Antología de matemáticas, por Laura Arroyo Rojas (página 2)

Si "x" representa la medida de un lado del cuadrado BCDE, entonces el área "A" de la región destacada con gris en función de "x" corresponde a

3) Considere las funciones cuyo criterio se da a continuación.

A) Solo f y g.

B) Solo f y h.

C) Solo h y g.

D) f , g y h.

4) Si "a" es una constante, entonces el dominio máximo de la función f dada por

5) Considere la gráfica de la función f.

De acuerdo con los datos de la gráfica, considere las siguientes proposiciones.

I. El cero tiene dos preimágenes.

II. El uno es un elemento del ámbito de f.

De ellas, ¿cuáles son verdaderas?

A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

6) Considere la gráfica de la función f.

De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de f es

7) La recta definida por

8) Si el ámbito de la función f dada por

9) Si

• 10) Para la función

• A) 3

• B) 1

• C) -1

• D) -3

11) En la función f cuyo criterio es

12) El dominio máximo de la función dada por

• 13)  Considere la siguiente gráfica de una función.

De acuerdo con los datos de la gráfica dada, el dominio de la función es

14) Considere la siguiente gráfica de una función.

¿Cuál es el ámbito de la función representada?

15) Calcular el dominio de las funciones polinómicas:

Funciones reales. Ejercicios y problemas resueltos

16) Calcular el dominio de las funciones racionales:

Funciones reales. Ejercicios y problemas resueltos

17) Calcular el dominio de las funciones radicales:

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

Marque con una "x" la letra que antecede la respuesta correcta.

15) Calcular el dominio de las funciones polinómicas:

Funciones reales. Ejercicios y problemas resueltos

16) Calcular el dominio de las funciones racionales:

Funciones reales. Ejercicios y problemas resueltos

17) Calcular el dominio de las funciones radicales:

UNIDAD 3:

Funciones polinomiales

Durante varios siglos se estudiaron expresiones algebraicas en las cuales implícitamente se involucraba la idea de lo que hoy se denomina una función, sin que el concepto preciso de función se hubiera formulado en aquel entonces. Muchas construcciones matemáticas, como el número, por ejemplo, evolucionaron de esa misma manera. Al principio fueron utilizadas ampliamente y sólo mucho más tarde surgió una reflexión acerca de la definición formal de esas construcciones.

En el caso específico de las funciones, ya en el siglo XVI, cuando los algebristas buscaban soluciones para las ecuaciones polinómicas de grado 3 y 4 estaban utilizando la idea de función, en el sentido siguiente: la expresión

La necesidad de resolver este tipo de ecuaciones tenía su origen en el interés por conocer las leyes que rigen el movimiento. Había que explicar, por ejemplo, por qué los objetos se mantenían en la superficie terrestre, y no quedaban flotando atrás, mientras que la Tierra giraba en torno a sí misma y alrededor del sol. A fines del siglo XVI y comienzos del siglo XVII, Copérnico y Galileo habían transformado la concepción que se tenía entonces de la Tierra inmóvil en el centro del Universo. Uno de los problemas que inquietaban a los científicos de la época, era precisamente el hecho de que hubiera estabilidad de los objetos en la superficie de nuestro planeta en movimiento.

3.1 FUNCIÓN LINEAL

A continuación se estudiarán las funciones más simples, las denominadas funciones lineales. Se puede realizar un estudio completo de ellas de manera rápida y fácil, tal como se verá en lo que sigue. Existe una estrecha relación entre este tema y el de las Rectas en el Plano, puesto que la gráfica de una función lineal es una recta.

• 3.1.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN LINEAL Y NOTACIÓN SIMBÓLICA

Sean m, b números reales. La función

se llama función lineal.

EJEMPLO 65

• 3.1.2 DOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN Y PREIMAGEN

DE UNA FUNCIÓN LINEAL

Tal y como lo establece su definición el Dominio y Codominio de una función lineal es: IR.

Por otra parte las preimágenes serán los diferentes valores que tome la variable "x", mientras que las imágenes serán los diferentes valores que tome la variable "y".

Sea f(x) una función real tal que f(x) = 2x

• 3.1.3 INTERSECCIÓN CON EL EJE X Y CON EL EJE Y

DE UNA FUNCIÓN LINEAL

Para determinar las intersecciones de una función lineal con los ejes del plano cartesiano se utilizan las siguientes fórmulas:

• 3.1.4 CONCEPTO DE PENDIENTE DE UNA FUNCIÓN LINEAL

La pendiente de la línea y = mx + b es la razón a la cual y está cambiando por unidad de cambio en x. Las unidades de medida de la pendiente son unidades de y por unidad de x.

