dX dt V = , se lee derivada de la posición en el eje X respecto del tiempo. Donde X es un polinomio cuya variable es el tiempo.
Unidades de la velocidad: cm/s; m/s; km/h
La velocidad instantánea se representa mediante un vector tangente a la curva.
M.R.U. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
1. CONCEPTO: El móvil describe una trayectoria rectilínea, avanzando distancias iguales en intervalos de tiempos iguales. El cuerpo se mueve con velocidad constante (módulo y dirección). El móvil recorre 25 metros en cada segundo, equivalente a 90 km/h. El área bajo la recta representa el cambio de posición. T(s) El movimiento rectilíneo uniforme, es el movimiento más simple de la materia.
2. VELOCIDAD CONSTANTE La particula se mueve con velocidad constante en módulo y direccion. Es decir la trayectoria es rectilinea siempre. V (m/s)
25 0 1 2 3 4 T T T T d d d d X Y 0
V = 3. CARACTERÍSTICAS DE LA VELOCIDAD EN EL M.R.U. La velocidad instantánea es constante. La velocidad media es constante. La velocidad instantánea es igual a la velocidad media. La velocidad es una cantidad física vectorial, es decir tiene módulo y dirección. La rapidez es el módulo de la velocidad. Cálculo de la rapidez:
Cálculo de la distancia: d t d =V. t Cálculo del tiempo transcurrido: d V t = Unidades: d : metros ; V : m/s 4. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO (M.R.U.) La posición final de la partícula es igual a la adición de la posición inicial más el desplazamiento. xF = x0 +V.t El signo positivo o negativo representan la dirección de la cantidad vectorial. De otro modo, se reemplaza en la ecuación en signo de cada cantidad física vectorial. d
V t
t : segundos ;
x f : Posición final V : Velocidad x0 : Posición inicial t: tiempo transcurrido 5. EQUIVALENCIA Un kilómetro equivale a mil metros. Una hora equivale a 3 600 segundos. Una hora equivale a 60 minutos. Un minuto equivale a 60 segundos. 6. TIEMPO DE ENCUENTRO Dos cuerpo A y B se encuentra separados un distancia d, salen al encuentro simultáneamente con rapidez constante en direcciones opuestas. X (m) Y (m) X0 XF t 0 V d dA dB d VA VB A B
d = dA + dB ? d =VA.T +VB.T Tencuetro = d VA +VB d + dB = dA ? d =VA.T -VB.T Talcance = d VA -VB 8. TIEMPO DE CRUCE EN DIRECCIONES OPUESTAS Dos cuerpos rígidos A y B de largo apreciable como ocurre con los trenes, camiones, puentes, túneles, automóviles. Los cuerpos se mueven en direcciones opuestas. Tcruce = dA + dB VA +VB 9. TIEMPO DE CRUCE EN DIRECCIONES IGUALES Dos cuerpos rígidos A y B de largo apreciable como ocurre con los trenes, 7. TIEMPO DE ALCANCE Dos cuerpo A y B se encuentra separados un distancia d, salen simultáneamente en la misma dirección con rapidez constante. dA
dB d VA VB A B VA VB dA dB
Tcruce = dA + dB VA -VB 10. SONIDO Y ECO El eco es un fenómeno acústico. El sonido en una onda mecánica. El sonido necesita para propagarse un medio diferente al vacío. En el aire se propaga con una rapidez promedio de 340 m/s. El eco se produce cuando el observador percibe el mismo sonido por segunda vez debido al rebote de la onda sonora en algún obstáculo (montaña, cerro, pared, muro, etc.).
La rapidez del sonido en el aire seco a 0 ºC es de unos 330 m/s. La presencia de vapor de agua en el aire incrementa ligeramente dicha rapidez. Un aumento de la temperatura del aire también aumenta la rapidez del sonido. La rapidez del sonido en aire aumenta en 0,6 m/s por cada grado centígrado. La rapidez del sonido en un material dado no depende de la densidad material, sino de su elasticidad. El acero en un material elástico. Los átomos de un material elástico están relativamente juntos. El sonido se propaga unas quince veces más a prisa en el acero que en el aire, y unas cuatro veces más a prisa en agua que en el aire.
La ecuación muestra la variación de la rapidez del sonido en el aire debido al cambio de la temperatura en grados Celsius. m s V(T) =(330+ 0,6.T) ? T > 0 0C EJERCICIOS 1.Un piloto de MIG-29 prepara su nave para cumplir una misión aérea, después de 20 minutos en el aire logra recorrer 24 km en 0,5 minuto. Determine el valor de la velocidad en este tramo ( en m/s): A) 8 B) 80 C) 800 D) 160 E) N.A. 2.Una persona conduce su auto con M.R.U. a razón de 60 km/h, se le baja una llanta y emplea 20 minutos en cambiarla, si le faltan 120 km para llegar a su destino, entonces la rapidez constante (en km/h) que debe emplear para llegar a su destino en el tiempo predeterminado es: A) 65 B) 72 C) 80 D) 96 E) 100 camiones, puentes, túneles, automóviles. Los cuerpos se mueven en direcciones iguales
VA VB dA dB
3.Un tren de 200 m de largo se mueve en línea recta con rapidez constante. Si demora en pasar frente al poste 8 s y en atravesar el túnel 24 s. Determine el largo del túnel.
tunel A) 100 m B) 200 m C) 400 m D) 500 m E) 600 m 4.Se muestra dos esferas en movimiento. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s. A partir del instante mostrado, ¿después de qué intervalo de tiempo el hombre escuchará el sonido del choque entre las esferas?
V=0 12m/s 8m/s 900m 200m A) 10 s B) 3 s C) 13 s D) 14 s E) 16 s 5.Un hombre que se encuentra frente a una montaña emite un grito. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, ¿después de qué intervalo de tiempo escuchará el eco?
850 m A) 5 s B) 2,5 s C) 3 s D) 4 s E) 6 s 6.El ruido del motor del avión emito en la posición B escucha un hombre en A cuando el avión pasa por C con velocidad constante. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, determine la rapidez del avión (en m/s). 30° A C B A) 170 B) 220 C) 240 D) 260 E) 280 7.Dos móviles A y B salen del mismo punto con rapidez constante de 70 m/s y 50 m/s. ¿Después de cuántos segundos equidistan del poste?
600 m
A) 10 s B) 15 s C) 20 s D) 25 s E) 30 s 8.Un tren de 150 m de largo se mueve en línea recta con rapidez constante. Si demora en pasar frente al poste 5 s y en atravesar el túnel 25 s. Determine el largo del túnel. A) 100 m B) 200 m C) 400 m D) 500 m E) 600 m 9.Se muestra la posición inicial de los móviles que tienen velocidad constante. ¿Qué distancia estarán se parados después de 3 horas? 13 km 5 km/h 8 km/h A) 13 km B) 26 km C) 15 km D) 39 km E) 6,5 km 10. Un hombre se encuentra frente a dos montañas, en cierto instante emite un grito y después de 2 segundos escucha el primer eco y el otro, correspondiente a la otra montaña, en 5 segundos. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, determine la distancia de separación entre las montañas.
x A) 100 m B) 210 m C) 410 m D) 510 m E) 850 m
M.R.U.V.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
1. CONCEPTO: Es aquel movimiento donde el móvil describe una línea recta y además en intervalos de tiempo iguales los cambios de velocidad son iguales y las distancias recorridas son diferentes. Tiene aceleración constante. Los cambios de velocidad son iguales en tiempos iguales. La trayectoria o camino de la partícula es una línea recta. El móvil recorre distancias diferentes en tiempos iguales.
2. ACELERACIÓN LINEAL O TANGENCIAL.
La aceleración lineal mide la rapidez de cambio de la velocidad en módulo. En el M.R.U.V. la aceleración lineal es constante, es decir no cambia la dirección ni el módulo de la aceleración.
