El desarrollo del pensamiento lógico-matemático (página 2)

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I. Las orientaciones fundamentales

9 Las competencias a desarrollar En este contexto orientador de la acción didáctica en el au- la, se plantea como meta el desarrollo de las siguientes compe- tencias en cada alumno y docente: ? Desarrolla procesos lógicos ? Elabora y aplica modelos ? Resuelve problemas matemáticos ? Comunica ideas matemáticas ? Posee sentido numérico ? Posee sentido geométrico y de la medida ? Sabe procesar e interpretar información ? Sabe utilizar expresiones algebraicas y funcionales (desde la Tercera Etapa de EB)

Algunas observaciones acerca del desarrollo de las competencias Como puede observarse, las cuatro primeras competencias -Desarrollaprocesoslógicos,Elaborayaplicamodelos,Resuel- ve problemas matemáticos, Comunica ideas matemáticas- son de carácter general y aplicables a la construcción de cualquier contenido matemático en el aula. Encambio,lascuatroúltimas-Poseesentidonumérico,Po- see sentido geométrico y de la medida, Sabe procesar e inter- pretar información, Sabe utilizar expresiones algebraicas y fun- cionales- están orientadas hacia contenidos de áreas explícitas: Aritmética,GeometríayMedida,EstadísticayProbabilidad,Ál- gebra y Análisis, respectivamente. En consecuencia, el desarrollo de las cuatro primeras com- petencias debe intentarse habitualmente durante el trabajo de construcción de los conocimientos matemáticos en las áreas re- feridas. No puede hablarse de desarrollar, por ejemplo, la co- municación de ideas matemáticas, si no precisamos el campo -Aritmética, Álgebra,…- donde se ubican tales ideas, lo que nos remitirá a las formas precisas de comunicación –lenguaje, sím- bolos, reglas de interpretación, etc.- propias de tal campo. Pero, por otro lado, todo lo anterior signi?ca a su vez que el desarrollo de cualquiera de las cuatro últimas competencias

Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático

10 adquiere su sentido más pleno sólo cuando está sustentado si- multáneamenteconeldesarrollodelascuatrocompetenciasini- ciales. Así, por ejemplo, no puede plantearse la adquisición del sentidogeométricosinoporlavíadeldesarrollodeprocesosló- gicosenesaárea,delaelaboraciónyaplicacióndemodelosgeo- métricos, de la resolución de problemas geométricos, y de la competencia para comunicar ideas matemáticas por medio del lenguaje geométrico. Por esta razón, al realizar alguna actividad matemática con los alumnos, realmente no puede pensarse en que vamos a es- tar desarrollando una sola competencia. Probablemente –aun- que quizá no lo percibamos de manera explícita-, la actividad hará referencia, simultáneamente, a más de una y a varios indi- cadores. Así, por ejemplo, si los alumnos están resolviendo un problema que implica el uso de fracciones, las competencias en juego serían: ? la 5ª -Posee sentido numérico-, por cuanto deben selec- cionar la representación numérica más adecuada para las fracciones, así como la operación más pertinente, y rea- lizarla correctamente. ? la3ª-Resuelveproblemasmatemáticos-,contodoslosin- dicadores pertinentes. ? la 1ª -Desarrolla procesos lógicos-, por cuanto los alum- nos deben aplicarse con la observación, el establecimien- to de semejanzas y diferencias, el análisis de diversas al- ternativas, la toma de decisiones… ? la 2ª -Elabora y aplica modelos-, ya que la resolución de problemas conlleva de suyo la búsqueda y aplicación de modelos pertinentes (aritméticos, en este caso). ? la 4ª -Comunica ideas matemáticas-, en la medida en que deben aportar ideas para la resolución del problema, ex- plicar cómo lo plantearon y resolvieron, darle forma es- crita a su resolución…

De más está decir que la evaluación del desempeño de los alumnos en cada actividad debe centrarse en el grado de pre- sencia de los indicadores correspondientes a las competencias en juego. Así, en el ejemplo anterior, la evaluación debería re- ferirse a las competencias e indicadores citados.

Por otro lado, los contenidos matemáticos a los que hacen referencia las cuatro últimas competencias tampoco pueden pensarse en forma de compartimentos estancos, sin comunica- ciónentreellos.Puedeexistiralgúnmododeinterrelación.Así, un problema matemático cuyo proceso de resolución implique la búsqueda y aplicación de un modelo aritmético, puede estar referido a objetos geométricos y puede permitir el uso de he- rramientas estadísticas para la presentación de ciertos datos co- nexos como, por ejemplo, los resultados de la evaluación de los alumnos en esa actividad. Esto signi?ca, entre otras cosas, que el tratamiento de cada tópico matemático en el aula -tratamiento llevado a cabo de tal forma que genere el desarrollo de todas las competencias im- plicadas- no puede pensarse sólo como algo puntual, ubicado en un único momento del devenir escolar, y que luego se aban- dona y se deja a merced de la memoria del alumno, sino que de- be ser algo a lo que se regrese -para integrarlo con lo que sigue- a medida que se avanza en nuevos tópicos. 11 I. Las orientaciones fundamentales

12 CAPÍTULO EL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS La Sustracción Detodolodichoanteriormentevamosaquedarnosconuna conclusión: en lo que sigue, para mostrar el desarrollo de las competencias, no vamos a tomarlas de una en una y hacer ver cómo ese desarrollo es posible. Más bien vamos a partir de dos contenidos matemáticos de los programas escolares -el tema de la sustracción y el de las medidas estadísticas de tendencia cen- tral-parahacerunapresentaciónmatemáticadelosmismosque, a su vez, permita un tratamiento didáctico capaz de generar el logro de competencias propias del Eje. Porque ocurre que no toda forma de presentar y tratar un tema genera siempre y sin más, el desarrollo de las competencias que nos interesan. Y va- mos a insistir en el tratamiento matemático de cada contenido, porque ahí está la fuente del éxito de este desarrollo. Posteriormente, una vez culminada la propuesta matemáti- caydidácticacorrespondienteacadaejemplo,haremosunaná- lisis de las competencias susceptibles de ser desarrolladas por la vía expuesta.

Actividad 1: Construir y aplicar el concepto y los procedimientos de la sustracción La operación de sustracción como modelo de ciertas situaciones El contenido conceptual de la operación de sustracción -co- mo el de las demás operaciones aritméticas- puede abordarse desde la perspectiva del modelaje. Es decir, plantearse de qué si- tuaciones de la vida corriente es modelo la operación de restar. Esta forma de abordar el tema es muy importante por cuan- to, a la hora de resolver un problema de la vida diaria o de cual- quier otra disciplina, seleccionar la operación que es pertinente para la ocasión es más importante –y aparentemente más difícil, 2

II. El desarrollo de las competencias

13 puestodostenemoslaexperienciadelosniñospreguntando:¿es- te problema es de sumar, restar…?- que saber realizar correcta- mentelaoperaciónencuestión.Estaúltimaactividadcorrespon- dealniveldelsabermatemático,mientrasquelaoportunaselección de la operación se ubica en el nivel del saber tecnológico. Volviendo, entonces, a la cuestión inicial, podemos obser- var que la resta es modelo de las situaciones de: ? Quitar: ¿Cuánto queda después de quitar, perder, regalar, pagar, gastar…tal cantidad? ? Faltar para: ¿Cuánto falta para tener, llegar a, alcanzar, conseguir… tal cantidad? ? Comparar dos cantidades: ¿En cuántas unidades es mayor o menor esta cantidad respecto a esta otra? (No ¿cuántas veces es mayor?, pregunta que corresponde a la opera- ción de división).

Esto signi?ca, en primer lugar, que hay que ir presentando a losniños–progresivamenteperosinfalta-situacionesdelostres tipos planteados. Por ejemplo, los niños tendrán que ser capa- ces de resolver pequeños problemas al estilo de los siguientes: ? Pedro tenía 9 metras y le prestó 5 a José. ¿Cuántas me- tras tiene ahora Pedro? ? Olintotiene13carritos.Alperder4,lequedantantosco- mo a Rafael. ¿Cuántos carritos tiene Rafael? ? Silvia tiene 16 creyones y Nancy tiene 7. ¿Cuántos cre- yones necesita Nancy para tener tantos como Silvia? ? Ana tarda 20 minutos en llegar a la escuela y Mayra tar- da9minutosmenosqueAna.¿CuántosminutostardaMay- ra en llegar a la escuela? ? Hoy es 9 de Mayo y mi cumpleaños es el 31 de Mayo. ¿Cuántos días faltan para mi cumpleaños? ? Juan nació cuando su hermano Andrés tenía 10 años. An- drés tiene ahora 21 años. ¿Cuántos años tiene Juan? ? Al ?nalizar el curso, Aurelio ha ocupado 57 páginas de su cuaderno, mientras que Mariela ha completado el suyo de 80 páginas. ¿Cuántas páginas más ha llenado Mariela?