Cuando se conocen dos puntos de una recta (x1, y1) y (x2, y2) se cumple que

• 3.1.5 FUNCIÓN CONSTANTE

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma: f(x) = a donde a pertenece a los números reales y es una constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano xy, en la gráfica la hemos representado en el plano, observe que la función no depende de x, si hacemos:Y = f(x) entonces Y = a donde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas valores de a iguales a:

Y = 8Y = 4,2Y = -3,6

La función constante como un polinomio en x es de la forma

• 3.1.6 MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN LINEAL

Sentido de variación (Monotonía):

Dada la función lineal

entonces se cumple que:

Un caso particular de función lineal es la función identidad: y = x

• 3.1.7 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL

La gráfica de una función lineal es una recta. Es el conjunto de todos los puntos (x, y)

con y = mx + b.

EJEMPLO 66

Sea f(x) = 3x – 1, represente gráficamente a esta función lineal.

Solución:

Calculemos los valores (x, y) , evaluando en la función dada:

Entonces obtenemos la siguiente tabla de valores:

Por lo que el gráfico de f(x) = 3x – 1, corresponde a Gf = { (-1,-4), (0,-1), ( 1,2) }.

Finalmente la representación gráfica de f(x) = 3x – 1 es:

• 3.1.8 ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LINEAL

La función lineal es del tipo: y = mx, cuya gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

EJEMPLO 67

Sea y = 2x, el criterio de una función lineal.

Observe que, si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje X es agudo.

EJEMPLO 68

En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es creciente en los números reales. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales.

EJEMPLO 69

Sea f(x)= -4x +1, entonces su representación gráfica es

Observe que, si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje X es obtuso.

EJEMPLO 70

Una función constante es una función de la forma f(x) = b. Su gráfica es una recta horizontal, su dominio el conjunto de los números reales y el recorrido el conjunto {b}.

 En la función f(x) = 2, el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {2}. La pendiente (m) es cero.

EJEMPLO 71

Sea la función identidad f(x)=x.

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

• 3.1.9 ALGUNAS APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LINEAL

La función lineal es de gran importancia en matemáticas aplicadas, y en general, puesto que se aplica muy frecuentemente en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

EJEMPLO 72

En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una función a fin que dé la altura de la planta en función del tiempo y representar gráficamente.

Solución:

Altura inicial = 2cm

Crecimiento semanal = 2.5 – 2 = 0.5

f(x)= 0.5 x + 2

EJEMPLO 73

Por el alquiler de un coche cobran 100 € diarios más 0.30 € por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de kilómetros y represéntala. Si en un día se ha hecho un total de 300 km, ¿qué importe debemos abonar?

Solución:

y = 0.3 x +100

y = 0.3 · 300 + 100 = 190 €

EJEMPLO 74

Calcular los coeficientes de la función f(x) = ax + b si f(0) = 3 y f(1) = 4.

Solución:

f(0) = 3

3 = a · 0 + b              b = 3

f(1) = 4.

4 = a· 1 + b               a = 1

R/ f(x) = x + 3

EJEMPLO 75

Por el alquiler de un coche cobran 100 € diarios más 0.30 € por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de kilómetros y represéntala. Si en un día se ha hecho un total de 300 km, ¿qué importe debemos abonar?

Solución:

y = 0.3 x +100

y = 0.3 · 300 + 100 = 190 €

EJEMPLO 76

El costo variable de fabricar juntas para machimbre es de $ 2 por unidad y los costos fijos por día son de $30. Escriba la fórmula de costo total y construya su gráfica. ¿Cuánto cuesta fabricar 25 juntas de machimbre por día?

Solución:

El costo total de fabricar x juntas de machimbre en un día es

C(x) = 2x + 30

R/ El costo total de fabricar 25 juntas de machimbre por día es de $ 80.

C(25) = 2. 25 +30

C(25) = 80

 EJEMPLO 77

El costo de fabricar 10 bolsas de cartón al día es de $2,20, mientras que fabricar 20 bolsas del mismo tipo cuesta $ 3,80. Suponiendo que se trate de un modelo de costo lineal, determine la fórmula correspondiente a producir x bolsitas de papel en el día y construya su gráfica.

Solución:

En este caso tenemos dos puntos P(10; 2,2) y Q (20; 3,80), pudiendo construir la ecuación que determine la relación. Por la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, tenemos

R/ y = 0,16x+0,6

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Representa las funciones constantes

• a). y = 2

• b). y = -2

2) Representa las rectas verticales

• a). x = 0

• b). x = – 5

3) Representa las funciones lineales

• a). y = x

• b). y = 2x

4) Representa las siguientes funciones, sabiendo que:

• a). Tiene pendiente -3 y ordenada en el origen -1.

• b). Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (-3, -2).

• c). Pasa por los puntos A(-1, 5) y B(3, 7).

5) Calcular los coeficientes de la función f(x) = ax + b si f(0) = 3 y f(1) = 4. Represente la

gráfica. Indicar los intervalos donde es positiva o negativa.

