Antología de matemáticas, por Laura Arroyo Rojas

UNIDAD 1:

Álgebra

Si bien la palabra "álgebra" viene de la palabra árabe

sus orígenes se remontan a los antiguos babilonios, que han desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algebraica. Con el uso de este sistema fueron capaces de aplicar las fórmulas y soluciones para calcular valores desconocidos. Este tipo de problemas suelen resolverse hoy mediante ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas y ecuaciones indefinidas. Por el contrario, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de la India, griegos y matemáticos chinos en el primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en la matemática Rhind Papyrus, Sulba Sutras, Elementos de Euclides, y los Nueve Capítulos sobre el Arte de las Matemáticas. El trabajo geométrico de los griegos, centrado en las formas, dio el marco para la generalización de las fórmulas más allá de la solución de los problemas particulares de carácter más general, sino en los sistemas de exponer y resolver ecuaciones.

Las mentes griegas matemáticas de Alejandría y Diofanto siguieron las tradiciones de Egipto y Babilonia, pero el Diophantus del libro Arithmetica está en un nivel mucho más alto. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanes desarrollaron métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación. Aunque los babilonios y Diophantus utilizaron sobre todo los métodos especiales ad hoc para resolver ecuaciones, Al-Khowarizmi fue el primero en resolver ecuaciones usando métodos generales. Él resolvió el indeterminado de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones indeterminadas de segundo orden y ecuaciones con múltiples variables.

La palabra Al-Jabr significa "reducción". El matemático helenístico Diophantus ha sido tradicionalmente conocido como el "padre del álgebra", pero en tiempos más recientes, hay mucho debate sobre si al-Khwarizmi, que fundó la disciplina de Al-Jabr, título que se merece su lugar. Los que apoyan Diophantus apuntan al hecho de que el álgebra que se encuentra en Al-Jabr es algo más elemental que el que se encuentra en el álgebra Arithmetica y que Arithmetica es sincopada mientras que Al-Jabr es totalmente retórica. Los que apoyan el punto de Al-Khwarizmi sobre el hecho de que presenta los métodos de "reducción" y "equilibrio" (la transposición de términos restará al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos a ambos lados de la ecuación), al cual el término Al-Jabr se refería originalmente, y que dio una explicación exhaustiva de la solución de ecuaciones cuadráticas, apoyada por las pruebas geométricas, mientras que el tratamiento de álgebra como una disciplina independiente en su propio derecho. Su álgebra ya tampoco trataría "con una serie de los problemas por resolver", sino con una "exposición que empieza con lo primitivo en el que las combinaciones deben dar todos los posibles prototipos de ecuaciones, que en adelante explícitamente constituyen el verdadero objeto de estudio". También estudió una ecuación para su propio bien y "de forma genérica, en la medida que no sólo surgen en el curso de la solución de un problema, sino que específicamente en la llamada para definir una infinidad de problemas de clase".

El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geometría algebraica y encontró la solución geométrica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa, Sharaf Al-Din al-Tusi, encontró la solución numérica y algebraica a diversos casos de ecuaciones cúbicas. Él también desarrolló el concepto de una función. Los matemáticos indios Mahavira y Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji, y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de cúbicos, quartic, quintic y ecuaciones polinómicas de orden superior mediante métodos numéricos.

Otro acontecimiento clave en el desarrollo del álgebra fue la solución algebraica de las ecuaciones cúbicas y quárticas, desarrollado a mediados del siglo XVI. La idea de un factor determinante fue desarrollada por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. Resumen de álgebra se desarrolló en el siglo XIX, centrándose inicialmente en lo que ahora se llama la teoría de Galois, y en cuestiones de constructibilidad.

1.1 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinomial donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente o constante.

• 1.1.1 DISCRIMINANTE DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

EJEMPLO 1

Determine el discriminante de la expresión x2 – 7x + 10.

Solución:

Tenemos que a= 1 , b = -7 , c = 10.