Cabe observar que los docentes tendrán que estar atentos para captar cuándo los niños comprenden los enunciados y en-

Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático

14 tiendenverdaderamentecadasituaciónpropuesta,yaquenoto- dos los enunciados tienen la misma carga semántica. Esto pue- de implicar que, incluso, algunos de estos pequeños problemas tendránqueserpropuestos–yconcantidadesmayoresenelmi- nuendo y sustraendo- en grados posteriores al grado en que los niños empiezan a trabajar con la resta, sin que esto signi?que nada anómalo. Pero lo importante es captar que hay que variar el formato de las pequeñas situaciones-problema para que se pueda hablar de un verdadero saber –matemático y tecnológico- referido al concepto de la resta. Tenemos que insistir en que esta propues- ta didáctica no viene del aire, sino que se deriva directamente de entender el concepto matemático de la operación de restar como modelo de diversas situaciones de la vida diaria. Obsér- vese cómo el concepto matemático incide en la propuesta ins- truccional que se debe llevar al aula…

Empezar con la relación “menos que” Bien. Si lo anterior representa el adónde se debe llegar en las actividades de restar, podemos ?jarnos ahora en cómo em- pezar el tema en el aula. Una forma de hacerlo puede ser plan– teandoalosniñossituacionesconcretasenlasquepuedanapre- ciar la relación menos que al comparar dos cantidades. Por ejemplo: ? Si tienes 8 metras y se te pierden 2, ¿te quedan más o me- nos metras? ? Si tienes 7 monedas de cien bolívares y gastas 3, ¿te que- dan más o menos monedas? ? Si tienes 3 lazos y necesitas tener 10, ¿tienes menos lazos que los que necesitas?; ¿te faltan menos de 10 lazos? ? Si Berta tiene 9 años y Rosaura 7, ¿quién de las dos tiene menos años?

Los procedimientos para efectuar la resta Posteriormente habrá que plantear situaciones que lleven al modelo matemático de la resta y acercarse a los procedimien- tos para resolverlas, es decir, para efectuar las restas. He aquí algunos.

II. El desarrollo de las competencias

15 P1 – Con objetos concretos Los primeros pasos –como en todas las operaciones aritmé- ticas- hay que darlos con objetos concretos: chapas, ?chas, granos, piedras, dedos… En las situaciones de quitar, podemos proceder colocando sobre la mesa tantas unidades como indica el minuendo, y reti- rando después tantas como expresa el sustraendo. El conteo de lo que queda es la diferencia. En las situaciones de faltar para y de comparar dos cantidades, pueden colocarse ambos grupos de unidades -del minuendo y del sustraendo- sobre la mesa, establecer una correspondencia uno a uno entre ambos grupos hasta donde alcance, ir retiran- do progresivamente esos pares correspondientes, y contar las unidades restantes del grupo del minuendo. Un signo de ma- yor madurez en el niño puede venir dado por el conteo desde el número menor hasta el mayor, o desde el mayor hasta el me- nor. El uso de los dedos por parte de los niños parece muy con- veniente. Estos ejercicios son, ante todo, de resolución oral; la expre- sión escrita puede aparecer más tarde. Del mismo modo, la ter- minología –minuendo, sustraendo, diferencia, resta, sustrac- ción, igual a- debe introducirse poco a poco, a medida que el niño vaya entendiendo lo que hace y se vea en la necesidad de llamar a cada cosa con algún nombre.

P2 – Con billetes En el camino hacia las expresiones escritas habituales de la resta (horizontal: minuendo – sustraendo = diferencia; vertical: minuendo,sustraendo,raya,diferencia)puedeutilizarseprevia- mente como recurso concreto un juego de billetes con todas las denominaciones del sistema decimal: 1, 10, 100, 1.000, etc. El uso de este recurso tiene la ventaja -para todas las operaciones aritméticas- de permitir a los niños una mejor comprensión del valor de posición y de los algoritmos escritos. Por ejemplo, si los niños enfrentan una situación en la que hay que restar “853 menos 541”, podemos designar a tres niños del salón con las letras A, B y C, a quienes haremos entrega de las centenas, decenas y unidades, respectivamente, representa- das en el número 853. Los propios alumnos irán indicando cuántosbilletesde100ledaremosaA(8),cuántosde10aB(5), y cuántos de 1 a C (3).

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16 Ahora la cuestión está en retirar de ahí la cantidad de 541. Con los propios alumnos se puede llegar a concluir que A de- be reintegrar 5 billetes de 100; B, 4 de 10; y C, 1 de 1. El con- teo de lo que queda: A con 3 billetes de 100, B con 1 de 10, y C con 2 de 1, nos permite reconstruir el número ?nal atendiendo a sus valores de posición, para llegar al resultado de 312 como ladiferenciabuscada,“loquequeda”.Obsérvesequehemosres- tado de izquierda a derecha. En el caso de las “restas con di?cultad” (nótese que su de- signación con este nombre ya supone la previsión de un posi- ble fracaso y una invitación para el desaliento del docente…) puedeprocedersedeunamanerasimilar,conlaayudadeun“ban- codebilletes”enelsalón.Porejemplo,sisetrataderestar“1.306 menos 866”, procedemos como antes -ahora con cuatro alum- nos, A, B, C, y D-. Los alumnos indicarán que A recibirá 1 bi- llete de 1.000; B, 3 de 100; C no recibirá ningún billete de 10; D, 6 de 1. Posteriormente y empezando por la derecha, D devolverá 6 billetes de 1, porque dispone de su?cientes para hacerlo. C de- bería devolver 6 billetes de 10, pero no posee ninguno. ¿Qué hacer en este caso? Ir al banco, que tiene muchos billetes de 10, pero que no regala nada, sólo cambia. Si alguien le da un bille- te de 100, el banco puede devolverle 10 billetes de 10. Esto es lo que hace B, quien se quedará con 2 billetes de 100. Y C dis- pondrá de 10 billetes de 10 (“prestados” por B, a través del ban- co), y así podrá devolver los 6 que le tocan. Pero ahora el problema lo tiene B, quien dispone de 2 bille- tes de 100 y debe devolver 8… Vuelta al banco. Esta vez, A en- tregará su único billete de 1.000 y el banco le dará 10 billetes de 100 a B, quien podrá disponer de 12 (10 “prestados” por A, a través del banco, + 2 que le quedaban). Y así podrá devolver los 8 que le corresponden. El resultado ?nal está “a la vista”: A, 0 billetes de 1.000; B, 4 (12 – 8) billetes de 100; C, 4 (10 – 6) billetes de 10; y D, 0 bi- lletes de 1 (6 – 6). En de?nitiva y agrupando estas cifras según su posición, nos queda como diferencia el número 440. ¿Dón- de está la “di?cultad” de la resta…?

P3 – Restar como quien da el vuelto También con los billetes pueden resolverse estas restas por la vía de quien da el vuelto (al estilo de los buhoneros…). Por

17 II. El desarrollo de las competencias ejemplo, la resta “1.306 menos 866” puede entenderse como “lo que falta de 866 para llegar a 1.036” o, en términos comer- ciales, “cuánto tengo que devolver si la mercancía cuesta 866 y me están pagando con 1.306”. El procedimiento de dar el vuelto puede ir más o menos así: De 866 De 870 De 900 De 1.000 De 1.300 a 870 a 900 a 1.000 a 1.300 a 1.306 van 4 billetes de 1 van 3 billetes de 10 va 1 billete de 100 van 3 billetes de 100 van 6 billetes de 1 En total tenemos que la diferencia, “lo que faltaba”, está re- sumida en 4 billetes de 100, 3 billetes de 10, y 10 billetes de 1. Como no puedo tener más de 9 billetes de cualquier denomi- nación,llevoalbancomis10billetesde1,quemeserándevuel- tos como 1 billete de 10. En de?nitiva, hay 4 billetes de 100, 4 de 10, y 0 de 1, lo que corresponde al número 440. Como puede comprobarse a la luz de estos ejemplos, el uso de los billetes no sólo refuerza la comprensión del valor de po- sición de los números, sino que sirve de soporte para entender el signi?cado de la propia operación de restar.

P4 – Mediante desplazamientos en la tabla de los cien primeros números Tambiénesposiblellevarelalgoritmodelasustracciónalte- rrenográ?co,alternativadeinterésparaaquellosdocentesyalum- nos más inclinados hacia la comprensión por esta vía. Así, por ejemplo, podemos utilizar la tabla de los cien primeros números 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

18 Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático paraefectuarrestascuyominuendonosobrepasede100-esde- cir, restas planteadas al comienzo del proceso instruccional re- ferido al tema de la sustracción-. Para ello, en primer lugar hay que detectar las regularida- des, los patrones que se hallan presentes en esta distribución de números. Por ejemplo, si se observa cada ?la, el paso de un nú- mero a su siguiente a la derecha signi?ca la adición de una uni- dad. Y si se pasa a la izquierda, la sustracción de una unidad. Análogamente para cada columna, el paso a cada número infe- rior-“bajarunpiso”-representalaadicióndeunadecena,mien- tras que el paso a cada número superior -“subir un piso”- sig- ni?ca la sustracción de una decena. De esta forma y para el caso de la resta, quitar 3 decenas a unnúmerocualquieraequivaldrávisualmenteasubirtrespisos, y quitar 5 unidades, a correrse cinco lugares hacia la izquierda. Ahora podemos plantear, por ejemplo, el ejercicio 96-35. Para efectuarlo,nosubicamosenelnúmero96;subimos3pisos(res- tamos 3 decenas) y llegamos al número 66; retrocedemos 5 lu- gares hacia la izquierda (restamos 5 unidades) y llegamos al nú- mero61,nuestrarespuesta.Evidentemente,lasustracciónpuede hacerseenordeninverso,restandoprimerolasunidades(retro- cediendo hacia la izquierda) y luego las decenas (subiendo los pisos).Esdecir,podemosrestardeizquierdaaderecha,odede- rechaaizquierda,cuestiónquepierderelevanciacuandosema- nejacorrectamenteelsigni?cadodelvalordeposicióndelasci- fras de un número. Y si se trata de una resta “con di?cultad”, tampoco hay pro- blema. Así, para restar por ejemplo, 72 – 59, podemos subir 5 pisos y llegar a 22, para retroceder ahora 9 lugares, conteo que nos llevará a la respuesta, 19, ubicada en la ?la superior.