Ejercicios resueltos de la función lineal

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Representa la función constante:

 a) y= 2

b) y= -2

2) Representa la recta vertical

a) x = 0

b) x = – 5

3) Representa la función lineal

a) y = x

b) y = 2x

4) Representa la siguiente función, sabiendo que:

 a) Tiene pendiente -3 y ordenada en el origen -1.

y = -3x -1

b)  Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (-3, -2).

y = 4 x + n       -2 = 4 · (-3) + n     n= 14

y = 4 x + 14

c) Pasa por los puntos A(-1, 5) y B(3, 7).

5 = -m + n -5 = m – n

7 = 3m + n 7 = 3m + n 

2 = 4m m = ½ n = 11/2

y= ½x + 11/2

5) Calcular los coeficientes de la función f(x) = ax + b si f(0) = 3 y

f(1) = 4.

Representar la función.

3.2 RECTAS EN EL PLANO

• 3.2.1 ECUACIÓN DE LA RECTA

Tomados dos puntos de una recta, la pendiente m es siempre constante. Se calcula

mediante la ecuación:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente- ordenada:

y = m x + b

EJEMPLO 78

Considere una recta que pasa por los puntos (2, 8) y (3, 20).

Solución:

Esta recta tiene pendiente

Por lo tanto, la ecuación de la recta es y = 12x – 16.

EJEMPLO 79

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5.

Solución:

Tienes que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.

Usa la información que te dan: m = – 5 y sustituye en la ecuación:

y = – 5x + b

Ahora tienes que buscar la b; usa el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que estas buscando. Sustituye esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estas buscando: 2 = – 5 ( 1 ) + b

Despeja la variable b en: 2 = – 5 ( 1 ) + b

2 = – 5 + b

2 + 5 = b

b = 7

Sustituye el valor de b en la ecuación que estas buscando: y = – 5x + 7

R/ La ecuación es y = – 5x + 7.

• 3.2.2 RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES

Continuando un poco más con análisis matemático de la ecuación de la recta, se presenta el procedimiento a seguir al determinar las ecuaciones rectas paralelas y perpendiculares.

Para que una función sea paralela a otra tiene que tener la misma pendiente, o sea la misma "m".

EJEMPLO 80

f(x)= 2x + 2g(x)= 2x + 4

En este caso las rectas son paralelas, puesto a que la pendiente es la misma.

EJEMPLO 81

Sea f(x)= 4x + 5, hallar g(x) que tiene como ordenada al origen 4 y es paralela a f(x).

Solución:

Bien aquí tenemos nuestro ejercicio bien sencillo, primero tenemos que sacar g(x) y sabemos que g(x) esta compuesta de la siguiente manera y = mx + b, en este caso nos dan la ordenada al origen que es 4 entonces:

EJEMPLO 82

Sea f(x)= 4x + 5, hallar una función g(x) que es perpendicular a f(x).

Solución:

Bueno primero sabemos que g(x) es de la forma y = mx + b.

Entonces sabemos que es perpendicular pero no sabemos como será la ordenada, pero como pide hallar una función perpendicular con ponerle la pendiente perpendicular a f(x) , teniendo cualquier pendiente será perpendicular, entonces averiguamos la pendiente de g(x),

Pendiente de f(x) = 4, entonces la inversa utilizando la fórmula

EJEMPLO 83

Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, -3), y es paralela a la recta

x + 2x = 1.

Solución:

EJERCICIOS PROPUESTOS

• 1) Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(-2,5).

• 2) Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y – 7 = 0.

• 3) Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1,5), y es paralela a la recta 2x + y + 2 = 0.

• 4) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1)) y (-2, 2).

• 5) Hallar una recta paralela y otra perpendicular a x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).

• 6) Calcular la ecuación de la recta perpendicular a r = 8x – y – 1 = 0 y pasa por el punto P(-3, 2).

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

3.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto español.

• 3.3.1 MÉTODO DE SUMA Y RESTA

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

EJEMPLO 84

Resuelva el sistema

• 3.3.2 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado.

EJEMPLO 85

Resolver el sistema

Solución:

Primero despejemos "y" de le ecuación (1):

• 3.3.3 MÉTODO DE IGUALACIÓN

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

EJEMPLO 86

Resuelva el sistema

Solución:

Despejemos la variable "y" en ambas ecuaciones:

• 3.3.4 ALGUNAS APLICACIONES

La resolución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es de gran importancia en matemática, puesto que se aplica muy frecuentemente en la solución de problemas de la vida cotidiana.

EJEMPLO 87

¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?

Solución:

EJEMPLO 88

Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

Solución:

EJEMPLO 89

Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis euros tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

Solución:

EJERCICIOS PROPUESTOS

• 1) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas:

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Por sustitución:

2)

4)

• 5) Por sustitución:

6)

7)

3.4 FUNCIÓN CUADRÁTICA

En matemáticas una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:

donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano XY haciendo:

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

• 3.4.1 CRITERIO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Sea

• 3.4.2 CONCAVIDAD DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

La concavidad en una función cuadrática está determinado por el valor que tome la variable "a", veamos:

• 3.4.3 DOMINIO, CODOMINO, PREIMAGEN E IMAGEN

Tal y como lo establece su definición el Dominio y Codominio de una función lineal es: IR.

