La lógica proposicional

2. LA LÓGICA PROPOSICIONAL

La lógica proposicional se ocupa de proposiciones. Con «proposición» entendemos una frase sobre la cual es sensato preguntar si es verdadera o falsa. Ordinariamente las proposiciones están expresadas en modo indicativo. Las frases interrogativas, dubitativas, imperativas o exclamativas no son consideradas como proposiciones. La relación que hay entre frases y proposiciones es tal que entre muchas frases sólo un grupo determinado vale como un conjunto de proposiciones, es decir, aquel que comprende frases que describiendo afirman algo. Casi es más fácil enumerar cuales frases no son proposiciones. Esto vale para las siguientes:

1. frases interrogativas, dubitativas, imperativas

2. frases modales: frases con los términos «posible», «necesario», «incondicionado», etc.

3. frases no bien formuladas: «entonces y así hizo»

4. frases sin sentido: «los libros lloran rocas emplumadas»

5. formas proposicionales: «la empresa de la limpieza utiliza x para limpiar los paños».

Con las frases no bien formuladas y sin sentido no podemos hacer nada. Las formas proposicionales, al contrario, se transforman inmediatamente en proposiciones tan pronto como se sustituya la variable «x» —que es desconocida. No trataremos la particularidad de 1) mientras que sobre 2) volveremos más tarde.

Ejercicio 2

¿Cuáles de las siguientes frases son proposiciones? Exponed porqué no son proposiciones cuando no las consideréis tales.

1. La leche es ácida.

2. ¿Tienes cinco minutos para mí?

3. El sábado Juan está siempre ocupado.

4. 2 + 2 = 7

5. ¡Cómprate un Volvo!

6. La ciudad x es famosa por el Coliseo.

7. Habla continuamente sobre la crisis del dólar.

8. 42.

9. David venció a Goliat con una honda.

10. Probablemente el barco a vapor es.

11. ¡Menos mal que ha dejado de llover!

12. Hasta el siglo XVII se creyó en una relación entre las fases lunares y las enfermedades.

13. El inicio de la escuela es a mitad de septiembre.

14. La balanza es imprecisa.

15. ¿Un hombre trabaja cuando piensa?

16. Llueve.

17. Es imposible obtener sangre de las zanahorias.

18. Tú bajas desde las estrellas.

2.1 La formalización de las proposiciones

Como tendremos que trabajar continuamente con proposiciones, podría resultar ventajoso utilizar una abreviación, o bien, como dicen los lógicos, llevar a cabo una formalización. Los matemáticos expresan sus incógnitas con «x», «y», etc. Análogamente nosotros representaremos con «p», «q», etc. no los números y, ni siquiera, vocablos individuales, sino frases enteras, o mejor: proposiciones. Ya que las letras toman el puesto de las proposiciones, las llamamos variables proposicionales. Si tratamos una proposición concreta, la podemos simbolizar como constante con una letra mayúscula. Viene privilegiada la letra inicial del sustantivo o del verbo, o bien, del adjetivo. Por ejemplo:

El gallo está enfermo simbólicamente: G La proposición es por lo tanto representada por la letra «G». La elección de las letras es algo sin importancia: se podría haber escrito sin ningún problema «A». Importa, sin embargo, que cada proposición sea representada por una sola letra, y esto indiferentemente si la expresión lingüística es larga o breve. Por lo tanto una inofensiva «G» puede significar:

G El gallo canta

G El gallo canta pronto por la mañana

G El gallo canta pronto por la mañana sin pausa haciendo que se pongan de mal humor todos los vecinos.

Está prohibido sin embargo representar dos proposiciones diversas con la misma letra dentro del mismo contexto. Por tanto:

El gallo canta y Gregorio se despierta

G y G falso

G y D justo

Una proposición que se puede representar con una sola letra se llama frase atómica. También la negación de una proposición atómica es una proposición atómica. Frases que no son proposiciones en nuestro sentido no vienen ni siquiera simbolizadas.

