Momento de una fuerza respecto a un eje, conceptos y operaciones elementales

Introducción

En la materia de estática se maneja ampliamente el concepto de fuerzas en el plano bidimensional como en el espacio. También sabemos que existen dos tipos de fuerzas que actúan sobre un cuerpo y cada una tiene una acción y por lo tanto una reacción como está estipulado en la tercera ley de Newton.

Un caso particular es que a la hora de resolver los problemas no seamos capaces de relacionar los procedimientos y operaciones adecuadas para cada caso, por ese motivo se incrementó un poco al estudio de las operaciones específicas con vectores que corresponden al campo del álgebra vectorial.

En los siguientes apartados expondremos más detalles acerca de los momentos de una fuerza respecto a un eje dado, siempre y cuando cuidando los conceptos para que sean comprendidos con una información básica acerca de las operaciones exigidas. Para fácil entendimiento al lector se le alerta a que una letra en negrita como por ejemplo F, representa un vector, también las citas son de acuerdo al APA,

Concepto de fuerza

La fuerza es una entidad o algo que genera una acción sobre o hacía una partícula, consideremos éste último como un elemento pequeñísimo de la materia en el espacio, Hibbeler (2010) nos menciona que la fuerza se considera como un "empujón" o un "jalón" ejercido por un cuerpo sobre otro. En el estudio de la estática la fuerza tiene la representación por medio del vector. Un vector "es cualquier cantidad física que requiere tanto de magnitud como de dirección para su descripción completa" (Hibbeler, 2010) y se identifica mediante un gráfico de segmento de línea con una flecha en algún extremo de él, y esto indica la dirección. Llamemos a un vector fuerza como la cantidad que requiere una magnitud escalar y una dirección.

Fuerzas internas y externas

Las fuerzas que actúan en un cuerpo rígido se dividen en fuerzas internas y fuerzas externas.

De igual manera Beer y Jonhston (2010) nos hablan que las fuerzas internas son las que mantienen unidas las partículas que componen al cuerpo rígido que estudiamos, por ejemplo tenemos los estados del agua (sólido, líquido y gaseoso) las cuales presentan diferentes fuerzas de cohesión entre la composición subatómica; neutrones, electrones.

Beer y Johnston (2010) nos dicen que las fuerzas externas es la acción que ejercen otros cuerpos a nuestro cuerpo rígido en consideración y son los responsables del comportamiento de nuestro modelo. También causan que el cuerpo rígido se mantenga en reposo o en movimiento según como se encontraba.

Ahora bien un ejemplo general sería un elefante que es conducido por un cierto número de personas, las fuerzas externas que se ejercen por diferentes medios a nuestro cuerpo serían: el peso del animal por la gravedad que hace que los cuerpos se atraigan hacía la tierra, la fuerza que realizan el cierto número de personas así como las patas del animal y su debida la reacción con el piso.

El principio de transmisibilidad

"El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza (F) que actúa en un punto dado donde ese cuerpo se reemplazará por una fuerza (F´) que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando tengan una misma línea de acción" (Beer y Jonhston, 2010).

Este principio nos dice que la fuerza que actúa sobre un cuerpo en un punto puede ser "cambiada de lugar" esto ocurre cuando siga con la misma línea de acción de la fuerza y tenga la misma magnitud y dirección.

Producto vectorial Antes de entrar al tema de momento respecto a un eje se expondrá un breve contexto algebraico para la solución de los ejercicios, es muy importante identificar y resolver lo que corresponde al producto cruz y triple producto mixto los cuales tiene importantes aplicaciones al tema en lleno.

En muchos temas de estática es necesario contar con el conocimiento sobre ciertos tipos de operaciones con vectores el cual corresponde en sí al álgebra vectorial, Larson y Edwards (2010) mencionan que muchas aplicaciones en física, ingeniería y geometría se tienen que encontrar un vector en el espacio a dos vectores dados y al plano entre ello. Un producto que da como resultado a ese vector se le llama producto vectorial o producto cruz y se calcula de manera más adecuada usan los vectores unitarios, canónicos o estándar.