Por otra parte las preimágenes serán los diferentes valores que tome la variable "x", mientras que las imágenes serán los diferentes valores que tome la variable "y".

Sea f(x) una función real tal que f(x) = x2 – 1

• 3.4.4 INTERSECCIÓN CON LOS EJES DEL PLANO CARTESIANO

Las intersecciones con los ejes del plano cartesiano XY, están dadas por las siguientes condiciones y fórmulas:

• 3.4.5 VÉRTICE DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

El punto máximo o mínimo de la gráfica de una función cuadrática se demoniza vértice, este es el puntodado por el par ordenado:

NOTA: Sí a < 0, "V" es el punto máximo.

Sí a > 0, "V" es el punto mínimo.

• 3.4.6 EJE DE SIMETRÍA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

El eje de simetría de una parábola es una recta que divide simétricamente a la curva, es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Puede ser entendido como un espejo que refleja la mitad de la parábola en cuestión.

La ecuación asociada al eje de simetría viene dada por la relación:

• 3.4.7 MONOTONÍA Y ÁMBITO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

La representación de las funciones cuadráticas es siempre una parábola con eje de simetría paralelo al eje de ordenadas, que la divide en dos ramas, una creciente y otra decreciente, veamos:

• 3.4.8 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

EJEMPLO 90

Considere la función cuadrática g(x) = – x2 + 9x, realice el estudio completo y gráfica.

Solución:

1. Determine su concavidad

a=-1

b=9

c=0 R/ la función dada es cóncava hacia abajo porque a<0 (a es negativa).

2. Vértice:

3. Intersección con los ejes:

3.1) EJE X

R/ las intersecciones con el eje x son los pares ordenados (0,0) y (9,0).

3.2) EJE Y

R/ La intersección con el eje "y" es el par ordenado (0,c); por lo tanto como

c =0 entonces la intersección buscada corresponde al par ordenado (0,0).

4. Eje de simetría:

5. Sentido de variación o monotonía:

Como a<0, entonces

6. Gráfica:

• 3.4.9 ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los números reales.

Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo.

A continuación se muestran tres funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones cuadráticas.

Observe que en la función a) el vértice es un punto mínimo, pues la función es cóncava hacia arriba ( a> 0 ); mientras que en las funciones b) y c) el vértice es un punto máximo, por ende, son funciones cóncavas hacia abajo ( a< 0 ).

Además, note como la función a) es decreciente al lado izquierdo del eje de simetría – línea punteada – y como se vuelve creciente al lado derecho de este eje simétrico. En caso contrario para las funciones b) y c) se tiene que estas son crecientes del lado izquierdo del eje de simetría y decrecientes del lado derecho del eje simétrico.

• 3.4.10 ALGUNAS APLICACIONES

En ocasiones para enfrentar una situación en particular en nuestro diario vivir, se hace necesario la utilización de funciones cuadráticas para dar respuestas a inquietudes como las dimensiones de un terreno, la altura alcanzada por cierto objeto o el tiempo de recorrido de este objeto. Veamos algunos casos a manera de ejemplo.

EJEMPLO 91

Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura que alcanza la pelota, medida desde el suelo en metros, en función del tiempo, medido en segundos, se calcula a través de la siguiente fórmula: h (t) = -5t2 + 20t.

a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué momento lo hace?

b)  ¿Después de cuánto tiempo cae la pelota al suelo?

c) ¿Cómo se contestan las preguntas anteriores si la pelota se lanza a 25m del suelo?

Solución:

Primero analicemos la situación planteada, el problema dice que se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba pero sabemos que por acción de la gravedad de la tierra la pelota debe regresar.

También el problema nos da la fórmula, que es una función cuadrática, la cual  relaciona la altura que alcanza la pelota en función del tiempo a partir de su lanzamiento. Entonces, la trayectoria de la pelota si la queremos dibujar será una parábola como la siguiente:

Ahora si, empecemos a contestar las preguntas:

La pregunta a) nos pide que hallemos la altura máxima que alcanza la pelota y en que momento lo hace. O sea, tenemos que averiguar el vértice y sus respectivas coordenadas v = (xv , yv), cada una de ellas  me dará xv = el tiempo en que alcanza la altura máxima y yv = la altura máxima.

Para hallar el vértice podemos utilizar dos posibilidades:

-   Como tenemos raíces, podemos calcularlas y luego calcular el vértice.

-   La segunda opción es usar la fórmula que permite calcular el vértice.

Utilizaré para calcular el vértice la segunda opción. Entonces, en la fórmula reemplazaré las variables por los valores de la función que estamos analizando.

Ahora si podemos responder la pregunta: la altura máxima que alcanza la pelota es de 20 m a los 2 segundos de ser lanzada.  