Unidad de la aceleración en el S.I.: m/s² o m.s-2 ?V t VF -V0 t a =
a = …. (1)
…. (2) VF =V0 +a.t …. (3) 3. VELOCIDAD MEDIA EN EL M.R.U.V. x ?V=2m/s 1s
1m/s 1s
3m/s 1s
5m/s 7m/s ?V=2m/s ?V=2m/s
(V0 +VF) (V0 +V0 + a.t) Multiplicado miembro a miembro (7) y (8):VF Despejando tenemos que: VF .t d = .t ? d = 2 2 Obtenemos: 2 d =V0.t + 1 a.t2 … (6) De (2): VF -V0 = a.t … (7) 2d t De (5): VF +V0 = …. (8) 2 -V02 = 2ad 2 =V02 + 2ad …. (9) De (3): VF =V0 -a.t … (10) t 0
Reemplazando (3) en (5): Dado que la velocidad varía linealmente, la velocidad media es igual a la semisuma de las velocidades inicial y final en cierto intervalo de tiempo. La velocidad media, es una velocidad constante en intervalo de tiempo “t” donde el móvil recorre una distancia “d”, cumpliéndose la siguiente ecuación: d =Vm.t …. (4) d = .t …. (5) 2
V (m/s)
VF
VMEDIA
V0
t (s)
(V0 +VF) (VF -a.t +VF) Reemplazando (10) en (5) .t d = .t ? d = 2 2 Obtenemos: d =VF.t – 12a.t2 4. SIGNOS DE LA ACELERACIÓN: Si la velocidad aumenta en módulo decimos que el movimiento es acelerado, en cambio si la velocidad disminuye en módulo decimos que el movimiento es desacelerado. VF =V0 ±a.t V0 VF VF : velocidad final (-) : Movimiento desacelerado
a X (m)
t En el movimiento acelerado la aceleración y la velocidad tienen la misma dirección. En cambio si el movimiento es desacelerado la aceleración tiene dirección opuesta (sentido opuesto) a la velocidad. V0 : velocidad inicial (+) : Movimiento acelerado
Y (m)
5. NÚMEROS DE GALILEO GALILEI. Galileo Galilei nació el 15 de febrero de 1564 en Pisa, Italia. El inicio el método científico experimental. Isaac Newton utilizó una de las descripciones matemáticas de Galileo, “la ley de la Inercia”, como fundación para su primera ley del movimiento. Galileo falleció en 1642, el año de nacimiento de Isaac Newton. 2 Analicemos el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, cuando tiene velocidad inicial diferente de cero.
d =V0.t + 1 a.t2 2 2 Para. t = n Para. t = n-1 Restando: d1 =V0.n+ 1 a.n2 d2 =V0.(n-1)+ 1 a.(n-1)2 dn = d1 -d2 Obtenemos que: 2 dn =V0 + 1 a.(2n-1) 2 d =V0.t + 1 a.t2 V0 t=0 t=n t = n-1 6. DESPLAZAMIENTO EN EL ENÉSIMO SEGUNDO Analicemos el caso, cuando el cuerpo acelera. El enésimo segundo está comprendido entre los instantes t = n-1 y t = n. Entonces la distancia que recorre en el enésimo segundo se determina restando, las distancias que recorre el móvil en los primeros n segundos y en los (n-1) segundos.
d1 d2 dn a 3K 5K a K V0 = 0 t=0 t=2s t=1s t=3s
X0 0.t1 a.t2 .t V 2 2 Para. t = n: Para. t = n-1: Restando:
Obtenemos que: 2 d1 =V0.n+ 1 a.n2 d2 =V0.(n-1)+ 1 a.(n-1)2 dn = d1 -d2 dn =V0 + 1 a.(2n-1) CASOS PARTICULARES a) Cuando el cuerpo acelera desde el reposo (V0 = 0), se cumple que: dn = 12 a.(2n-1) b) Cuando el cuerpo desacelera: 2 dn =V0 – 1 a.(2n-1) 2 2 … (1) … (2)
… (3) 2 Cambio de posición: d = X F – X0 La posición final: XF = X0 +d Para el M.R.U.V.: d =V0.t + 1 a.t Reemplazando (3) en (2) tenemos: X F = X 0 +V0.t + 1 a.t2 0 X F = + + 0! 1! 2! X X0 XF * Sidn es positivo el cuerpo se aleja del punto de lanzamiento.
* Sidn es negativo el cuerpo se aleja del punto de lanzamiento en la dirección opuesta.
* Sidn es cero el cuerpo regresa al punto inicial.
7. POSICIÓN DE LA PARTÍCULA EN EL EJE X Analizamos el movimiento de la partícula con aceleración constante, sobre el eje X, respecto de un sistema de referencia.
Y
d
?a a -a0 c.t X F = X0 +V0.t + + X0 0.t1 a.t c.t3 .t V 8. MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN VARIABLE Si el móvil tiene movimiento con aceleración que varía linealmente, entonces definimos una nueva medida del movimiento, denominada CELERIDAD (c), que mide la rapidez de cambio de aceleración en módulo. c = = F ?t t -0 Despejando tenemos que, la aceleración final es: aF = a0 +c.t
La velocidad final es:
2 VF =V0 + a0.t + 2 La posición final en el eje X es: X F = a0.t2 c.t3 2 6
0 2 + + + 0! 1! 2! 3! En la gráfica la razón tangente nos da el valor de la celeridad: Ahora podemos generalizar el movimiento rectilíneo: 0 X F = + + + +…+ 0! 1! 2! 3! n! Donde, Z es la última medida del movimiento de módulo constante. t (s) a (m/s2) t 0 af
a0 ? c =Tg? =
Y (m) X (m) aF -a0 t
Celeridad
Aceleración
Velocidad
Posición
9. SONIDO Y ECO El eco es un fenómeno acústico. El sonido necesita para propagarse un medio diferente al vacío. En el aire desarrolla una rapidez promedio de 340 m/s. El eco se produce cuando el observador percibe el mismo sonido por segunda vez debido al rebote de la onda sonora en algún obstáculo (montaña, cerro, pared, muro, etc.).
ALBERT EINSTEIN KOCH, físico de origen judío, recibió el premio nobel de Física en 1921 por su explicación del Efecto Foto Eléctrico. Se sabe que este genial científico tocaba el violín casi como un profesional. A
EJERCICIOS
1.Un automóvil que tiene M.R.U.V. disminuye su rapidez a razón de 4 m/s cada 2 segundos. ¿Cuántos metros recorrió en el último segundo de su movimiento? a V A) 1 m B) 2 m C)3 m D) 4 m E) 5 m 2.Un cuerpo parte del reposo M.R.U.V, si al transcurrir “t” segundos posee una rapidez “V” y luego de recorrer 15 m en 3 s su rapidez es “4V”. Hallar “t”. A) 1 s B) 2 s C)3 s D) 4 s E) 5 s
3.Un cuerpo parte del reposo M.R.U.V, y avanza 54 m en los 6 primeros segundos. ¿Cuántos metros avanza en los 4 segundos siguientes? A) 81 m B) 92 m C) 73 m D) 96 m E) 85 m
4.Dos autos separados 100 m sobre el eje X parten del reposo en el mismo instante y en la misma dirección, el primero con aceleración 5 i (m/s2) y el otro con aceleración 7 i (m/s2). ¿Al cabo de cuánto tiempo el más veloz alcanza al más lento? A) 10 s B) 20 s C) 30 s D) 8 s E) 5 s
5.Un auto parte del reposo con M.R.U.V. y recorre entre los puntos A y B de su trayectoria la distancia de 1,0 km durante 10 segundos, si al pasar por el punto B su rapidez es el triple de la que tuvo en el punto A. Determine la distancia que recorre entre el punto de partida y el punto A. A) 80 m B) 92 m C) 100 m D) 96 m E) 125 m
6.Un móvil que tiene M.R.U.V. se mueve en el eje X, pasa por el punto A con velocidad 40 i (m/s), pero 50 segundos después su velocidad es 60 i (m/s). Sabiendo que el móvil parte del reposo, ¿qué distancia recorre desde el punto de partida hasta el punto A?
