Los números complejos

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Los números complejos

Introducción Algebra de los números complejos La fórmula de Euler Bibliografía INTRODUCCIÓN

Los números complejos

El tema de los Números Complejos, a pesar de ser tan interesante por integrar la trigonometría, el álgebra y la geometría, es muy poco estudiado. Para muchos docentes, la finalidad de los números complejos está en poder calcular las raíces enésimas de la unidad. En los cursos de álgebra de la Universidad, apenas se esbozan algunas de sus propiedades más importantes, dejando de lado aspectos geométricos tan importantes como el estudio de las transformaciones y los movimientos del plano.

El poder de cálculo que se esconde detrás de los complejos, es algo mágico. Con un mínimo de esfuerzo, podemos derivar identidades y fórmulas trigonométricas que requieren de un trabajo tedioso y agotador, siguiendo los métodos usuales. Muchos conceptos de la matemática, como el de función, límites, series de potencias y continuidad se estudian de manera bastante natural dentro del ambiente de los números complejos. Los argumentos de prueba son mucho más intuitivos y transparentes en el plano.

En el presente, se tratan los aspectos históricos más importantes sobre los números complejos, que considero son fundamentales para cualquier desarrollo didáctico de este tema dentro del aula y espero que sirva para motivar a los docentes y estudiantes hacia el estudio de este y otros temas que puedan surgir a partir de éste. Además, también espero que resuelva esa inquietud que surge en los estudiantes: ¿Por qué los números complejos? ¿De dónde surgen? ¿Por qué se llaman complejos o imaginarios? ¿Para qué sirven?

1. Un poco de historia: los inicios del álgebra

Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta la formalización de los mismos. El avance en el tiempo de la matemática fue un proceso lento, debido al carácter formal de esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser aceptado por toda la comunidad. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la época, como fue el caso de los números complejos.

Fue en Italia, durante el periodo del renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se dedican a investigar seriamente estos números y penetran el halo misterioso en que se hallaban envueltos desde la antigüedad. Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars Magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545. Pero ¿Cómo surge la idea de usar estos números? ¿Porqué no aparecieron antes? ¿Quién era Cardano? Trataremos de contestar a estas interrogantes remontándonos a los orígenes del álgebra.

Podemos decir que los números complejos aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar. Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo la ecuación:

x2 ? x?5 ? 0

no tiene soluciones reales. Si empleamos la conocida fórmula de resolución de una ecuación de segundo grado, nos encontraremos con la raíz cuadrada de -19. Los matemáticos griegos, que conocían los métodos geométricos de resolución, consideraban este tipo de problemas irresolubles. Es completamente incorrecto decir que la aparición de los números complejos se debido a la imposibilidad de resolver todas las