Utilizando la fórmula para calcular el discriminante se obtiene

EJEMPLO 2

Determine el discriminante de la expresión ( x+2 ) ( 3x – 1 ) = -x2 + 8

Solución:

1.1.2 RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Se resuelven por despeje, por factorización, mediante el uso de calculadora científica o por fórmula general. La fórmula general se estudia a continuación.

La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:

EJEMPLO 3

Determine el conjunto solución de la ecuación

mediante despeje.

Solución:

EJEMPLO 4

Resuelva la ecuación

mediante factorización.

Solución:

EJEMPLO 5

Determine el conjunto solución de la ecuación 2×2 – 14x + 20, mediante fórmula general.

Solución:

Tenemos que a= 2 , b = -14 , c = 20.

Primero se calcula el discriminante

EJEMPLO 6

Determine el conjunto solución de la ecuación 2×2 – 6x – 36, mediante uso de calculadora científica.

Solución:

Para resolver la ecuación dada se hace lo siguiente:

Calculadora Casio fx-570 ES

1.1.3 APLICACIONES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

La ecuación cuadrática es de gran importancia en matemáticas aplicadas y en general, puesto que se aplica muy frecuentemente en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

EJEMPLO 7

Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 -kx + 36 = 0 sean iguales.

Solución:

EJEMPLO 8

La suma de dos números es 5 y su producto es -84. Halle dichos números.

Solución:

x2 – Sx + P = 0 ( S es el resultado de la suma y P el resultado del producto)

R/ Los números son 12 y -7.

EJEMPLO 9

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcule la edad de Pedro.

Solución:

R/ La edad actual de Pedro es de 21 años. ( El número 7 se descarta pues no hace cumplir la ecuación * )

EJEMPLO 10

Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcule las dimensiones de la finca.

Solución:

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Resolver las siguientes ecuaciones

2) Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas

3) Resolver los siguientes problemas:

• a). Halla un número entero sabiendo que la suma de su inverso es

.

• b). Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m²

• c).  Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Resolver las siguientes ecuaciones

2) Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas

3) Resolver los siguientes problemas:

R/ El número es 5.

• b). Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

• c). Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

1.2 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Factorizar un polinomio consiste en expresarlo como una multiplicación de 2 o más polinomios diferentes de 1 y de – 1, llamados factores.

Los polinomios de grado mayor a 0 que no se pueden factorizar se conocen como POLINOMIOS IRREDUCTIBLES .

A continuación mostraremos la factorización completa de algunos polinomios, a manera de ejemplo.

EJEMPLO 11

EJEMPLO 12

Existen varios métodos para efectuar la factorización completa de un polinomio, estudiemos cuáles son y en qué consisten cada uno de ellos.

1.2.1 FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA GENERAL

Si tenemos una ecuación de la forma ax2 + bx + c, entonces se cumple que

EJEMPLO 13

Factorice por completo la expresión x2 – 7x + 10.

Solución:

Tenemos que a= 1 , b = -7 , c = 10.

Utilizando 1. se obtiene

NOTA: SIGNOS OPUESTOS al signo de cada número en el conjunto solución.

EJEMPLO 14

Factorice el polinomio

completamente.

Solución:

Tenemos que a= 2 , b = 1 , c = -3.

Utilizando 1. se obtiene

1.2.2 FACTORIZACIÓN POR INSPECCIÓN

Este método sirve para factorizar trinomios de segundo grado, o sea, expresiones de la

ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales.

CASO 1:

Si a = 1, es decir, la expresión tiene la forma x2 + bx + c , se deben buscar dos números enteros que sumados den como resultado "b" y multiplicados den como resultado "c".

PASO 1: Determinar si existe factor común entre los términos del polinomio.

PASO 2: Encontrar la manera de escribir "x2" como una multiplicación, esos factores se escriben formando una columna.

