamada "ecuación de Cointegración". Su interpretación normal es a largo plazo, estudiando las relaciones de equilibrio a largo plazo. Si tenemos "n" variables endógenas, cada una integral de primer orden (esto es, cada una con raíz unitaria o tendencia estocástica o con elementos de camino aleatorio), los cuales pueden ir desde cero a n-1 con vectores cointegrados linealmente independientes, si esto no se cumple, se tendrían que aplicar primeras diferencias a la muestra hasta lograr su estacionariedad.

El test de Johansen determina el número de ecuaciones de Cointegración. Este número es llamado "rango de Cointegración". Si hay n ecuaciones de Cointegración , las medias de las series están integradas actualmente y el VAR puede reformularse en términos de niveles de todas las series. El test aumentado de Dickey-Fuller (ADF) muestra que algunas de las series son integradas, pero el test de Johansen muestra que el rango de Cointegración es "n". Esto una secuencia de modelos anidados , los modelos más restringidos, con el menor número de parámetros, no poseen ecuación de Cointegración, este es un VAR irrestricto en primeras diferencias. Cada ecuación de Cointegración añade parámetros asociados con el término de envolvencia de niveles para las series que se añade a cada ecuación. El test de Johansen procura computar el ratio estadístico de verosimilitud (likelihood ratio) para cada ecuación de Cointegración añadida . Este test no tiene una distribución chi-cuadrado usual; la contrastación de estos estadísticos se debe realizar apatir de las tablas de Johansen y Juselius (1990) :

Metodología de Johansen (1991).

La especificación de esta metodología se basa en una generalización multivariada del procedimiento de Dickey y Fuller. Si Xt es un vector de n variables que siguen un proceso AR(1):

Xt = AtXt-1 + z t

Entonces, restando Xt-1 en ambos lados de la ecuación se obtiene:

D Xt = AtXt-1 – Xt-1 + z t = (At- 1 ) Xt-1 + z t = Õ Xt-1 + z t

Si P es una matriz de ceros de tal forma que r (p )=0, entonces todas las variables son proceso con raíz unitaria (D Xt = z t ) y no hay combinaciones lineales estacionarias de Xt, entonces las variables no cointegran. Si r (p ) = j , entonces todas las variables son estacionarias.

Como el Dickey-Fuller aumentado (ADF) se puede generalizar, el modelo para un proceso de mayor orden se obtendría reparametrizando de la siguiente manera:

Xt = A1Xt-1 + A2Xt-2 + … + z t

restando Xt-1 de ambos lados: D Xt = ( A1 – I ) Xt-1 + A2Xt-2 + … + ApXt-p + z t

sumando y restando ( A1 – I )Xt-2 a la derecha:

D Xt = (A1 – I )Xt-1 + (A2 + A1 -I)Xt-2 + A3Xt-3 + …+ApXt-p + z t

sumando y restando (A2 + A1 – I)Xt-3 a la derecha:

D Xt =(A1- I )D Xt-1+(A2 + A1 -I )D Xt-2+(A3+ A2+ A1 -I )Xt-3 +…+ApXt-p + z t

Sumando y restando sucesivamente se obtiene el algoritmo: D Xt = D Xt-1 + P Xt-p + z t ,

donde P = -[ I – Aj ] ;P

Esta es la fórmula general, que no es otra cosa que el llamado Modelo de Corrección de Errores (MCE), en el que el ajuste se produce con "p" rezagos. Así note que el término de corrección hacia la relación de largo plazo es P Xt-p, es decir un ajuste de dicha relación en el período t-p tiene efectos "p" períodos después. Esto lleva a que en general la especificación de este modelo tenga más bien un "p" bajo, ya que de otra forma la corrección del error tendría poco significado económico.

Dado que la determinación del número de vectores de Cointegración depende del rango de P y, por ende, del número de raíces características distintas de cero de dicha matriz, se requiere utilizar un test para verificar dicho número. Si se tienen las "n" raíces de la matriz P (l i ) donde l 1 >l 2>…>l n, se puede plantear dos test:

( 1 ) Ho : el número de vectores de Cointegración es £ r

l TRACE ( R ) = – T Ln ( 1- l i ) , cuanto mayor número de l s sean iguales a cero, menor será el l TRACE..