ecuaciones cuadráticas, pues los matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello. La motivación real de entenderlos, viene de las ecuaciones cúbicas, como veremos mas adelante. Recordemos que los griegos rechazaron el uso de los números negativos, por la falta de un equivalente dentro de la geometría. Para ellos, todo número representaba la longitud de un segmento o el área de una figura plana. La geometría era considerada entonces como el corazón de toda la matemática y esto, por supuesto, retardó considerablemente el desarrollo de los sistemas numéricos. Con el surgimiento del álgebra durante la Edad Media, el concepto de número se amplía, para poder manipular las ecuaciones, desligadas ya de la influencia dominante de la geometría. El algebrista se va a mover en un mundo pleno de libertad e imaginación donde las ecuaciones y fórmulas serán el semillero de las grandes ideas que darían impulso a la matemática. Los números, de ahora en adelante, quedarán libres de sus equivalentes geométricos. La palabra álgebra se deriva del vocablo árabe al-jabr que quiere decir restaurar. ¿Qué tiene esto que ver con la matemática? Cuando se tiene una ecuación, como por ejemplo: 2x + 3 = 5 entonces quitamos y ponemos símbolos a los lados para resolverla. Esta es la forma de operar del algebrista. Pero no solo los algebristas operan: también los doctores lo hacen. En la medicina antigua el término álgebra se usaba para designar las operaciones de los huesos. Así pues, un algebrista era un matemático o bien un doctor que colocaba los huesos partidos en su sitio. Álgebra es el arte de restituir a su lugar los huesos dislocados, según el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española. Dejemos los huesos por el momento y volvamos a la médula del problema. ¿Quienes descubrieron el álgebra? Se puede considerar al matemático árabe Al-Khwarizmi como el padre de esta disciplina. El fue el autor de un libro, llamado al-jabr, publicado en el año 830 d.c., primer libro de álgebra, de gran influencia en toda Europa, donde se recogían todas las técnicas conocidas hasta entonces sobre la resolución de ecuaciones de primero y segundo grado. Dichas técnicas habían sido expuestas con anterioridad, en una obra del matemático hindú Brahmagupta en el 628 d.c. Como se sabe, los matemáticos árabes se encargaron de difundir las matemáticas de los griegos, mesopotámicos e hindúes en toda Europa, a través de España. 1.1 Cardano La vida del matemático italiano Girolamo Cardano esta llena de historias, situaciones y aventuras tan interesantes que bien pueden servir de guión para una película o novela. Fue un destacado matemático, así como también médico, filósofo, astrónomo y teólogo. Su padre, Fazio Cardano, fue un abogado que trabajaba en la ciudad de Milán y se dedicaba a las matemáticas en sus horas libres. Tuvo cierta destreza en la ciencia de los números pues enseñó geometría en la Universidad de Pavia y Milán. Fazio fue asesor del célebre pintor Leonardo da Vinci en cuestiones de geometría. Cuando Cardano estaba a punto de nacer, una epidemia de peste azotó a Milán y sus padres se trasladaron a Pavia. Alli nació Girolamo el 24 de Septiembre de 1501, como hijo ilegítimo de Fazio y Chiara Micheria. Cardano entra a la Universidad de Pavia a estudiar medicina, en contra del deseo de su padre de seguir la profesión de abogado. Más tarde se cambia a la Universidad de Padua, donde se gradúa de médico. Después de recibir el titulo de Doctor en Medicina se dedica a ejercer su profesión, pero también al juego de cartas, dados y ajedrez. Cardano fue un jugador empedernido durante toda su vida. Su adicción por el juego lo llevó a estudiar y desarrollar muchas técnicas de la teoría de las probabilidades y las aplicó en forma bastante exitosa logrando hacer una fortuna como jugador. El lado oscuro de esta realidad feliz, es que su vida fue muy atormentada por las vicisitudes del juego, que lo llevó por los senderos más bajos y ruines de la vida. En una ocasión alguien le hizo trampas y entonces sacó una navaja y le cortó la cara a su oponente. Su fama de buen médico, por otra parte, fue creciendo como la espuma, debido a sus curaciones casi milagrosas y su profundo conocimiento en la diagnosis de las enfermedades. Sin embargo el Colegio de Médicos de Milán no quería recibirlo en su seno, debido a su carácter arisco y pendenciero y además por

ser un hijo natural. Después de varios intentos de ingreso, por parte de Cardano, finalmente fue aceptado en 1537. Una vez estabilizada su posición, le quedaba tiempo libre para dedicarse seriamente a las matemáticas.

En el año de 1539, Cardano conoce al célebre matemático Tartaglia, lo cual fue un hecho crucial en su vida, pues desde ese momento comienza a interesarse en las ecuaciones cúbicas. Tartaglia era un matemático de reconocida fama y prestigio, entre otras cosas, por haber ganado concursos sobre la resolución de ecuaciones, usando métodos secretos. Aparte de poseer estas habilidades, Tartaglia fue un experto en el estudio de las trayectorias de los proyectiles. El descubrió que la máxima trayectoria se obtiene cuando el ángulo de disparo es igual a 45?. También se debe a Tartaglia la primera traducción de los Elementos de Euclides al italiano.

Tartaglia le enseño a Cardano sus trucos y técnicas secretas para el manejo de las ecuaciones, no sin antes hacerle prestar un juramento de no revelar a nadie dichos secretos. En 1545, Cardano publica su obra Ars Magna, donde expone los métodos para la resolución de la ecuación cúbica. Tartaglia monta en cólera y acusa a Cardano de traidor y deshonesto, por haber faltado a su juramento.