PASO 3: Encontrar todas las parejas de números enteros cuya multiplicación sea igual a "c" y se anotan en una columna al lado derecho de la anterior.

PASO 4: Comprobar que el término "b" del trinomio sea igual a la suma de los productos cruzados entre los factores, elegir cual arreglo de parejas es el correcto y anotar cada línea horizontal formada por las columnas entre paréntesis.

EJEMPLO 15

Factorice completamente el polinomio x2 + 5x + 6.

Solución:

R/ La factorización es ( x + 2 ) ( x + 3 ).

EJEMPLO 16 (Usando la calculadora)

Factorice la expresión x2 – 3x – 18.

Solución:

Para factorizar la expresión dada se hace lo siguiente:

R/ La factorización es ( x – 6 ) ( x + 3 )*.

*NOTA: el orden de los factores no altera el producto.

CASO 2:

a 1, es decir, la expresión tiene la forma ax2 + bx + c .

PASO 1: Determinar si existe factor común entre los términos del polinomio.

PASO 2: Encontrar todas las parejas de números enteros cuya multiplicación sea igual a "a", esos factores se escriben formando una columna.

PASO 3: Encontrar todas las parejas de números enteros cuya multiplicación sea igual a "c" y se anotan en una columna al lado derecho de la anterior.

PASO 4: Comprobar que el término "b" del trinomio sea igual a la suma de los productos cruzados entre los factores, elegir cual arreglo de parejas es el correcto y anotar cada línea horizontal formada por las columnas entre paréntesis.

EJEMPLO 17

Factorice por completo el polinomio 6×2 – 16x – 6.

Solución:

Observe que 6×2 – 16x – 6 = 2 ( 3×2 – 8x – 3 ) -aplicando factor común-

Multiplicando en cruz: 3x ( ( – 3 ) + x ( 1 =

– 9 x + x = -8 x , y se cumple que "b" = -8

R/ La factorización es 2 ( 3x + 1 ) ( x – 3 )

EJEMPLO 18

Factorice la expresión 15a2x2 – 11abx – 12b2.

Solución:

Multiplicando en cruz: 3ax ( 3b + 5ax ( ( -4b ) =

9 abx + ( -20abx ) = -11 abx , y se cumple que "b" = -11

R/ La factorización es ( 3ax – 4b ) ( 5ax + 3b )

EJEMPLO 19 (Usando calculadora)

Factorice por completo el polinomio 6×2 – 16x – 6.

Solución:

Para factorizar la expresión dada se hace lo siguiente:

1.2.3 FACTORIZACIÓN POR FÓRMULAS NOTABLES

La factorización mediante Fórmulas Notables, se caracteriza porque la expresión dada se puede escribir como una fórmula notable.

Resumen de las fórmulas notables:

Antes de iniciar con el estudio propiamente de la factorización mediante Fórmula Notable, se hará un breve repaso de la aplicación y desarrollo de estas fórmulas notables.

EJEMPLO 20

La expresión ( 3×2 + 5 )2 es igual a

Solución:

EJEMPLO 21

La expresión ( m2 – m3 )2 es equivalente a

Solución:

EJEMPLO 22

EJEMPLO 23

Calcule el resultado de ( x2 + 2 )3 .

Solución:

EJEMPLO 24

Calcule el resultado de ( 2×4 – 5y )3 .

Solución:

Se aplica el producto notable 5 :

EJEMPLO 25

La expresión

es equivalente a

Solución:

EJEMPLO 26

La expresión

es equivalente a

Solución:

Se aplica el producto notable 7 :

Para factorizar un polinomio mediante las Fórmulas Notables, lo que hace es expresar ese polinomio como los factores de cada una de las fórmulas notables según corresponda.

EJEMPLO 27

La factorización completa de

corresponde a

Solución:

Se aplica la fórmula notable 1:

EJEMPLO 28

EJEMPLO 29

La factorización completa de x2 – 25 corresponde a

Solución:

Se aplica la fórmula notable 3:

x2 – 25 = x2 – 52 = ( x + 5 ) ( x – 5 ).