A) 1 km B) 2 km C) 3 km D) 4 km E) 5 km 7.Un automóvil que tiene M.R.U.V, se mueve en el eje X con aceleración 2 i (m/s2), después de 5 segundos de pasar por un punto “P” posee una velocidad 20 i (m/s). ¿Qué velocidad tenía el auto cuando le faltaban 9 m para llegar al punto P? A) 5 i (m/s) B) 2 i (m/s) C) 3 i (m/s) D) 4 i (m/s) E) 8 i (m/s)
8.Un ciclista que tiene M.R.U.V. inicia su movimiento con velocidad 2 i (m/s), después de 2 segundos recorre 12 m. ¿Qué distancia recorre el ciclista en el tercer segundo? A) 8 m B) 9 m C) 30 m D) 12 m E) 24 m
9.Un móvil que tiene M.R.U.V. inicia su movimiento, desde el reposo, con aceleración 5 i (m/s2). Determinar la distancia que recorre en el quinto segundo de su movimiento. A) 22,5 m B) 25,5 m C) 30 m D) 50 m E) 24 m 10. Un móvil que tiene M.R.U.V. inicia su movimiento, desde el reposo, tal que su rapidez aumenta a razón de 10 m/s cada 5 segundos. ¿Qué distancia recorre en el primer minuto de su movimiento? A) 1,6 km B) 2,6 km C) 3,6 km D) 4,6 km E) 1,9 km 11. Una partícula parte del reposo con M.R.U.V y en los 5 primeros segundos recorre 32 m. ¿Qué distancia recorre en los 5 s siguientes? A) 88 m B) 89 m C) 90 m D) 96 m E) 99 m 12. Un móvil que tiene M.R.U.V. duplica su rapidez luego de recorrer 18 metros en 4 segundos. Determine el módulo de la aceleración (en m/s2). A) 0,65 B) 0,75 C) 0,85 D) 0,95 E) 0,5 13. Una bala impacta frontalmente a un bloque de madera con velocidad 120 i m/s, penetrando con M.R.U.V. durante 0,05 segundo hasta detenerse. Calcule la distancia que penetró la bala. A) 8 m B) 9 m C) 3 m D) 6 m E) 7 m 14. Dos móviles A y B están separados 36 metros sobre el eje “X”, el de atrás parte con aceleración 4 i m/s2 y el adelante con 2 i m/s2, ambos salen del reposo simultáneamente con M.R.U.V. ¿Qué tiempo tardó el móvil de atrás para alcanzar al otro? A) 1 s B) 2 s C) 6 s D) 8 s E) 5 s 15. Wall dispone de un minuto para pasearse en una moto recorriendo un tramo sobre el eje X, desde A hasta B (ida y vuelta). ¿Qué distancia máxima podrá alejarse con velocidad constante de 20 i m/s?, si debe regresar de B hacia A desde el reposo con aceleración de módulo 8 m/s2. A) 800 m B) 900 m C) 300 m D) 600 m E) 700 m
1) h =V0.t + 2 g.t 1) h =V0.t – 2 g.t 4) VF =V0 +2g.h 4) VF =V0 -2g.h CAÍDA LIBRE VERTICAL
1. CONCEPTO. Es aquel tipo de movimiento rectilíneo uniformemente variado (M.R.U.V.) cuya trayectoria es una línea recta vertical y que se debe a la presencia del campo de gravedad. La única fuerza que actúa sobre el cuerpo es su propio peso, ya que no considera la resistencia del aire. Este tipo de movimiento se obtiene, cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba, hacia abajo, o simplemente es soltado. En las ecuaciones cinemáticas no se considera la masa ni la fuerza resultante. La cinemática en general estudia as propiedades geométricas del movimiento.
GALILEO GALILEI (1564 – 1642) gran físico y astrónomo italiano que por primera ver empleo el método experimental de investigación en la ciencia. Galileo introdujo el concepto de inercia; estableció la relatividad del movimiento; estudio las leyes de caída de los cuerpos y del movimiento de estos por un plano inclinado; las leyes del movimiento, al lanzar uno objeto formando cierto ángulo con el horizonte; aplicó el péndulo simple para la medida del tiempo.
2. CONSIDERACIONES DEL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE * No se considera la resistencia del aire. * La altura máxima alcanzada es suficientemente pequeña como parar despreciar la variación de la aceleración de la gravedad. * La velocidad máxima alcanzada por el cuerpo es suficientemente pequeña para despreciar la resistencia del aire. * La altura alcanzada es suficientemente pequeña para considerar un campo gravitatorio homogéneo y uniforme. m N s kg
3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE VERTICAL Analíticamente el movimiento de caída libre es un caso es especial del M.R.U.V., donde la distancia se reemplaza por la altura y la aceleración lineal por la aceleración d e la gr a v e d a d. Cuando SUBE 2 1 2) h =VF.t + 12 g.t2
3) VF =V0 – g.t
2 2 .t (V0 +VF) 2 5) h = Cuando BAJA 2 1 2) h =VF.t – 12 g.t2
3) VF =V0 + g.t
2 2 .t (V0 +VF) 2 5) h =
T = Despejando: V0 g Tiempo de subida: V0 g tSUBIDA = =T Tiempo de vuelo: 2.V0 g tVUELO = = 2T 5. EL INTERVALO DE TIEMPO DEPENDE DE LA ALTURA Todos los cuerpos que se dejan caer simultáneamente con la misma velocidad inicial cero desde una altura, utilizan el mismo intervalo de tiempo para llegar al suelo. 2 h =V0.t + 1.g.t2
Reemplazando los datos tenemos: H = 0+ 12.g.T 2 el intervalo de tiempo de caída es: 2.H g T = 4. TIEMPO DE VUELO Consideremos un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba. Cuando el cuerpo alcanza la altura máxima su velocidad es nula. De la ecuación:
VF =V0 – g.t VF= 0 reemplazando los datos:
0 =V0 – g.T T V0 g V0= 0 H VF g T
0 =V -2g.H V 2 Reemplazando los datos:
2 0 2 0 2g H = 7. CAMBIO DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD La intensidad de la gravedad no es el mismo para todos los lugares de la Tierra, depende de la altura sobre el nivel del Mar y de la latitud. El movimiento de caída libre plantea la misma aceleración para todos los cuerpos cualquiera que sea su masa, a esta aceleración se le llama aceleración de la gravedad normal, cuyo valor es 45° de latitud es: m N s kg * En los polos: g = 9,83 m/s² (Máxima) * En el Ecuador: g = 9,78 m/s² (Mínima)
8. CAMPO GRAVITACIONAL No sólo la Tierra atrae a los cuerpos, también el Sol, la Luna y todo astro. Se entiende por “gravedad” a la región de espacio que rodea a un astro gracias al cual atrae a los cuerpos. Todos los planetas (Tierra) y satélites (Luna) generan a su alrededor un campo de gravedad. gTierra 6 gLuna = 9. INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO La aceleración de la gravedad “g” depende de la masa y el radio terrestre. Es decir la aceleración de la gravedad depende de la forma que tiene el cuerpo creador del 6. ALTURA MÁXIMA Un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba alcanza su altura máxima cuando su velocidad final en el punto más alto es igual a cero.