Ejercicio 2.1

Formaliza cuanto sigue:

1. Othmar es organista.

2. El viernes comeremos pescado.

3. ¡Al fin llega la primavera!

4. Las piedras preciosas se han ofendido.

5. Se esfuerza siempre con los ejercicios.

6. Antes de ayer la encontré nuevamente en la estación.

7. ¿Debo repetirlo otra vez?

8. A la tercera copa se puso a cantar en medio de la fiesta.

9. La dirección es del todo ilegible.

10. El último verano tiene.

11. No hay rosa sin espina.

12. ¡Qué bueno que el tío Nando haya encontrado una nueva mujer!

13. Alicia está disgustada porque los espaguetis están recocidos.

14. ¡Todo está perdido!

15. Ferrero tiene un problema crónico de dinero.

16. «Toalla» se dice en italiano «asciugamano».

17. ¡Atención a la puerta!

18. ¿Quieres apostar si el Alcalde tendrá un discurso?

19. El Códice 914 de St. Gallen es la fuente más importante para las ediciones críticas de la Regla benedictina.

2.2 La formalización de los conectivos entre las proposiciones

En el lenguaje ordinario parece haber dos tipos de vocablos, aquellos que significan algo, como por ejemplo «elefante», «mermelada», «orar», «prestar», etc., y aquellos desprovistos de significado como «pero», «también», «porque», «así», etc. El medioevo ha llamado a los vocablos del último tipo «sincategoremáticos». Entre estos es necesario distinguir dos grupos:

1) «entre», «mientras», «ahora», etc.

2) «y», «o», «ninguno», etc.

No es siempre evidente por qué los vocablos sincategoremáticos del primer grupo deberían distinguirse de los del segundo grupo. La diferencia, sin embargo, es muy significativa. El segundo grupo tiene una estrecha relación con el problema de la verdad de las frases mientras que el primero es máximamente neutral, razón por la cual no requiere mayor atención.

Del segundo grupo elegiremos cinco sincategoremáticos. Se les llama también functores, más exactamente functores de los valores de verdad en tanto que determinan la verdad global de las proposiciones atómicas unidas.

Quisiéramos comenzar la exposición con el negador. Corresponde bastante exactamente al ordinario «no». Como abreviación elegimos «¬». Con este signo de negación, que viene puesto delante de las proposiciones, representamos el negador. Se trata de un functor a un solo puesto, llamado también monádico. Esto significa que se aplica a una sola proposición, aquella que lo sigue inmediatamente. Si "P" significa «La Pascua en 1995 fue en abril», "¬P" significaría algo parecido a «La Pascua en 1995 no fue en abril». La negación niega la proposición que va a continuación.

Para los functores a dos puestos, o diádicos,, iniciamos con la «y», que simbólicamente es «?». Este functor es a dos puestos porque antes y después del símbolo debe aparecer una proposición para satisfacer el requisito de correcta formación de las proposiciones.

El segundo de los functores a dos puestos es «o», que viene expresado simbólicamente con «?».

Como tercer functor del grupo a dos puestos se encuentra la implicación, que se escribe como una flecha: «?». La implicación corresponde grosso modo a la expresión «si… entonces» del lenguaje ordinario —nótese que en el lenguaje ordinario frecuentemente se omite el «entonces»: también nosotros lo omitiremos a veces para no hacer más pesada la forma de los ejemplos.

El cuarto functor a dos puestos, que se puede expresar con el signo «?», lo interpretamos como «si y sólo si…».

Reunamos a continuación los cinco símbolos:

¬ no

? y

? o

? si… entonces

? si y sólo si…

Los functores son constantes lógicas. Sirven para unir proposiciones o variables proposicionales. Una conexión entre proposiciones constituye una frase molecular. Todo functor a dos posiciones transforma frases atómicas en frases moleculares. El conjunto de las fórmulas está por lo tanto constituido de las frases atómicas y de las frases moleculares.