Sin embargo, un joven matemático de apenas 18 de edad, Lodovico Ferrari, quien a la sazón era sirviente de Cardano, sale en defensa de su protector diciendo que el estuvo presente la noche de la reunión entre los dos matemáticos y no hubo ningún juramento. En realidad, la fórmula para resolver la ecuación cúbica, había sido descubierta mucho antes por el matemático Scipione del Ferro, quien publicó un pequeño libro, que en alguna oportunidad fue consultado por Cardano. Luego Cardano quedaba libre de toda culpa.

En su Ars Magna, Cardano reconoce a Al-Khwarizmi como el padre del álgebra. El libro, que vio a la luz varias ediciones, fue un clásico de la matemática y contribuyó de manera decisiva al desarrollo del álgebra. En aquella obra aparecen muchos resultados originales, como el método para eliminar la x2 en una ecuación cúbica, conocido como el método de Cardano. También desarrolló un método para resolver ecuaciones diferenciales, llamado método de las proporcionales.

Cardano hizo uso por vez primera de las raíces cuadradas de números negativos y consideró la posibilidad de usar los números imaginarios aunque con mucha cautela. En una nueva edición de su libro, en 1570, Cardano se adentra un poco más en el misterio de estos números y da algunas reglas para manipularlos.

Por ejemplo, la expresión: ?15??5? ?15?? 25???15?? 40 ?5? Fueron entre las soluciones a la ecuación cúbica en el libro de Cardano donde se dio el nacimiento de los números complejos, como algo digno de ser estudiado por los matemáticos. En particular, para la ecuación:

x3 ? 3px?2q (1.1) Cardano nos da lo fórmula: x ? 3 q ? q2 ? p3 ? 3 q ? q2 ? p3 (1.2) Conocida como la Fórmula de Scipione del Ferro-Tartaglia-Cardano.

1.3. Bombelli

La matemática ha evolucionado en el transcurso del tiempo de la forma más inesperada. De repente alguien hace una pequeña observación sobre un detalle, inadvertido para la gran mayoría, en alguna fórmula o relación muy conocida, y esto puede tener consecuencias imprevisibles, planteando nuevas situaciones, generando un mar de preguntas sin respuestas e inclusive, abriendo nuevas áreas de estudio. Tal es el caso de las dudas de Rafael Bombelli, sobre la ecuación cúbica. Por ejemplo, la ecuación:

x3 = 6x + 6

se resuelve usando la fórmula (1.2)

x ? 3 3? 9?8 ? 3 6? 9?8 ? 3 3?1? 3 3?1

La solución parece un poco compleja, sin embargo, se sabe por métodos de cálculo que la ecuación tiene una raíz real entre 2 y 3, la cual es, aproximadamente x ? 2.8473. Nos preguntamos entonces ¿Cómo es posible que una expresión de números complejos nos de un resultado real? ¿Quién era Bombelli? ¿Hasta cuando iría a durar la prolongada infancia de los números complejos en las manos de los algebristas italianos?

Rafael Bombelli nace en enero de 1526 en Bolonia, siendo su padre Antonio Mazzoli, un comerciante en lanas. Bombelli no recibió una educación formal como Cardano, pero desde muy joven sintió una atracción muy especial hacia las matemáticas. Recibió las primeras lecciones de matemáticas de Pier Francesco Clementi, un arquitecto e ingeniero. Por esta razón, Bombelli se dedica a la ingeniería, siguiendo a su maestro en las obras de ingeniería hidráulica que realizaba por toda Italia, secando pantanos y reparando puentes.

Bombelli conocía bien los trabajos sobre ecuaciones cúbicas de Cardano, pues había leído el Ars Magna. Consideraba aquel libro como el más interesante de todos los escritos sobre álgebra, hasta el momento. Sin embargo pensó que algunas cosas estaban todavía algo confusas y que se podían hacer mucho más comprensibles para el gran público.

Estando en la región de Val de Chiana, haciendo un trabajo de agrimensuría, debió pasar muchos ratos de ocio, pues las obras fueron suspendidas debido a una reclamación. Para utilizar este tiempo libre, Bombelli comienza a escribir un libro de álgebra en 1557. La idea era bastante ambiciosa: publicar una obra monumental en cinco volúmenes en donde se trataran tópicos de aritmética, resolución de ecuaciones, problemas de aplicaciones y los números complejos. Lamentablemente, solo pudo completar tres volúmenes de L'Algebra, publicados en 1572, unos meses antes de su muerte.