Sean A = (a1, a2, a3) y B (b1, b2, b3) entonces el producto vectorial de A y B denotado por A x B está dado por:

A x B = (a2b3 – a3b2, a3b1 – a1b3, a1b2 – a2b1) "Una técnica para calcular el producto cruz es usar un arreglo matricial con expansión de cofactores añadiendo los vectores canónicos (i, j, k), esta forma empleando determinante de 3×3 (Larson y Edwards, 2010)":

Propiedades algebraicas del producto cruz.

Considerando A, B y C como vectores en el plano R3 y k un escalar que pertenece a los números reales:

A x A = 0 0 x A = 0 (0 es vector cero).

A x B = -(B x A) A x (B + C) = A x B + A x C (k A) x B = k (A x B) Ejemplo: Dados U= (i-2j+k) y V= (3i+j-sk) hallar el producto vectorial.

Entonces haciendo un arreglo matricial añadiendo los vectores unitarios tenemos una matriz 3×3 la cual podemos obtener su determinante, por lo tanto:

Resolviendo por medio del método de cofactores tenemos U x V= i – j k U x V = i [(-2)(-2) – (1)(1)] – j [(1)(-2) – (3)(1)] + k [(1)(1) – (3)(-2)] U x V = 3 i + 5 j + 7 k

Ahora bien veamos que sucede con el resultado del producto V x U = i – j k V x U = i [(1)(1) – (-2)(-2)] – j [(3)(1) – (1)(-2)] + k [(3)(-2) – (1)(1)] V x U = – 3 i – 5 j – 7 k Este ejemplo demuestra que el producto cruz no cuenta con la propiedad conmutativa, es decir que V x U no es lo mismo que U x V. Este hecho se puede demostrar también siguiendo la regla de la mano derecha.

Hibbeler (2010) nos dice que esto se demuestra por la regla de la mano derecha, la figura 1 indica cuando un producto vectorial es positivo o negativo. El producto cruz B x A produce un vector que tiene la misma magnitud pero actúa en dirección opuesta a C; esto es: B x A = -C, ósea produce la negativa.

Triple producto escalar

Para A= (a1, a2, a3) B= (b1, b2, b3) C= (c1, c2, c3); el triple producto escalar, denotado por (A x B). C =

El volumen de un paralelepípedo (poliedro en que todas sus caras son paralelogramos) con vectores A, B y C como aristas adyacentes está dado por:

V= |(A x B). C| Ejemplo: Calcular el volumen del paralelepípedo que tiene a U= (3 i – 5 j + k), V= (2j – 2k) y W= (3 i + j + k) como aristas adyacentes.

Tomando como método para resolver la determinante de 3×3 el método de cofactores tenemos que:

(A x B). C= = 36 unidades cúbicas.

Larson y Edwards (2010) mencionan que el volumen del paralelepípedo es 0 si y sólo si los tres vectores son coplanares, esto quiere decir que se encuentran contenidos en un mismo plano; si los vectores A, B y C tiene el mismo punto inicial, se encuentra en el mismo plano si y sólo si:

C. (A x B)==0 Como se puede hacer notar el triple producto escalar o el producto mixto nos arroja como resultado una magnitud, como ya se ha mencionado se obtiene el área de un paralelepípedo.

El producto escalar

A diferencia de la primera operación, el producto escalar al igual al producto mixto tiene como resultado un escalar y no un vector.

Sea un vector A= (a1, a2, a3) y B= (b1, b2, b3), el producto escalar de A y B, denotado por A . B es:

A .B = (a1)(b1)+ (a2)(b2)+ (a3)(b3) Larson y Edwards (2010) nos dicen que el producto escalar de dos vectores recibe este nombre debido a que da como resultado un escalar; también se le conoce como producto interno.