(2) Ho : número de vectores de Cointegración = r.

(3) H1 : número de vectores de Cointegración = r + 1.

Test de Cointegración de Johansen

Tal como de menciono, este es un test de Cointegración muy usado con variables no estacionarias (series que presentan una clara inclinación a permanecer por encima o por debajo de su valor central en la muestra). El número de los vectores cointegrantes distintos entre sí pueden obtenerse chequeando la significancia de las raíces características (eigenvalue), sabiendo que el rango de la matriz es igual al número de sus raíces características diferentes de cero. El test de Johansen nos permite determinar la existencia de parámetros cointegrantes (ajuste a largo plazo) con sus respectivas "velocidades de ajuste" indicadas por los coeficientes de las variables cointegrantes. A continuación, se utiliza la metodología del Modelo de Corrección del Vector de Error (VEC) para tener garantía de que el VAR contiene variables cointegradas.

La hipótesis que se plantea en este test es la siguiente:

H0 = No existe Cointegracion.

H1 = Existe Cointegracion.

La idea es que al efectuar la prueba de Cointegracion, se rechaze estadísticamente la hipótesis nula de No Cointegracion lo cual asegura que tanto los signos y los valores de los parámetros esten acorde con la teoria economica y que la ecuación testeada se aproxime a su correcta especificación dinamica de largo plazo, lo cual asegura tambien que los estimadores de MCO de los parámetros de Cointegracion convergan asus valores de largo plazo mas rapidamente que con variables estacionarias.

Metodología del Modelo de Corrección del Vector de Error (VEC) en un VAR.

Como discreción próxima, el modelo VEC es un VAR restringido diseñado para series no estacionarias que sabemos se pueden cointegrar. La especificación VEC restringe la conducta a largo plazo para las variables endógenas para que converjan a sus relaciones de Cointegración, mientras que permitimos un extenso rango dinámico de corto plazo.

Como la especificación VEC sólo se aplican a series cointegradas, este se debe llevar a cabo una vez que ha pasado por el test de Cointegración de Johansen como una especificación VEC. Esto nos permite confirmar que las variables son cointegradas y así determinar el número de ecuaciones de Cointegración usando el procedimiento de Johansen. La primera diferencia para cada variable endógena es regresionada con un período de rezago en la ecuación de Cointegración y los primeros rezagos diferenciados en todas las variables endógenas es guiado por desequilibrios percibidos y asegura una eventual convergencia a la posición de equilibrio de largo plazo. Se pone de manifiesto otra de las características de las ecuaciones dinámicas: diferentes clases de ajustes realizados , por lo que un Vector de Corrección de Error (VEC) es un tipo de estructura VAR cointegrada. Para examinar mejor la estructura, consideremos un esquema que tenga media y que la ecuación de Cointegración tenga intercepto, especificando el VEC:

D Y1,t = a 1 + d 0 (Y2,t-1 – m – b Y1,t-1) + e 1,t

D Y2,t= a 2 + d 1 ( Y2,t-1 – m -b Y1,t-1) + e 2,t

Aquí los interceptos de las ecuaciones están fuera del paréntesis, correspondiendo a una tendencia lineal.

VI. Conclusiones

La metodología de Cointegración ofrece un procedimiento que cumple con varias características importantes: a) permite distinguir entre regresiones espurias y regresiones válidas, en el sentido que representan una relación estable de largo plazo entre las variables, con mecanismos de ajuste que tienden a disminuir las discrepancias que se presenten; b) permite combinar la metodología de series de tiempo con información de teorías económicas de equilibrio de largo plazo, con lo cual se eliminan muchas de las objeciones que se hacen a cada una de estas metodologías tomadas por separado; c) permite la mezcla de información de distinta periodicidad, por ejemplo, la ecuación de Cointegración podría hacerse con datos anuales y la de corrección de errores con información mensual ; d) es relativamente fácil de aplicar, su uso consiste en la estimación de varias ecuaciones por mínimos cuadrados ordinarios, la dificultad principal estriba en la teoría estadística que esta por detrás de las pruebas, teoría que es mucho más difícil que la teoría usual.