Ahora podemos familiarizarnos con la formalización de los nexos entre proposiciones. Lo haremos valiéndonos de dos proposiciones: «el sol resplandece» y «Guillermo va a la montaña». La simbolización procede así:

S El sol resplandece

G Guillermo va a la montaña

¬ S El sol no resplandece

¬ G Guillermo no va a la montaña

Correspondientemente, en el caso con los functores a dos posiciones: S ? G El sol resplandece y Guillermo va a la montaña

S ? G El sol resplandece o Guillermo va a la montaña

S ? G Si el sol resplandece, entonces Guillermo va a la montaña

S ? G Si y sólo si el sol resplandece, Guillermo va a la montaña.

Ejercicio 2.2

1) Formaliza cuanto sigue:

1. Herodoto no era un músico.

2. Fumar es nocivo para la salud y el chocolate engorda.

3. Si los bomberos llegan a tiempo, entonces el viejo edificio se salvará.

4. Paga los impuestos anticipadamente si y sólo si lo multan.

5. Se queda en casa o su mujer no juega al Bridge.

6. Si el perro no se siente bien, entonces no mueve la cola.

El principio de la formalización es extremamente simple: las proposiciones deben ser unidas usando el functor apropiado. Es verdad que en práctica aparecen a veces dificultades que pueden ser provocadas por la riqueza del lenguaje ordinario, dado que por una expresión particular, que nosotros representamos con un functor particular, se utilizan más vocablos. Citaremos, por lo tanto, algunas de las dificultades de formalización que se presentan en este caso.

2.2.1 La conjunción «y»

«El sol resplandece y Guillermo va a la montaña» es una conjunción entre proposiciones que no presenta ningún problema. Entre las dos proposiciones se inserta una «y», quedando así ya resuelto el problema de la conjunción. Desgraciadamente no todas las conjunciones son así de evidentes. Veamos algunos ejemplos.

(1) El juego del ajedrez es excitante y trabajoso.

El argumento a izquierda de la «y» es sin duda una proposición.

«Trabajoso», sin embargo, es aparentemente un vocablo aislado y, por tanto, no es una proposición. En realidad el lenguaje ordinario aprovecha la circunstancia que, en aquellos casos en los que a una única cosa le son atribuidas dos o tres o más cualidades, no hay necesidad de repetir cada vez el nombre de la misma cosa. En el caso del ejemplo se trata efectivamente de dos proposiciones que se podrían expresar explícitamente de este modo:

«El juego del ajedrez es excitante y el juego del ajedrez es trabajoso». Reconocemos inmediatamente que también aquella que aparece como una única palabra es en realidad una proposición, abreviada sí, pero correcta; así la formalización queda del modo siguiente: (1) E ? T

El lenguaje ordinario —y esto vale igualmente también para el así llamado lenguaje científico de tipo especializado— no se puede transponer inmediatamente en símbolos. Antes de comenzar a formalizar es necesario comprender las estructuras sintácticas lógicamente relevantes. Este tipo de comprensión no coincide con el aprendizaje de un contenido aunque constituya una condición esencial del mismo. Nuestra familiaridad con el lenguaje ordinario es tal que las igualdades y las diferencias de estructura vienen reconocidas también aunque no sean manifestadas por las mismas letras. Se trata de las siguientes e irritantes circunstancias:

• la «y» no indica siempre una conjunción entre proposiciones;

• de vez en cuando nos encontramos en presencia de una conjunción entre proposiciones sin que exista una «y» que nos la señale;

• el uso de la conjunción no es unívoco.

Veamos un poco más de cerca estas tres situaciones. a) Presunta conjunción

Algunas lenguas europeas conocen al menos dos conjunciones aparentes. Una es un simple estilo retórico mientras que la otra es un caso por el análisis tradicional del lenguaje.

