La modelación gráfica. Un método para la resolución de problemas geométricos

La asignatura Matemática que tiene como objetivo incorporar las habilidades matemáticas que amplíen los procedimientos lógicos para el planteamiento y solución de problemas prácticos, así entre sus cuatro objetivos generales se plantea: Formular y resolver, con los recursos de la matemática elemental, problemas relacionados con el desarrollo político, económico y social del país y del mundo así como con fenómenos y procesos científicos- ambientales que conduzcan a actitudes revolucionarias y responsables ante la vida.

En nuestra sociedad, la enseñanza y el planteo de la habilidad resolución de problemas geométricos reviste una especial importancia debido al carácter educativo que posee ocupa una parte importante de la matemática escolar, especialmente de la secundaria básica, constituye además uno de los factores fundamentales que han hecho de la Matemática un cuerpo de conocimientos en continua evolución. Es así como buena parte del desarrollo de la Geometría está ligado, en sus orígenes, a la necesidad de resolver problemas de la agricultura y el diseño arquitectónico

Sin embargo en observaciones a clases de matemática, encuesta, entrevistas a profesores y alumnos" se pudo detectar las siguientes dificultades:

• Los alumnos presentan dificultad en la orientación hacia el problema pues no son capaces de identificar lo conocido y lo desconocido ni relacionar los mismos con la figura de análisis.

• Los estudiantes no identifican los conceptos, propiedades y relaciones que se establecen en el círculo y la circunferencia.

• Los alumnos muestran dificultad a la hora de examinar y comparar sobre la base de representaciones visuales de figuras geométricas, reconocer y describir sus propiedades análogas, así como las diferentes entre sí.

• Los estudiantes muestran insuficiencias en el momento de buscar de manera independientemente las vías de solución y las dificultades presentes en los problemas presentados.

• En las visitas a clases se pudo constatar que en la misma predominan los ejercicios reproductivos.

• Los profesores no disponen de recursos metodológicos para orientar a los estudiantes en la resolución de problemas matemáticos.

En torno a la resolución de problemas matemáticos muchos han sido los investigadores que han aportado vías y métodos para enfrentarlo entre los que se encuentran: Luís Campistrous, Celia Rizo, Alberto F. Labarrere, y A. H. Shoenfeld, entre otros, para ellos el hallazgo de nuevos problemas es una etapa cualitativamente superior de los procesos de resolución de problemas, y también un vehículo eficaz para potenciar el aprendizaje de la Matemática, aunque han enmarcado sus esfuerzos a la resolución de problemas aritméticos.

Los resultado tanto positivos como negativos emanados de las diferentes investigaciones valoradas anteriormente permiten concluir que actuando sobre el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática en secundaria básica se puede erradicar muchos de los vicios y males que presentan los alumnos en el momento de resolver un ejercicios. Por supuesto ello posibilita delimitar que es este proceso quien tiene la responsabilidad de dar una respuesta pertinente a las necesidades que se le plantean al profesor para el desarrollo de un pensamiento matemático en sus alumnos.

La habilidad Resolver Problemas Matemáticos: una perspectiva desde el aprendizaje desarrollador

La matemática tiene la tarea de trasmitirle a las nuevas generaciones los conceptos, proposiciones, y procedimientos básicos de esta ciencia, de modo que los alumnos aprecien el valor y la utilidad de esta información, y puedan comunicar sus razonamientos matemáticos al acometer tareas en colectivo y adquieran capacidades que les permitan aplicar la matemática en la identificación, planteo y resolución de problemas sin el cual pierde su sentido.

Luego la enseñanza de la matemática y específicamente de la resolución de problemas geométricos debe estar encaminada a estimular la zona de desarrollo próximo en los estudiantes, lo cual dependerá de los conocimientos y de las acciones que sea capaz de lograr de manera independiente o con ayuda del profesor, del grupo, de la familia o de la comunidad.

Las habilidades matemáticas expresan, por tanto, no sólo la preparación del alumno para aplicar sistemas de acciones (ya elaborados) inherentes a una determinada actividad matemática, ellas comprenden la posibilidad y necesidad de buscar y explicar ese sistema de acciones y sus resultados, de describir un esquema o programa de actuación antes y durante la búsqueda y la realización de vías de solución de problemas en una diversidad de contextos; poder intuir, percibir el posible resultado y formalizar ese conocimiento matemático en el lenguaje apropiado.