Uno de los problemas básicos al que uno se enfrenta al instrumentalizar la metodología VAR, es el de la rápida desaparición de los grados de libertad del modelo a medida que se incrementa la longitud de rezago. Para superar este inconveniente, se sugiere la estimación Bayesiana (BVAR). En este método se asignan distribuciones a priori a los coeficientes de las autorregresiones vectoriales para permitir que el análisis transcurra en un marco gaussiano.

La introducción de coeficientes que dependan del tiempo tiene como objetivo capturar posibles no linearidades en el vector estocástico modelado. Tal asignación puede realizarse mediante un proceso más o menos elaborado de búsqueda guiada por algún criterio de bondad de ajuste. Con respecto a la ley de movimiento de los coeficientes, se especifica algo cercano al "paseo aleatorio" (Random Walk) con un término de error cuya variabilidad es sensiblemente inferior a la introducida para los propios coeficientes. (esta ley de movimiento intenta reflejar la opinión de que demasiada variabilidad en los coeficientes tiende a empeorar los resultados obtenidos con el modelo. La experiencia respalda esta opinión).

El esquema de ortogonalización utilizado en esta metodología VAR es el denominado esquema de Choleski . Este esquema especifica una matriz A0 triangular inferior con unos en la diagonal principal. En este caso, la solución al problema de maximización es inmediata, puesto que con S diagonal existe una única manera de expresar una matriz positiva definida en la forma A0S A´0, por lo que la solución es única. En general, sin embargo, en aras de un mayor realismo, el analista encuentra conveniente apartarse de la cadena de Wald que implica el esquema Choleski especificando estructuras para A0 distintas de la triangular. Sin embargo, el modelo obtenido una vez realizada la ortogonalización no es una forma reducida sino una forma estructural; y que, por tanto, el proceso de ortogonalización es de hecho una forma de identificación.

Los modelos tipo VAR han alcanzado una considerable aceptación como herramientas de predicción, cuyo objetivo es a partir de series temporales interpretar o diseñar conclusiones de política económica, incluso aplicables a modelos no lineales de equilibrio general. De hecho en la práctica usual de los predictores que usan VAR no es un enfoque completamente bayesiano, pero puede interpretarse como aproximación al tratamiento ideal. A pesar de que este entorno general no es en esencia bayesiano, se pretende implementar a futuras extensiones el pleno tratamiento subjetivista bayesiano. El modelo planteado aquí, pretende facilitar la comunicación científica e indirectamente la toma de decisiones.

Vale la pena observar que "añadir variabilidad temporal" al sistema VAR no mejora automáticamente su comportamiento predictivo. Bajo algunas consideraciones del resto del modelo, el ajuste se maximiza a tasas muy bajas de variabilidad temporal , y forzar variabilidad temporal en el modelo sin comprobar si mejora el ajuste puede generar importantes deterioros en el comportamiento predictivo, ya que se supone una mayor varianza de las perturbaciones siguiendo a períodos con mayores errores de predicción . Esto es similar a la especificación GARCH pero difiere en que, lo que se supone que afecta a las varianzas de las perturbaciones son los errores de predicción reales generados por el filtro de Kalman, más que los errores de predicción ideales que se obtendrían si los parámetros fueran conocidos exactamente (como en modelos GARCH).

Incorporar covarianzas cruzadas de shocks en el análisis de las funciones impulso-respuesta, de una forma conceptual y computacionalmente factible es un importante tema abierto de investigación. Este aspecto se conecta con la crítica de "econometría no teórica" a los modelos VAR , ya que no emplean ninguna teoría económica, y con el exceso de parámetros a estimarse. Sims (1991) critico los modelos tradicionales de ecuaciones simultáneas sobre la base de que descansan sobre restricciones específicas en los parámetros, para lograr la identificación.