Bombelli puede ser llamado con todo derecho, el padre de los números complejos, pues fue el primero que a?b ?1. Hemos visto que en la desarrolló el álgebra formal para trabajar con las expresiones de la forma fórmula de del Ferro-Tartaglia-Cardano, aparecen dos sumandos del tipo: 3 q ? q2 ? p3 la idea de Bombelli, es reducir dicho número a uno del tipo a?b ?1, para lo cual debe resolver el problema de como sumar y multiplicar dichas expresiones. El número a?b ?1 debe ser elevado al cubo, para obtener una expresión del tipo 3 c?d ?1 . Usando ahora los números complejos, se pueden obtener soluciones reales de la ecuación cúbica. En el libro L'Algebra, aparecen por vez primera el cálculo con los números negativos, así como también las reglas para sumar y multiplicar dichos números. El gran aporte de ?1 como un número. A manera de Bombelli al álgebra, fue el de aceptar sin reserva la existencia de ejemplo, Bombelli nos da las siguientes reglas:

?n ? ?n = -n ?n ? – ?n = n, siendo n un número natural.

1.4. Números Imaginarios

A pesar de los brillantes trabajos de Bombelli, sobre el empleo de los números complejos en la resolución de la cúbica, los matemáticos de entonces se negaban aceptarlos. Estos eran considerados aún como fantasmas de otro mundo, por carecer de representación real, y fueron llamados números imposibles o imaginarios. Durante el siglo XVII, debido quizás a la aparición del cálculo infinitesimal y la geometría analítica, los números complejos fueron relegados al olvido por los matemáticos. Algunos genios como Newton, Leibnitz y Descartes nunca los comprendieron.

En 1673 el matemático inglés J.Wallis dio la primera interpretación geométrica de los complejos. Su modelo sigue los siguientes pasos:

1) Sea la ecuación de segundo grado:

x2 + 2bx + c2 = 0

luego las raíces vienen dadas por: x ? ?b? b2 ?c2

2) Si b? c, las raíces son reales y pueden ser representadas por un par de puntos P1 y P2 sobre los números reales, de acuerdo a la construcción siguiente: 3) Si b< c, entonces las soluciones son números complejos. ¿Cómo razonaba Wallis en este caso? Pues bien, siguiendo el mismo plan, los puntos P1 y P2 se hallan en el extremo de el segmento b, y como éste es más corto que c, los extremos no pueden tocar la recta real. Por lo tanto se ha llegado a una gran idea: los puntos P1 y P2 están por encima de la recta real. Ver la figura: Como vemos, la representación de Wallis no es igual a la representación moderna, pero fue una buena aproximación, sin duda alguna. La idea correcta de la representación geométrica de un número complejo z = a + bi en el plano cartesiano, fue descubierta por dos matemáticos aficionados, en forma independiente: el

danés C. Wessel y posteriormente el suizo J. Argand, en una obra publicada en 1806. A partir de entonces dicha representación se conoce con el nombre de Diagrama de Argand, y se muestra en la siguiente figura: Con esta representación a la mano, los números complejos dejaron de ser algo misterioso e imposible, pero por razones de tipo histórico, se les sigue llamando imaginarios. En 1831 el matemático alemán Carl F. Gauss publica un trabajo en donde expone con toda claridad las propiedades de los números de la forma a + bi, llamados ahora Números de Gauss, y la representación geométrica de los mismos. Gracias a la autoridad indiscutible de Gauss, entraron por la puerta grande del templo de las matemáticas y ya nadie los podrá sacar del lugar preponderante que ocupan dentro del álgebra. Desde ese momento se inicia un desarrollo sostenido de la teoría de las funciones complejas, de la mano de grandes matemáticos como Hamilton y Cayley, quienes crearon los sistemas hipercomplejos, Cauchy, quien sienta las bases del cálculo diferencial e integral de las funciones complejas y finalmente el matemático alemán B. Riemann, quien demostró todo el poder que encierran los números complejos en el estudio de la geometría y amplió los horizontes de la matemática, creando una nueva ciencia llamada la topología.