Realmente, en el proceso de enseñanza-aprendizaje, se coincide con J. Zilberstein (1999,), cuando expresa: "Como parte del contenido de la enseñanza, la habilidad implica el dominio de las formas de la actividad cognoscitiva, práctica y valorativa, es decir, el conocimiento en acción" [1]Con el propósito de precisar la definición de la habilidad resolver problemas de Matemática se precisa como: proceso que implica la realización de una secuencia o serie de acciones para la obtención de una respuesta adecuada a una dificultad con intención de resolverla, es decir, la satisfacción de las exigencias (meta, objetivo) que conducen a la solución del problema matemático

Es decir es la construcción en el alumno, de los modos de actuar y métodos de solución de problemas utilizando los conceptos, teoremas y procedimientos matemáticos, en calidad de instrumentos, y las estrategias de trabajo heurístico para la sistematización de esos instrumentos en una o varias vías de solución.

La habilidad para resolver problemas matemáticos, en especial, no se puede formar a partir de la ejemplificación o repetición de acciones ya elaboradas previamente sin atender a cómo se han asimilado y el nivel de significación que éstas tienen para los alumnos atendiendo a sus experiencias, su disposición hacia la actividad; de ahí la necesidad de enfocar como parte de la formación de esta habilidad la etapa en que transcurre la estructuración del sistema de conocimientos (conceptos, teoremas y procedimientos matemáticos) a partir de situaciones – problemas.

La utilización de los errores cometidos por los alumnos como fuente de nuevos aprendizajes, al trasformar la ocasión, en una situación de reflexión colectiva, ayuda a tomar conciencia de sus propios errores, y a que exista más de un camino, para abordar el análisis de las situaciones y tareas para resolver. (Castellanos, 2002

La resolución de problemas. Modelación grafica.

En el proceso de solución de un problema geométrico el alumno muestra el movimiento de su análisis mediante el cambio del enunciado (esto explica la gran relación entre pensamiento y lenguaje), pero el movimiento de la síntesis lo refleja mediante una adecuada modelación gráfica del problema, por lo que al estimular y enseñar a los alumnos a graficar correctamente situaciones geométricas, estamos haciendo una gran contribución al desarrollo de su pensamiento en general.

Resulta de mucha importancia en la asimilación de procedimientos para la solución de problemas la compresión por parte del alumno, de la relación lógica existente entre los procedimientos y el problema, o los tipos de problemas a los cuales se aplican

Un ejemplo que ilustra el planteamiento anterior puede estar dado en que si en calidad de procedimiento de solución se toma la construcción y la aplicación de gráficos, resulta necesario mostrar al alumno cómo en ellos se reproducen (se modelan), las relaciones cuantitativas contenidas en el enunciado del problema, es decir, que el gráfico no es más que una construcción en la cual se plasman las relaciones entre las magnitudes y sus valores, haciendo abstracción de todo otro elemento innecesario a los efectos de la solución matemática del problema.

La modelación gráfica al igual que la teórica es una acción mental y como tal posibilita al hombre, mediante análisis y abstracción, revelar los rasgos y relaciones esenciales del objeto o fenómeno que estudia y construir un modelo, con el cual puede operar mental y prácticamente, revelando determinados conocimientos que luego podrá generalizar. Este fenómeno, como habilidad intelectual, puede desarrollarse durante el proceso docente educativo de diferentes formas, vinculadas estrechamente a los niveles de dominio de la misma: a nivel reproductivo, productivo o creador.

Varios investigadores en nuestro país han trabajado en la operacionalización de la habilidad modelar, analizándola desde distintos ángulos en el proceso de enseñanza – aprendizaje. Entre estos trabajos tenemos los de Sergio León Lorenzo, quien ha abordado la formación de acciones de modelación en niños preescolares y operacionaliza la misma de la siguiente forma (León, 1981). Aleida Márquez plantea en la estructura de la habilidad de modelación el siguiente sistema de acciones (Márquez A, 1993):

Para Luís Campistrous y Celia Rizo operacionalizaron la habilidad modelar se encuentra dentro de un procedimiento generalizado para la solución de problemas, estas acciones son las siguientes (Campistrous, 1996):

Estas operacionalizaciones representan un instrumento valioso en las manos de los docentes para el desarrollo de la habilidad modelar en sus alumnos, no obstante algunas de ellas, presentan limitaciones, por ejemplo, los trabajos de Campistrous y Celia no incluyen la modelación de situaciones geométricas, sino solamente aritméticas, a pesar de la gran cantidad de problemas geométricos que se resuelven en la escuela.

En la actualidad se exige en la escuela media que al contenido matemático se llegue a través del planteamiento y solución de problemas prácticos y que los alumnos hagan esbozos de superficies como los de la escuela, área de acampadas pioneriles, la ciudad, etc. es decir, tienen que desarrollar la habilidad de modelar no solo en situaciones relacionadas con la aritmética sino también con las figuras y cuerpos geométricos

De esta forma deben quedar claras en la mente del alumno las principales características del objeto, es decir, debe estar en condiciones de responder a la pregunta ¿cómo es?