VF= 0 Aplicando la ecuación:
VF =V02 -2g.h H V0 g
Donde: 2 g G = campo gravitatorio. MT RT G: Constante de gravitación universal. G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 MT = masa de la tierra = 5,9.1024 kg RT = radio de la tierra = 6 400 km
K = 10. NÚMEROS DE GALILEO Si abandonamos un cuerpo de cierta altura, entonces la altura que recorre en cada segundo es directamente proporcional a los números impares. 2 h =V0.t + 1 g.t2 2 Para. t = n h 1 =V0.n+ 1 g.n2
Para. t = n-1 2 h2 =V0.(n-1)+ 1 g.(n-1)2
Restando: hn = h 1 -h2 Obtenemos que: 2 hn =V0 + 1 g.(2n-1)
CASO PARTICULAR Cuando V0 = 0 hn = 12 g.(2n-1) hn = K.(2n-1) Donde el valor de K es la mitad del valor de la aceleración. g =5 2 Considerando: g = 10 m/s2. En el primer segundo recorre 5 metros. En el segundo segundo recorre 15 metros. En el tercer segundo recorre 25 metros. En el cuarto segundo recorre 35 metros. En el quito segundo recorre 45 metros. En el enésimo segundo recorre 5(2n-1) metros. 3K 5K K V0 = 0 t=0s t=1s t=2s t=3s g
2 11. CUANDO EL CUERPO ASCIENDE (DESACELERA) Analicemos el movimiento de subida respecto de un sistema de referencia.
Ecuaciones:
1) h =V0.t – 1 g.t2 2 2) h =VF.t + 12 g.t2
3) VF =V0 – g.t
4) VF =V02 -2g.h .t (V0 +VF) 2 5) h = 2 2 2) h =VF.t – 12 g.t2
3) VF =V0 + g.t 2 4) VF =V02 +2g.h .t (V0 +VF) 2 5) h = 2 6) hn =V0 + 1 g.(2n-1) h g 6) hn =V0 – 1 g.(2n-1)
V0
12. CUANDO EL CUERPO DESCIENDE (ACELERA) Analicemos el movimiento de bajada respecto de un sistema de referencia.
Ecuaciones:
1) h =V0.t + 1 g.t2 VF Y (m) h (+) g VF V0 X (m)
X (m) Y (m)
13. TIEMPO DE ALCANCE: Cuando dos partículas son lanzadas simultáneamente, en la misma dirección, de diferentes posiciones, en una misma línea vertical; el tiempo de alcance es:
Del grafico tenemos la siguiente 2 2 ecuación:
H A -HB = H
(VA.T – 1 gT 2)-(VB.T – 1 gT 2) = H
simplificando tenemos: VA.T -VB.T = H
despejando obtenemos: Tencuentro = H VA -VB encuentro es:
Del grafico tenemos la siguiente ecuación:
H A + HB = H 2 1 (VA.T + 1 gT 2)+(VB.T – 2 gT 2) = H
simplificando tenemos:
VA.T +VB.T = H despejando obtenemos: VA H VB HA HB P g VB H VA
14. TIEMPO DE ENCUENTRO: Cuando dos partículas son lanzadas, simultáneamente, en direcciones opuestas, de diferentes posiciones en una misma línea vertical; el tiempo de HB HA P
g
Tencuentro = H VA +VB 15. LA ALTURA ES DESPLAZAMIENTO VERTICAL Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba respecto de un sistema de referencia. Ahora analizamos el movimiento de cuerpo en caída libre en forma vectorial, es decir considerando los signos. Entonces la altura tendrá signos positivo o negativo: (1) Si la altura tiene signo positivo significa que el cuerpo se encuentra sobre el nivel de referencia, subiendo o bajando. (2) Si la altura tiene signo negativo significa que el cuerpo se encuentra debajo de la línea de referencia descendiendo. (3) Si la altura es cero significa que el cuerpo ha regresado o está pasando en ese instante por el nivel de referencia (N.R.).
16. DISTANCIA QUE RECORRE EN EL ENÉSIMO SEGUNDO Analicemos el caso, cuando el cuerpo es lanzado verticalmente hacia abajo. El enésimo segundo está comprendido entre los instantes t = n-1 y t = n. Entonces la distancia que recorre en el enésimo h (+) h (-) h=0
N.R. Y (+) Y (-) X (+) g V1 V3 V4 V5 V2 t=n t = n-1 t=0 h1 h2 hn V0 g
segundo se determina restando las distancias que recorre el móvil en los primeros n segundos y en los (n-1) segundos. 2 h =V0.t + 1 g.t2 Para. t = n 2 h 1 =V0.n+ 1 g.n2 Para. t = n-1 2 h2 =V0.(n-1)+ 1 g.(n-1)2 Restando: hn = h 1 -h2 Obtenemos que: 2 hn =V0 + 1 g.(2n-1) CASOS PARTICULARES a) Cuando el cuerpo es abandonado, soltado o dejado caer (V0 = 0), se cumple que: hn = 12 g.(2n-1) b) Cuando el cuerpo es lanzado verticalmente hacia ARRIBA, el cuerpo inicia su movimiento en contra del campo de gravedad, es decir desacelera. 2 hn =V0 – 1 g.(2n-1) * Si hn es positivo el cuerpo se desplaza verticalmente hacia arriba. * Si hn es negativo el cuerpo se desplaza verticalmente hacia abajo. * Si hn es cero el cuerpo regresa al punto inicial. EJERCICIOS 1. Un cuerpo es lanzado con velocidad 60 j (m/s). ¿A qué distancia del nivel de lanzamiento se encuentra el cuerpo después de 4 segundos?. (g = 10 m/s2) A) 60 m B) 120 m C) 100 m D) 180 m E) 160 m 2. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio, si luego de 6 s su rapidez se duplica, determinar la velocidad de lanzamiento. (g = 10 m/s2) A) 15 j (m/s) B) 20 j (m/s) C) 30 j (m/s) D) 40 j (m/s) E) 25 j (m/s) 3. Un macetero cae de una ventana tocando el suelo con velocidad 30 j (m/s). Determinar el tiempo que demora en recorrer los últimos 40 metros. (g = 10
m/s2) A) 1 s B) 2 s C) 3 s D) 4 s E) 5 s 4. Un globo aerostático sube con velocidad 10 j (m/s) y cuando se encuentra a una altura de 75 m respecto del suelo desde el globo se deja caer una piedra. ¿Qué tiempo demora la piedra en llegar al suelo?. (g = 10 m/s2) A) 1 s B) 2 s C) 3 s D) 4 s E) 5 s
5. Un cuerpo se deja caer desde lo alto de una torre, ¿qué distancia recorre en el tercer segundo de su movimiento?. (g = 10 m/s2) A) 5 m B) 15 m C) 25 m D) 35 m E) 45 m
6. Un cuerpo se deja caer desde una altura de 45 m. ¿con qué velocidad llega a chocar con el piso? (g = 10 m/s2) A) -15 j (m/s) B) -20 j (m/s) C) -30 j (m/s)D) -10 j (m/s) E) -25 j (m/s)
7. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba y luego de 5 segundos su velocidad es –30 j (m/s). ¿Cuál fue la velocidad de lanzamiento?. (g = 10 m/s2) A) -15 j (m/s) B) -20 j (m/s) C) -30 j (m/s) D) -10 j (m/s) E) – 25 j (m/s)
8. Un cuerpo se suelta desde 80 m de altura respecto del piso. ¿Qué velocidad tendrá 35 m antes de impactar con el piso?. (g = 10 m/s2) A) 15 j (m/s) B) 20 j (m/s) C) 30 j (m/s) D) 40 j (m/s) E) 25 j (m/s)
9. Desde el piso se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil y cuando le falta 2 segundos para alcanzar la altura máxima se encuentra a 60 m del piso. ¿Cuál fue la velocidad de lanzamiento?. (g = 10 m/s2) A) 15 j (m/s) B) 20 j (m/s) C) 30 j (m/s) D) 40 j (m/s) E) 25 j (m/s)
10. Un globo se encuentra subiendo con velocidad de 5 j (m/s) y en el instante que se encuentra a 360 m del piso, desde el globo se deja caer una piedra. ¿Qué tiempo tarda la piedra en llegar a la superficie terrestre?. (g = 10 m/s2) A) 6 s B) 8 s C) 12 s D) 9 s E) 18 s
11. Una moneda se lanza con velocidad -5 j (m/s) en caída libre. ¿Qué altura recorre la moneda en el quinto segundo de su movimiento?. (g = 10 m/s2) A) 10 m B) 20 m C) 25 m D) 50 m E) 45 m