Si el estilo viene repetido de modo concentrado llega a ser fácilmente analizable, como en la traducción del Evangelio de Marcos. En la italiana a veces —y en aquella alemana de Zuinglio siempre— aparece al inicio de los primeros siete capítulos la palabra introductiva «y», quizá con la intención de restablecer lo más fielmente posible el texto griego. De todas maneras esta «y» no tiene evidentemente ningún significado de conjunción sino que sirve como mero enlace retórico a cuanto se ha dicho anteriormente. Así este tipo de «y» forma parte de la primera clase de los sincategoremáticos. De aquí sacamos la sorprendente conclusión que también los términos sincategoremáticos pueden ser polivalentes incluso estando desprovistos de significado.

El segundo caso es más significativo para los lógicos. Partamos de las dos frases siguientes:

(1) Francisco y Antonio son cantantes. (2) Francisco y Antonio son vecinos.

Las dos conjunciones parecen presentar la misma naturaleza gramatical. En realidad la frase (1) adscribe a dos seres humanos una cualidad que atribuye a ambos. En este caso, como se ha visto, el lenguaje cotidiano permite una abreviación. Representada explícitamente, la frase (1) significa lo siguiente: «Francisco es un cantante y Antonio es un cantante». La (2), sin embargo, no se puede interpretar en este sentido; en efecto, «Francisco es un vecino» es una frase no bien formulada; debería sonar más bien:

«Francisco es un vecino de Antonio», o, al menos, debería ser completada implícitamente: «Francisco es el vecino de alguien». Lo que tenemos aquí no es una conjunción de dos proposiciones simples sino más bien una relación elemental. De la teoría de las relaciones, que afrontaremos más adelante, emerge, sin embargo, que, bajo la condición expresada de la frase (2), también Antonio es un vecino de Francisco. Se trata, por tanto, de una sola proposición y por eso la (1) y la (2) deberían formalizarse así:

(1) F ? A (2) V

Está claro que la (2) podría también representarse con una «F», siempre y cuando se aclare que esta «F» no sería idéntica a aquella de la frase (1). Por tanto es aconsejable recurrir a otra letra para formalizar la (2).

b) Conjunciones entre proposiciones sin la «y»

Una formalización es siempre una abstracción. En el caso de nuestras formalizaciones se omiten aquellos matices que están privados de relevancia lógica. El lenguaje ordinario utiliza efectivamente un rico espectro de palabras para expresar, más allá de la conjunción en sí, otras acentuaciones. Así se dice, por ejemplo: «Viene a comer pero no se queda». Aquí se trata de dos proposiciones que no están unidas por una «y» sino por un «pero».En el «pero» está contenido una ligera contraposición, un matiz que no se encuentra presente en la «y». Pero como el vocablo tiene sólo un valor retórico que no concierne al valor de verdad de las proposiciones, el lógico, que mira a la verdad, puede permitirse renunciar a ello sin problemas. Se encuentran muchos tipos de estos matices.

Así también el «pero» puede sustituirse por un «mas», un «sin embargo», un «no obstante», etc. El lenguaje escrito tiene también la posibilidad de expresar la función «y» por medio de una coma, por ejemplo: «Se ha esforzado para conseguir esto largamente, intensamente y con gran éxito». Además, la «y» puede incluso desaparecer de la representación lingüística evidente si la conjunción viene negada.

La negación de una conjunción constituida por una «y» puede ser expresada de modos diversos. Aunque resulte inusual, se entiende si digo:

(3) Hoy Francisco no va a la piscina, y hoy Antonio no va a la piscina

Pero en lugar de (3) se dirá mejor:

(4) Hoy Francisco y Antonio no van a la piscina o bien:

(5) Hoy no van a la piscina ni Francisco ni Antonio

Sin duda la (3) es tan desaliñada que no viene pronunciada nunca en español. En lugar de la (4), se puede utilizar siempre la (5), en la cual la «y», a primera vista, ha desaparecido, mientras que, realizando un análisis más detallado, se la encuentra en el «ni… ni» de la negación.

c) Diversidad en el uso de la conjunción

La conjunción es conmutativa. Con esto se entiende que la proposición antes de la «y» puede intercambiarse con aquella sucesiva a la «y». «Cojo una carta y voy a correos» es por lo tanto equivalente a «Voy a correos y cojo una carta». Pero a veces las circunstancias, por ejemplo la sucesión temporal, impiden la conmutatividad.

