La lógica proposicional (página 2)

Otra circunstancia que hace difícil el condicional es cuando tiene antecedente falso, pero se pueden poner ejemplos pertinentes (por ejemplo, con una fuerte relación de causalidad entre antecedente y consecuente) para convencernos, al menos de que es preciso adoptar una convención al respecto. Es así como ironizamos en castellano. Una anécdota para condicionales con antecedente y consecuente falso es la siguiente:

2. Dos periodistas que no se podían ver. El primero publica en el diario local una foto de su hijito disfrazado de rociero, con el siguiente pié:

Fotografía del simpático rociero Pepito Ruiz, hijo del brillante escritor D. José Ruiz.

Al día siguiente aparece, en la misma página, el siguiente insulto rimado:

Si tu hijo es rociero y tú un escritor brillante, yo soy Felipe III, Genoveva de Brabante y el hijo del Espartero.

3. Elegid la formalización adecuada (y/o sus equivalentes, si las hubiera). (a) Si Pedro juega al badminton (P), Quiteria también (Q)

(b) Pienso (P), luego existo (Q)

© No pienso, luego existo.

(d) El fuego (P) es la causa del humo (Q) (e) El fuego siempre produce humo.

(f) Sólo si Pedro juega al bádminton, juega Quiteria.

4. Elegid la formalización adecuada (y/o sus equivalentes, si las hubiera). (a) Pedro irá al dentista (P), tanto si quiere (Q) como si no quiere.

(b) La magia del cuento se revela (P) sólo cuando Pinocho miente (Q) o Blancanieves muerde la manzana (R)

(c) El certificado tiene validez (P), si está firmado por el director del departamento (Q), o por el tutor del proyecto (R)

(d) La inflación aumentará (P), a menos que baje la emisión de moneda (Q) u ocurra un milagro (R).

(e) Aristóteles, que era un filósofo genial (P), sostiene que si el mundo es eterno (Q), entonces el sol gira (R)

(f) Leeré a Proust (P), si me voy de vacaciones (Q) y encuentro sus libros en oferta (R)

2.4 Las funciones de verdad

Admitamos sólo dos valores de verdad: el verdadero y el falso. Sobre la base de este presupuesto, un argumento concreto puede ser sólo o verdadero o falso. La verdad o falsedad de un conectivo proposicional depende de la verdad o falsedad de los argumentos individuales. Intentaremos indagar la naturaleza de los functores ya conocidos con respecto a sus valores de verdad.

2.4.1 La negación

La negación es aquella función que confiere a un argumento el valor de verdad opuesto. La proposición «La lámpara está encendida» puede ser verdadera o falsa referida a una lámpara concreta. Si es verdadera, entonces la negación «La lámpara no está en funcionamiento» es falsa; si, por el contrario, la proposición «La lámpara no está en funcionamiento» es verdadera para una lámpara determinada, entonces en estas circunstancias su negación, «La lámpara está encendida», es falsa. De esto se deriva que, al afirmar una frase, negamos contemporáneamente la frase contradictoria.

Podemos definirla de la siguiente forma:

La negación de un enunciado verdadero será falsa y la de uno falso será verdadera.

Esto se puede representar de un modo general con una tabla de los valores de verdad:

p ¬ p verdadero falso

falso verdadero

C 1) el azul es un color

I 2) los ciervos son insectos

B 3) Bélgica es más pequeña que Luxemburgo

V 4) San Marcos está en Venecia

¿Qué proposiciones son verdaderas?

El azul es verdaderamente un color y, por lo tanto «C» es verdadera. Sin embargo, los ciervos no son insectos, así que «I» es falsa y consecuentemente «¬ I» es verdadera. Bélgica tiene una superficie once veces más grande que Luxemburgo. Por tanto, la proposición «B» es falsa y «¬ B» es verdadera. Todos los turistas saben que San Marcos es la Iglesia más importante de Venecia y, por lo tanto, «V» es verdadera.

La pregunta se podría haber hecho también en estos términos: ¿qué proposiciones son falsas? Respuesta: ¬ C, I, B, ¬ V.

Una proposición concreta es, por tanto, verdadera o falsa. La cosa es menos evidente si tenemos dos (A ? B), tres (A ? B ? C) o más constantes.

En este contexto sería más apropiado hablar de «argumentos» en lugar de «constantes» dado que la ocurrencia repetida de la misma constante vale como un solo argumento, así que el valor de verdad de «A ? A ? A» depende sólo de la constante «A». Si «A» es verdadera, será verdadero todo el conectivo proposicional, si «A» es falsa, este valor se aplica nuevamente a toda la expresión; en efecto, una afirmación que se repite tres veces no posee más verdad o falsedad que la que tiene una ocurrencia concreta. Si, sin embargo, nos encontramos con «A ? B» y «A» es falsa, entonces queda todavía abierta la cuestión del valor de verdad de «B». De esto observamos que en el momento en que tenemos que tratar con dos o más variables, existen diversas combinaciones entre verdadero y falso.

Con un ejemplo se puede mostrar cómo es de grande el número de combinaciones de dos variables. Supongamos que tenemos en una bolsa con bolas de vidrio y de fermio. A continuación introduzco dentro las dos manos y extraigo dos bolas. Una breve reflexión nos hará ver que son posibles las cuatro combinaciones siguientes: mano izquierda mano derecha abreviación

Si interpretamos «v» como «verdadero» y «f» como «falso», entonces habremos representado las posibles combinaciones de los valores de verdad de dos variables. A nivel internacional se ha impuesto la siguiente forma de escritura: «1» para «verdadero» y «0» para «falso».