12. Diego suelta un objeto y observa que durante el penúltimo segundo de su movimiento recorrió 25 m. ¿Con qué velocidad impacto en el piso?. (g = 10 m/s2) A) -15 j (m/s) B) -20 j (m/s) C) -30 j (m/s) D) -40 j (m/s) E) –
25 j (m/s) 13. Desde una altura de 20 m respecto de la superficie de un lago, se suelta una esfera pequeña, el cual tarda 2,8 s en llegar hasta el fondo. Si cuando ingresa al agua mantiene su velocidad constante, determinar la profundidad del lago. (g = 10 m/s2) A) 16 m B) 2 m C) 15 m D) 5 m E) 14 m 14. Desde 5 m de altura sobre el nivel de un lago, se suelta una esfera pequeña. ¿Hasta que profundidad máxima llegará la esfera?, si la desaceleración que experimenta dentro del agua es -8 j m/s2. (g = 10 m/s2) A) 5 m B) 7,5 m C) 6,25 m D) 8,75 m E) 5,75 m 15. Una esfera pequeña se lanza desde la azotea de un edificio con velocidad 40 j (m/s), tardando en llegar al piso 10 s. ¿Cuál es la altura del edificio?. (g = 10 m/s2) A) 160 m B) 20 m C) 150 m D) 100 m E) 140 m
SEMANA 02: ESTÁTICA (primera condición de equilibrio) ESTÁTICA 1. CONCEPTO: Es un rama de la Física, que tiene la finalidad de analizar las condiciones que deben reunir un grupo de fuerzas actuantes sobre un cuerpo o sistema con al condición de mantenerlo en equilibrio. Si vemos un cuerpo en reposo u otro desplazándose con movimiento rectilíneo uniforme, estamos frente a fenómenos aparentemente distintos, pero en el fondo obedecen a las mismas leyes, pues ocurre que en Física ambas situaciones corresponden a un mismo estado, llamado equilibrio mecánico. El estudio de las leyes y condiciones que deben cumplir los cuerpos para encontrarse en dicho estado lo realiza aquella rama de la Mecánica llamada Estática, ciencia que data de la época de los egipcios y babilonios y que hoy ha dado lugar a la creación de varias ramas de la Ingeniería: Civil, Mecánica, Minera,…, etc. 2. INTERACCIÓN: Es una propiedad cualitativa de la materia. Todos cuerpos interactúan, por contacto, a distancia. Interactúan las partículas elementales, interactúan los átomos ionizados, interactúan las moléculas, interactúan los planetas, interactúan las estrellas. Los componentes de la materia siempre interactúan. 3. FUERZA: La fuerza en la medida cuantitativa de la interacción. Toda vez que dos cuerpos interactúan entre sí surge entre ellos una magnitud, que además de valor tiene dirección, sentido y punto de aplicación, llamada fuerza. La acción de la fuerza sobre los cuerpos depende del punto de aplicación, del módulo y de la dirección. Es esta magnitud que hace que los cuerpos estén en equilibrio, que cambien la dirección de su movimiento, o que se deformen. En general asociamos la fuerza con los efectos de: sostener, estirar, comprimir, jalar, empujar, tensar, atraer, repeler,…etc. Unidades: newtons (abreviado N). FUERZAS NOTABLES 4. FUERZA DE GRAVEDAD 0 PESO (W) Llamamos así a la fuerza con que la Tierra atrae a todo cuerpo que se encuentre en su cercanía. Es directamente proporcional con la masa de los cuerpos y con la gravedad local. Se le representa por un vector vertical y dirigido hacia el centro de la tierra.
5. FUERZA DE REACCIÓN NORMAL (N) Se le llama también fuerza de contacto, viene a ser la resultante de las infinitas fuerzas electromagnéticas que se generan entre las superficie de dos cuerpos cuando estas se acercan a distancias relativamente pequeñas, predominando las fuerzas repulsivas. La línea de acción de la normal es siempre perpendicular a las superficies de contacto.
6. TENSIÓN (T) Esta es la fuerza electromagnética resultante que se genera en el interior de una cuerda o un alambre, y que surge para oponerse a los efectos de estiramiento por parte de fuerzas externas que actúan en los extremos de aquellos. En estas fuerzas predominan los efectos atractivos
7. COMPRESIÓN (C): Es aquella fuerza generada internamente en el interior de una barra cuando fuerzas externas tratan de aplastar al cuerpo rígido. Para graficar la fuerza se realiza previamente una separación imaginaria. La fuerza de compresión se caracteriza por alejarse de la línea de corte. 8. FUERZAS DE ACCIÓN Y REACCIÓN Son aquellas fuerzas de origen electromagnético y/o gravitacional que se manifiestan cuando los cuerpos están en contacto físico o cuando están separados. Fuerza de atracción gravitacional entre el Sol y los planetas (ley de gravitación universal enunciado por Isaac Newton); fuerzas eléctricas de acción y reacción entre partículas electrizadas (Ley de Coulomb); fuerza magnéticas entre “polos magnéticos” o cargas magnéticas Norte y Sur.
9. TERCERA LEY DE NEWTON O PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN Establece que a toda fuerza de acción le corresponde una fuerza de reacción de igual módulo pero de sentido opuesto.
Características:
* Las fuerzas de acción y reacción siempre actúan en cuerpos diferentes. * Para ser graficadas requieren de una separación imaginaria de los cuerpos, si estos están en contacto. C C F F F F
* La dirección de las fuerzas de acción y reacción dependen de la calidad de las superficies en contacto. * Si las superficies son lisas serán perpendiculares a los apoyos de lo contrario no serán perpendiculares a los contactos.
10. LEY DE HOOKE “La fuerza generada en el resorte es directamente proporcional a la deformación longitudinal”.
F = K.x
Donde: k: constante de elasticidad del resorte en N/m x: deformación longitudinal, se mide en metros F: fuerza deformadora, se mide en newtons.
La fuerza en el resorte se puede manifestar como tensión cuando el resorte es alargado y como compresión cuando el resorte es aplastado.
11. FUERZA DE ROZAMIENTO O FRICCIÓN Es aquella fuerza de origen electromagnético que se manifiesta cuando un cuerpo trata de moverse o se mueve a través de una superficie rugosa, oponiéndose a su deslizamiento o traslación. La fuerza de rozamiento se grafica tangencialmente a las superficies en contacto con un sentido opuesto al movimiento o posible movimiento que intente realizar el cuerpo. El modulo de la fuerza de rozamiento es independiente del tamaño de las superficies en contacto, pero es proporcional a la reacción normal. De la figura, la reacción neta es R W N f R F (externa) ? µ
Fuerza externa 45º 0 Pero descomponiendo f : fuerza de rozamiento (roza la superficie) N: fuerza normal (perpendicular a la superficie) “?”: ángulo de desviación por rugosidad de la superficie: f N µ: coeficiente de fricción (adimensional)
12. LEY DE ROZAMIENTO El módulo de la fuerza de rozamiento es directamente proporcional al módulo de la reacción normal. f = µ.N . La fuerza de rozamiento se opone al movimiento relativo entre las superficies en contacto.
