Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo el problema, hay un cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por propios medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo. Experiencias de este tipo, a una edad conveniente, pueden determinar una afición para el trabajo intelectual e imprimirle una huella imperecedera en la mente y en el carácter. Por ello, un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y los ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello. Un estudiante cuyos estudios incluyan cierto grado de matemáticas tiene también una particular oportunidad. Dicha oportunidad se pierde, claro está, si ve las matemáticas como una materia de la que tiene que presentar un examen final y de la cual no volverá a ocuparse una vez pasado éste. Puede descubrir, sin embargo, que un problema de matemáticas puede ser tanto o más divertido que un crucigrama. Habiendo degustado el placer de las matemáticas, ya no las olvidará fácilmente, presentándose entonces una buena oportunidad para que las matemáticas adquieran un sentido para él, ya sean como un pasatiempo o como herramienta de su profesión, o su profesión misma o la ambición de su vida. G. POLYA
-1- INTRODUCCIÓN 1) Escribir la suma de A y B. A+B ÁLGEBRA es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. El concepto de la cantidad en Álgebra es mucho más amplio que en Aritmética. En Aritmética las cantidades se representan por números y éstos expresan valores determinados. Así, 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un valor mayor o menor que éste habrá que escribir un número distinto de 20. En Álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así, “a” representa el valor que nosotros le asignemos, y por lo tanto puede representar 20 o más de 20 o menos de 20, a nuestra elección, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado. Los símbolos usados en Álgebra para representar las cantidades son los números y las letras. Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas ( a’, a´´,a’’’) o también por medio de subíndices ( X1, X2, X3 ). Con las cantidades algebraicas, representadas por letras, se pueden hacer las mismas operaciones que con los números aritméticos. Ejemplos: 2) Compro X libros por Bs m. ¿Cuánto me costó cada libro?. Bs (m / X ) 3) Tenía Bs 9 y gasté Bs X. ¿Cuánto me queda? Bs ( 9 – X ) 4) Escriba la diferencia entre m y n. m – n 5) Debía X bolívares y pagué 6. ¿Cuánto debo? Bs ( X – 6 ) 6) De una jornada de X kilómetros se han recorrido m kilómetros. ¿Cuánto falta por recorrer? ( X – m ) km. 7) Siendo X un número entero, escriba los dos números enteros consecutivos posteriores. X + 1, X+2 8) Siendo X un número entero, escriba los dos números enteros consecutivos anteriores. X – 1, X – 2 9) Siendo Y un número entero par, escriba los tres números pares consecutivos posteriores. Y + 2, Y + 4, Y + 6 10) Jaimito tenía Bs A, cobró Bs X y le regalaron Bs m. ¿Cuánto tiene Jaimito? Bs ( A + X + m ) 11) Arturo tenía Bs X, ganó Bs 9 y pagó Bs Y ¿Cuánto tiene Artturo? Bs ( X + 9 – Y ) 12) Al vender un carro en Bs X gané Bs 300.000 ¿Cuánto me costó el carro? Bs ( X – 300.000) 13) Si han transcurrido X días de un año. ¿Cuántos días faltan por transcurrir? ( 365 – X ) días. 14) Si un pantalón cuesta $ b ¿Cuánto costarán 8 pantalones; 15 pantalones; X pantalones.? $ 8b; $ 15b; $ Xb ING. JOSE L. ALBORNOZ S, ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -2-
X 6 X X 7 5 X 2 6 12 7 2 Para que el alumno tenga una visión mas profunda del Álgebra me permito recomendar la lectura y análisis del capítulo “PRELIMINARES” ( página 5 hasta página 39 ) del reconocido libro “ÁLGEBRA DE AURELIO BALDOR”, de donde han sido extraídos los enunciados de los problemas que se resuelven en esta guía para estudiantes. EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación. ( Capital inicial X = £ 1.120 ,oo) LA VIDA DE DIOFANTO La vida ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos El idioma del álgebra es la ecuación. “Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico”, escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado: Aritmética Universal.. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. He aquí uno de ellos: esta inscripción: En la lengua vernácula: ¡CAMINANTE! AQUÍ FUERON SEPULTADOS LOS RESTOS DE DIOFANTO. Y LOS NÚMEROS PUEDEN MOSTRAR, ¡OH, MILAGRO!, CUÁN LARGA FUE SU VIDA. En el idioma del álgebra: X En la lengua Vernácula En el idioma del álgebra CUYA SEXTA PARTE CONSTITUYÓ SU HERMOSA INFANCIA. Un comerciante tenía una determinada suma de dinero HABÍA TRANSCURRIDO ADEMÁS UNA DUODÉCIMA PARTE DE SU VIDA, CUANDO DE VELLO CUBRIÓSE SU X 12 El primer año se gastó 100 libras Aumentó el resto con un tercio de éste Al año siguiente volvió a gastar 100 libras Y aumentó la suma restante en un tercio de ella Llegando así su capital a tres medios del inicial X – 100 (X-100) + X-100 = 4X – 400 3 3 4X – 400 – 100 = 4X – 700 3 3 3 16X – 2.800 = 3X 9 2 4X – 700 + 4X – 700 = 16X – 2.800 3 3 9 BARBILLA Y LA SÉPTIMA PARTE DE SU EXISTENCIA TRANSCURRIÓ EN UN MATRIMONIO ESTÉRIL. PASÓ UN QUINQUENIO MÁS Y LE HIZO DICHOSO EL NACIMIENTO DE SU PRECIOSO PRIMOGÉNITO. QUE ENTREGÓ SU CUERPO, SU HERMOSA EXISTENCIA, A LA TIERRA, QUE DURÓ TAN SOLO LA MITAD DE LA DE SU PADRE Y EN PROFUNDA PENA DESCENDIÓ A LA SEPULTURA, X=X+ X +X+5+X+4 HABIENDO SOBREVIVIDO CUATRO AÑOS AL DECESO DE SU HIJO. Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte. ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -3- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -4-