La pregunta b) es después de cuánto tiempo cae la pelota en el suelo. Lo que tenemos que averiguar es una de las raíces de la parábola. Ya que, el movimiento empieza en el suelo y termina en el suelo, dicho de otra manera empieza en el eje x y termina en el eje x ( raíces).

Para hallar las raíces igualamos la función a cero y obtenemos:

-5t2 + 20t = 0

t (-5t+ 20) = 0  factor común

                                   t = 0   o    -5t + 20 = 0 producto igual a 0

                                                          – 5t = – 20  despejamos t

                                           t = 4

Calculamos las dos raíces t = 0 y t =4, pero nuestra respuesta es t =4 nos indica que la pelota cae al piso luego de 4 segundos.

Nos falta contestar la pregunta c), la cual dice que contestemos las preguntas anteriores pero ahora la pelota es lanzada desde 25 m del suelo. La trayectoria de la pelota podemos representarla por la siguiente parábola:

Notamos ya con el gráfico que hay una diferencia y es que en la parábola anterior c = 0 m en cambio en ésta c = 25 m. Entonces la nueva función que tenemos que analizar es h (t) = -5t2 + 20t +25.

Ahora respondamos nuevamente las preguntas a) y b):

Para calcular la altura máxima y en que momento lo hace, nuevamente tenemos que calcular xv, 

y para calcular yv tenemos que reemplazar el valor en la nueva función:

h (t) = -5t2 + 20t +25.

h (2) = – 5(2)2 + 20.2 + 25.

h (2) = 45.

Ahora, respondemos la primera pregunta: la máxima altura que alcanza son 45 m., alcanzando esa altura a los 2 segundos.

La pregunta b) plantea: ¿después de cuánto tiempo la pelota cae al suelo?

Como ya sabemos tenemos que igualar la función a cero.

 -5t2 + 20t +25 = 0

Para resolver tenemos que usar la fórmula:

x = – 1, x = 5             

Por el contexto del problema, el valor negativo no tiene sentido: la pelota cae al piso después de 5 segundos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Representa las funciones cuadráticas

• a). y = -x² + 4x – 3

• b). y = x² + 2x + 1

• c). y = x² +x + 1

2) Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:

• a). y= (x-1)² + 1

• b). y= 3(x-1)² + 1

• c). y= 2(x+1)² – 3

• d). y= -3(x – 2)² – 5

• e). y = x² – 7x -18

• f). y = 3x² + 12x – 5

3) Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:

• a). y = x² – 5x + 3

• b). y = 2x² – 5x + 4

• c). y = x² – 2x + 4

• d). y = -x² – x + 3

4) Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a.

5) Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (-1,1). Calcula a, b y c.

6) Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su ecuación.

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Representa las funciones cuadráticas

• a). y = -x² + 4x – 3

• b). y = x² + 2x + 1

• c). y = x² +x + 1

2) Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:

3) Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:

Ejercicios resueltos de la función cuadrática

4) Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a.

9 = 1² + a· 1 + a  R/ a = 4

5) Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (-1,1). Calcula a, b y c.

1 = a · 1² + b · 1 + c

0 = a · 0² + b · 0 + c

1 = a · (-1)² + b · (-1) + c

a = 1 b = 0 c = 0

• 6) Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su ecuación.

La coordenada x del vértice es 1.

1 = -b /2 a b = -2 a

y = ax² + bx + c

f(0)=2

2 = c

f(1) = 1

1 = a + b + 2 1 = a -2a + 2

a=1 b = -2

y = x2 – 2x + 2

UNIDAD 4:

Función inversa

4.1 FUNCIÓN INVERSA

En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.

EJEMPLO 92

• 4.1.1 CONCEPTO

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f-1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f-1(b) = a.

EJEMPLO 93

Sea f una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

entonces:

1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.

• Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.

• Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.

Este último punto se usa con frecuencia como definición de función inversa.

• 4.1.2 NOCIÓN DE BIYECTIVIDAD

Para que una función tenga inversa, esta debe ser biyectiva.

EJEMPLO 94

Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.

En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de A y B.

Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo número de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:

• Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.

EJEMPLO 95

en el diagrama de la figura:

todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva

todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.

Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los números naturales:

y por conjunto final el de los números naturales pares:

Podemos ver que la relación

Por el que a cada número natural x de X, le asociamos un número par 2x de Y, se cumple:

• f: es una aplicación, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un único valor 2x de Y.

• esta aplicación es inyectiva dado que a cada número par 2x de Y le corresponde un único valor x de X.

• y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origen

Esto nos permite afirmar que hay el mismo número de números naturales que de números naturales pares, se da la paradoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta circunstancia solo se da con los conjuntos infinitos.

EJEMPLO 96

La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una aplicación porque todos los pinceles tienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicación es inyectiva porque un pincel corresponde con una sola cara, y es sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, al ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente esta aplicación es biyectiva.