Consideremos a P y Q como vectores, Beer y Johnston (2010) definen al producto escalar como el producto de las magnitudes de P y Q y el coseno del ángulo formado por P y Q, y escribiéndose de la siguiente manera:

Siguiendo con el enfoque en estática, el producto escalar se puede expresar en términos rectangulares (i, j, k) de dichos vectores; considerando en descomponer a los vectores P y Q tenemos que:

Al multiplicar cada uno de los componentes con respecto a i, j y k, nos damos cuenta que en esta operación los vectores unitarios tiene como resultado uno o cero. Ahora para la expresión obtenida se puede reducir a:

Para la multiplicación de los vectores unitarios su resultado en cada uno de ellos es igual a 1, y da lo mismo multiplicar algún número por 1, por lo tanto:

Como se puede observar también se puede igualar ambas ecuaciones, esto nos arroja la siguiente igualación:

Esta "fórmula" nos será de gran utilidad cuando nos pidan hallar el ángulo entre dos vectores, cabe recalcar que el producto punto arroja un valor escalar o magnitud, por esto mismo es llamado también producto escalar, esta es una de las aplicaciones que se pueden hacer con este producto, a continuación se mostrará otra.

Considerando la figura 3, el vector P es perpendicular con el segmento de recta de OL, entonces decimos que existe una proyección de P sobre el eje OL, algerbraicamente se representa:

Asi mismo, Beer y Jonhston (2010) nos dice que la proyecccioón de POL es igual al valor absoluto al segmento de recta de OA, y se considerará positiva si dicho segmento tiene el mismo sentido que el eje OL, por el contrario será negativa si tiene el sentido contrario. Sí existe un vector Q dirigido sobre el eje OL, como se muestra en la figura 4, obtenemos un producto cruz de (P.Q), quedando expresado de la siguiente manera:

Entonces lo anterior se reduce a:

El producto cruz es igual al prodcuto de las magnitudes de la proyeccion en el eje dado OL y el vector Q.

Despejando, de la última ecuación, POL y descomponiendo a los vectores en sus componentes en i, j y k y recordando que la multiplicación de los vectores unitarios iguales es 1, tenemos que:

"En caso particular, cuando el vector seleccionado a lo largo de OL es el vector unitario

se escribe (Beer y Johnston,2010)":

Como se muestra en la figura 5, ahora descomponemos a en sus componentes rectangulares (i j y k), y además sabiendo que el vector se obtiene como la suma de los componentes rectandulares de dicho vector sobre la magnitud del mismo, la proyección nos queda de la siguiente manera:

Momento de una fuerza respecto a un eje

El momento de una fuerza es una rotación de un cuerpo, Hibbeler (2010) nos explica que es una tendencia a que un cuerpo gire alrededor de un punto que no está en la línea de acción de la fuerza.

En la figura 6 se muestra lo que físicamente es un momento, existe una fuerza aplicada en la mano, esta fuerza sigue una línea de acción con base al principio de transmisibilidad hasta una distancia perpendicular (triangulo rectángulo) a un cierto punto donde producirá el giro; sin embargo el giro dependerá mucho al momento que encontrar el sentido o el signo que deberá llevar. Es posible determinar el sentido de giro, en dos dimensiones, con usar la regla de la mano derecha. En el caso de las tres dimensiones se sigue usando la regla pero si no tienes una práctica adecuada o los conceptos muy claros no podrás usar muy bien está herramienta. No está comprobado pero puedes sufrir de pequeñas lesiones en vuestra mano derecha.

Hibbeler (2010), así mismo, nos explica de una forma sencilla, aunque técnicamente hablando es sencilla, las condiciones a seguir para determinar el sentido con el uso de la mano derecha como se visualiza en la figura 7. Dice que si el sentido que produce es acorde a las horario a las manecillas del reloj es un sentido negativo, y se comprueba también con el producto cruz, en contraparte si el sentido es contrario a las manecillas del reloj es sentido será positivo.

Un pequeño truco es determinar muy bien la fuerza con respecto al punto a "girar".

Ahora bien, tomemos en cuenta la figura 8, se muestra tres vectores y un vector momento. Los vectores son ahora existe un cuarto vector que es el resultado del producto cruz entre el También es posible visualizar un segmento de línea OL donde está situado el vector y que forma una línea perpendicular al momento producido por el vector fuerza y el vector deslizante que se obtiene como la resta entre el punto de aplicación y el punto de la fuerza (ósea desde el punto O al punto A).