Al resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita, X = 84, conocemos los siguientes datos biográficos de Diofanto: se casó a los 21 años, fue padre a los 38, perdió a su hijo a los 80 y murió a los 84. Para resolver cualquier problema con las herramientas del Álgebra se recomienda seguir los siguientes pasos: 1.- Identificar el problema ( Tener una idea precisa de lo que debemos o queremos resolver ). 2.- Identificar las incógnitas ( Asignar letras a las cantidades desconocidas ). 3.- Expresar el problema en lenguaje algebraico ( Construir ecuaciones utilizando números para las cantidades conocidas y letras para las cantidades desconocidas. Las letras serán las indicadas en el paso anterior ). 4.- Resolver el problema ( Resolver la ecuación o sistema de ecuaciones ). 5.- Comprobar los resultados ( introducir los resultados obtenidos en las ecuaciones planteadas y verificar que se cumplen). Partiendo de la premisa que el interés primordial de este trabajo es el de ayudar metodológicamente a los estudiantes, se hará énfasis especial en el segundo y tercer paso (Identificar las incógnitas y Expresar el problema en lenguaje algebraico) y se indicarán los resultados, dejando la posibilidad de que el usuario “practique” la secuencia de resolución en algunos ejercicios. De la misma forma, algunas veces, se dejarán en blanco los pasos 1 y 5 para que el estudiante se ejercite. Lo que se quiere transmitir es que la “esencia” para resolver un problema en Álgebra está representada en identificar las incógnitas y saber expresarlo en lenguaje algebraico. La herramienta para resolverlo puede ser manual o en computadora (el resultado será el Se recomienda a los estudiantes que en todos los ejercicios que se propongan resolver, sigan los cinco (5) pasos indicados y de esa manera notarán lo útil que resultan. Es bueno recordar que existen tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones, a saber, el método de igualación, el método de sustitución (utilizado en el ejercicio # 1 de este trabajo) y el método de reducción (utilizado en el ejercicio # 2). Para aclarar cualquier duda sobre sistemas de ecuaciones consulte las páginas 321, 322, 323, 340 y 341 del “Álgebra de Baldor”. Con la hoja de cálculo EXCEL podemos resolver cualquier sistema de ecuaciones utilizando una de sus herramientas llamada SOLVER. mismo) ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -5- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -6-
(1) (1) (2) (2) ; ; ; ; ; y ; ; EJERCICIO # 1 La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los números. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Determinar dos números conociendo el producto de su suma y la diferencia de valor entre ambos. EJERCICIO # 2 La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32. Hallar los números. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Determinar dos números conociendo el producto de su suma y su diferencia. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Número menor. Y = Número mayor. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Número mayor. Y = Número menor. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: La suma de dos números es 106: X + Y = 106 La suma de dos números es 540: X + Y = 540 El número mayor excede al menor en 8: RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) X + (X+8) = 106 Y=X+8 X + X + 8 = 106 La diferencia de estos mismos números es 32: X – Y = 32 RESOLVER EL PROBLEMA: Sumando estas dos ecuaciones: X + Y = 540 X – Y = 32 2X = 106 – 8 2X = 98 X = 98 / 2 X = 49 2X = 572 X = 572 / 2 X = 286 Si X = 49 y Y=X+8 Y = 49 + 8 Y = 57 Si X = 286 X + Y = 540 286 + Y = 540 Y = 540 – 286 Y = 254 Los dos números buscados son 57 y 49 COMPROBAR LOS RESULTADOS: La suma de dos números es 106, (49+57=106). El número mayor excede al menor en 8, (57=49+8). ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -7- Los números buscados son 286 y 254 COMPROBAR LOS RESULTADOS: La suma de dos números es 540, (286+254 = 540) y su diferencia es 32, (286-254 = 32) ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -8-