P5 – Mediante saltos sobre la recta numérica Otra forma grá?ca de efectuar la resta – ligada a la de dar el vuelto con billetes, vista antes- es la de visualizar estos pasos su- cesivos mediante “saltos” sobre una recta numérica. Así, por ejem- plo, para efectuar la operación 1.032 – 358, procedemos a ubi- car los dos números en una recta numérica -no importa la precisión de esta ubicación- y a tratar de llegar de uno al otro – tampoco importa el orden en que se haga, del menor al mayor o viceversa- mediante saltos apropiados y sencillos: 2 40 600 30 2 358 360 400 1.000 1.030 1.032

19 II. El desarrollo de las competencias Obtener la diferencia entre 1.032 y 358 se reduce ahora a “sumar” los valores de todos los “saltos” o intervalos parciales en el orden que uno quiera y que resulte más fácil. Así, 1.032 – 358 = 600 + (40 + 30) + (2 + 2) = 674. Cabe observar que esta distribución de los saltos puede ha- cersedevariasmaneras,algustoyfacilidaddecadaalumno.Así, por ejemplo, pudo haberse hecho de esta forma: 600 2 40 30 2 358 958 960 1.000 1.030 1.032 Al igual que en el caso de la visualización planteada con la tabla de los cien primeros números, aquí se deja también cier- to margen de libertad y de toma de decisiones para que el niño seleccione la vía de resolución del ejercicio.

P6 – Por la vía del cálculo mental Pero hay algo más que decir acerca de estas formas grá?cas de efectuar la sustracción. Y es que no resulta difícil arribar, a partir de ellas, a ciertas estrategias de cálculo mental que facili- tan esta operación. Por ejemplo y en el caso de los desplaza- mientosenlatabladeloscienprimerosnúmeros,losniñospue- denllegaradetectareinferirquerestar9unidadesaunnúmero, generalmente coloca la respuesta en la ?la superior del núme- ro dado y desplazada un lugar a la derecha (41 – 9 = 32), con lo que se descubre que restar 9 equivale a restar 10 y sumar 1 (41 – 9 = 41 – 10 + 1 = 31 + 1 = 32). Y que restar 8 equivale a restar 10 y sumar 2, etc. En de?nitiva, podemos entrar en el ejercicio del cálculo mental de las restas desde el primer grado… Otro descubrimiento para el cálculo mental proviene del ti- po de restas tales como 83 – 54. Realizada sobre la tabla de los cienprimerosnúmeros,nosllevaríavisualmentehastaelnúme- ro 29. No es difícil percatarse que si se restan dos números cu- yas cifras de las unidades coincidan (83 – 53), la diferencia se ubica siempre en la columna de la derecha de la tabla (30: sólo hay que restar las decenas). A partir de estas observaciones los niños pueden inferir que restar 83 – 54 equivale a efectuar la operación en dos pasos: 83 – 54 = 83 – 53 -1 = 30 -1 = 29. Y aná- logamente, por ejemplo, 93 – 26 = 93 – 23 – 3 = 70 – 3 = 67. De manera similar, el trabajo visual con los saltos sobre la recta numérica puede estimular el cálculo mental de la sustrac-

20 Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático ción. Realmente y con su?ciente práctica, es de esperarse que se alcance el paso de lo visual a lo mental. Todos estos planteamientos nos deben llevar hacia una con- clusiónimportante:No toda la ejercitación en la sustracción -ni en las demás operaciones aritméticas- tiene que hacer- se por la vía escrita. Hay que dejar un campo amplio, bien amplio, a la ejercitación visual y, sobre todo, a la mental. Volveremos sobre este punto.

P7 – En forma escrita vertical, “quitando prestado” Llegamos –por ?n…- al terreno de las sustracciones que se presentan, o se proponen para resolver, en forma escrita vertical, por ejemplo: 9.385 – 5.105 4.015 – 3.926 600 – 599 La primera y urgente recomendación a formular es que, an- te todo, hay que observar el ejercicio propuesto, hay que “leer” los números que se restan. Así, la primera de las res- tas presenta todas las cifras del minuendo mayores que las del sustraendo, en su respectivo lugar de posición; conclusión in- mediata: la resta de las respectivas cifras puede hacerse en el or- den que se desee, de izquierda a derecha, de derecha a izquier- da,enformasalteada…Esasituaciónnosepresentaenlosotros dos ejercicios, por lo que habrá que proceder de otro modo pa- raobtenerladiferencia.Peroeneltercero,enparticular,lame- ra observación de las cantidades nos hace ver que son números seguidos y que, por tanto, su diferencia es 1, cifra que coloca- remos sin más en el lugar de las unidades… y listo. De modo que la habitual consigna de “ordena y resta” debe cambiar- se por la de “observa y resta”. A partir de la anotación anterior podemos llegar también a otraconclusión,tanimportanteyurgentecomolaanterior:Pro- poner un ejercicio de sustracción en forma escrita vertical no signi?ca que ése sea el lugar en el que necesariamente debe realizarse la resta. Ese es simplemente el lugar en el quehayquecolocarlarespuesta,ladiferencia.Perolaope- ración puede hacerse en la forma y en el lugar en el que más fácil le resulte al alumno. Así, el segundo de los ejerci- cios propuestos -resta “con di?cultad”- resulta muy sencillo si se procede por la vía visual de los “saltos” o por la vía numéri- ca equivalente de “dar el vuelto”, cálculos que, incluso y con

II. El desarrollo de las competencias

21 ciertafacilidad,puedenrealizarsementalmente.Obtenidaasíla respuesta, se coloca en el lugar correspondiente. ¿Y qué decir, entonces, de las situaciones de las restas “con di?cultad” y de su infaltable “quitar prestado”? ¿Se pueden en- señar de la forma en que habitualmente lo hacemos? Sí, claro que sí, pero con dos acotaciones. En primer lugar, si se garan- tiza que los alumnos lleguen a entender el porqué de este pro- cedimiento y del papel que juega en él la consideración del va- lordeposición–yparaelloesmuypertinentevenirdelapráctica conlosbilletes,talcomoseexpusoanteriormente-.Yensegun- do lugar, si se recuerda que existen otros posibles modos de re- solución “por fuera” -visuales y mentales- y que la disposición vertical es sólo para colocar en su lugar la diferencia solicitada.

P8 – En forma escrita vertical, “llevando” Detodosmodos,existeotravariantepararestarsobreeldis- positivo escrito vertical de la operación, de uso pertinente en los casos de restas con di?cultad. Esta variante se basa en lo que ocurrecuandose“quitaprestada”unaunidadalacifraqueocu- pa la posición a la izquierda de la cifra “en problemas”. Veamos el siguiente ejemplo: 4.837 – 1.254 En el lugar de las decenas, el 3 del minuendo debe “quitar prestada” una unidad (una centena) al 8 de las centenas del pro- pio minuendo, y con esto resuelve su problema con el 5 del sus- traendo.Peroaniveldelascentenas,lasituaciónnoesya“8–2”, sino “7 – 2”, cuyo resultado es 5. Ahora bien, este mismo resul- tadoseobtienesilaresta“8–2”sehubieraconvertidoen“8–3”, es decir, si en lugar de quitar 1 a la cifra del minuendo, hubiéra- mos dejado igual esta cifra y hubiéramos aumentado en 1 la cifra del sustraendo. Cuando se procede así, la diferencia no cambia. En otros términos más “familiares”, cada vez que tengo una “di?cultad”, en lugar de “quitar prestada” una unidad a la cifra de la izquierda del minuendo, “llevo” una unidad a la cifra de la izquierda del sustraendo. Así, en el ejemplo anterior, la “canta- leta” iría en estos términos empezando por la derecha: “Del 4 al 7 van 3 (y escribo 3 en el lugar de las unidades). Del 5 al 13 van 8 (y escribo 8 en el lugar de las decenas), y llevo 1. Del 3 (2 + 1 de la “llevada”) al 8 van 5 (y escribo 5 en el lugar de las centenas). Del 1 al 4 van 3 (y escribo 3 en el lugar de las unida-

Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático

22 des de mil)”. Obsérvese que se indica “del 5 al 13” en el caso de las decenas, y no “del 5 al 3”, por cuanto esta última resta no es posible y porque, además, el “quitar prestado” de las centenas nos permite tener realmente 13 decenas. Como se ve, este pro- cedimiento de la “llevada” al sustraendo es, simplemente, una variante operativa del “quitar prestado”.

¿Por qué toda esa variedad? A estas alturas de la exposición conviene hacer un alto para re?exionar y percibir cómo lo que venimos proponiendo res- ponde a los principios orientadores de la acción didáctica en el aula,particularmentealosreferentesa“enseñarmatemáticapa- ra generar la diversidad” y a “comprender los conceptos para establecer su relación con los procedimientos”. No debe sorprendernos, pues, la variedad de procedimien- tos propuestos: manejo de objetos concretos y, en particular, de un sistema de billetes; utilización de recursos visuales, tales co- mo los desplazamientos en la tabla de los cien primeros núme- ros y los saltos sobre la recta numérica; utilización del cálculo mental; uso de la estrategia del quitar prestado o de su varian- te de la llevada, aplicables directamente en los ejercicios escri- tos presentados en forma vertical. Toda esta variedad y, sobre todo, la forma en que debe presentarse a los alumnos, respon- de expresamente a los principios mencionados. En efecto, por un lado, deben enseñarse todos los procedi- mientos -eso sí, gradualmente- no sólo para ajustarse a las di- ferencias individuales, sino para generar diversidad y para que el alumno disponga de un campo de selección de alternativas en el que pueda desarrollar su capacidad de elegir y de tomar decisiones.Porotrolado,nodebenenseñarselosprocedimien- tos como recetas aisladas, sino que debe mostrarse cómo se de- rivan del concepto de sustracción, cómo se justi?can, por qué funcionanadecuadamente,ycómoserelacionanunosconotros. Esterecursoalconceptoesfundamentalyuncomplementone- cesarioalmeroejerciciodelamemoriareferidaalprocedimien- to: si éste se me olvida, puedo reconstruirlo de alguna manera a partir del concepto.