(6) Francis Bacon, experimentando con pollos congelados, se resfrió y murió.

La riqueza de la lengua hablada hace así que se encuentren muchos matices diversos también en la utilización de los functores ordinarios. Darse cuenta de ellos es una de las mayores dificultades para quien está comenzando a adentrarse en el camino de la formalización, en tanto que el hablante medio sabe como utilizar su lengua madre sin necesidad de conocer explícitamente sus estructuras lógicas. Con un poco de atención y de ejercicio se puede mejorar mucho. Más velozmente que en el caso de la «y» trataremos de prestar atención a algunas de las dificultades presentes en el uso de los otros functores.

2.2.2 Los otros functores

La negación: «La cavidad es insuficiente» debe significar lo mismo que: «La cavidad no es suficiente». En particulares contextos lingüísticos la proposición «El pequeño Marcos no ha mentido nunca» puede significar lo mismo que: «El pequeño Marcos no ha mentido».

Negamos la verdad de un enunciado afirmando su negación. La negación recoge el uso de la partícula "no" del castellano (o cualquiera de sus equivalentes; "no es cierto que", "no es verdad que", "nunca", "jamás").

La disyunción: la «o» se emplea con tres significados diversos, aunque uno de ellos puede ser ignorado debido a que se encuentra en raras ocasiones. A los otros dos casos los llamamos la disyunción inclusiva y la disyunción exclusiva. Las diferencias entre ambas las veremos más tarde. Para la formalización la «o» presenta menores dificultades que la «y» ya que nuestra lengua hablada conoce pocas formulaciones de la «o». Con frecuencia nos sentimos engañados por algunas formulaciones típicas del lenguaje ordinario como «Los niños y los ancianos pagan la mitad». Aquí está claro que la «y» ha de entenderse como una «o». En la formalización del cálculo proposicional se pierde la dependencia de las dos proposiciones conectadas por la conjunción: sin embargo, el sucesivo cálculo de predicados pone a la luz el contexto en el que «y» se cambia por «o». Normalmente se expresa mediante "o", "a menos que", "a no ser que", "y/o".

La implicación: en lugar de «si… entonces…» en la lengua hablada pueden utilizarse sustitutos, como «en el caso en que…», «si p, q», «q, si p», «p es condición suficiente para q», «q es condición necesaria para p», «sólo si q, p» etc. Lo que importa es constatar que el «porque», a pesar de la semejanza aparente, no es una expresión adecuada en esta situación, ya que ha de desempeñar una función esencialmente diversa. De este modo la implicación condicional no es una función de verdad: «Si Hitler hubiese muerto en 1935, Austria no habría sido sometida». Esta frase irreal no debe valer como función de verdad de la implicación.

Debe llamarse también la atención sobre la función asimétrica de la implicación. El argumento antes del símbolo de implicación lo llamamos «antecedente» mientras que el que lo sigue lo llamamos «consecuente». Antecedente y consecuente son los dos argumentos de la implicación. La asimetría tiene como consecuencia que antecedente y consecuente no pueden intercambiarse. En el caso de los otros functores este cambio está permitido en base a una regla que conoceremos sucesivamente.