(1) (2) ; ; y : ; ; EJERCICIO # 3 Entre A y B tienen $ 1.154 y B tiene 506 A + B = 1.154 – A + B = – 506 2B = 648 menos que A. ¿Cuántos $ tiene cada uno?. B = 648 / 2 ; A + 324 = 1.154 B = 324 y como ; A = 1.154 – 324 A + B = 1.154 ; A = 830 IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Determinar la cantidad de $ que tienen dos personas conociendo la cantidad total y la diferencia de las dos cantidades individuales. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Cantidad de $ que tiene A. B = Cantidad de $ que tiene B. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: COMPROBAR LOS RESULTADOS: Entre A y B tienen $ 1.154, (830 + 324 = 1.154) y B tiene 506 menos que A. (324 = 830 – 506). A tiene $830 y B tiene $324 EJERCICIO # 4 Dividir el número 106 en dos partes, tales que la mayor exceda a la menor Entre A y B tienen $ 1.154: B tiene $ 506 menos que A: RESOLVER EL PROBLEMA: A + B = 1.154 B = A – 506 en 24. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Parte mayor. Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) Y = Parte menor. A + (A – 506) = 1.154 2A = 1.154 + 506 EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: A = 1.660 / 2 A = 830 Dividir el número 106 en dos partes: X + Y = 106 (1) Si A = 830 B = A – 506 B = 830 – 506 B = 324 Tal que la mayor exceda a la menor en 24: RESOLVER EL PROBLEMA: X = Y + 24 (2) También se puede resolver con un enfoque similar al ejercicio anterior, para lo cual podemos colocar en el lado izquierdo de la igualdad de la segunda ecuación a la variable “A” y después sumar las dos ecuaciones. Note que al expresar el problema en lenguaje algebraico las dos ecuaciones son muy parecidas a la de los ejercicios 1 y 2. Utilice cualquiera de los dos métodos indicados en dichos ejercicios. Como B = A – 506 – A + B = – 506 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -9- X = 65 Y = 41 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -10-
(1) (2) (1) (2) -12- Los dos números que cumplen con las condiciones del problema son 65 y 41 COMPROBAR LOS RESULTADOS: Tome las dos ecuaciones de este problema y sustituya los valores X=65 , Y=41 . Verifique que las igualdades se cumplen. EJERCICIO # 5 A tiene 14 años menos que B y ambas edades suman 56 años. ¿Qué edad tiene cada uno?. EJERCICIO # 6 Repartir $ 1.080 entre A y B de modo que A reciba 1.014 más que B. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Cantidad de $ que le “tocan” a A. B = Cantidad de $ que le “tocan” a B. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Repartir $ 1.080 entre A y B: A + B = 1.080 IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Edad de A. B = Edad de B. De modo que A reciba 1.014 más que B: RESOLVER EL PROBL EMA: A = B + 1.014 EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: A tiene 14 años menos que B: A = B – 14 Ambas edades suman 56 años: A + B = 56 RESOLVER EL PROBLEMA: Note que al expresar el problema en lenguaje algebraico las dos ecuaciones son muy parecidas a la de los ejercicios 1, 2 y 3. Utilice cualquiera de los dos métodos indicados en dichos ejercicios. A = 21 ; B = 35 A tiene 21 años y B tiene 35. Note que al expresar el problema en lenguaje algebraico las dos ecuaciones son muy parecidas a la del ejercicio 3. Utilice cualquiera de los dos métodos indicados en dicho ejercicio. A = 1.047 ; B = 33 “A” recibirá $ 1.047 y “B” recibirá $33 COMPROBAR LOS RESULTADOS: Lea el enunciado del ejercicio y verifique si con estos valores se cumple lo indicado. EJERCICIO # 7 Hallar dos números enteros conse- COMPROBAR LOS RESULTADOS: Tome las dos ecuaciones de este cutivos cuya suma sea 103. problema y sustituya los valores A=21 , B=35 . Verifique que las igualdades se cumplen. ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -11- IDENTIFICAR EL PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,
(1) ; (1) ; -13- (1) -14- IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Cualquier número entero. (X+1) = Número consecutivo a X. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103: X + (X+1) = 103 RESOLVER EL PROBLEMA: X + X + 1 + X + 2= 204 ; 3X + 3= 204 ; X= 201 / 3 X = 67 ; (X + 1) = 68 ; (X + 2) = 69 Los tres números buscados son 67, 68 y 69 COMPROBAR LOS RESULTADOS: 67 + 68 + 69 = 204 RESOLVER EL PROBLEMA: X + X + 1 = 103 ; 2X = 103 – 1 X = 51 ; X = 102 / 2 (X + 1) = 52 EJERCICIO # 9 Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74. Los dos números buscados son 51 y 52 COMPROBAR LOS RESULTADOS: 51 + 52 = 103. EJERCICIO # 8 IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Cualquier número entero. (X+1) = Número consecutivo a X. (X+2) = Número consecutivo a X + 1. Hallar tres números enteros (X+3) = Número consecutivo a X + 2. consecutivos cuya suma sea 204. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Cualquier número entero. (X+1) = Número consecutivo a X. (X+2) = Número consecutivo a X + 1. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74: X + (X+1) + (X+2) + (X+3) = 74 RESOLVER EL PROBLEMA: Trate de resolverlo atendiendo los pasos de los tres ejercicios anteriores. X = 17 ; (X + 1) = 18 Hallar tres números enteros consecutivos cuya suma sea 204: (X + 2) = 19 (X + 3) = 20 X + (X+1) + (X+2) = 204 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, Los cuatro números buscados son 17, 18, 19 y 20 ING. JOSE L. ALBORNOZ S,