Una aplicación biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final uno a uno, pudiéndose decir que hay el mismo número de elementos en el conjunto inicial que en el final.

• 4.1.3 CARACTERÍSTICAS

Podemos observar que:

El dominio de f-1 es el recorrido de f.

El recorrido de f-1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

• 4.1.4 CRITERIO DE UNA FUNCIÓN INVERSA

EJEMPLO 97

EJEMPLO 98

Calcular la función inversa de:

• 4.1.5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA

Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

EJEMPLO 99

Considere una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2.]

• Los graficos que representan f y g son simétricos con relación a la primera diagonal, es decir la recta ?: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M'(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M' pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.

• Las tangentes en M y M' tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f '(x) = 1.

EJEMPLO 100

La función exponencial y la función logarítmica son ejemplos de funciones inversas.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Hallar la función inversa

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

UNIDAD 5

Función Exponencial y Función Logarítmica 1

Tradicionalmente, el estudio de los logaritmos ha ido inevitablemente acompañado de las tablas logarítmicas y del estudio de conceptos tales como el de mantisa, característica, cologaritmo…

Hoy en día esto ya no es necesario. Con la creciente utilización de las calculadoras en todos los niveles, el cálculo logarítmico se ha simplificado enormemente.

Por tanto, en este tema se prescindirá del manejo de las tablas y de su explicación.

La invención de los logaritmos (palabra de origen griego: logos = tratado, arithmos = números), se debe al matemático escocés John Napier, barón de Merchiston (1550-1617), quien se interesó fundamentalmente por el cálculo numérico y la trigonometría. En 1614, y tras veinte años de trabajo, publicó su obra Logarithmorum canonis descriptio, donde explica cómo se utilizan los logaritmos, pero no relata el proceso que le llevó a ellos.

Un año después, en 1615, el matemático inglés Henry Briggs (1561-1631), visitó a Napier y le sugirió utilizar como base de los logaritmos el número 10. A Napier le agradó la idea y se comprometieron a elaborar las tablas de los logaritmos decimales. Napier muere al cabo de dos años escasos y se queda Briggs con la tarea.

En 1618, Briggs publicó Logarithmorum Chiliaes prima, primer tratado sobre los logaritmos vulgares o de Briggs, cuya base es el número 10. Briggs hizo el cálculo de las tablas de logaritmos de 1 a 20 000 y de 90 000 a 100 000.

En 1620, el hijo de Napier publicó la obra de su padre Mirifici logarithmorum canonis constructio («Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos») donde ya se explica el proceso seguido por Napier, mediante la comparación de progresiones y la utilización de unas varillas cifradas, llamadas varillas o regletas de Napier, para llegar a sus resultados sobre los logaritmos.

Las tablas de los logaritmos decimales de Briggs fueron completadas de 1 a

100 000 en 1628 por el matemático Vlacq.

Estos resultados fueron muy bien acogidos por el mundo científico del momento, que no dudó en utilizarlos para la resolución de cálculos numéricos

5.1Leyes de Potencias

La siguiente lista se muestran algunas leyes de potencias

5.1.1 Función Exponencial

1 Objetivos Identificar el criterio de las funciones exponenciales

Identificar características de funciones exponenciales

Función exponencial:

Analizando los pares ordenados que las operaciones aritméticas anteriores determinan podemos ver que :

Ahora basta con realizar el estudio completo de la función a partir de la gráfica.

Ejemplo 2: Grafique y realice un estudio completo de la función exponencial dada por

Podemos observar que sucede con los valores infinitamente "pequeños" del dominio, sus imágenes tienden a cero. De manera análoga con los valores infinitamente "grandes".

Así la gráfica estaría dada por

Ahora realizamos el estudio completo de la función.

II Caso:

Práctica

• 1) Grafique y realice un estudio completo de las funciones:

Ejercicios resueltos de gráficas de funciones

Representa las funciones exponenciales:

Características de la función exponencial

5.1.3 Ecuaciones Exponenciales

2 Objetivo Resolver ecuaciones exponenciales

Ecuaciones Exponenciales

Para resolver ecuaciones exponenciales es necesario conocer un teorema relacionado con la función exponencial el cual aceptaremos sin demostración.

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

Ejemplo 7:

Ejemplo 8:

Ejemplo 9:

ECUACIONES EXPONENCIALES

Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones exponenciales:

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Respuestas:

Función Logarítmica

5.2.1Expresar ecuaciones exponenciales en notación logarítmica y viceversa

Identificar características de funciones logarítmicas

Función Logarítmica

Como se estudió en lecciones anteriores, toda función biyectiva posee inversa, específicamente hemos estudiado la función exponencial cuyo análisis nos indica que está es biyectiva, y la función inversa de dicha función es la función logarítmica.

Función logarítmica:

Ejemplos:

Ejemplo 1:

Grafique y realice un estudio completo de la función logarítmica dada por

Ahora basta con realizar el estudio completo de la función a partir de la gráfica.