Si en el caso de la implicación intercambiamos antecedente y consecuente, provocamos un cambio de sentido. El cambio lo utilizamos para expresar con el mismo functor otro enlace entre proposiciones. El intercambio entre antecedente y consecuente corresponde a la expresión del habla «sólo si… entonces». Podemos clarificar este punto con algunos ejemplos:

(7) Si el sol resplandece, entonces Guillermo va a la montaña S ? M (8) Sólo si el sol resplandece, Guillermo va a la montaña M ? S

Podemos hacer plausible —en el plano del contenido—, esta situación, si (8) significa lo mismo que «si Guillermo va la montaña, entonces resplandece el sol». Este «sólo si… entonces» es expresado en el lenguaje cotidiano de formas diversas: «… es una condición necesaria de…», «puesto que… entonces…», «en la medida en que…», etc.

La equivalencia: también la equivalencia puede presentarse de modos distintos en el lenguaje de cada día. Tiene el mismo significado que «si p, entonces q y si q, entonces p», así que escribimos "p ? q". Esta expresión significa lo mismo que: «p es una condición necesaria y suficiente de q». La forma fundamental de la equivalencia es entonces «si y sólo si… entonces…». En lugar de esta expresión inusual se puede utilizar también más brevemente la palabra «deber»: «si un leopardo es negro entonces debe ser una pantera». Se trata de una forma más corriente que la siguiente: «si y sólo si un leopardo es negro, es una pantera», aunque esta última sea más correcta.

Ejercicio 2.2.2

1) Formaliza las siguientes frases:

1. Andrea estudia biología o química.

2. En el principio creó Dios el cielo y la tierra.

3. La cerveza es bebible pero no está fría.

4. Si el concierto es público, el solista toca bien.

5. Sólo si el concierto es público, el solista toca bien.

6. Ni Napoleón, ni De Gaulle eran ingleses.

7. La subida más empinada del ferrocarril del Gottardo es del 27 por mil mientras que la del ferrocarril de Engelberg es del 246 por mil.

8. Sólo si un número es impar no se puede dividir por 2.

9. Ana y Bruno se casaron el 14 de julio, aunque no son franceses.

10. La puerta o está abierta o está cerrada.

11. El millonario tiene miedo que su patrimonio se reduzca, el filósofo que se acreciente su indigencia.

12. El gato captura pájaros en lugar de ratones.

13. No es suficiente que venga Aldo para que Berta permanezca.

14. Va a la Ópera siempre y cuando no sea de Wagner.

15. Carlos toca el piano y el órgano, Práxedes sin embargo, el piano y el arpa.

16. Un chiste eficaz debe tener un golpe final.

2) Completa la formalización:

1. No p sino q

2. Ni p ni q

3. p, si q

4. Sólo p, si q

5. p es una condición suficiente de q

6. p es una condición necesaria de q

3) Traduce los siguientes conectivos proposicionales haciendo uso de este vocabulario:

T = la temperatura sube

P = ha llovido

C = el cerezo florece

1. (T ? P) ? C

2. (T ? P) ? (¬ T ? P)

3. ¬ (C ? P)

4. ¬ T ? (C ? P)

5. T ? ¬ C

6. C ? (P ? ¬ T)

4) «"p ? q" debe significar: "Sócrates es el filósofo que ha bebido el veneno"». [E. WALTHER, Kleiner Abriß der Mathematischen Logik, Ke- vealer, 1950: citado por J. v. KEMPSKI, „Max Bense als Philosoph", Ar- chiv für Philsophie 4 (1952): 280]. ¿Cómo juzgas esta afirmación?

2.3 Regla de los paréntesis

Como pueden unirse no sólo dos proposiciones sino también un número arbitrario de las mismas, si no se presta atención pueden nacer equívocos como en el caso siguiente:

(1) A ? B ? C

Esta expresión puede interpretarse de dos modos distintos: (1ª) (A ? B) ? C o bien

(1b) A ? (B ? C)

(1ª) Si Alberto o Bárbara van al cine, entonces Claudia se queda en casa. (1b) Alberto va al cine, o bien si Bárbara va al cine, entonces Claudia se queda en casa.

Evidentemente la (1ª) y la (1b) no son idénticas. Más adelante estudiaremos un método para expresar exactamente la diferencia entre las dos.