(1) (2) (3) ; ; ; ; ; ; -15- -16- COMPROBAR LOS RESULTADOS: 17 + 18 + 19 + 20 = 74 IDENTIFICAR EL PROBLEMA: EJERCICIO # 10 Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Costo del caballo. B = Costo del coche. C = Costo de los arreos. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Cualquier número entero par Pagué $ 325 por un caballo, un coche y sus arreos: A + B + C = 325 (X+2) = Número par consecutivo a X. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194: X + (X+2) = 194 (1) RESOLVER EL PROBLEMA: El caballo costó $ 80 más que el coche: Los arreos costaron $ 25 menos que el coche: RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituyendo (2) y (3) en (1) A = B + 80 C = B – 25 Utilice los mismos pasos de los tres ejercicios anteriores (B + 80) + B + (B – 25) = 325 3B + 80 -25 = 325 X = 96 (X + 2) = 98 3B = 270 B = 270 / 3 B = 90 Los números buscados son 96 y 98 COMPROBAR LOS RESULTADOS: 96 + 98 = 194. Como A = B + 80 Como C = B – 25 ; A = 90 + 80 ; C = 90 – 25 A = 170 C = 65 EJERCICIO # 11 Pagué $ 325 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo costó $80 más que el coche y los arreos $25 menos que el coche. Hallar los El caballo costó $170, el coche $90 y los arreos $65 Es bueno recordar que existen dos métodos para resolver este sistema de ecuaciones, a saber, el método de sustitución (utilizado en el ejercicio # 1 de este trabajo) y el método de reducción (utilizado en el ejercicio # 2). Utilice el que a su criterio le parezca más fácil atendiendo a la forma como esté expresado algebraicamente el problema. precios respectivos. ING. JOSE L. ALBORNOZ S, COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,
; (1) (2) (3) (2) (3) -A ; ; ; ; ; EJERCICIO # 12 Como C = B – 20 24 = B – 20 ; B = 44 Pagué $ 87 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $ 5 más que el libro y $ 20 menos que el traje. Hallar los precios respectivos. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: El libro costó $19, el traje $44 y el sombrero $24 COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 13 La suma de tres números es 200. El IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Costo del libro. B = Costo del traje. mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números. C = Costo del sombrero. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Pagué $ 87 por un libro, un traje y un sombrero: A + B + C = 87 El sombrero costó $ 5 más que el libro: C=A+5 El sombrero costó $ 20 menos que el traje: C = B – 20 RESOLVER EL PROBLEMA: IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Número menor. Y = Número del medio. Z = Número mayor. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: La suma de tres números es 200: X + Y + Z = 200 (1) Utilizando el método de la reducción; sumando las tres ecuaciones, teniendo cuidado de que las incógnitas estén ubicadas del mismo lado de la igualdad: El mayor excede al del medio en 32: El mayor excede al menor en 65: Z = Y + 32 Z = X + 65 A + B + C = 87 +C= 5 – B + C = – 20 3C = 72 RESOLVER EL PROBLEMA: Utilice el método de la reducción; sumando las tres ecuaciones, teniendo cuidado de que las incógnitas estén ubicadas del mismo lado de la igualdad: C = 72 / 3 C = 24 X = 34 Y = 67 Z = 99 Como C=A+5 24 = A + 5 A = 19 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -17- Los números buscados son 34, 67 y 99 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -18-
(1) (1) (2) (2) (3) (3) ; ; COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 14 Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto? IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Manzanas que contiene el 1er cesto. B = Manzanas que contiene el 2do cesto. C = Manzanas que contiene el 3er cesto. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Los Cestos tienen 200, 190 y 185 manzanas respectivamente. COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 15 Dividir 454 en tres partes sabiendo que la menor es 15 unidades menor que la del medio y 70 unidades menor que la mayor. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Número que representa la parte mayor. B = Nro. que representa la parte del medio. C = Número que representa la parte menor. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Dividir 454 en tres partes ( la suma de tres partes debe ser igual a Tres cestos contienen 575 manzanas : A + B + C = 575 454): A + B + C = 454 El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo: A = B + 10 El primer cesto tiene 15 manzanas más que el tercero: A = C + 15 RESOLVER EL PROBLEMA: Utilice cualquiera de los tres métodos, observe bien las tres ecuaciones y trate de determinar cuál es de más fácil aplicación. En estos casos es más recomendable el método de reducción. La parte menor es 15 unidades menor que la del medio: C = B – 15 La parte menor es 70 unidades menor que la mayor: C = A – 70 RESOLVER EL PROBLEMA: Utilice cualquiera de los tres métodos, observe bien las tres ecuaciones y trate de determinar cuál es de más fácil aplicación. En estos casos es más recomendable el método de reducción. A = 200 B = 190 ; C = 185 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -19- A = 193 B = 138 ; C = 123 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -20-