13. COEFICIENTE DE ROZAMIENTO Obsérvese que como µ = Tg? , puede ser mayor que la unidad; pero por lo general se trabaja con valores menores a uno (? < 45°). El coeficiente de rozamiento es una característica de de rugosidad entre dos superficies en contacto. Es decir expresa el grado de aspereza entre dos superficies. Es una cantidad adimensional (no tiene unidades).
FORMAS DE ROZAMIENTO
14. ROZAMIENTO ESTÁTICO: es aquella fuerza que se opone al intento de deslizamiento. Su valor es variable desde cero hasta un valor máximo cuando el cuerpo se encuentra en un movimiento inminente (pronto a moverse).
0 < fs < fmax ? fmax = µs.N µs : COEFICIENTE DE ROZAMIENTO ESTÁTICO. La fuerza estática máxima se aplica solamente cuando el cuerpo esta pronto a moverse.
Fuerza de rozamiento
f s(max)
CINÉTICA fk
15. ROZAMIENTO CINÉTICO: es aquella que se presenta durante el movimiento de los cuerpos, oponiéndose a su deslizamiento a través de la superficie rugosa. Su valor es constante, independiente del la velocidad y de la aceleración.
fk =constante ? fk = µk.N µk : COEFICIENTE DE ROZAMIENTO CINÉTICO. OBSERVACIONES: * El coeficiente de rozamiento estático es mayor que el coeficiente de rozamiento cinético. µk < µs * La fuerza de rozamiento disminuye con la humedad, el calor y cualquier otro lubricante (aceite, grasa, vaselina, etc.).
16. PRIMERA LEY DE NEWTON O PRINCIPIO DE INERCIA Todo cuerpo conserva su estado de reposo o de M.R.U mientras la acción de otros cuerpos no le obligue a salir de dicho estado. El estado de reposo o de M.R.U de un cuerpo, está supeditado a la acción de otros cuerpos (a través de fuerzas externas) y permanecerá indefinidamente siempre que estas acciones o fuerzas se anulen mutuamente.
(I) EQUILIBRIO ESTÁTICO: cuerpo en reposo relativo. (II)EQUILIBRIO CINÉTICO: cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U).
“Si la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es nula, entonces es posible que el cuerpo se encuentre en reposo relativo o es posible que tenga movimiento con velocidad constante”.
CONSECUENCIAS DE LA PRIMERA LEY DE NEWTON
17. INERCIA: Es una propiedad de la materia que se manifiesta como aquella oposición natural que ofrecen los cuerpos cuando se les trata de sacar de su estado de reposo o de M.R.U. La inercia es una propiedad cualitativa de la materia.
= = 18. MASA: Es una magnitud física escalar, que sirve para medir la inercia que poseen los cuerpos. La masa y la inercia son directamente proporcionales. La masa en la medida cuantitativa de la inercia.
19. EQUILIBRIO: Es aquel estado de reposo o de M.R.U que presenta un cuerpo, con respecto a un observador fijo (ubicado en un sistema de referencia inercial, como por ejemplo la Tierra).
20. TEOREMA DE LAMY O DE LAS TRES FUERZAS Si tres fuerzas coplanares actúan sobre un cuerpo en equilibrio, estas debe ser necesariamente concurrentes y además el módulo de cada fuerza es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto. La fuerza resultante es nula: F 1 + F2 + F3 = 0 1 F F2 Sena Senß F3 Sen? F1 F2
Figura 7.3 ? ß
F3 a F1 Figura 7.1
F2 F3
Siempre es posible construir con las tres fuerzas un triángulo, de tal manera que la fuerza resultante sea nula.
CASO ESPECIAL: Si los tres ángulos son iguales, entonces el módulo de las tres 0 1 fuerzas también son iguales: a = ß =? =120 ? F = F2 = F3 21. ISAAC NEWTON (1643 – 1727), genial físico y matemático inglés, uno de los celebres sabio en la historia de la humanidad. Newton formuló los principales conceptos y leyes de la mecánica, descubrió la ley de gravitación universal, creando por lo tanto un mundo científico que se mantuvo intacto hasta comienzo del siglo XX. Creó la teoría del movimiento de los cuerpos celestes (planetas y estrellas); explicó las principales particularidades de movimiento de la Luna; dio explicación a las mareas. En la óptica, a Newton se deben los admirables descubrimientos que facilitaron el desarrollo impetuoso de esta rama de la física. Estableció un auténtico método matemático de investigación del cálculo diferencial e integral. Esto influenció enormemente en todo el desarrollo ulterior de la física, facilitando la aplicación de los métodos matemáticos en ella. Isaac Newton nace el 25 de diciembre de 1643, un después del fallecimiento de Galileo Galilei.
22. PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO Se establece que, para que un cuerpo no se traslade aceleradamente, necesariamente la suma de todas las fuerzas actuantes deben ser igual a cero. ? a = 0 ?F = 0 Si la aceleración es nula; entonces es posible que el cuerpo esté en reposo o se mueve con velocidad constante. = 0 ? = 0 ?Fx ?Fy Si descomponemos las fuerzas sobre los ejes cartesianos, debe cumplirse que la sumatoria de las fuerzas en cada eje debe ser nula. 120° 120° F F F Figura 7.4
23. CENTRO DE GRAVEDAD: es aquel punto geométrico ubicado dentro o fuera del cuerpo, por el cual pasa la línea de acción de la fuerza resultante, de las fuerzas de gravedad que actúan sobre cada una de las partículas que forman el cuerpo. El centro de gravedad es el punto donde actúa el peso del cuerpo. CENTRO DE GRAVEDAD DE FIGURAS SIMPLES:
(1) El centro de gravedad de un placa triangular se encuentra en la intersección del as medianas, es decir el baricentro.
(2) El centro de gravedad de una barra homogénea se encuentra en el punto medio de la barra. (3) El centro de gravedad de una placa rectangular homogénea se encuentra en la intersección de las diagonales. (4) El centro de gravedad de un círculo homogéneo se encuentra en su centro geométrico. G L L
24. TIPOS DE EQUILIBRIO Equilibrio estable: equilibrio en el que un cuerpo, ligeramente desplazado de su posición inicial, tiende a volver a ella. Equilibrio inestable: equilibrio en el que un cuerpo separado de su posición, no la recupera. Es decir, si las fuerzas hacen que el cuerpo continúe moviéndose hasta una posición distinta cuando se desplaza, como ocurre con una varita en equilibrio sobre su extremo. Equilibrio indiferente: equilibrio en el que un cuerpo, ligeramente apartado de su posición de equilibrio, permanece en equilibrio en su nueva posición. Por ejemplo, una esfera INESTABLE ESTABLE INDIFERENTE
25. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.) ES EL GRÁFICO DE UN CUERPO O SISTEMA, EL CUAL SE REPRESENTA EN FORMA AISLADA DONDE SE SEÑALAN LAS FUERZAS EXTERNAS QUE ACTÚAN SOBRE EL CUERPO O SISTEMA.
En un diagrama de cuerpo libre se grafican solamente fuerzas externas al cuerpo o sistema de cuerpos. Las fuerzas internas al cuerpo o sistema se anulan entre si. Es aquel gráfico que muestra imaginariamente en forma aislada a un cuerpo o sistema, con todas las fuerzas actuantes, trazadas con el siguiente criterio:
(1) La fuerza de gravedad (W) será trazado siempre verticalmente hacia abajo y estará localizado en el centro geométrico del cuerpo si este es de masa homogénea, de lo contrario se nos tendrá que especificar. (2) La fuerza de rozamiento o fricción, será trazada opuesta a la tendencia al movimiento siempre que la superficie sea rugosa o en todo caso si el problema no especifica el tipo de superficie. (3) Las tensiones y compresiones serán graficadas. (4) Las reacciones en los puntos de apoyo serán graficadas previa separación de las superficies en contacto y teniendo en cuenta si la superficie es lisa o rugosa. (5) Las fuerzas externas serán graficadas tal como aparece o se menciona en el problema, pudiendo, inclusive, prolongarse su línea de acción. CAMPO DE GRAVEDAD
01.- Realizar el D.C.L de la esfera homogénea, siendo la pared lisa 02.- Realizar el D.C.L de la esfera homogénea, si esta en un plano inclinado rugoso.