Hacer la “prueba” en cada resta Un par de observaciones adicionales. La primera se re?ere alavalidacióndecadarestaefectuada,ala“prueba”decadaejer- ciciodesustracciónrealizado.Elalumnodebeveri?carsisuejer-

II. El desarrollo de las competencias

23 cicio está bien resuelto. La prueba más directa consiste en su- mar las cantidades del sustraendo y de la diferencia y ver si se obtienecomoresultadolacantidaddelminuendo.Tambiénpue- de utilizarse la calculadora para esta veri?cación, si se dispone de la misma. Pero cuando el mismo alumno ha tenido la opor- tunidaddemanejardiversosprocedimientosparaefectuarlasus- tracción, cuenta con el recurso adicional de poder revisar su re- sultado realizando de nuevo la operación por alguna de las vías alternativas a la utilizada en su ejercicio. Esta es otra de las ven- tajas de la generación de diversidad… La realización de la “prueba” de la resta resulta obligada, pero no sólo para veri?car lo correcto del resultado obtenido. También, porque permite observar cómo la suma y la resta son operaciones opuestas, relación cuya percepción resulta funda- mentalparairconstruyendo-coneltiempoylamaduracióndel estudiante,noinmediatamente-unconocimientoyunapercep- ción de la matemática como un edi?cio conceptual integrado, en el que no existen elementos aislados. Pero hay algo más. Hacer entender al alumno la necesidad de veri?car el resultado de su operación persigue el propósito de tratar de inducir en él la responsabilidad por su trabajo y por los resultadosobtenidosenelmismo.Evidentemente,lamaestrade- be evaluar los ejercicios realizados por el alumno, pero esto no debe dar a entender que sólo a ella le compete la responsabili- dadporlosresultadosdeltrabajodelosalumnos-“ellaeslaque en de?nitiva decide lo que está bien y lo que está mal”-, sino que son éstos quienes deben asumirla primordialmente. De aquí que, en su evaluación, la maestra no debe contentarse con indicar “ejercicio bueno” o “ejercicio malo”, sino que debe lla- mar a cada alumno para revisar con él el trabajo realizado y el resultado obtenido.

Los errores sistemáticos: cómo entenderlos y enfrentarlos Lasegundaobservaciónenciertomodocomplementalaan- terior y se re?ere al caso en que los alumnos presenten errores sistemáticos al efectuar sus restas -situación que suele acaecer con frecuencia incluso en grados posteriores a los dos prime- ros-. Casos emblemáticos, en las restas escritas y presentadas en forma vertical, son el de no saber “ordenar” en correspon- dencia las cifras del minuendo y del sustraendo, o el de equivo- carsealahorade“quitarprestado”.Confrecuenciaintentamos corregir estos errores volviendo a “recitar” los pasos del proce- dimiento que debe seguirse ahí, en el ejercicio escrito vertical.

Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático

24 Enrealidad,estamoscometiendounerrordeapreciaciónque invalida nuestro esfuerzo, ya que de hecho los alumnos siguen cometiendo después las mismas equivocaciones. Nuestro error como docentes consiste en pensar que los alumnos poseen de- ?ciencias en lo procedimental, cuando de hecho las poseen en lo conceptual: se equivocan porque no han entendido qué signi?ca restar y qué papel juega en esta operación el sistema posicional. Por consiguiente, no es inicialmente en lo procedimental don- de hay que buscar los correctivos, sino en el campo de lo con- ceptual. ¿Qué hacer?. Con anterioridad se ha planteado una secuen- cia de presentación del tema de la sustracción -el recurso a lo concreto,elrecursoalovisual,laejecuciónmental,laejecución escritavertical-quevafundamentandolaconstruccióntantode lo conceptual como de lo procedimental. A resaltar, en particu- lar,cómolosdosprimerosrecursos-loconcretoylovisual-sir- ven de fundamento a los dos últimos -lo mental y lo escrito-. Esto signi?ca, entre otras cosas, que si se presenta un pro- blemaenlaejecuciónescrita-queesuncampoabstracto…-hay que regresarse a lo concreto para restaurar las de?ciencias con- ceptuales y volver a fundamentar lo procedimental abstracto. Así, por ejemplo para los dos casos indicados -equivocaciones al ordenar cantidades y al quitar prestado- resulta muy oportu- no retornar a los ejercicios con los billetes con el ?n de reco- brar el sentido de lo posicional y, a partir de ahí, establecer de nuevolatrasposiciónhaciaelprocedimientoderestarenundis- positivo escrito vertical, sin perder de vista lo que signi?ca es- te procedimiento abstracto con referencia al concreto. Y repe- tir este retorno todas las veces que haga falta.

Aprender a estimar la diferencia Hasta ahora se ha hablado exclusivamente de la resolución exacta de los ejercicios de sustracción. Sin embargo, hay situa- ciones en la vida diaria y en la misma matemática, en las que es su?ciente tener una idea, un valor aproximado de la diferencia de dos cantidades. Esto es lo que llamamos la estimación del re- sultado, competencia que progresivamente deben ir adquirien- do los niños. Algunas de esas situaciones pueden presentarse, por ejem- plo, cuando se trata de saber si después de pagar determinada mercancía con un billete de valor x, el vuelto que nos den será mayor o menor que otra cantidad y. En estos casos no hace fal-

II. El desarrollo de las competencias

25 ta conocer la respuesta exacta del vuelto. Obsérvese que para estimar una diferencia (por ejemplo, 10.000 – 4.249) empeza- mos a ?jarnos en las cifras de la izquierda. Así, para el caso pro- puesto, estamos quitando de 10.000 algo más que 4.000, con lo queyapodemosdeducirqueladiferenciaserámenorque6.000, aunque mayor que 5.000. En general, este tipo de razonamiento debería estar presen- te -como ya se dijo anteriormente al hablar de la necesidad de “leer” inicialmente las cantidades a restar- como punto de par- tida en toda operación de sustracción. Con ello no llegamos, evidentemente,alaprecisiónquesuministralarealizaciónexac- ta de la operación, pero sí tenemos una idea previa y razonable de la respuesta que se va a obtener.

Resolución de “problemas de sustracción” Realmente,antesdehablardeverdaderosproblemasdesus- tracción debemos referirnos a situaciones de sustracción, es decir, situaciones verosímiles cuyo modelo de resolución es esta ope- ración aritmética. De este estilo son las propuestas inicialmen- te y otras similares, como por ejemplo: ? Olintotiene13carritos.Alperder4,lequedantantosco- mo a Rafael. ¿Cuántos carritos tiene Rafael? ? Silvia tiene 16 creyones y Nancy tiene 7. ¿Cuántos cre- yones necesita Nancy para tener tantos como Silvia? ? Juan nació cuando su hermano Andrés tenía 10 años. An- drés tiene ahora 21 años. ¿Cuántos años tiene Juan? ? En una parada se suben al autobús 17 personas. Cuando el vehículo arranca, el conductor observa que ahora van 5 personas más que antes de detenerse. ¿Cuántas perso- nas se bajaron del autobús en esa parada?

Elplanteamientodeestassituacionesenelaulaadquiereva- lidez por cuanto son útiles para dilucidar el tipo de operación queespertinenteparasuresolución,descartandorazonadamen- te aquellas operaciones que no lo son. Recuérdese que esta de- terminaciónformapartedelsabertecnológico,másalládelme- ramente matemático. De esta manera, percibimos que tales situacionesnossirveninicialmentecomocasosmodélicos,ypos- teriormente, como casos de aplicación. Así, nuestro ciclo co- mienza en la vida diaria y termina de nuevo en ella.

Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático

26 Encuantoalasformasdetrabajarestassituacionesenelau- la, se debe privilegiar su resolución oral y, a ser posible, en gru- pos. No hay que tener prisa ni insistir en la formulación escri- ta,casisiempreceñidaalesquema“Datos/Solución/Respuesta”, que convierte en mecánico el proceso de resolución. La expli- cación oral permite conocer los modos de razonamiento de los niños, sus expresiones, y sus maneras de comunicar las ideas y de utilizar los términos matemáticos; de ahí que resulte insus- tituible al comienzo. Otro modo de trabajo con los niños puede ser el de la dra- matización de la situación. Por ejemplo, este procedimiento re- sulta muy aconsejable en el ejercicio del autobús, recién pro- puesto, ya que su enunciado puede no resultar tan claro como otros y porque, además, en ningún momento se dice cuántos pasajeros venían antes de la parada, ni cuántos siguen después, lo que permite establecer diversas conjeturas muy interesantes. Todas estas observaciones son válidas también para el caso de los problemas, es decir, de las situaciones que realmente sur- jan en la vida diaria de los niños del salón, así como en las deri- vadas de los PPA que se desarrollen en el aula, y cuya resolución sea de algún modo necesaria para los niños. Resulta aconsejable resaltarlostiposdeproblemasquedenominamos“combinados”, de sumas y restas, pero no de construcción arti?cial, sino verda- deramente generados en el contexto de los niños.

¿Y todo esto de una sola vez? No, no va de una sola vez, ni de dos veces. En realidad, hay que mantenerlo de forma continua, y evaluarlo también de for- ma continua. La idea normativa es que los temas de matemáti- ca no se construyen por un tiempo para después abandonarlos hasta el curso que viene… o hasta nunca más. Si los niños van a construir los conocimientos correspon- dientesalasustraccióndelaformasugeridahastaahora,elpro- pio proceso indicará a la maestra el nivel de madurez que los niñosvayanadquiriendo,asícomolasdi?cultadesqueselesva- yanpresentando,algunassuperablesenelmomento,perootras no. Cuando esto último ocurre -por ejemplo, la imposibilidad de entender algunos enunciados de situaciones, en razón de la carga semántica de su planteamiento-, es una señal para dejar de momento esa tarea especí?ca, pero también un aviso para recordar que hay que volver posteriormente al mismo punto.