(1) (1) (2) (2) (3) (3) ; ; -22- Las tres partes buscadas son 193, 138 y 123 COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 16 Repartir 310 bolívares entre tres personas de modo que la segunda reciba 20 menos que la primera y 40 más que la tercera. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Bs que le “tocan” a la 1ra persona. Y = Bs que le “tocan” a la 2da persona. Z = Bs que le “tocan” a la 3ra persona. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: EJERCICIO # 17 La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Edad de la persona mayor. Y = Edad de la persona del medio. Z = Edad de la persona menor. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: La suma de las edades de tres personas es 88 años: X + Y + Z = 88 Repartir 310 bolívares entre tres personas: X + Y + Z = 310 La mayor tiene 20 años más que la menor: X = Z + 20 La segunda persona recibe 20 menos que la primera: Y = X – 20 La segunda persona recibe 40 más que la tercera: Y = Z + 40 RESOLVER EL PROBLEMA: Utilice el método de la reducción; sumando las tres ecuaciones, teniendo cuidado de que las incógnitas estén ubicadas del mismo lado de la igualdad: La del medio tiene 18 años menos que la mayor: Y = X – 18 RESOLVER EL PROBLEMA: Este ejercicio se resuelva en forma muy similar al ejercicio # 12. X = 42 ; Y = 24 ; Z = 22 X = 130 Y = 110 Z = 70 Las tres edades son 42, 24 y 22 respectivamente Los Bs 310 se repartirán en 130, 110 y 70 bolívares respectivamente . ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -21- COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,
(1) (2) ; ; y ; EJERCICIO # 18 Dividir 642 en dos partes tales que una exceda a la otra en 36. X = Edad de Francisco. Y = Edad de Antonio. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: IDENTIFICAR EL PROBLEMA: La edad de Francisco triplica la de Antonio: X = 3Y IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Parte mayor. Ambos suman 40 años: X + Y = 40 Y = Parte menor. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituyendo (1) en (2) Dividir 642 en dos partes: X + Y = 642 (1) 3Y + Y = 40 4Y = 40 Y = 40 / 4 Tales que una exceda a la otra en 36: RESOLVER EL PROBLEMA: X = Y + 36 (2) Si Y = 10 X = 3Y Y = 10 X = 30 Este ejercicio se resuelva en forma muy similar al ejercicio # 1. La edad de Francisco es 30 y la de Antonio 10 X = 339 Y = 303 COMPROBAR LOS RESULTADOS: Las dos partes son 339 y 303 COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 19 La edad de Francisco triplica la de Antonio y ambos suman 40 años. Encuentre las edades de ambos. EJERCICIO # 20 Se compró un caballo y sus arreos por $ 600. Si el caballo costó 4 veces el precio de los arreos. ¿Cuánto costó el caballo y cuánto los arreos?. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Costo del caballo. Y = Costo de los arreos. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -23- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -24-
(1) (2) (2) (1) (3) (2) (1) EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Se compró un caballo y sus arreos por $ 600: X + Y = 600 RESOLVER EL PROBLEMA Utilice el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior. X = 32 ; Y = 16 El caballo costó 4 veces lo de los arreos: X = 4Y En el 1er piso hay 32 habitaciones y 16 en el 2do RESOLVER EL PROBLEMA Utilice el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior. X = 480 ; Y = 120 El caballo costó $ 480 y los arreos $ 120 COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 21 En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las del 2do piso son la mitad que las del 1ro. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?. COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 22 Repartir $ 300 entre A, B y C de modo que la parte de B sea doble que la de A y la de C el triple que la de A. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Cantidad de $ que le “tocan” a A. B = Cantidad de $ que le “tocan” a B. C = Cantidad de $ que le “tocan” a C. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Habitaciones del primer piso. Y = Habitaciones del segundo piso. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Repartir $ 300 entre A, B y C: La parte de B sea doble que la de A: La parte de C sea el triple de la de A: A + B + C = 300 B = 2A C = 3A En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones: Las del 2do piso son la mitad que las del 1ro: X + Y = 48 Y = X/2 RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1) y notará como se simplifica el problema (A+2A+3A=300). A = 50 ; B = 100 ; C = 150 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -25- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -26-