También la negación requiere una cierta atención: (2) No es el caso que Emilio fuma o beba.

La negación se refiere aquí a todo el conectivo proposicional, así que se impone la siguiente formalización:

(2ª) ¬ ( F ? B)

Si se ignoraran los paréntesis, la negación se limitaría a la primera constante:

(2b) ¬ F ? B

lo cual correspondería a la siguiente aserción singular: «Emilio no fuma o bien bebe». La singularidad depende, sin embargo, sólo del contenido específico del ejemplo elegido. La estructura de la (2b) puede ser interpretada de un modo totalmente sensato así:

(3) Emilio no se marcha o bien coge el coche

Lo cual significa: tiene intención de quedarse; sin embargo, si debiera decidirse diversamente, cogería el coche.

(3ª) ¬ M ? C

Si no están presentes los paréntesis vale la convención de que «?» y «?» unen más estrechamente que «?» y que «?». Correspondientemente a esta regla, la (1) debería ser interpretada como (1ª). Sin embargo, para facilitar las cosas, también en el caso (1ª) dejaremos los paréntesis, si bien, en sentido estricto, sean innecesarios. Si, por el contrario, la convención no es suficiente, como en el caso (1b), entonces los paréntesis no se pueden eliminar. Por esto la expresión "A ? B ? C" no está bien formulada; en efecto significa cosas diversas dependiendo de si es interpretada como "(A ? B) ? C" o como "A ? (B ? C)".

Ejercicio 2.3

Formaliza lo que sigue:

1. O vamos a nadar o si no vamos a nadar tocamos cualquier instrumento.

2. Es valiente sólo si está en la taberna sin la mujer cerca.

3. No podemos tener ambas cosas

4. No ha bebido vino, o bien si lo ha bebido no conduce el automóvil.

5. No se da el caso que él haya bebido vino y conduzca el coche.

6. Si el director se equivoca en el ataque o el pianista pasa dos páginas a la vez, entonces no hay armonía.

7. La asamblea tiene poder decisivo, o, si no lo tiene, la disolvemos.

8. El seguro paga en el caso de rotura, incendio o robo pero no en el caso de granizo

9. El seguro paga sólo en caso de rotura e incendio pero no en caso de robo

10. El ordenador no interrumpe a los alumnos a no ser que lo haga para mostrar errores o bien para anunciar una interrupción de la corriente.

11. El cliente se ha ido sin pagar la cuenta, o bien ha ido a dar un paseo y vuelve de un momento a otro)

12. Si Aida no toca ni un instrumento de cuerda o de percusión sino que seguramente canta, entonces toca un instrumento de madera o bien el órgano y compone.

Una observación sobre la multiplicidad de los símbolos de la lógica. Frecuentemente las diferencias pueden ignorarse, como cuando la conjunción se indica con «·» o con «&». Una sola forma de escritura es una excepción y por esto debe ser estudiada aparte: se trata de la notación polaca. Tiene el valor de no utilizar paréntesis y de permanecer incluso siempre unívoca. Desde este punto de vista es superior a todas las otras formas de escritura simbólica. La afrontaremos más adelante.

Síntesis de algunas expresiones especializadas:

La formalización no siempre resulta fácil sobre todo en el caso del condicional, que funciona como lo hacen las leyes: marca unas circunstancias y estipula lo que en ellas debe suceder. Por consiguiente, actuamos conforme a la ley (no la infringimos) cuando, o bien las circunstancias marcadas no se producen o cuando hacemos lo que la ley prescribe:

1. Tenemos cuatro cartas sobre la mesa. Sabemos que todas ellas tienen una letra por un lado y un número por el otro. Queremos comprobar que la siguiente ley se cumple para todas las cartas: «Si hay una vocal por una cara, por la otra hay un número par» ¿A cuántas cartas tengo que darle la vuelta para estar completamente seguro de que la ley se cumple?