Según la metodología de Cointegración en sistemas VAR de Johansen, se rechaza la hipótesis nula de no Cointegración según los valores críticos de la tabla de Johansen & Juselius (1991). Los valores y signos de los parámetros estimados están acorde con la teoría económica, las ecuaciones se acercan a la correcta especificación de largo plazo, y los estimadores MCO de los parámetros de Cointegración convergen a sus valores de largo plazo más rápidamente que con variables estacionarias.

La metodología esta todavía en desarrollo, hace falta bastante trabajo, por ejemplo, en la estimación de modelos de ecuaciones simultáneas, donde falta la teoría de distribución, la cual parece ser sumamente complicada; lo mismo sucede con el análisis de Cointegración no lineal.

En resumen se trata de una teoría que parece muy adecuada para una buena cantidad de problemas que se presentan en economía.

BIBLIOGRAFÍA

ANDERSON,T.W. y C.SHIAO (1981): " Estimation of dynamic models with error components". Journal of American Statistical Association. # 76, págs 598-606.

BOX,G.E.P y G.M.JENKINS (1970): "Time series analysis,forecasting and control". San Francisco, Holden day. Págs. 87.

DICKEY,D.A y W. FULLER (1984): "Testing for unit roots in seasonal time series". Journal of the American Statistical Associations, # 79, págs. 355-367.

ENGLE,R. y W.GRANJER (1987): "Cointegration and error correction representation, estimation and testing". Econometrica # 55. Págs 251-276.

GRANJER,C. y P.NEWBOLD (1974): "Spurious regressions in econometrics". Journal of econometrics # 2. Págs 111-120.

HENDRY, DAVID and RICHARD , JEAN FRANCOIS . (1983): "The econometric analysis of economic time series", International Statistical Review, N° 51 , 1983.

ROTHENBERG,T.J. y C.T.LEENDERS (1964): "Efficient estimation of simultaneous equations systems". Econometrica # 32, págs 57-59.

SARGAN,J. y A.BHARGAVA. (1983):"Testing residuals from least squares regression for being generated by the Gaussian random walk" . Econometrica # 51, págs 153-174.

SALKEVER, F, KENNETH. (1972): "The use Dummy variables to compute predictions error, and confidence intervals.". Journal of econometrics # 4, ,págs 393-397.

SIMS, CHRISTOPHER:

(1980): "Macroeconomics and reality", Econometrica # 48, January. Págs 165-192.

(1986): "Are forecasting models usable for policy analysis?. Federal Reserve Bank of Minneapolis, Quarterly Review Winter. Págs 154.

(1987): "Identifying policy effects". Federal Reserve Bank of Minneapolis Research Department. Working paper 351. May. Págs 145.

(1991): "Macroeconometrics: A explanation". Federal Reserve of Minneapolis. Págs 142.

TRUJILLO CALAGUA, GUSTAVO H :

(1998) "Un modelo econométrico para el Perú sobre la dinámica del desequilibrio fiscal y el proceso inflacionario en el período 1985-1995: Aplicación de la técnica de Vectores Autorregresivos", Tesis de Licenciatura .

(1999) "Demand money in Peru: a Methodology Cointegration Test", Tesina VPISU – USA.

(2003) "Econometría Aplicada con Eviews 4.1", 1era Edición

Autor:

Gustavo Herminio Trujillo Calagua

Economista de la Universidad Nacional Federico Villareal Lima-Perú. Maestría en Economía Matemática y Doctor en Economía por Virginia State University, Blacksburg – USA.

Consultor de Negocios.

Profesor Asociado de la Escuela de Ingeniería Económica de la Universidad Científica del Sur, Lima-Perú.

Profesor Auxiliar de la Escuela de Administración de la Universidad Privada San Pedro, Cajamarca-Perú.

Profesor Auxiliar de la Escuela de Economía de la Universidad Nacional de Cajamarca, Cajamarca-Perú.