EJEMPLO 30

La factorización completa de 36m2 – 121b2 corresponde a

Solución:

Se aplica la fórmula notable 3:

62m2 – 112 b2 = (6m)2 – (11b)2 = ( 6m + 11b ) ( 6m – 11b ).

NOTA: La suma de cuadrados NO es factorizable en el conjunto de los números reales, es decir, a2 + b2 es irreducible.

EJEMPLO 31

La factorización completa de x6 + 6×4 + 12 x2 + 8 corresponde a

Solución:

Se aplica la fórmula notable 4:

EJEMPLO 32

EJEMPLO 33

La factorización completa de 125 + x9 corresponde a

Solución:

Se aplica la fórmula notable 6:

EJEMPLO 34

La factorización completa de a6 – 27 corresponde a

Solución:

Se aplica la fórmula notable 7:

1.2.4 FACTORIZACIÓN POR TEOREMA DEL FACTOR

EJEMPLO 35

Sea P(x) = x3 + x2 – 4x – 4. Comprobar que x = 2 es un cero de P(x). ¿ Cuál es el factor ?

Solución:

R/ El factor es ( x – 2 )

EJEMPLO 36

Determinar cuales son los factores de P(x) = x3 – 2×2 -5x + 6 si se sabe que sus ceros son

-2, 1 y 3.

Solución:

En este caso k1= -2 , k2= 1, k3= 3 ;los factores correspondientes a estos valores de "k" son:

( x – (- 2) ) , ( x – 1 ) y ( x – 3 )

R/ Los factores son ( x + 2 ) , ( x – 1 ) y ( x – 3 )

EJEMPLO 37

Hallar un polinomio P(x) de tercer grado cuyos ceros son 2, – 3 y 1.

Solución:

Los factores de ese polinomio son ( x – 2 ) , ( x – ( -3) ) que se convierte en ( x + 3 ) y

( x – 1 ).

Para encontrar el polinomio se multiplican los factores obtenidos

( x – 2 ) ( x + 3 ) ( x – 1 ) =

( x2 + 3x – 2x – 6 ) ( x – 1 ) =

( x2 + x – 6 ) ( x – 1 ) =

x3 + x2 – 6x – x2 – x + 6 =

x3 + – 7x + 6

R/ El polinomio de tercer grado es x3 + – 7x + 6

1.2.5 FACTORIZACIÓN Y USO DE LA CALCULADORA CIENTÍFICA

En el proceso de factorización completa de un polinomio el uso de la calculadora científica puede resultar una herramienta muy valiosa, especialmente porque reduce considerablemente la cantidad de tiempo utilizado para factorizar adecuadamente una expresión.

EJEMPLO 38

Factorice por completo la expresión 8×2 + 2x – 15.

Solución:

Se anotan los valores de a = 8, b = 2 y c = -15 ; en el "modo para ecuación cuadrática" .

Se obtiene el conjunto solución

Para factorizar la expresión dada se hace lo siguiente:

• 1. Escribimos dos factores que contengan a la variable "x" así: ( x ( ) ( x ( )

• 2. Anotamos cada denominador adelante de cada variable "x" : ( 2 x ( ) ( 4 x ( )

• 3. Anotamos el numerador respectivo a cada denominador

PERO con signo OPUESTO al dado por la solución: ( 2 x + 3 ) ( 4 x – 5 ).

R/ La factorización es ( 2 x + 3 ) ( 4 x – 5 ).

EJEMPLO 39

Factorice por completo el polinomio 12×2 – 45x + 42.

Solución:

Aplicamos factor común: 12×2 – 45x + 42 = 3 ( 4×2 – 15x + 14 )

Se anotan los valores de a = 4, b = – 15 y c = 14 ; en el "modo para ecuación cuadrática".