2. Álgebra de los Números Complejos

En esta segunda parte estudiaremos el Sistema de los Números Complejos, desde el punto de vista del álgebra. Nos interesan las propiedades más importantes de las operaciones de suma y producto. Veremos la representación geométrica de los números complejos, así como también la forma polar o trigonométrica de los mismos. Usando la calculadora se pueden realizar operaciones con estos números en forma rápida y eficiente. Por lo tanto tenemos otra oportunidad para introducir la calculadora en el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática.

2.1 Definición de número complejo

Un número Complejo es una expresión del tipo:

z ? a?bi

donde a y b son números reales e i es un símbolo, cuyo significado será aclarado más adelante.

Este tipo de números, algo misteriosos, por el momento, aparecen entre las soluciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita. Por ejemplo la ecuación:

x2 + x + 1 = 0

no tiene raíces reales. Al tratar de aplicar la formula que da la solución de una ecuación de segundo grado, nos encontramos con la expresión:

x ? ? ?

?1? ?3 2 x ? la cual no tiene sentido en los números reales. No se puede tener una raíz cuadrada de un número negativo. Sin embargo, si usamos propiedades de los radicales se obtiene:

?3 ? 3? ?1

Luego la solución de este problema es un número algo misterioso de la forma: 3 2 1 2 ?1 ¿Que significado se le puede dar a una raíz cuadrada de un número negativo? ¿Porque no dejar de lado esta dificultad y aceptar que este tipo de ecuación no tiene solución? La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, incluyendo estas cuyas soluciones nos dan este tipo extraño de números, nos motiva a crear sistema numérico ampliado, con propiedades similares a las de los números reales. Dentro de este contexto se acepta el símbolo ?1 como una entidad matemática nueva. Veamos a continuación como se construyen estos nuevos números.

Comenzaremos por introducir un nuevo número o símbolo, denotado por i, el cual será llamado la unidad imaginaria y que cumple con la condición

i2 = -1

O bien i ? ?1

Una vez hecho esto, construimos un conjunto C llamado Números Complejos cuyos elementos son combinaciones de la forma:

z ? a?bi

donde a y b son números reales.

Vemos entonces que todo número complejo consta de dos partes, o componentes, llamadas: parte real y parte imaginaria, dadas por a y b respectivamente.

Así pues, tenemos Re(z) = a e Im(z) = b.

Ejemplo: El siguiente es un número complejo:

z ? 2 ? 3i Su parte real es 2 y su parte imaginaria es 3 . Ejemplo: El siguiente es un número complejo:

z=8

Cuando no hay parte imaginaria, como en este caso, se dice que el complejo es real. Entonces los Números Reales (R) forman parte del conjunto de los Números Complejos.

Ejemplo: El siguiente es un número complejo:

z = 12i Cuando un número complejo no tiene parte real, como en el presente caso, se dice que es un imaginario puro. ¿Cuando dos números complejos son iguales? Dos números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di son iguales si y solo sí a = c y b = d. En otras palabras, dos números complejos son iguales cuando sus componentes respectivas, reales e imaginarias, son iguales. 2.2 Suma de números Complejos Ahora nos dedicaremos al estudio de las propiedades de los números complejos relacionadas con la suma de ellos. La operación suma de números complejos esta basada en la suma de números reales. Cada complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Para sumar complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado, como números reales. Al hacer esto nos encontramos de nuevo con otro número complejo. Más precisamente: Sean z1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2i dos números complejos. Entonces la suma de z1 con z2, denotada por z1 + z2es el número complejo: z1 + z2= (a1 + a2) + (b1 + b2)i Es decir, para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes. Ejemplo: Para sumar z1 = 3 + 2i con z2 = -8 + 4i hacemos: z1 + z2 = (3 + 2i) + (-8 + 4i) = (3 – 8) + (2 + 4)i z1 + z2 = -5 + 6i Resta de números complejos: La resta o diferencia de dos números complejos se realiza restando cada parte por separado. Más precisamente: Sean z ? a?bi y w ? c?di dos números complejos, entonces la diferencia o resta entre z y w viene dada por: z- w = (a – c) + (b – d)i Es decir, para restar dos números complejos se restan sus componentes correspondientes. Ejemplo: Sean z = 4 + 7i y w = 2 + 3i. Entonces: z -w = (4 – 2) + (7 – 3)i = 2 + 4i Estas operaciones de suma y resta satisfacen las siguientes propiedades generales: 1. Propiedad de Cerradura para la suma. Si z y w son dos números complejos entonces tanto z + w como z – w son números complejos. 2. Propiedad asociativa. Si z, w y u son números complejos, entonces se tiene: z + (w + u) = (z +w) + u 3. Propiedad Conmutativa. Si z y u son números complejos, se tiene: z+u=u+z