II. El desarrollo de las competencias

27 Por otro lado, si los niños aprenden a restar, esta actividad debe mantenerse de seguido en el aula, aprovechando para su ejercitaciónlasoportunidadesquepuedanbrindarnosólootros temas de matemática, sino también los de otras disciplinas: len- guaje,cienciasdelanaturaleza,cienciassociales,recreación,etc. Esta actividad permanente no está dirigida exclusivamente a mantener el recuerdo de los procedimientos, sino también el de los conceptos implicados en la operación de sustracción, y el de la relación entre ambos. De esta forma puede procederse, por ejemplo y sin mayores traumas, al paso de las restas entre números enteros a las restas con números decimales. Basta con indicar aquí que, para estas últimas, también pueden utilizarse “billetes”deunadécima(0,1),deunacentésima(0,01),etc.,con lo que se pone de mani?esto que es posible extender al caso de losdecimaleslaestructuraoperacionalquesegeneróconlares- ta de números enteros.

El desarrollo de competencias en los alumnos Probablemente el relato de la propuesta matemática y di- dáctica referente al tema de la sustracción nos ha podido pare- cer un poco largo. Sin duda lo es, así como necesario. Porque sólo una enseñanza planteada de esa forma –o de otra muy si- milar- puede garantizar el desarrollo de las competencias que se persiguen dentro del eje lógico matemático. En de?nitiva, la propuesta matemática y didáctica plantea- da permite el desarrollo de las siguientes competencias, con sus correspondientesindicadores(allectornolecostarámuchojus- ti?car su presencia en los diversos puntos de la propuesta):

Primera competencia: Desarrolla procesos lógicos ? Observa, relaciona y compara información, establecien- do semejanzas y diferencias. ? Describe, analiza y sintetiza información. ? Regresa al punto de partida de sus razonamientos. ? Aplica sus conocimientos a situaciones nuevas. ? Analiza diferentes alternativas para una situación. ? Toma decisiones y busca soluciones a los problemas, so- bre la base de un análisis previo de la situación. ? Genera productos, soluciones y técnicas ingeniosas.

Segunda competencia: Elabora y aplica modelos ? Observa la realidad para representarla en un modelo ma- temático coherente. ? Aplicamodelosconocidosensituacionesnuevas,utilizan- do criterios de semejanzas y diferencias. ? Reconoce, describe y crea patrones. ? Analiza y representa relaciones mediante grá?cos. ? Analiza y representa relaciones mediante tablas. ? Analiza y representa relaciones mediante reglas.

Tercera competencia: Resuelve problemas matemáticos ? Considera la posibilidad de distintas alternativas para re- solver un problema. ? Planteaposiblessoluciones,lasensaya,construyeyrecons- truye sobre nuevas hipótesis, hasta alcanzar una solución válida. ? Sabe controlar el proceso de resolución de un problema. ? Analiza si el resultado obtenido es correcto o no. ? Sabe conjugar la iniciativa personal con el trabajo solida- rio en grupo para resolver problemas.

Cuarta competencia: Comunica ideas matemáticas ? Poseedominiodellenguaje,oralyescrito,correspondien- te a su edad. ? Domina el vocabulario básico para una adecuada expre- sión matemática, incluyendo el manejo pertinente de los signos y símbolos. ? Hacecálculosmentalesyexpresaverbalmentelasolución del problema.

Quinta competencia: Posee sentido numérico ? Establece relaciones más que, menos que, tantos como. ? Reconoce, comprende y aplica el signi?cado del cero. ? Realiza aproximaciones adecuadas a cantidades ? Ubica la posición de un elemento en una ?la. Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático

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? Conoce y aplica los principios del sistema de numeración posicional decimal, así como lo relativo al valor absoluto y relativo de los dígitos. ? Haconsolidadolanocióndenúmero,consusdiversasfun- ciones: nombrar, escribir, leer, contar, ordenar y medir. ? Sabe seleccionar el sistema de representación más ade- cuado para un número, de acuerdo con la operación so- licitada. ? Es capaz de decidir la pertinencia de determinada opera- ción, en función del problema a resolver. ? Conoce y aplica diversas técnicas de cálculo para realizar correctamente las operaciones aritméticas. ? Realiza estimaciones de cálculo. ? Conoce y aplica las propiedades de las distintas operacio- nes, particularmente en el ejercicio del cálculo mental.

La evaluación de competencias en los alumnos Consecuentemente, también queda claro que no podemos evaluar la presencia de estos indicadores de tales competen- cias si no hemos propiciado esa presencia mediante un proce- so instruccional integral, tal como el propuesto, orientado a desarrollar los saberes matemáticos -captar todo el contenido conceptual y, del mismo, derivar el contenido procedimental en un contexto de diversidad- y los saberes tecnológicos -de- sarrollar el sentido de saber cuándo utilizar el modelo de la sustracciónparadeterminadassituacionesdelavidadiaria-pre- sentes en el tema. Para llevar a cabo la evaluación de la presencia de estos in- dicadores en sus alumnos, el docente debe empezar por fami- liarizarse con la propuesta matemática y didáctica, por adquirir destreza en el manejo de los contenidos conceptuales y proce- dimentales, y en el planteamiento y la resolución de situaciones y problemas. Al pasar por esta experiencia personal, el docente debe evaluarse en forma continua y, así, ser capaz de descubrir en sí mismo la presencia de esos indicadores, con los matices correspondientes. Sólo después estará en condiciones de eva- luar a sus alumnos, actividad que le resultará más sencilla de lo que puede parecer inicialmente. II. El desarrollo de las competencias

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Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático

30 Actividad 2: Construir y aplicar el concepto y los procedimientos de los valores centrales de una distribución de datos

Los valores centrales de una distribución de datos Lasmedidasdetendenciacentral-ovalorescentrales,ome- didascentrales-deunconjuntodedatossonvaloresque,encier- to modo, representan al conjunto completo, cada uno a su mane- ra. Se trata de la media, la mediana, y la moda. Habitualmente solemos reducir el estudio de estas medidas a su determinación cuando se suministra un conjunto explícito de datos –agrupa- dos o no-, tomando como base el recuerdo de su concepto por parte de los alumnos. Como veremos, hay que superar este en- foque tan reducido y tan reductor, con el ?n de entender y uti- lizar estos valores con toda su riqueza conceptual, procedimen- tal y de aplicación. Empecemos por recordar las características de cada valor central.

La media aritmética La media aritmética, puesto que también pueden calcularse la geométrica y la armónica- indica el valor promedio de todos los datos. Digamos rápidamente que, para obtenerla, se suman todos los datos y se divide entre el número de datos considera- dos. Pero hay que insistir en que, en realidad, la media es el va- lorquecadasujetodelapoblacióntendríasiserepartiera“equi- tativamente” entre todos el valor de la suma total de los datos de la población; de aquí su carácter representativo como valor promedio. Pero es importante destacar que este carácter de valor re- presentativo del conjunto de los datos no signi?ca que la media deba coincidir con alguno de esos datos. Por ello hay que ofre- cer diversos casos para la consideración de los alumnos, con el ?n de que evalúen en cada situación el carácter de representa- tividad de la media. Por ejemplo: 1? Sea el conjunto de datos: 11, 7, 10, 9, 10, 8, 7, 10 La media es: (11+7+10+9+10+8+7+10) / 8 = 72 / 8 = 9 La media coincide con uno de los datos del conjunto

2? Sea el conjunto de datos: 11, 8, 10, 8, 10, 8, 7, 10 La media es: 72 / 8 = 9 Lamedianocoincideconningunodelosdatosdelcon- junto 3? Sea el conjunto de datos: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 La media es: 145 / 10 = 14,5 Lamedianocoincideconningunodelosdatosdelcon- junto

La media es la medida de tendencia central de mayor uso, puesto que su cálculo es sencillo (como se verá ahora), se pres- ta a manejos algebraicos (véase también más adelante) y es re- presentativa en el muestreo. Esto último signi?ca que las me- dias de diversas muestras extraídas de la misma población se parecen más entre sí que las medianas de las mismas muestras –por eso se a?rma que la media es más estable que la mediana. Pero la media corre el riesgo de dejarse in?uir por los valo- res extremos de la distribución, si hay alguno de ellos muy dis- tante de los demás. Así, por ejemplo, en el conjunto de datos: 7, 5, 3, 8, 4, 5, 3, 61, la media es: 96 / 8 = 12, valor que está afec- tado por el último dato (la media de los siete primeros datos es 35 / 7 = 5) y que no representa realmente al conjunto de los ocho datos.

El cálculo de la media Hace un rato mencionábamos el método básico para calcu- lar la media de una distribución de datos: obtener la suma de to- dosellosydividirestasumaentreelnúmerototaldedatos.Vea- mos algunas formas prácticas de hacer este cálculo.

1?Estemétodobásicosueleresumirseenlafórmulahabitual: Si denotamos los n datos del conjunto con los símbolos X1, X2, …, Xn, la fórmula que permite calcular el valor de la media se expresa así: X = (X1 + X2 + … + Xn) / n (1) 31 II. El desarrollo de las competencias

32 Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático ParaabreviarestaexpresiónsueleutilizarseelsímboloS(le- tra griega sigma mayúscula), que signi?ca la operación de su- mar. Entonces, la fórmula anterior se escribe: n X = (1/n) ? Xi (2) i=1

En la sumatoria, el subíndice i varía desde 1 hasta n. Es de- cir,laexpresióndelnumeradornosestádiciendo:“sumaX1,más X2,…, hasta llegar al último sumando, Xn. Después, divide en- tre n el resultado de esa suma”.