(1) (2) (1) (2) ; (3) ; ; COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 23 Repartir 133 manzanas entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad que la de B y la de C el doble EJERCICIO # 24 El mayor de dos números es 6 veces el menor y ambos números suman 147. Hallar los números. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: que la de B. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Número mayor. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: Y = Número menor. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: A = Cantidad de manzanas que le “tocan” a A B = Cantidad de manzanas que le “tocan” a B C = Cantidad de manzanas que le “tocan” a C El mayor de dos números es 6 veces el menor: X = 6Y EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Ambos números suman 147: X + Y = 147 Repartir 133 manzanas entre A, B y C: A + B + C = 133 RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya la ecuación (1) en la ecuación (2) y notará como se La parte de A sea la mitad que la de B: La parte de C sea el doble que la de B: A = B/2 C = 2B simplifica el problema: X = 126 COMPROBAR LOS RESULTADOS: Y = 21 RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1) y notará como se simplifica el problema: EJERCICIO # 25 Repartir $ 140 entre A, B y C de modo que la parte de B sea la mitad que la A = 19 B = 38 C = 76 de A y un cuarto que la de C. COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -27- IDENTIFICAR EL PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -28-
(2) (1) (1) (3) (2) (3) 2X IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Cantidad de $ que le “tocan” a A. B = Cantidad de $ que le “tocan” a B. C = Cantidad de $ que le “tocan” a C. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Dividir el número 850 en tres partes: A + B + C = 850 La primera parte sea el cuarto de la segunda: A = B/4 EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Repartir $ 140 entre A, B y C: A + B + C = 140 La primera parte sea el quinto de la tercera: RESOLVER EL PROBLEMA: A = C/5 La parte de B sea la mitad que la de A: La parte de B sea un cuarto que la de C: B = A/2 B = C/4 Despeje “B” y “C” en las ecuaciones (2) y (3) respectivamente y después sustitúyalas en la ecuación (1). A = 85 ; B = 340 ; C = 425 RESOLVER EL PROBLEMA: Despeje “A” y “C” en las ecuaciones (2) y (3) respectivamente y después sustitúyalas en la ecuación (1). A = 40 ; B = 20 ; C = 80 COMPROBAR LOS RESULTADOS: COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 27 El doble de un número equivale al número aumentado en 111. Hallar el número. EJERCICIO # 26 Dividir el número 850 en tres partes de modo que la primera sea el cuarto de la segunda y el quinto de la tercera. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Número buscado. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Primera parte. B = Segunda parte. C = Tercera parte. El doble de un número: Equivale al número aumentado en 111: 2X = X + 111 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -29- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -30-
; 8X (1) (2) ; RESOLVER EL PROBLEMA: COMPROBAR LOS RESULTADOS: 2X – X = 111 X = 111 EJERCICIO # 29 Si un número se multiplica por 8 el resultado es el número aumentado en 21. Hallar el número. EJERCICIO # 28 IDENTIFICAR EL PROBLEMA: La edad de María es el triple de la de Rosa más quince años y ambas edades IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Número buscado. suman 59 años. Hallar ambas edades. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Si un número se multiplica por 8 : IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: M = Edad de María. El resultado es el número aumentado en 21: 8X = X + 21 R = Edad de Rosa. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: La edad de María es el triple de la de Rosa más quince años: M = 3R + 15 RESOLVER EL PROBLEMA: Con un despeje sencillo de 8X= X + 21 se obtiene el resultado siguiente: X=3 COMPROBAR LOS RESULTADOS: Ambas edades suman 59 años: RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya la ecuación (1) en la ecuación (2): M + R = 59 EJERCICIO # 30 Si al triple de mi edad añado 7 años, tendría 100 años. ¿Qué edad tengo?. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: M = 48 COMPROBAR LOS RESULTADOS: R = 11 IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Mi edad. ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -31- EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -32-