03.- Realizar el D.C.L de la barra homogénea EJERCICIOS 1.La figura muestra dos cuerpos W = 1,5 kg y P = 3,5 kg, en reposo. Determine el módulo de la tensión en la cuerda. No hay rozamiento. (g = 10 m/s2)
W
P A) 10 N B) 15 N C) 40 N D) 45 N E) 50 N 2.La figura muestra dos cuerpos W = 6,5 kg y P = 3,5 kg, en reposo. Determine el módulo de la tensión en la cuerda (1). No hay rozamiento. (g = 10 m/s2) W P (1) A) 10 N B) 20 N C) 30 N D) 40 N E) 50 N 3.La figura muestra tres cuerpos A = 4,5 kg, B = 6 kg y C = 4,5 kg, en reposo. Determine el módulo de la tensión en la cuerda vertical. No hay rozamiento. (g = 10 m/s2) A B C A) 60 N B) 120 N C) 130 N D) 140 N E) 150 N 4.La figura muestra dos cuerpos W = 2 kg y P = 7 kg, en reposo. Si la polea tiene masa despreciable, determine el módulo de la fuerza de reacción del piso sobre el bloque P. No hay rozamiento. (g = 10 m/s2)
W P
A) 10 N B) 20 N C) 30 N D) 40 N E) 50 N 5.El bloque de 20 kg se encuentra en equilibrio. Si la cantidad de masa de la polea móvil es 4 kg, determinar el módulo de la tensión en la cuerda T. (g = 10 m/s2)
T A) 80 N B) 90 N C) 100 N D) 120 N E) 60 N 6.El bloque de 20 kg se encuentra en equilibrio. Si la cantidad de masa de la polea móvil es 4 kg, determinar el módulo de la fuerza F. (g = 10 m/s2)
F A) 80 N B) 90 N C) 100 N D) 120 N E) 60 N 7.El bloque de 9 kg se encuentra en equilibrio. Si la cantidad de masa de cada polea móvil es 1 kg, determinar el módulo de la fuerza F. (g = 10 m/s2)
F A) 3N B) 30 N C) 50 N D) 20 N E) 10 N 8.La figura muestra una esfera apoyada en una pared vertical, en equilibrio. Si el módulo de la tensión en la cuerda es 40 N, determine la cantidad de masa de la esfera. (g = 10 m/s2)
53° A) 10 N B) 12 N C) 24 N D) 20 N E) 60 N
9.La figura muestra una esfera de 5 kg apoyada en una pared vertical, en equilibrio. Si el módulo de la tensión en la cuerda JK es 130 N, determine el módulo de la fuerza de reacción de la pared sobre la esfera. (g = 10 m/s2)
K J A) 110 N B) 120 N C) 124 N D) 130 N E) 160 N
10. La figura muestra una esfera de 3 kg apoyada en una pared vertical, en equilibrio. Si el módulo de la tensión en la cuerda es 50 N, determine la medida del ángulo que forma la cuerda con la pared vertical. (g = 10 m/s2)
a° A) 37° B) 53° C) 30° D) 60° E) 20° 11. La figura muestra una esfera de 6 kg en reposo. Determine el módulo de la fuerza externa F. (g = 10 m/s2) 37°
F A) 30 N B) 40 N C) 50 N D) 70 N E) 80 N
12. La figura muestra una esfera de 8 kg en reposo. Determine el módulo de la fuerza externa F. (g = 10 m/s2) 53°
F A) 30 N B) 40 N C) 60 N D) 70 N E) 80 N
13. La figura muestra un bloque de 3 kg en equilibrio. Conociendo la fuerza externa F = 40 i (N), determine la medida del ángulo ? que define la posición de equilibrio. (g = 10 m/s2) A B
W F ? A) 37° B) 53° C) 30° D) 60° E) 20°
14. La figura muestra un bloque de 6 kg en equilibrio. Determinar el módulo de la fuerza externa F, sabiendo que ? = 45°. (g = 10 m/s2) F B
W A ? A) 60 N B) 40 N C) 50 N D) 70 N E) 80 N
15. La figura muestra un bloque de 3 kg en equilibrio. Determine el módulo de la tensión en la cuerda horizontal. (g = 10 m/s2) 37° T
W A) 130 N B) 40 N C) 50 N D) 30 N E) 80 N
SEMANA 03: DINÁMICA Y ROZAMIENTO DINÁMICA RECTILÍNEA 1. CONCEPTO: Una de las principales curiosidades del hombre ha sido, es y será el saber con certeza porqué se mueven los cuerpos. Descubrirlo tomo muchos años. Sin embargo, lo que mas impacto nos causa es el hecho de que el conocimiento de las leyes que lo explican pueden aplicarse tanto a cuerpos que están a nuestro alrededor como a los cuerpos celestes. El genio de Isaac Newton puso a nuestro alcance toda la comprensión de los movimientos a partir de sus causas, naciendo así la DINÁMICA. El trabajo de sus antecesores: Galileo, Kepler, Copérnico, Descartes, etc.; le permitió tener una buena base para sus estudios, que culminaron en “Las Tres Leyes de Newton”. 2. FUERZA Y MOVIMIENTO: Según el pensamiento Aristotélico, se supo que los cuerpos se movían gracias a la existencia permanente de una fuerza en la dirección del movimiento. Así, un borrador que se impulsa sobre una mesa se detiene inmediatamente después que dejamos de empujarlo. De acuerdo con Galileo, los cuerpos impulsados como el del ejemplo anterior se detienen como consecuencia de recibir una fuerza de rozamiento por parte del piso, de manera que en un piso liso y horizontal el borrador nunca se detendría, y ello se debe a que posee INERCIA. Sin embargo, ¿qué le sucede a la velocidad del borrador en la figura, donde a pesar de no existir rozamiento aplicamos una fuerza? 3. SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL: Se denomina de este modo al sistema de referencia que se encuentra fijo a la Tierra (reposo relativo) o se mueve con velocidad constante en linea recta respecto a otro sistema de referencia fijo a la Tierra. 4. SEGUNDA LEY DE NEWTON O LEY DE ACELERACIÓN Sir Isaac Newton descubrió que un cuerpo sometido a una fuerza resultante F no nula presenta siempre una velocidad variable; esto es, el cuerpo experimenta una aceleración. Sus observaciones y experimentos le permitieron establecer la siguiente ley: “Toda fuerza resultante desequilibrada que actúe sobre un cuerpo le produce una aceleración que será de la misma dirección y sentido que aquella, y su valor será directamente proporcional con la fuerza, pero inversamente proporcional con su masa”. “Toda fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo, originará en él una aceleración en su misma dirección”. F = Fuerza resultante (N) M = masa (kg) a = aceleración (m/s2)
FRESULTANTE M a = ? FRESULTANTE = M.a ”Si la fuerza resultante diferente de cero actúa sobre un cuerpo, entonces este acelera necesariamente. La aceleración que adquiere es directamente proporcional a ala fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. Además la fuerza resultante y la aceleración tienen la misma dirección”.