Por lo que para esbozar una figura de análisis, es necesario tener un conjunto de conocimientos de la Geometría (figuras, cuerpos geométricos, construcciones geométricas, etc.) y un conjunto de habilidades (intelectuales y prácticas) que le permitan, a partir de la imaginación, sintetizar en una figura una situación dada y explicarla. Por ello, asegurar, que el alumno tenga creadas estas condiciones, es un elemento determinante en la consecución del objetivo de aprender a modelar gráficamente.

También Luís Roberto Jardinot (en 1998) ha establecidolos pasos a tener en cuenta para desarrollar la modelación grafica como procedimiento, aspectos asumidos por la presente tesis:

• Precisar la situación a modelar gráficamente.

• Identificar las características principales de los conceptos que se deben relacionar en el modelo gráfico.

• Relacionar los conceptos que participan en la situación.

• Ilustrar en un plano los conceptos y sus relaciones

• Representar los conceptos y las relaciones lo más cercanamente posible a lo dado en la situación (rectas paralelas que se observen paralelas, perpendiculares que se observen perpendiculares, figuras congruentes que se observen congruentes, etc.)

• Las dimensiones del esbozo deben ser adecuadas (que permitan realizar trazos auxiliares y descomposiciones.)

• Analizar la correspondencia entre la situación y la gráfica

Sistema de Ejercicios

Ejercicio 1

En la circunferencia de centro O, A, B Y C son puntos de la circunferencia. Indica si son verdaderas o falsas las proposiciones siguientes y en caso de ser falsa justifica.

Ejercicio 4

En una circunferencia de centro O; A, B, C, son puntos de ella, AB diámetro, el arco BC=50 "

a) ¿Qué amplitud tiene el ángulo COB?. Justifica

b) Clasifica el triángulo COB. Justifica

Ejercicio 4

En una circunferencia de centro O, MN es diámetro, P y Q son puntos de la circunferencia y el <MQP= 40.

Selecciona la respuesta correcta y justifica

a) El triángulo MNP es: —– Acutángulo —— obtusángulo —– rectángulo

b) La amplitud del <PMN es: ——- 40o —– 90 o —— 50 o

Ejercicio 5

Los puntos M, N, P pertenecen a una circunferencia de centro O, MN es su diámetro; SI en el triángulo MNP conocemos que <PMN=3X+15o y <MNP=5X-5 o.

• a) Halla la amplitud del arco NP.

• b) Clasifica el triángulo MNP según la longitud de sus lados.

Ejercicio 6

El cuadrado MNPQ está inscrito en una circunferencia de centro O, R pertenece al lado MN, de manera que M, R, N son puntos alineados, MQ =7,0cm.

• a) Calcula la longitud de la diagonal NQ.

• b) Calcula la razón A es a B donde A: área del cuadrado y B: área del triángulo PQR.

Sugerencias del sistema de ejercicios:

En el ejercicio 1 los estudiantes identificaran cada elemento de la circunferencia, luego se familiarizaran con los mismos, en el Ejercicio 2 los estudiantes deben modelar alguno de sus elementos para solucionar el mismo, y en los ejercicios 3,4 5 y los estudiantes modelaran los mismos para llegar a la solución, teniendo en cuenta conceptos, definiciones, cálculo de ángulos y relaciones que se establecen en la circunferencia y en la geometría plana. En el ejercicio 5 se incluye además trabajo con variable; en el ejercicio 6 deben modelar un cuadrado inscrito en una circunferencia y a partir de la modelación para su solución del ejercicio, aplicarán teorema de Pitágora,calculo de área, así como razón entre las áreas de figuras planas y trabajo con magnitudes.

Conclusiones:

Su aplicación permitió elevar la eficiencia en el desarrollo de la habilidad resolver problemas geométricos, alcanzar alto niveles de actuación productiva en los alumnos y la consolidación de procedimientos didácticos metodológicas para enfrentar, utilizando la modelación gráfica, la solución de los problemas geométricos. Esta revela un sistema de acciones, sustentada en una secuencia de pasos contextualizados por el autor que permiten la dirección del proceso en la resolución de problemas geométricos. La aplicación permitió la evaluación de la estrategia, constatándose transformaciones evidentes en la identificación de los conceptos, definiciones y propiedades de las figuras geométricas, así como, una forma de pensar y de proceder para conocer y resolver cualquier ejercicio y problemas que abarcaban diferentes contenidos residuales de la geometría plana.

BIBLIOGRAFÍA

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• GARCÍA CAMPUZANO, LUIS La modelación teórica en la escuela. p. 43-47. En: Desafío Escolar. Año 2, vol.6. La Habana, oct.-dic., 1998.

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