; ; ; ; (1) (2) (3) (4) Si al triple de mi edad añado 7 años: Tendría 100 años: 3X + 7 3X + 7 = 100 A = 36 COMPROBAR LOS RESULTADOS: B = 12 C = 48 RESOLVER EL PROBLEMA: 3X = 100 – 7 COMPROBAR LOS RESULTADOS: X = 93 / 3 X = 31 EJERCICIO # 32 La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro, la de Juan el triple de la de Enrique y la de Gustavo el doble de la EJERCICIO # 31 Dividir 96 en tres partes tales que la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años. ¿Qué edad tiene cada uno?. primera sea el triple de la segunda y la tercera igual a la suma de la primera y la segunda. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: E = Edad de Enrique. P = Edad de Pedro. J = Edad de Juan. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Primera parte. B = Segunda parte. G = Edad de Gustavo. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: C = Tercera parte. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Dividir 96 en tres partes: A + B + C = 96 (1) La primera parte sea el triple de la segunda: A = 3B (2) La tercera parte sea igual a la suma de la primera y la segunda: C=A+B (3) RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya la ecuación (3) en la ecuación (1) y en la ecuación resultante introduzca la ecuación (2): ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -33- La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro: E = P/2 La edad de Juan es el triple de la de Enrique: J = 3E La edad de Gustavo es el doble de la de Juan: G = 2J Las cuatro edades suman 132 años: E + P + J + G = 132 RESOLVER EL PROBLEMA: Utilice el método de sustitución, para lo cual se recomienda que coloque todas las ecuaciones con las incógnitas del lado izquierdo del signo de igualdad y mantenga el orden de secuencia de las letras (E,P,J,G): ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -34-
(2) ; ; ; ; ; ; ; E – P/2 = 0 – 3E + J = 0 – 2J + G = 0 E + P + J + G = 132 Si multiplica la primera ecuación por “2” y posteriormente se suman T = Costo del traje. B = Costo del bastón. S = Costo del sombrero EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: las cuatro ecuaciones: 2E – P = 0 Se ha comprado un traje, un bastón y un sombrero por $259: T + B + S = 259 (1) – 3E + J = 0 – 2J + G = 0 E + P + J + G = 132 El traje costó 8 veces lo que el sombrero: T = 8S 2G = 132 0 + 0 + 0 + 2G =132 G = 132 / 2 ; G = 66 El bastón costó $30 menos que el traje: B = T – 30 (3) Como Como G = 2J J = 3E 66 = 2J 33 = 3E ; J = 33 E = 11 RESOLVER EL PROBLEMA: Despeje “S” en (2) y sustitúyala en (1) y posteriormente sustituya (3) en la ecuación resultante. Como E = P/2 11 = P/2 ; P = 22 T = 136 B = 106 S = 17 COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 33 Se ha comprado un traje, un bastón y un sombrero por $259. El traje costó 8 veces lo que el sombrero y el bastón $30 menos que el traje. Hallar los precios respectivos. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 34 Una estilográfica y un lapicero han costado $18. Si la estilográfica hubiera costado 6 dólares menos y el lapicero 4 dólares más, habrían costado lo mismo cada uno. ¿Cuánto costó cada uno?. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -35- IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -36-
(2) (1) ; ; (2) (1) (1) E = Costo de la estilográfica. L = Costo del lapicero. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Una estilográfica y un lapicero han costado $ 18: E+ L = 18 Hace 10 años la edad de A era el triple de la de B: A – 10 = 3 (B-10) Tenga sumo cuidado cuando se expresen problemas de este tipo, es muy frecuente cometer el error de escribir : A – 10 = 3B – 10 . La edad de B hace diez años es (B-10) y el triple de esa edad es 3(B-10). RESOLVER EL PROBLEMA: Si la estilográfica hubiera costado 6 dólares menos (E – 6) y el lapicero 4 dólares más (L + 4), habrían costado lo mismo: E-6=L+4 (2) RESOLVER EL PROBLEMA: Simplifique la ecuación (2) y posteriormente use el método de Sustituya (1) en (2): A = 40 COMPROBAR LOS RESULTADOS: B = 20 reducción: E = 14 COMPROBAR LOS RESULTADOS: L=4 EJERCICIO # 36 La edad actual de A es el triple que la de B, y dentro de 5 años será el doble. EJERCICIO # 35 Hallar las edades actuales. La edad actual de A es el doble que la de B, y hace 10 años la edad de A era el triple de la de B. Hallar las edades actuales. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Edad de A. B = Edad de B. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Edad de A. B = Edad de B. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: La edad actual de A es el triple que la de B: A = 3B Dentro de 5 años la edad de A será el doble de la de B: A + 5 = 2 (B + 5) La edad actual de A es el doble que la de B: A = 2B Tenga sumo cuidado cuando se expresen problemas de este tipo, es muy frecuente cometer el error de escribir : A + 5 = 2B + 5 . La edad de B dentro de 5 años será (B+5) y el doble de esa edad es 2(B+5). ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -37- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -38-
; ; ; RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya (1) en (2): EJERCICIO # 38 A tiene la mitad de lo que tiene B. Si A A = 15 B=5 gana $66 y B pierde $90, A tendrá el doble de lo que le quede a B. ¿Cuánto COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 37 A tiene doble dinero que B. Si A pierde $10 y B pierde $5. A tendrá $20 más que B.¿Cuánto tiene cada uno?. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Cantidad de $ que tiene A. B = Cantidad de $ que tiene B. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: tiene cada uno?. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Cantidad de $ que tiene A. B = Cantidad de $ que tiene B. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: A tiene la mitad de lo que tiene B: A = B/2 (1) Si A gana $66 y B pierde $90, A tendrá el doble de lo que le quede a B: (A + 66) = 2 (B – 90) (2) RESOLVER EL PROBLEMA: A tiene doble de dinero que B: A = 2B (1) Sustituya (1) en (2): COMPROBAR LOS RESULTADOS: A = 82 B = 164 Si A pierde 10 dólares (A-10) y B pierde cinco (B-5), A tendrá $20 más que B: (A – 10) = (B – 5) + 20 (2) RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya (1) en (2): EJERCICIO # 39 En una clase el número de señoritas es 1/3 del número de varones. Si ingresaran 20 señoritas y dejaran de asistir 10 varones, habría 6 señoritas A = 50 B = 25 más que varones.¿Cuántos varones hay COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -39- y cuantas señoritas?. ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -40-
(1) ; ; ; ; ; ; ; -41- IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: V = Cantidad de varones. S = Cantidad de señoritas. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: EJERCICIO # 40 La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo. La edad que tenía el padre hace 5 años era el doble de la edad que tendrá su hijo dentro de 10 años. Hallar las edades actuales. En una clase el número de señoritas es 1/3 del número de varones: S = V/3 (1) Si ingresaran 20 señoritas (S + 20) y dejaran de asistir 10 varones (V – 10), habría 6 señoritas más que varones: (S + 20) = (V – 10) + 6 (2) IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: P = Edad actual del padre. H = Edad actual del hijo. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya (1) en (2): 1/3 V = V – 10 + 6 -20 1/3 V + 20 = V -10 + 6 1/3 V = V – 24 La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo: P = 3H La edad que tenía el padre hace 5 años (P – 5) era el doble de la edad que tendrá su hijo dentro de 10 años (H + 10): V = 3 ( V – 24 ) 72 = 2V V = 3V – 72 V = 72 / 2 72 = 3V – V V = 36 RESOLVER EL PROBLEMA: (P – 5) = 2 (H + 10) (2) Sustituya (1) en (2): Si V = 36 y S = V/3 P = 75 H = 25 S = 36 / 3 S = 12 Los resultados se leen: Actualmente el padre tiene 75 años y el Los resultados se leen: En la clase hay 36 varones y 12 señoritas. hijo 25. COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -42-
(2) ; EJERCICIO # 41 Enrique tiene 5 veces lo que tiene su hermano. Si Enrique le diera a su hermano $50, ambos tendrían lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?. EJERCICIO # 42 Un colono tiene $ 1.400 en dos bolsas. Si de la bolsa que tiene más dinero saca 200 y los pone en la otra bolsa, ambas tendrían igual cantidad de dinero.¿Cuánto tiene cada bolsa?. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: E = Cantidad de $ que tiene Enrique. H = Cant. de $ que tiene el hermano de Enrique. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Enrique tiene 5 veces lo que tiene su hermano: E = 5H (1) Si Enrique le diera a su hermano $50, ambos tendrían lo mismo (Enrique tendrá 50 menos y su hermano tendrá 50 más de lo que tienen actualmente): (E – 50) = (H + 50) (2) IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Cantidad de $ en la 1ra bolsa. B = Cantidad de $ en la 2da bolsa. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Un colono tiene $ 1400 en dos bolsas: A + B = 1.400 (1) Si de la bolsa que tiene más dinero saca 200 y los pone en la otra bolsa, ambas tendrían igual cantidad de dinero: (A – 200) = (B + 200) RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya (1) en (2): E = 125 H = 25 RESOLVER EL PROBLEMA: A = 900 ; B = 500 Enrique tiene $125 y su hermano $25. COMPROBAR LOS RESULTADOS Una bolsa tiene $900 y la otra $500 COMPROBAR LOS RESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -43- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -44-
(2) ; ; EJERCICIO # 43 El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces el número de días que ha trabajado Enrique. Si Pedro hubiera trabajado 15 días menos y Enrique 21 días más, ambos habrían trabajado igual número de días.¿Cuántos días trabajó cada uno?. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: EJERCICIO # 44 Hace 14 años la edad de un padre era el triple de la edad de su hijo y ahora es el doble. Hallar las edades respectivas hace 14 años. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: P = Días que trabajó Pedro. E = Días que trabajó Enrique. P = Edad del padre hace 14 años. H = Edad del hijo hace 14 años. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces el número de días que ha trabajado Enriqu
| Página siguiente |