d) ? ? i??? ? i? ? ??? ? f) ? ? i??? ? i? ?3 13 ? ?? 1 ? i??? ? i??

4. Propiedad del elemento neutro. El número complejo 0 = 0 + 0i, es el elemento neutro para la suma. En efecto, si z ? a?bi es cualquier número complejo se tiene: z + 0 = (a + bi) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi = z

de la misma forma, se puede probar que 0 + z = z .

5. Propiedad del opuesto. Si z ? a?bi es un número complejo, el opuesto de este es -z = -a – bi, el cual es otro número complejo. Nótese que el opuesto satisface:

z + (-z) = (-z) + z = 0

Usando todas estas propiedades, es posible calcular expresiones complicadas en donde aparezcan sumas y restas de números complejos

Ejemplo: Calcule el valor de z donde:

z = (5 + 12i) + [(10 – 8i) + [(6 + 3i) – (7 + 2i)]]

Para simplificar esta expresión usamos las propiedades estudiadas. Así pues:

z = (5 + 12i) + [(10 – 8i) + (-1 + i)] = (5 + 12i) + (9 – 7i) = 14 + 5i Ejercicios

1. Efectuar las siguientes sumas y restas de números complejos:

a) (5 + 15i) + (20-2i) b) (10 + 10i) + (2 + 8i) c) ( 3 + 2i) + (2 + 3 i) 5 ? ?2 2 ? 3 ? ?3 3 ? ?1 ?3 e) ? ? ? 3 ? 2 5i ? 2 ? i ? ? 1 2 ? ? 2 4 ? ?2 8 ? 3 ? ?3 3 ? ?1 ?3 g) 5 + (2 – 3i ) h) 6i + (5 + 16i) i) 5i + (0 + 9i) j) 6i – 87i k) (-10 -8i) + (-1 – i)

2. Hallar el resultado de las siguientes operaciones:

a) (3 + 2i) + [(4 – 5i) – (5 + i)] b) [(1 – 9i) + (7 – 2i)] = (4 + 6i) c) 6 ?? 5 ?? 8 ? ?10 5 ? ?20 ? ? i?? ?? ?5 5 ? ??20 d) [(16 – i) + (1 – 8i)] – (17 – 9i)

3. En cada caso, hallar un número complejo Z con la condición dada:

a) z + ( 3 + 2i) = 5 + 20i

z ?? ? i? ? i

b) i + ( 3 +4i) = z c) z + (1 +i) = 18 + 6i d) 1 ? 2 ? ?1 ?2 2.3 Producto de números complejos

Sean z = a + bi y w = c + di definimos su producto, mediante la formula:

z · w = (ac – bd) + (ad + bc)i

Aunque parezca un poco complicada, esta expresión para el producto es consecuencia de las reglas de multiplicación para los números reales. En efecto, haciendo la multiplicación de z por w como si se tratara de expresiones algebraicas se obtiene:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bic + bdi2 = ac – bd + (ad + bc)i

Hemos usado la propiedad distributiva para la multiplicación, la relación i2 = -1 y un reagrupamiento de los términos. La multiplicación puede hacerse de dos maneras; o bien se aplica directamente la formula, o bien se multiplican los complejos como expresiones algebraicas, teniendo cuidado de hacer al final la sustitución i2 = -1.