Se obtiene el conjunto solución

Para factorizar la expresión dada se hace lo siguiente:

1.Escribimos dos factores que contengan a la variable "x" con el factor común: 3(x ( )(x ( )

2.Anotamos el denominador adelante de la variable "x" : 3 ( 4 x ( ) ( x ( )

3.Anotamos el numerador respectivo al denominador y el número entero

PERO con signo OPUESTO al dado por la solución: 3 ( 4 x – 7 ) ( x – 2 ).

R/ La factorización es 3 ( 4 x – 7 ) ( x – 2 ).

EJEMPLO 40

Factorice 2×2 – 18xy + 36y2.

Solución:

Hacemos y = 2 para obtener: 2×2 – 36x + 144.

( conservar la variable más simple o en algunos casos la elevada al cuadrado )

Se obtiene el conjunto solución S = ( 6 , 12 (.

Para factorizar la expresión dada se hace lo siguiente:

1.Escribimos dos factores que contengan a la variable "x" de la siguiente manera:

( x ( ) ( x ( )

2.Anotamos los valores del conjunto solución PERO con signo OPUESTO:

( x – 6 ) ( x – 12 )

3.Arreglamos los factores en términos de "y" , para ello dividimos cada valor numérico del PASO DOS entre el valor asignado a "y" ( y = 2 ) y ese resultado lo multiplicamos por " y" :

1.2.6 FACTORIZACIÓN Y LA COMBINACIÓN DE MÉTODOS

En este método se aplican dos o más de los métodos de factorización estudiados hasta este momento.

EJEMPLO 41

Factorice por completo la expresión ax3 – ax.

Solución:

EJEMPLO 42

Factorice por completo la expresión 32 a2b4 + 112 a3b3 + 98 a4b2

Solución:

EJEMPLO 43

Factorizar completamente la expresión x4 + 3×3 – x2 – 3x

Solución:

EJERCICIOS PROPPPUESTOS

1) Factorizar los siguientes polinomios

2) Descomponer en factores los siguientes polinomios

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Factorización de polinomios

Ejercicios resueltos de factorizar y calcular las raíces de los polinomios

2) Descomposición en factores de polinomios

1.3 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.

Son fracciones algebraicas:

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.

1.3.1 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.

EJEMPLO 44

Simplificar

NOTA: Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos.

EJEMPLO 45

1.3.2 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.

EJEMPLO 46

Resuelva la operación

EJEMPLO 47

Resuelva la siguiente operación

*m.c.m = mínimo común múltiplo

EJEMPLO 48

Expresar en una fracción común  

NOTA: El M.C.D se divide entre cada denominador y el resultado obtenido en esa división se multiplica respectivamente por cada numerador.

1.3.3 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

EJEMPLO 49

Resuelva la siguiente operación

EJEMPLO 50

Resuelva la operación

1.3.4 DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

EJEMPLO 51

Observe la resolución de algunas divisiones de fracciones algebraicas

EJEMPLO 52

Resuelva la siguiente operación

• 1.3.5 COMBINACIÓN OPERACIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

El orden que debemos seguir al realizar las operaciones combinadas con fracciones algebraicas, es el siguiente:

1. Los paréntesis, en el siguiente orden: redondos, cuadrados y llaves.

2. Los productos y divisiones.

3. Las sumas y las restas.

EJEMPLO 53

Observe la resolución de algunas operaciones combinadas de fracciones algebraicas

a )

b )

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Simplifique al máximo las siguientes expresiones

2) Resuelva las siguientes operaciones con fracciones algebraicas.

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Simplifique al máximo las siguientes expresiones

2) Resuelva las siguientes operaciones con fracciones algebraicas.

UNIDAD 2:

Funciones reales

El concepto de función es tan extenso y tan general que no es sorprendente encontrar una inmensa variedad de funciones que se presentan en la naturaleza. Lo que sí es sorprendente es que un corto número de funciones especiales rijan una multitud de fenómenos naturales totalmente diferentes.