Ejemplo 2:

Ahora realizamos el estudio completo de la función.

I Caso:

II Caso:

Gráficamente podemos observar como las funciones

Práctica

• 1. Realice un estudio completo de las funciones:

Cambio de base

En ocasiones, resulta útil cambiar logaritmos con una base a logaritmos en otra base.

Ejemplo

Utilice la fórmula de cambio de base y los logaritmos comunes o naturales para evaluar el siguiente logaritmo. Exprese la respuesta con cuatro decimales.

5.2.2Propiedades Logarítmicas

5 Objetivos Expresar ecuaciones exponenciales en notación logarítmica y

viceversa

Desarrollar expresiones algebraicas que involucran logaritmos

Simplificar expresiones algebraicas que involucran logaritmos

Comprobar identidades logarítmicas

Propiedades Logarítmicas

Ejemplo 1:

Solución: aplicando algunas de las propiedades de los logaritmos tenemos:

Ejemplo 2:

Exprese como un solo logaritmo la expresión

Solución: de igual manera procedemos aplicando propiedades de logaritmos

Ejemplo 3: Exprese como un solo logaritmo la expresión

Solución:

5.2.3.Identidades Logarítmicas

Para comprobar una identidad se puede trabajar con la expresión ya sea del lado derecho o izquierdo, a las cuales les aplicaremos algunas de las propiedades de los logaritmos.

Ejemplo 1: Compruebe la identidad

Solución: Trabajemos con la expresión del lado izquierdo, así tenemos

Así podemos verificar la identidad.

Ejemplo 2:

Solución: Se procede de manera análoga al ejemplo anterior

Así se comprueba la identidad.

Ejemplo 3:

Verifique la identidad

Solución: Para verificar esta identidad se puede proceder de varias maneras, es decir existen diferentes métodos para obtener un único resultado.

De esta manera se verifica la igualdad

Otra forma

Podemos ver como utilizando uno u otro método se concluye lo mismo

5.2.4Ecuaciones Logarítmicas

6 Objetivo Resolver ecuaciones logarítmicas

Ecuaciones Logarítmicas

Dado que la función logarítmica es biyectiva, podemos "pasar" de la notación logarítmica a la notación exponencial y de esta manera resolver las ecuaciones. Para ello debemos aplicar las diferentes propiedades de los logaritmos vistos antes.

ES NECESARIO PROBAR LAS SOLUCIONES ENCONTRADAS

Ejemplo 1: Resuelva la ecuación

y determine el conjunto solución.

Solución:

Ahora se procede a resolver la ecuación

Ejemplo 2:

Resuelva la ecuación

y determine el conjunto solución.

Solución: Procedemos de manera análoga al ejemplo anterior.

Ejemplo 3:

Practica

Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones:

EJERCICIOS

1.1) Repaso propiedades de las potencias

Simplifique al máximo las siguientes expresiones

Respuestas

1.2) Función exponencial

Grafique las siguientes funciones

RESPUESTAS

VER PÁGINAS DEL 8 AL 9

1.5) Exprese como un solo logaritmo

1.7) Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

1) Resuelva las siguientes ecuaciones

2) Encuentre la función inversa de cada una de las siguientes funciones

3.6) Cambio de base

Utilice la fórmula de cambio de base y una calculadora para evaluar el logaritmo, y exprese la respuesta con cuatro decimales. Utilice logaritmos comunes o naturales.

Bibliografía

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Barrantes, H., (2009). Matemática Básica para Administración (Ed. rev.). San José: EUNED.

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Jiménez, R.,(2004). Tópicos de Álgebra Elemental 10° (Ed. rev.). San José: Guilá Imprenta Litografía S.A.

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HTML.http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica (21 Mar. 2010).

Anexos

INFORMACIÓN GENERAL

• Para resolver la prueba, usted debe contar con un folleto que contiene 60 ítemes de selección, una hoja con fórmulas y una tabla de valores de las funciones trigonométricas. Además un bolígrafo de tinta negra o azul, corrector líquido blanco, una calculadora (opcional) básica o científica no programable y una hoja para respuestas.

INSTRUCCIONES

• 1. Verifique que el folleto esté bien compaginado y que contenga los 60 ítemes de selección. En caso de encontrar alguna anomalía, notifíquela inmediatamente al delegado de aula; de lo contrario, el estudiante asume la responsabilidad sobre los problemas que se pudieran suscitar por esta causa.

• 2. Lea cuidadosamente cada ítem.

• 3. Si lo desea, puede usar el espacio al lado de cada ítem, para escribir cualquier anotación que le ayude a encontrar la respuesta. Sin embargo, lo que se califica son las respuestas seleccionadas y marcadas en la hoja para respuestas.

• 4. De las cuatro posibilidades de respuesta: A), B), C) y D), que presenta cada ítem, solamente una es correcta.

• 5. Una vez que haya revisado todas las opciones y esté seguro o segura de su elección, rellene completamente el círculo correspondiente, tal como se indica en el ejemplo.