Una función de verdad con dos variables está entonces unívocamente definida si se encuentra establecido unívocamente el valor de verdad para cada uno de los cuatro casos posibles. Lo cual equivale a una rigurosa definición de los functores que ya conocemos. A continuación los examinaremos más atentamente.

2.4.2 La conjunción

«El cartero lleva una revista y un paquete». Estas son dos proposiciones unidas por la conjunción; formalmente se pueden representar así: «R ? P».

Como ya se ha dicho, en el caso de que haya dos variables existen cuatro posibilidades diversas de combinación por lo que respecta a los valores de verdad. Escribimos los cuatro casos bajo las letras «R» y «P» en la siguiente tabla:

Este conectivo proposicional es verdadero sólo si son verdaderas tanto la primera como la segunda proposición, es decir, cuando el cartero lleva tanto la revista como el paquete. Decimos, sin embargo, que es falsa tanto si el cartero llega sin el paquete como si llega sin la revista, y aún más si llega sin ninguno de los dos. Interpretamos esta situación diciendo que el espacio bajo la conjunción tiene un «1» cuando ambas proposiciones valen «1», por lo tanto, sólo en la primera línea. Los otros casos deben entonces ser rellenados con un «0». La definición de «conjunción» sería pues, en general, la siguiente:

La conjunción de dos enunciados es verdadera si y sólo si ambos lo son.

De esta tabla de los valores de verdad concluimos que la conjunción, por definición, es verdadera si y sólo si son verdaderas las dos proposiciones. Podemos escribir nuestro resultado sobre la conjunción, en vez de verticalmente, de modo horizontal: 1000. El número mil no tiene nada que ver con esto; lo único que nos interesa es la exacta definición del functor «?».

Ejemplos de conjunción:

C ? V 1) El azul es un color y San Marcos está en Venecia.

D ? A 2) 12 es divisible por dos y las ciruelas son albaricoques.

P ? ¬ M 3) Paris es una ciudad y la madera no arde.

¬ I ? ¬ S 4) Los esquimales no viven en Italia y los negros no viven en el Polo Sur.

¿Qué proposiciones son verdaderas?

En el ejemplo 1) las dos proposiciones son verdaderas, por lo tanto también su conectivo y la macroproposición que las reúne por medio de este último. En el caso 2) «A» es falsa dado que las ciruelas no son albaricoques. Por lo tanto 2) es falsa aunque la proposición «D» sea verdadera. Esto guarda relación con la segunda línea de nuestra definición, de la que, gracias al signo «0» entre las dos, se pone de manifiesto que de «p» verdadera y de «q» falsa, se deriva el falso. Ya que todos saben que la madera arde, «M» es verdadera y «¬ M» falsa, por lo que también la 3) es falsa. Para los esquimales Italia sería una tierra demasiado caliente y, en efecto, no viven allí: por tanto «¬ I» es verdadera. Y viceversa, los negros encontrarían el Polo Sur demasiado frío y, entonces, «¬ S» es verdadera. Como los dos argumentos de la conjunción son verdaderos, toda la proposición 4) es verdadera.

2.4.3 La disyunción

Como ejemplo de disyunción elegiremos la proposición «Como postre hay queso o fruta». Con «disyunción» entendemos aquella función a dos argumentos que es falsa si y sólo si ambos argumento son falsos, es decir, si no hay ni fruta ni queso. De este modo, en general, la tabla de los valores de verdad de la disyunción se presenta así:

La disyunción de dos enunciados es verdadera si al menos uno de ellos lo es.

También aquí el resultado de la definición se lee en columna debajo del functor «?», resultado que puede ser también escrito horizontalmente: 1110. El functor puede expresarse así en el lenguaje ordinario: «una u otra o también ambas». Esto corresponde exactamente al «vel» latino, que desgraciadamente no tiene el mismo significado que la disyunción española «o». La fórmula «y/o» que se encuentra a veces en textos jurídicos y en otros lugares también, como en trabajos teológicos, es por tanto un pleonasmo, como la tabla pone claramente en evidencia.

El vocablo «o» del lenguaje ordinario puede, sin embargo, asumir un significado contrario: puede ser una disyunción exclusiva. Intentemos clarificar el concepto con un ejemplo: «Alberto es católico o es protestante». Ya que no es posible pertenecer a las dos confesiones contemporáneamente, la tabla de los valores de verdad se presenta en este caso así: 0110. Este «o» exclusivo se traduce en latín con «aut-aut». La consiguiente distinción latina no ha sido recibida en la lengua española o, por ejemplo, en la alemana, de modo que es sólo el contexto el que nos puede ayudar a esclarecer si se trata de una disyunción inclusiva o exclusiva. Debo saber anticipadamente la relación que existe entre católicos y protestantes para comprender que, en el ejemplo anterior, se trata de una disyunción exclusiva. Menos ambiguamente se debería decir:

«Alberto o es católico o es protestante». Pero el lógico no tiene prescripciones que recomendar al lenguaje ordinario para obtener una mayor coherencia; se limita a constatar como en el lenguaje de todos los días se habla sin prestar atención a lo que se dice y que es sólo por la enorme redundancia por lo que no se produce un caos verbal.

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