Un poco de historia

El estudio del movimiento fue el problema que más interesó a los científicos del siglo XVII, influidos por los descubrimientos de Kepler y Galileo en relación con los cuerpos celestes.

A este gran interés también contribuyeron motivaciones de carácter económico y militar, del mismo modo que en la actualidad.

Respecto del primer motivo, los navegantes europeos, en su búsqueda de materias primas y de nuevas relaciones comerciales, se alejaban cada vez más de las costas de las que partían y esto les ocasionaba grandes dificultades para conocer su posición en alta mar y llegar al lugar deseado. Necesitaban saber la latitud y la longitud (coordenadas terrestres); la primera se conseguía por observación directa del Sol o de las estrellas; pero la segunda ofrecía serias dificultades porque no disponían de los medios adecuados para medir correctamente la dirección del movimiento de la Luna, y cometían numerosos errores.

Los gobiernos de Europa estaban muy interesados en solucionar este problema porque se producían cuantiosas pérdidas económicas. Por ello se estimulaban a los científicos a que construyeran tablas de datos cada vez más aproximados.

En relación al segundo motivo, las trayectorias de los proyectiles, sus alcances y alturas, el efecto de la velocidad de la boca del arma cobre ellos eran asuntos de sumo interés para los gobernantes, por lo que invertían grandes sumas de dinero para financiar la búsqueda de soluciones satisfactorias.

Del estudio de diversos problemas del movimiento se extrajo la conclusión de que era necesario medir el tiempo con mayor precisión, y se llegó a vincular este problema con el movimiento del péndulo, mecanismo básico para la medida del tiempo.

La carencia de instrumentos de medida suficientemente precisos para construir tablas de variables impidió que el estudio de este concepto se abordara antes. Por ejemplo, los griegos, que en otros aspectos tenían un desarrollo matemático admirable (recordemos el libro Los elementos de Euclides que ya en el siglo III a.C. recogía toda la geometría de su tiempo), no llegaron a tener una idea del movimiento lo suficientemente elaborada.

De los anteriores estudios, obtuvieron los matemáticos un concepto fundamental, que fue central en casi todo el trabajo de los dos siglos siguientes: el concepto de función o de relación entre variables.

El concepto de función aparece explícitamente en Leibniz(1692), y es utilizado por los Bernoulli desde 1694. Euler(1707-1783) introdujo en 1734 el símbolo f (x). Al concepto general de función algebraica, incluso no expresable por radicales, fue claramente definido por Euler, quien llamaba trascendentes a las funciones definidas por algoritmos indefinidos, lo que no es correcto; pero debe sobrentenderse que se refiere a las funciones definidas por series potenciales y que no son algebraicas.

El concepto bernoulliano y euleriano de variable y dependiente de x, o función de x, coincidía con el de expresión aritmética formada con la variable x, y ciertos números fijos o constantes. La palabra continua significa para Euler función dada por una sola expresión.

El problema de la cuerda vibrante, resuelto por D'Alembert (1747), introdujo a Euler a admitir funciones arbitrarias definidas gráficamente, puesto que la forma inicial de la cuerda puede ser arbitraria. Por otra parte, dio Bernoulli una expresión por serie trigonométrica a la forma de la cuerda en todo momento, y en vista de ello hubo que suprimir esa distinción entre función matemática y función arbitraria, ya que también éstas son expresables por las operaciones aritméticas. Todo esto condujo a prescindir del modo de dar la correspondencia entre los valores de x y los de y, para atender solamente a la correspondencia en sí misma, y así quedó establecido por Dirichlet el concepto general de función (1854) como correspondencia arbitraria entre dos variables.

2.1 CONCEPTOS BÁSICOS

• 2.1.1 VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE

En matemática hay muchas fórmulas en las que se establece una dependencia entre dos variables. Una forma de identificar en la fórmula la variable dependiente, es porque es la que está despejada.