2? Utilizar la calculadora. Si ésta posee funciones estadísti- cas, basta con introducir los datos y pulsar luego la tecla corres- pondiente a la media. Si la calculadora no posee tales funcio- nes, podemos efectuar la suma progresiva de todos los datos (directamente o en el registro de memoria M+) y dividir el re- sultado ?nal entre el número de datos. Este es uno de los casos en que la calculadora puede servir- nos como herramienta de trabajo en el aula, aliviándonos del tedioso trabajo de efectuar sumas tan largas. Lo importante es conocer el signi?cado de lo que estamos haciendo y su por qué; garantizadoesteconocimientoconceptual,bienvenidasealacal- culadora. Claro, si no se dispone de ella, se puede recurrir al cálculo con papel y lápiz y a la fórmula (1).

3? Construir una tabla de frecuencias para ayudarnos a orga- nizar la información y a hacer los cálculos. Supongamos que las edades de un grupo de 20 niños son las siguientes: 8, 7, 8, 6, 9, 7, 8, 6, 7, 7, 8, 8, 6, 10, 9, 10, 7, 8, 7 y 10 años. Si sólo necesi- tamosconocerlamediadesusedades,podemoscalcularlamen- talmente, utilizar la fórmula (1), o bien, podemos recurrir a la calculadora. Perosiqueremosconoceralgomásacercadeladistribución de las edades, procedemos a la construcción de la tabla de fre- cuencias correspondiente:

33 II. El desarrollo de las competencias Datos Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuen- cias, la expresión adecuada (fórmula) es:

k X = (1/n) ? fi . Xi (3) i=1

en la que Xi (i varía desde 1 hasta k) indica cada uno de los valo- resdistintosdelosdatos(enelejemplo,soncinco:6,7,8,9y10), y en la que fi denota la frecuencia del correspondiente dato Xi. Estafórmulaes,enrealidad,unaexpresiónmuyrelacionadacon la (2) ya que si todos los datos de la distribución son distintos (fi = 1, k = n: ¿por qué?), la fórmula (3) se convierte en la (2). Al dividir 156 entre 20 obtenemos la media: 7,8 años. Pero, adicionalmente,obtenemosotrasinformacionesdelatabla.Por ejemplo, su distribución por grupos de edades; los grupos más numerosos (las modas, que en este caso son 7 y 8 años: la dis- tribución es bimodal); el grupo menos numeroso (el de 9 años); la mediana (8 años, que es el promedio de las edades de los ni- ños que se encuentran en las posiciones 10 y 11 de la distribu- ciónordenadademenoramayoredad,odemayoramenoredad: 8añosparaambosniños);cuántosniñostienenmenosde9años (se suman las frecuencias correspondientes a 6, 7 y 8 años: 3 + 6 + 6 = 15 niños; o bien, se restan de 20 las frecuencias corres- pondientes a 9 y 10 años: 20 – (2 + 3) = 20 – 5 = 15 niños); etc. Como puede observarse, se sugiere la elaboración y el uso delatabladefrecuenciascuandolatareaarealizarvayamásallá

del mero cálculo de la media. De hecho, la conveniencia y uti- lidaddetalelaboracióndebediscutirseconlosalumnos,enfun- ción de la tarea a realizar, del número y magnitud de los datos a manejar, de las posibilidades de obtener una información más variada y compleja, y de proceder a una toma de decisiones más pertinente. Lo interesante es que la ejercitación en el campo de la estadística surja como una necesidad para los alumnos, bien sea para enfrentar situaciones de su vida diaria u otras que bro- ten de la ejecución de diversos proyectos pedagógicos, siempre con la idea de organizar y facilitar la interpretación de datos de información.

4? Tomar de entrada un valor imaginario para la media y luego ajustarlo con los datos. Veamos qué signi?ca esto. En el caso de la distribución anterior, tomemos 8 como valor de en- trada de la media de edades de los 20 niños. Ahora recorremos ese conjunto de datos y anotamos la diferencia de cada uno de ellos con respecto a 8: Datos 8 7 8 6 9 7 8 6 7 7 8 8 6 10 9 10 7 8 7 10 Total dif + 1 2 1 2 2 8 dif – 1 2 1 2 1 1 2 1 1 12 La suma de las diferencias positivas es 8 y la de las negati- vas, 12. Al compensarse entre ambas, nos queda una diferencia negativade4.¿Diferenciarespectoaqué?Alasumatotaldelos 20 datos, si todos hubieran tenido el valor de la media, 8. Esta suma total hubiera sido: 20 x 8 = 160. Por consiguiente, la su- ma total verdadera de los 20 datos es: 160 – 4 = 156. Ahora se divide entre 20 y obtenemos la media: 7,8 años. Tambiénpodemosprocederdividiendoesadiferencianega- tiva ?nal, 4, entre los 20 datos, lo que nos da el valor negativo de 0,2 para cada dato; esto signi?ca que basta restar ahora este valor de la supuesta media inicial 8, con lo que obtendremos la media verdadera: 8 – 0,2 = 7,8 años. En principio, este procedimiento puede parecer engorroso, pero la verdad es que puede hacerse mentalmente, recorriendo los datos uno por uno y compensando sucesivamente las dife- rencias positivas y negativas sobre la marcha: “7 me da 1 nega- tivo; 6 me da 2 negativos, llevo 3 negativos; 9 me da 1 positivo, llevo 2 negativos; 7 me da 1 negativo, llevo 3 negativos; etc.”. 34 Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático

II. El desarrollo de las competencias

35 Como puede verse, este procedimiento nos da mayor soltu- ra en el cálculo, más que si utilizáramos los datos reales, que siempresonmás“pesados”demanejar.Además,tenemosliber- tad para elegir el valor inicial para la media que, incluso, puede no coincidir con ninguno de los datos. Por ejemplo, podríamos haber tomado 7 como valor inicial; o incluso, 7,5… En estos casos, ¿cómo hubieran sido los cálcu- los de las diferencias? ¿Cómo hubieran sido las sumas ?nales de las diferencias? ¿Y la media verdadera? Verifíquelo, para salir de dudas… y saque sus propias conclusiones. Y trate de justi?- carlas. Digamos, ?nalmente, que el procedimiento que acaba- mos de describir es ideal para estimar (dar un valor aproximado de) la media de una distribución de datos. Comoenelcasodelasustracción,nosencontramosdenue- vo con una variedad de procedimientos a la hora de calcular la media de un conjunto de datos. La propuesta de esta variedad responde al principio orientador de la “generación de diversi- dad” en la enseñanza de la matemática. Volvemos a insistir en laconvenienciadepresentartodasestasmodalidadesalosalum- nos, con el ?n de que sean ellos mismos los que tomen la deci- sión de seleccionar la que consideren más apta para cada situa- ción concreta.

La mediana La mediana es el valor que, una vez ordenados todos los da- tos, se encuentra en el “medio”, en la mitad de la distribución. Si el número de datos es impar, coincidirá con uno de los datos; si es par, puede que no ocurra esa coincidencia: hay que prome- diar los dos valores que se hallen en el centro de la distribución ordenada.Comoenelcasodelamedia,resultapertinentemos- trar a los alumnos esta variedad de situaciones. Por ejemplo: 1 ? Sea el conjunto de datos: 11, 7, 10, 9, 10, 8, 7, 10, 9 Ordenado de menor a mayor: 7, 7, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11 Valor central (en la quinta posición): 9 9 es la mediana del conjunto La mediana coincide con uno de los datos del conjunto

2 ? Sea el conjunto de datos: 10,13,12,19,17,11,15,14,16,18 Ordenado de mayor a menor:19,18,17,16,15,14,1312,11,10 Valores centrales: 15 y 14 Mediana: (15 + 14) / 2 = 14,5 Lamediananocoincideconningunodelosdatosdelconjunto

3 ? Sea la distribución de datos: Obsérvese que hay 20 datos. Los datos centrales son los que ocupan los lugares 10° (15) y 11° (17) La mediana es: (15 + 17) / 2 = 16 La mediana no coincide con ninguno de los datos de la dis- tribución

Convienehacerobservaralosalumnosquelamedianatam- bién se calcula fácilmente y –a diferencia de la media- no está in?uida por los valores extremos, aunque tampoco nos dice na- da de cómo son en realidad los datos de ambas mitades de la distribución,sobretodoacercadesudiferenciarespectoalame- diana. A este respecto, se puede hacer observar que estos dos conjuntos ordenados de datos: 1, 3, 3, 3, 4, 14, 21, 27, 27, 27, 27 12, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 16 tienenlamismamediana(14),perodi?erensigni?cativamen- te entre sí.

La moda La moda es, sencillamente, el valor que más se repite, y en es- te sentido se convierte en representativo del conjunto de datos. Hay que hacer notar, por lo tanto, que puede haber una o más modas en la distribución de los datos. Lo que sí es cierto –a di- ferencia de lo que ocurre con la media y la mediana- es que la moda siempre coincide con un dato de la distribución. Y que es laúnicamedidadetendenciacentralquepuedeobtenersecuan- do los datos son cualitativos; por ejemplo, si se trata de la dis- tribucióndepreferenciasporcolores,mascotas,ogustosdehe- lados; o la distribución por lugares de origen, etc. 36 Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático X 12 14 15 17 20 f 4 5 1 8 2

II. El desarrollo de las competencias

37 Como en los casos de la media y de la mediana, resulta útil hacerverlavariedaddesituacionesquepuedenpresentarsecon respecto a la moda de una distribución. Así, por ejemplo: 1 ? Sea el conjunto de datos: 7, 12, 8, 7, 10, 10, 8, 9, 12, 10 La moda es 10 (se repite 3 veces) La distribución es unimodal

2 ? Sea el conjunto de datos: 8, 7, 15, 13, 7, 10, 13, 15, 9, 11 La moda corresponde a los valores 7, 13 y 15 (se repiten dos veces cada uno) La distribución es trimodal

De la moda no hay mucho más que decir, salvo insistir en su ambigüedad: puede darse incluso el caso en que no represente aunvalordelcentrodeladistribución,sinoextremo.Porejem- plo, en el siguiente conjunto de datos: 11, 13, 16, 17, 18, 20, 20, 20, la moda es 20, que representa al mayor de los datos.