Ejemplo: Sean z = 6 + 2i y w = 3 + 5i. Para hallar z · w hacemos:

z · w = (6·3 – 2·5) + (6·5 + 2·3) i = 8 + 36i

Ejemplo: Sean z = 8 y w = 3+2i. Entonces para hallar el producto de ambos hacemos:

z ·w = 8(3 + 2i) = 24 + 16i

Vemos entonces, que para multiplicar un número real por un número complejo, se multiplica cada componente de este último por el número real.

Propiedades de la multiplicación. La multiplicación de números complejos satisface las siguientes propiedades.

1. Propiedad de Cerradura para el producto. Si z y w son dos números complejos entonces z · w es un número complejo.

2. Propiedad asociativa. Si z, w y u son números complejos, entonces se tiene:

z · (w · u) = (z· w) · u

3. Propiedad Conmutativa. Si z y u son números complejos, se tiene:

z·u = u · z

4. Propiedad del elemento neutro. El número complejo 1, es el elemento neutro para el producto. En efecto, si z = a + bi es cualquier número complejo se tiene:

z·1 = (a + bi)·1 = (a·1) + (b·1)i = a + bi = z

de la misma forma, se puede probar que 1· z = z

5. Propiedad del inverso. Si z = a + bi es un número complejo, distinto de cero, el inverso de z es otro número complejo, denotado por z-1, el cual satisface:

z · z-1 = z-1· z = 1

Mas adelante veremos como se calcula z-1.

6. Propiedad distributiva. Si z, w y u son números complejos se tienen las relaciones:

z · (w + u) = z · w + z · u (z +w) · u= z · u + w · u El conjugado de z:

Definición: Si z = a + bi es un número complejo, entonces el Conjugado de z, denotado por z , es otro número complejo definido por:

z = a – bi

Ejemplo: Si z = 2 + 9i, su conjugado es z = 2 – 9i

Ejemplo: Si z = 7 – 9i, su conjugado es z = 7 + 9i.

El Módulo de z:

Definición: Si z = a + bi es un número complejo, el módulo de z es el número real: |z| = a2 ?b2 Observación: Se puede expresar el modulo de z en función de el mismo y de su conjugado, usando la relación: |z| = zz Se puede probar que dicha relación se verifica para todo z. En efecto, pongamos z = a + bi. Luego:

zz = (a + bi)(a – bi) = (a2 + b2) + (ab – ba)i = a2 + b2

de donde: zz = a2 ?b2 = |z| Ejemplo: Sea z = 3 + 4i, para hallar su modulo hacemos: |z| = 32 ?42 = 9?16 = 25 = 5 Algunas propiedades muy importantes del módulo se dan a continuación. Supondremos que z, w y u son números complejos: 1. |z| ?0 2. |z| = 0 si y solo sí z = 0 3. |z +w| ? |z| + |w| 4. |z · w| = |z|·|w|

? 3? 4i 2?3i ?

5. |z-1| = |z|-1

2.4 División de números complejos

¿Cómo se dividen dos números complejos? El caso más sencillo se presenta al dividir un complejo cualquiera entre un número real. Por ejemplo:

? ? i ? ? i 4 4 4 4 2 Si z y w son dos números complejos, y w ? 0, podemos hacer la división de z entre w de la forma siguiente: z w w w z w z?w 2 w ? ? Tenemos entonces la regla para dividir números complejos:

Para hacer la división de dos números complejos z y w, primero se multiplica z por el conjugado de w y este resultado se divide entre el módulo al cuadrado de w, el cual es un número real.

Si hacemos z = a + bi y w = c + di, tendremos: z w ?ac?bd???bc?ad?i a2 ?b2 ? Ejemplo: Sea z = 3 + 4i y w = 2 + 3i. Entonces: i z w 18 1 11 11 ? 18?i 11 ? ? 2?3i 2?3i ?6?12????9?8?i 22 ?32 ?

? Ejercicios

1. Sean los números complejos z1 = 1 + 2i, z2 = 5 + 3i y z3 = 4 + i. Efectuar las siguientes operaciones: a) z1·z2 b) z2·z3 c) z1·z2·z3 d) z1/ z2 d) (z1 + z2) = (z3 – z2) e) 5z2 – 6z3

2. Calcular: a) (3 + 2i)2 – (4 + 2i) b) [ (5 + 2i) + (4 – i)] =(6 + 5i) c) ?5?2i??6