Ahora bien, muchas relaciones que ya conocemos expresan dependencia de variables. Por ejemplo, considere la siguiente relación:

El perímetro del cuadrado está dado por la siguiente fórmula: P = 4 L ; donde P es el perímetro del cuadrado y L el lado del cuadrado. En este caso P es la variable dependiente (lo que debemos averiguar ) y L es la variable independiente ( valor fijo dado ).

EJEMPLO 54

EJEMPLO 55

• 2.1.2 CONCEPTO DE FUNCIÓN REAL

Una correspondencia de A en B se puede representar mediante conjuntos de pares ordenados ( x, y ) en los cuales "x" pertenece al conjunto A mientras que "y" es su correspondiente asociado en B.

También podemos representar correspondencias mediante Diagramas de Venn, así :

Concepto de función

Es una relación entre 2 conjuntos que cumple las siguientes condiciones:

• El conjunto de partida "A" y el conjunto de llegada "B" NO son vacíos.

• A cada elemento del conjunto de partida "A" se le relaciona con un ÚNICO elemento

del conjunto de llegada "B".

• 2.1.3 DOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN Y PREIMAGEN

DE UNA FUNCIÓN

Algunos términos básicos de una función son:

EJEMPLO 56

Sea f(x) una función real tal que f(x) = x2

2.2 DOMINIO MÁXIMO DE UNA FUNCIÓN REAL

Recuerde que si se tiene una función f definida de un conjunto A en un conjunto B, entonces A se llama el dominio de esta función. Por otra parte, cuando se trata con funciones de variable real, usualmente el criterio se puede escribir mediante una fórmula que puede asignar la imagen a cada uno de los elementos del dominio.

Además, es una práctica usual, cuando se trabaja con funciones reales de variable real, indicar solamente el criterio de definición de la función sin hacer referencia al dominio ni al codominio. Cuando se hace esto, se está suponiendo que el codominio es IR y que el dominio es el mayor conjunto de IR en el cual el criterio tiene sentido; esto es lo que se conoce como dominio máximo de la función.

CASO I. Función Racional (fracción)

EJEMPLO 57

Determine el dominio máximo de la función

CASO 2. Función Polinomial

EJEMPLO 58

Determine el dominio máximo de la función

Solución:

R/ El dominio máximo de toda función polinomial SIEMPRE es IR.

CASO 3. Función que contiene Expresión Radical en el Numerador.

EJEMPLO 59

Determine el dominio máximo de la función

CASO 4. Función que contiene Expresión Radical en el Denominador

EJEMPLO 60

Determine el dominio máximo de la función

2.3 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL

Los datos recolectados acerca de una determinada variable suelen escribirse en una tabla; luego esta información recopilada en la tabla es graficada.

EJEMPLO 61

Sea f una función real cuyo criterio es f (x) = x + 3.

Entonces la tabla con los datos para las variables x (variable independiente) y y (variable dependiente) corresponde a:

Gráfica:

2.4 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES REALES

Función Inyectiva: es aquella en la que TODOS los elementos del ámbito poseen una ÚNICA preimagen en el dominio. (Pueden sobrar elementos en el codominio).

EJEMPLO 62

Función Sobreyectiva: en ella TODOS los elementos del codominio tienen AL MENOS una preimagen en el dominio. (NO sobran elementos en el codominio).

EJEMPLO 63

Función Biyectiva: es inyectiva y sobreyectiva a la vez, en ella el codomino es igual al ámbito. (NOTA: TODA función LINEAL es biyectiva).

EJEMPLO 64

EJERCICIOS PROPUESTOS

Marque con una "x" la letra que antecede a la respuesta correcta

De ellas, ¿cuáles son verdaderas?

A) Ambas.

B) Ninguna.

C) Solo la I.

D) Solo la II.

2) Considere la siguiente figura dividida en nueve cuadrados de igual área entre sí.