Y ahora, los tres valores juntos Si bien es necesario, no basta con mostrar separadamente a los alumnos los conceptos y los procedimientos relativos a ca- da una de las medidas de tendencia central, tal como se acaba de hacer. Lo importante es, en primer lugar, entender el signi?- cado de cada una de estas medidas de tendencia central y su re- lación entre ellas, en términos de sus similitudes y diferencias. Los tres valores comparten su carácter de ser representativos del conjunto de datos, pero se diferencian en el matiz de esta re- presentatividad. Así, la media representa el valor promedio; la mediana, el valor que ocupa la posición central cuando los da- tos están ordenados según su valor; y la moda, el (los) dato(s) más frecuente(s). Estoscriteriosdediferenciaciónresultanfundamentalesala hora de decidir cuál es el valor central que, en cada caso particu- laryreal,nosinteresaconsiderarycalcular.Estadecisiónesmuy importante, puesto que va más allá del conocer matemático y se inserta en el ámbito del conocer tecnológico. A la luz de estas consideraciones, resulta pertinente que los alumnos -hacia el ?nal de la Segunda Etapa y en la Tercera Eta- pa de EB- puedan plantearse y resolver situaciones como las si- guientes:

? Supongamos que tenemos la distribución de las edades de los alumnos del salón de clase y que calculamos los valores de sus medidas de tendencia central. ¿Qué significa la me- dia de tales edades? ¿y la mediana? ¿y la moda? ¿alguna de estas medidas es más representativa del conjunto de eda- des que las demás? ¿o todas ellas tienen algo peculiar que aportar? ? Para poder proceder a su posterior dotación, acabamos de obtener la distribución de datos referentes a las tallas de za- patos, franelas, y pantalones o faldas de todos los niños y ni- ñas del plantel. En cada una de estas cuatro distribuciones, ¿qué sentido tiene obtener la media de las tallas? ¿y la me- diana? ¿y la moda? ¿alguna de estas medidas es más repre- sentativa que las demás? ¿podemos prescindir de alguna(s) de estas medidas, tomando en cuenta el objetivo de su reco- lección? ? Con referencia a las dos situaciones anteriores y obtenidos los valores centrales de las distribuciones de edades y de ta- llasdelosalumnosdelsalóndeclase,sesugierehacerlomis- mo con los alumnos de otro salón del mismo grado y com- para los valores centrales. ¿A qué conclusiones se puede llegar? ¿qué tipo de re?exiones nos sugieren estos valores y esta comparación? ? Invente una situación en la que Ud. va a recabar unos datos y enlaquelamodaseaelvalormásrepresentativodelconjunto. Análogamente para la mediana. Y, ?nalmente, para la media. ? En un salón de 7° grado hay un grupo numeroso de alum- nos muy capaces. Si las cali?caciones en Matemática se dan en la escala de 1 a 20, ¿qué media de cali?caciones puede es- perarse? ¿Y qué mediana? ¿Y qué moda? ¿Es probable que la moda sea alta? ? Si la mediana de un grupo de cali?caciones de Biología es 14 (en la escala de 1 a 20), ¿puede decirse que el grupo, en promedio, aprobó? ¿Por qué? ? Y si, en una situación análoga a la anterior, la moda es 14, ¿puede decirse que el grupo, en promedio, aprobó?

Del mismo modo, conviene adquirir cierta experiencia no sólo en el cálculo de los valores centrales, conocidos los datos, sino también en la situación inversa, es decir, en la construcción de posibles distribuciones de datos a partir del conocimiento de las me- Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático

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didas centrales. De esta forma, los alumnos deben estar también en capacidad de plantearse y resolver situaciones como las si- guientes: ? ¿Puedencoincidirlastresmedidascentralesenunamismadis- tribución de datos? Si su respuesta es positiva, construya un ejemplo de tal distribución. Si es negativa, explique por qué. ? Construyaahora,siesposible,unadistribuciónenlaqueno coincida ninguna de las tres medidas. ? Ídem, en la que coincidan la media y la mediana, pero no así la moda. ? Ídem, en la que coincidan la moda y la mediana, pero no así la media. ? Ídem, en la que coincidan la media y la moda, pero no así la mediana. ? Veamos ahora el siguiente cuadro de posibles casos de cali- ?caciones: Caso 1 2 3 4 Media 12 15 11 12 Mediana 12 13 10 16 Moda 12 18 08 11 Suponga que el curso está integrado por 20 alumnos. Para cada uno de los 4 casos construya, si es posible, una distri- bución de datos que se ajuste a los valores dados de las me- didas de tendencia central. ? El grupo de alumnos que viven en la misma manzana está compuesto por Rosa, Javier, Franklin, Emilia, Ana y Rubén. El grupo tiene una edad promedio de 12 años. Sabemos que Rosa y Javier tienen 10 años cada uno; Ana tiene 14 años; Franklin, 12; y Emilia, 15. ¿Cuántos años tiene Rubén? ? En el caso que sigue, vamos a calcular la media redondeada, es decir, si las décimas llegan o pasan de 5, se considera el siguiente número entero; en caso contrario, se suprimen las décimas. En cierto salón, las notas de Castellano de Luis y de Rosa fueron de 14 puntos; Gustavo sacó 16. La nota pro- medio(redondeada)delgrupofue20.¿Esposibleestasitua- ción? Si lo es o no lo es, ¿de qué depende? 39 II. El desarrollo de las competencias

Por otro lado, también deben llegar docentes y alumnos a manejar con soltura situaciones en las que se sugieran trans- formaciones algebraicas -cuya posibilidad se mencionó al ha- blar de la media- que puedan afectar a las medidas de ten- dencia central. En esta línea, se proponen situaciones como las siguientes: ? ¿Qué le ocurre (o le puede ocurrir) a la media de un conjun- to de datos si se elimina de dicho conjunto: a) el dato ma- yor; b) el dato menor; c) un dato de valor igual a la media; d) un dato de valor igual a la mediana; e) un dato de valor igual a la moda? ? En una distribución de datos se eliminó un dato y: a) la me- dia no se alteró; b) la mediana no se alteró; c) la moda no se alteró. ¿Qué podemos decir, en cada caso, del dato que se eliminó del conjunto? (Se trata de tres casos separados). ? Si en una distribución unimodal se elimina un dato de valor igual a la moda, ¿cambiará la moda de la distribución? ? El promedio de edad de los niños de un salón de 5º grado es de 11 años. ¿Cuál será el promedio de edad del grupo cuan- do lleguen a 8º grado, si se mantienen los mismos alumnos? ¿Por qué? ? ¿Qué le ocurre a la media de una distribución de datos si: a. todos los datos aumentan en 2 unidades? b. todos los datos disminuyen en 3 unidades? c. la mitad de los datos aumenta en 2 unidades y la otra mi- tad queda igual? d. la mitad de los datos aumenta en 3 unidades y la otra mi- tad disminuye en 1? ? ¿Qué puede ocurrirle a la mediana en cada uno de los casos anteriores? ¿Se puede decir algo de la moda en esos mismos casos? ? Se ha calculado la media de un grupo de 20 cali?caciones. Pero posteriormente, 7 cali?caciones suben en 2 puntos, 5 quedan igual, 3 disminuyen en 2 puntos, 2 disminuyen en 3, 1 disminuye en 4, y 1 disminuye en 5 puntos. ¿Qué le ha ocurrido a la nueva media con respecto a su valor anterior? ? En otro caso similar, la mitad de las cali?caciones aumenta en 2 puntos cada una, 2 quedan igual, 4 disminuyen en 1 Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático

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punto y 8 disminuyen en 3 puntos. Pero la media del grupo no varía con respecto a la obtenida antes de estos cambios. ¿De cuántas cali?caciones estamos hablando?

Finalmente, es conveniente enfrentar a docentes y alumnos con situaciones de cálculo de los valores centrales en las que se manejen lotes, fracciones o porcentajes de la población, como por ejemplo: ? En el grupo de alumnos que están en la cancha, la tercera parte tiene 12 años; otra tercera parte tiene 13 años; y los restantes, 17 años. ¿Cuál es la edad promedio de los alum- nos que están en la cancha? ? En el salón de clase de Yomaira, 40% de los alumnos ven- dió 17 boletos cada uno, y el resto de los alumnos, 12 bole- tos cada uno. ¿Cuál es el promedio de boletos vendidos por cada alumno, si en el salón hay 30 alumnos? ¿Cuál sería es- tepromediosienelsalónhubiera20alumnos?Comparaes- ta respuesta con la anterior y saca tus conclusiones. ? Un conjunto de 300 niños se reparte en lotes de 10 niños. Encadalote,losniñostienenexactamentelassiguienteseda- des: 3 niños, 8 años; 2 niños, 9 años; 1 niño, 10 años; y 4 ni- ños, 11 años. ¿Cuál es la media de las edades de los 300 ni- ños? ¿Y la mediana? ¿Y la moda? ? En otro grupo similar de 300 niños la distribución en lotes de 10 niños se ha hecho del siguiente modo: 8 lotes de ni- ños de 7 años; 2, de 9 años; 7, de 8 años; 4, de 10 años; 6, de 10 años; y 3, de 11 años. ¿Cuál es la media de las edades de los 300 niños? ¿Y la mediana? ¿Y la moda?