Cada uno de los vectores se puede representar en sus componentes rectangulares, los cuales son los vectores unitarios o canónicos en tres dimensiones "Sea OL un eje a través de O; el momento MOL de F con respecto a OL se define como la proyección OC del momento MO sobre el eje OL"(Beer y Johnston, 2010).

En términos algebraicos el momento de una fuerza respecto a un eje es un triple producto escalar y es dada por la siguiente forma:

Para visualizar las operaciones correspondientes podemos exportar la fórmula en una determinante de 3×3, se escribe así:

Se sobreentiende que los vectores se descomponen en sus componentes rectangulares; ya se ha explicado anteriormente el método para resolver la determinante 3×3 es el método de cofactores aunque, independientemente, el lector puede usar el método que más le resulte fácil. Usar la regla de Sarrus o el método de condensación da lo igual el resultado.

Momento de un par

"Si dos fuerzas F y –F que tienen la misma magnitud, línea de acción paralelas y sentidos opuestos forman un par (Beer y Jonhston.2010)".

En la vida real un momento par ocurre al cambiar una llanta con la ayuda de la cruceta; si sumamos vectorialmente dos vectores fuerzas de cualquier magnitud obtendremos como resultado el cero, puesto que se suma respecto al negativo de la positiva.

El momento de un par respecto a un punto o, "es la suma de los momentos de las dos fuerzas que constituyen al par (McLean y Nelson) Considerando la figura 9, observamos que existe dos puntos de acción donde actúan las fuerzas opuestas, cada una con un momento específico, como el momento par es la suma de los dos momentos de fuerza tendremos que:

Ahora, en primera instancia se puede visualizar el momento de la fuerza positiva en un punto a respecto al momento al punto o, ahora existe una distancia perpendicular r, del punto a al b, donde el cual actúa una fuerza negativa de misma magnitud y línea de acción que la fuerza en a, también existe un momento de b respecto o.

Si definimos al vector r como la diferencia de a y b, se concluye que el momento de un par respecto o es el vector:

Ahora, si queremos conocer la magnitud o módulo del momento del producto vectorial, ésta definida como:

"Se trata de un vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas (Beer y Johnston, 2010)". Los pares se pueden escribir como cualquier vector, con las leyes vectoriales.

"Un par y una fuerza única en el mismo plano o en planos paralelos pueden combinarse y obtener una sola fuerza de la misma magnitud y sentido que la fuerza dada y paralela a ella (McLean y Nelson)".

Conclusión

Durante la elaboración de este recopilado de información pensaba en explicar más a detalle la temática de momentos porque lo considero un tema de mucha relevancia y básico, porque del momento y el equilibrio de fuerzas obtendremos el llamado equilibrio de estructuras o cuerpo rígido en dos y tres dimensiones.

Así mismo, motivado por la asignatura de álgebra, implementamos y desarrollamos ciertas operaciones muy elementales en estos temas y aunque en sí, este trabajo no es métodos de álgebra lineal, se consideró que sería de mucha ayuda para el lector, sin embargo se deja muy a su propia consideración al lector sobre los procedimientos que se tienen que llevar a cabo en la solución de ejemplos.

Otro punto a destacar es el uso de las citas referenciales en el cuerpo del trabajo puesto que de ello basamos el conocimiento y lo trasformamos para que sea un poco más entendible y no necesariamente se necesite el libro para comprenderlo, pero es conveniente porque así el lector puede consultar y adentrarse más a los libros especializados y adentrarse más a la temática.

Bibliografía

Beer, F., Jonhston, R. y Mazurek, D. (2010). Mecánica vectorial para ingenieros (9na edición). México: McGraw Hill Larson, R. y Edwards, B. (2010). Cálculo 2 de varias variables (9na edición). México: McGraw Hill.

McLean, W. y Nelson, E. Mecánica para ingenieros. Estática y dinámica (2da edición). México: McGraw Hill.

Hitt, F. (2002). Álgebra lineal (1era edición). México: Person Educación.

Momento de una fuerza, conceptos y operaciones elementales.

Elaboración y Presentación de Textos Docente: Dr. Guadalupe del Carmen Cú Balán SEGUNDO Semestre Grupo "A" Ciclo Escolar: 2015-2016 Fase II

Autor:

Cahuich Poot William Iván del Jesús.