• 6. Si necesita rectificar la respuesta, utilice corrector líquido blanco; rellene con bolígrafo de tinta negra o azul el círculo correspondiente a la nueva opción seleccionada. Anote en la parte destinada para observaciones de la hoja para respuestas: "La respuesta del ítem Nº ___ es la opción ____". Debe firmar al final de todas las observaciones.

• 7. Ningún ítem debe aparecer sin respuesta o con más de una respuesta.

• 8. ESTAS INSTRUCCIONES NO DEBEN SER MODIFICADAS POR NINGÚN FUNCIONARIO QUE PARTICIPE EN EL PROCESO DE ADMINISTRACIÓN DE LA PRUEBA.

NOTAS

En esta prueba, a menos que se indique lo contrario, se considera lo siguiente:

• a) Cuando se hace referencia a la factorización completa de un polinomio, si este tiene coeficientes enteros, entonces los factores deben ser polinomios con coeficientes enteros.

• b) Cuando se establezcan equivalencias o resultados que involucren radicales de índice par, las letras en el subradical representarán números positivos.

• c) Cuando se pregunte por un resultado aproximado, las opciones se presentarán ya sea con redondeo al décimo más cercano o al centésimo más cercano.

• d) Las ecuaciones, deben resolverse en

e) Las expresiones algebraicas, logarítmicas y trigonométricas que aparecen en esta prueba, se suponen bien definidas. Por lo tanto, las restricciones necesarias en cada caso no se escriben.

f) Las funciones, son funciones reales de variable real consideradas en su dominio máximo.

g) Los dibujos no necesariamente están hechos a escala. La figura trata solamente de ilustrar las condiciones del problema.

SELECCIÓN ÚNICA

1) En la factorización completa de 16×3 – 4x uno de los factores es

• A) 2x + 1

• B) (2x – 1)2

• C) 4×2 + 2x + 1

• D) 4×2 – 2x + 1

2) Al factorizar el trinomio 8×2 + 10x – 12 uno de los factores es

• A) 4x – 3

• B) 4x + 1

• C) x + 1

• D) x – 6

3) Al factorizar y3 + 3y2 – 2y – 6 uno de los factores es

• A) (y – 2)2

• B) (y + 3)2

• C) y2 – 2

• D) y – 3

4) La expresión

es equivalente a

5) La expresión

es equivalente a

6) La expresión

es equivalente a

7) Una solución de 2x(x – 2) + 2 = 5 – 3x es

8) El conjunto solución de la ecuación

es

9) Una solución de

es

• 10) La suma de dos números es 23 y su producto 102. ¿Cuáles son esos números?

• A) -17 y -6

• B) (7 y 30

• C) 11 y 12

D) 6 y 17

• 11) Considere la siguiente figura.

De acuerdo con los datos de la figura, si el área del rectángulo ABCD es 75, entonces

12) Una solución de

es

13) El conjunto solución de

• 14) Considere la siguiente gráfica de una función f .

De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función f es

• 15) Para la función dada por

16) Para la función dada por

el dominio máximo de f es

• 17) La función dada por

18) Considere la siguiente gráfica de una función f.

¿Cuál es el ámbito de la función f ?

19) Considere la siguiente gráfica de una función f.

De acuerdo con los datos de la gráfica, la función f es decreciente en

• 20) Para la función dada por

De las proposiciones anteriores, ¿cuáles son verdaderas?

• A) Solo la I

• B) Solo la II

• C) Ambas.

• D) Ninguna.

• 21) Si la pendiente de una recta es (4 y el punto ( 3, 5 ) pertenece a ella, entonces dicha recta interseca el eje x en el punto

• 22) La ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por 3y – 2x + 1 = 0 y que contiene el punto (2 , 3) es

• A) 3y – 2x + 13 = 0

• B) 2y + 3x – 12 = 0

• C) 3y + 2x – 13 = 0

• D) 2y + 3x – 10 = 0

• 23) Considere las siguientes ecuaciones correspondientes a dos rectas.

¿Cuál es el punto de intersección de esas rectas ?

• 24) Si f es una función cuyo criterio es

• 25) Si ((1 , 2) y (3 , 1) pertenecen al gráfico de una función lineal f , entonces

• 26) La función f dada por f(x) = 1 – 2×2 + x es estrictamente creciente en

• 27) Si la gráfica de la función dada por f(x) = (2 – m)x2 + 3x – 2 es una parábola cóncava hacia arriba, entonces se cumple que m es un número que pertenece a

28) Para las funciones f y g con

se cumple que

A) f y g son estrictamente crecientes.

B) f y g son estrictamente decrecientes.

C) f es estrictamente creciente y g es estrictamente decreciente.

D) f es estrictamente decreciente y g es estrictamente creciente.

• 29) El ámbito de la función dada por

30) La solución de

es

• 31) La solución de

es