Llegar al conocer reflexivo Las últimas consideraciones han insistido en manejar con- juntamente los tres valores centrales y en diferenciarlos desde el punto de vista conceptual y procedimental. Este deslinde re- sulta muy importante y en él interviene el saber tecnológico, es decir, el que nos permite decidir acerca del valor central más pertinente a calcular en cada caso concreto. Pero hay algo más. Porque incluso, en ocasiones, es posible alcanzar los niveles del conocer re?exivo, es decir, llegar a ana- lizar qué signi?can los resultados obtenidos (media, mediana, moda) desde el punto de vista de la situación estudiada y desde II. El desarrollo de las competencias

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una perspectiva sociocultural y ética, qué conclusiones pueden derivarsedeellos,quére?exionesnossugierenparanuestrocom- portamiento individual y colectivo diario. Indudablemente,laacotaciónanteriornosestáindicandoque tenemos que traer a consideración en el aula situaciones de in- terés de la vida diaria de los alumnos o de la comunidad. Tales situaciones pueden referirse a variables antropométricas (edad, peso, talla…), familiares (características de la familia, de consu- mo,delavivienda…),sociales(empleo,ingresosfamiliares,pro- blemas de la comunidad, organización comunitaria…) y otras por el estilo. Variables de las que es posible obtener informa- ción por diversas vías; entre ellas, por medio de encuestas. En todos estos casos conviene -como se dijo anteriormen- te- que exista como cierta necesidad de estudiar estas situacio- nes, de tal forma que se trascienda la percepción de que se tra- ta de un simple ejercicio escolar sin mayores consecuencias. Y también, que el estudio no se limite a la organización de los da- tos y a los cálculos pertinentes. Porque, a estas alturas, tiene que quedarnos claro que el te- ma de las medidas de tendencia central tiene como meta poder abordar y analizar situaciones relativas a datos de información que nos sean relevantes, a nosotros y a nuestros alumnos, para lo cual requerimos estar en capacidad de: ? decidir cuál es la medida central más adecuada para el análisis de la situación propuesta (conocer tecnológico) ? aplicar correctamente los procedimientos necesarios pa- ra obtener los valores requeridos (conocer matemático) ? comprenderelsigni?cadodelosresultadosobtenidosasí como su interpretación desde las perspectivas sociocul- tural y ética, y saber extraer las conclusiones pertinentes que promuevan una posible acción transformadora (co- nocer re?exivo) Todaslasexplicacionesytodalaejercitaciónpropuestasan- teriormente -necesarias, por otro lado- tienen la ?nalidad de permitirnos acceder a una capacitación como la que se acaba de señalar. Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático

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II. El desarrollo de las competencias

43 El desarrollo de competencias en los alumnos Como en el caso del tema de la sustracción, queremos insis- tir en que sólo una enseñanza referida a las medidas de tenden- cia central planteada de esta forma -o de otra muy similar- pue- degarantizareldesarrollodelascompetenciasquesepersiguen dentro del eje lógico matemático. En de?nitiva, la propuesta matemática y didáctica plantea- da permite el desarrollo de las siguientes competencias, con sus correspondientesindicadores(allectornolecostarámuchojus- ti?car su presencia en los diversos puntos de la propuesta…):

Primera competencia: Desarrolla procesos lógicos ? Observa, relaciona y compara información, establecien- do semejanzas y diferencias. ? Describe, analiza y sintetiza información. ? Regresa al punto de partida de sus razonamientos. ? Aplica sus conocimientos a situaciones nuevas. ? Analiza diferentes alternativas para una situación. ? Toma decisiones y busca soluciones a los problemas, so- bre la base de un análisis previo de la situación. ? Genera productos, soluciones y técnicas ingeniosas.

Segunda competencia: Elabora y aplica modelos ? Observa la realidad para representarla en un modelo ma- temático coherente. ?Aplicamodelosconocidosensituacionesnuevas,utilizan- do criterios de semejanzas y diferencias. ? Analiza y representa relaciones mediante tablas. ? Analiza y representa relaciones mediante reglas.

Tercera competencia: Resuelve problemas matemáticos ? Plani?ca estrategias de solución de problemas, teniendo en cuenta la claridad de las metas. ? Ante el enunciado de un problema, sabe formular hi- pótesis.

? Considera la posibilidad de distintas alternativas para re- solver un problema. ?Planteaposiblessoluciones,lasensaya,construyeyrecons- truye sobre nuevas hipótesis, hasta alcanzar una solución válida. ? Sabe controlar el proceso de resolución de un problema. ? Analiza si el resultado obtenido es correcto o no. ? Sabe plantear nuevos enunciados de problemas a partir de los ya resueltos. ? Sabe conjugar la iniciativa personal con el trabajo solida- rio en grupo para resolver problemas.

Cuarta competencia: Comunica ideas matemáticas ?Poseedominiodellenguaje,oralyescrito,correspondien- te a su edad. ? Domina el vocabulario básico para una adecuada expre- sión matemática, incluyendo el manejo pertinente de los signos y símbolos. ?Hacecálculosmentalesyexpresaverbalmentelasolución del problema. ?Lee,interpretayexpresadatoscuantitativosycualitativos.

Séptima competencia:Sabe procesar e interpretar información ? Siente la necesidad de ser ordenado y sistemático en sus cosas, actividades y tareas escolares. ? Recolecta datos de naturaleza continua y discreta en su entorno. ? Describe, interpreta y saca conclusiones en forma oral y escrita acerca de la información que proporcionan tablas relativas a situaciones del entorno. ? Elabora tablas con datos referentes a situaciones escola- res, ambientales y sociales. ? Persevera en la realización de estudios estadísticos, des- de la recolección de datos hasta la interpretación de los resultados. Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático

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45 II. El desarrollo de las competencias La evaluación de competencias en los alumnos En cuanto a la evaluación de las competencias de los alum- nos, sólo es posible si se desarrolla la propuesta matemática y didácticapresentadaanteriormente,uotrasimilar,repetimoslo que se propuso en el caso del tema de la sustracción: para lle- var a cabo la evaluación de la presencia de estos indicadores en sus alumnos, el docente debe empezar por familiarizarse con la propuesta matemática y didáctica, por adquirir destreza en el manejo de los contenidos conceptuales y procedimentales, y en el planteamiento y la resolución de situaciones y problemas. Al pasar por esta experiencia personal, el docente debe evaluarse en forma continua y, así, ser capaz de descubrir en sí mismo la presencia de esos indicadores, con los matices correspondien- tes. Sólo después estará en condiciones de evaluar a sus alum- nos, actividad que le resultará más sencilla de lo que puede pa- recer inicialmente.

A modo de colofón No sabemos qué impresiones te habrá dejado, estimado(a) lector(a),lalecturadeesteProcesoEducativo.Peroprobablemen- te destaque la necesidad de manejar con su?ciencia y soltura el conocimiento matemático, con toda su riqueza de conceptos y procedimientos, y de relaciones entre ambos. Porque, como lo habráspercibido,ahíestálabasedecualquierplanteamientodi- dáctico orientado al desarrollo de las competencias de nuestros alumnos, y también el fundamento de la autonomía con la que puedes y debes moverte en el aula de matemática. Evidentemente, no es posible -dentro de los límites de este Proceso Educativo- tocar todos los temas matemáticos a los que hacen referencia nuestros programas escolares de matemática. Este es un trabajo más extenso que tendremos que abordar en el futuro y entre todos. Pero en este momento es importante que nos quede, no una sensación de desaliento al ver la magni- tud de la tarea que tenemos por delante en lo referente a nues- tra formación, sino el sentimiento de que la tarea es posible y de que somos capaces de abordarla con entusiasmo y con éxito. LaintencióndeesteCuadernohasidojustamenteladeapor- tar dos granitos de arena que nos permitan vislumbrar de qué modo podemos avanzar en el desarrollo del Eje de pensamien- tológicomatemático.Elestudioylare?exiónsobrenuestrapra- xispedagógica,compartidosconnuestroscolegas,quizánosper- mitan aportar otros granitos para compartir entre todos… 46 Desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático

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El desarrollo del pensamiento lógico-matemático Colección Procesos Educativos Nº 25 Texto: Martín Andonegui Zabala Equipo Editorial: Beatriz García,Antonio Pérez Esclarín, y Nieves Oliva García Corrección: Elda Rondini Diseño: Verónica Alonzo S. Signet V+O Comunicación Global C.A. Edita y distribuye: FE Y ALEGRÍA Movimiento de Educación Popular e Integral Centro de Formación Padre Joaquín-Caracas Calle 3B. Edi?cio C2-07, piso 1. Urbanización Industrial La Urbina. Telfs: (0212) 242.59.49 Fax: (0212) 242.76.04 E-mail: [email protected] Caracas. Municipio Sucre, estado Miranda. Centro de Formación Padre Joaquín- Maracaibo Av. Las Delicias, calle 97, Nº 15 – 139, Sector El Tránsito, Edi?cio Fe y Alegría. Telfs: (0261) 729.15.51 – 729.00.06 E-mail: [email protected] Maracaibo, estado Zulia. © Fe y Alegría, 2004 Colección Procesos Educativos Hecho el depósito de Ley Depósito Legal lf603199937025 (Serie) ISBN: 980-6418-12-3 (Obra completa) Depósito Legal lf 6032004370966 ISBN: 980-6418-60-3