5. FUERZA DE GRAVEDAD: En una magnitud física vectorial. Se define como la fuerza resultante que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que lo rodean. Se representa por un vector vertical hacia abajo que indica en todo instante al centro de la Tierra. Analizando el movimiento de caída libre, la fuerza resultante es la “fuerza de gravedad” (W) sobre el cuerpo y la aceleración (a = g) es igual a la “aceleración de la gravedad”. F = m.a ? W = m.g
EJEMPLO 01: Un bloque se encuentra sobre un plano inclinado perfectamente liso. Determine el módulo de la aceleración del bloque sobre el plano inclinado. (g: módulo de la aceleración de la gravedad) m.g.Sen? = m.ax ? ax = g.Sen? F a
M X Y ?
Resolución Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque. No hay movimiento en el eje Y, mientras que el bloque acelera en el eje X. Entonces aplicamos la segunda ley de Newton en el eje X. ?Fy = 0 y ?Fx = m.ax
a = ? fuerzas en favor del mov.-? fuerzas en contra del mov. ?masas Pasos a seguir: (1) Se hace el diagrama del cuerpo libre de u sistema de cuerpos. (2) Se grafican solamente fuerzas externas al sistema. No se grafican las fuerzas internas al sistema. (3) Todos cuerpos involucrados deben ten el mismo modulo de aceleración. (4) La fuerza resultante se obtiene de la diferencia, fuerzas a favor del movimiento menos las fuerzas en contra del movimiento. (5) En el denominador siempre se coloca la masa total del sistema, es decir se coloca siempre la suma de masas de los cuerpos en movimiento.
George Atwood, ingeniero británico que debido a su experiencia docente, estableció ciertas reglas prácticas para determinar el módulo de la aceleración de un conjunto de cuerpos que se encuentran en movimiento.
EJEMPLO 02: Se muestra dos bloques A y B de masas 3 kg y 2 kg. Sabiendo que no a N
y mg.Sen? ? mg.Cos? x m.g ?
Respuesta: el módulo de la aceleración sobre el plano es g.Sen?
6. UNIDAD DE FUERZA EN EL S.I. La fuerza se mide en newton. Un newton es la fuerza resultante que actuando sobre un cuerpo de un kilogramo le produce aceleración de módulo de 1,0 m/s2. 1,0 newton =1,0 kg.m.s-2
7. MÉTODO DE ATWOOD PARA DETERMINAR LA ACELERACIÓN Teniendo en cuenta que las fuerzas internas en un cuerpo rígido no producen aceleración, entonces podemos determinar el módulo de la aceleración de un conjunto de cuerpos que tienen común el módulo de la aceleración.
existe rozamiento. Determinar el módulo de la aceleración de los bloques. 1 F1= 40 N F2 = 100 N a
3 kg B a
2 kg A Resolución Aplicamos el método de George Atwood, para determinar el módulo de la aceleración: F – F2 mA + mB 100N – 40N 60N 2 kg + 3 kg 5 kg
Respuesta: el módulo de la aceleración de los bloques es 12 m/s2.
8. SISTEMA DE REFERENCIA NO INERCIAL ( S2) Es aquel sistema de referencia (S2) con movimiento acelerado o desacelerado respecto a otro (respecto de la Tierra S1). El sistema de referencia no inercial puede tener aceleración tangencial y/o aceleración centrípeta.
Y S1 ? S2 X
9. PRINCIPIO D’ ALAMBERT Y LA FUERZA DE INERCIA Para el observador S2 (no inercial) la esfera suspendida en el techo del vagón se encuentra en reposo relativo. Por consiguiente la fuerza resultante es NULA. El método de D’ Alambert consiste en agregar una fuerza de INERCIA para producir el equilibrio relativo. Convencionalmente la fuerza de inercia tiene dirección contraria (opuesto) de la aceleración del sistema. FINERCIA = -m.a a
gefectiva = g +(-a) Aplicado el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de aceleraciones: Módulo de la gravedad efectiva: gefectiva = g2 + a2 X Expresión vectorial para la gravedad efectiva:
Y ? S2 a g gefec ? gefec a T ? T ? FINERCIA
M.g
FINERCIA = m.a
M.g
10. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Y GRAVEDAD EFECTIVA En el interior del sistema acelerado se genera una gravedad local cuya intensidad se denomina gravedad efectiva. La intensidad del campo local se obtiene adicionando la gravedad que genera la Tierra g más la aceleración del sistema pero con dirección opuesta (-a) .
El principio de equivalencia es una continuidad del principio de D’Alambert (fuerza de inercia). La fuerza de inercia fue propuesto por los físicos franceses D’Alambert y Lagrange (1850) y el Principio de Equivalencia fue desarrollado por Albert Einstein (1915) como una proposición que constituye la base del Principio General de la Relatividad. 11. EL PESO ES RELATIVO: Un hombre de masa m se encuentra parado sobre una balanza en el interior de un ascensor en movimiento. (1) Si el ascensor sube o baja con velocidad constante, la lectura en la balanza es: P = m.g. (2) Si el ascensor sube con aceleración constante a (acelerado), la lectura en la balanza es: P = m(g + a) (3) Si el ascensor baja con aceleración constante a (acelerado), la lectura en la balanza es: P = m(g – a) (4) Si el ascensor baja con aceleración constante a = g (acelerado), la lectura en la balanza es: P = 0. La lectura en la balanza en nula. EJEMPLO 01: Dentro de un ascensor se encuentra un hombre de masa 50 kg. Si el ascensor asciende con aceleración 2 j (m/s2), determine el módulo de la fuerza de reacción entre el piso y los zapatos del hombre (en N). j ( g = -10ˆ m/s2) Resolución El ascensor sube acelerando con módulo de 2 m/s2. Entonces si el ascensor sube con aceleración constante a (acelerado), la lectura en la balanza es: P = m(g – a) ? P = 50(10 + 2)= 600 N Respuesta: La lectura en la balanza es 600 N.
12. GALILEO GALILEI (1564 – 1462), físico y astrónomo italiano que, junto con el astrónomo alemán Johannes Kepler, comenzó la revolución científica que culminó con la obra del físico inglés Isaac Newton. Su nombre completo era Galileo Galilei, y su principal contribución a la astronomía fue el uso del telescopio para la obnservación y descubrimiento de las manchas solares, vales y montañas lunares, los cuatro satélites de Júpiter y las fases de Venus. En el campo de la física descubrió las leyes que rigen la caida libre de los cuerpos y el movimiento de los proyectiles. En la historia de la cultura, Galileo se ha convertido en el símbolo de la lucha contra la autoridad y de la libertad en la investigación. Nació cerca de Pisa el 15 de Febrero de 1564. Su padre, Vincenzo Galilei, ocupó un lugar destacado en la revolución musical que supuso el paso de la polifonía medieval a la modulación armónica. Del mismo modo que Vincenzo consideraba que las teorías rígidas impedían la evolución hacia nuevas formas musicales, su hijo mayor veía la teología física de Aristóteles como un freno a la investigación científica. Galileo estudió con los monjes en Vallombroso y en 1581 ingresó en la Universidad de Pisa para estudiar medicina. Al poco tiempo cambió sus estudios de medicina por la filosofía y las matemáticas, abandonando la universidad en 1585 sin haber llegado a obtener el título. 13. ISAAC NEWTON (1643 – 1727), genial físico y matemático inglés, uno de los celebres sabio en la historia de la humanidad. Newton formuló los principales conceptos y leyes de la mecánica, descubrió la ley de gravitación universal, creando por lo tanto un mundo científico que se mantuvo intacto hasta comienzo del siglo XX. Creó la teoría del movimiento de los cuerpos celestes (planetas y estrellas); explicó las principales particularidades de movimiento de la Luna; dio explicación a las mareas. En la óptica, a Newton se deben los admirables descubrimientos que facilitaron el desarrollo impetuoso de esta rama de la física. Estableció un auténtico método matemático de investigación del cálculo diferencial e integral. Esto influenció enormemente en todo el desarrollo ulterior de la física, facilitando la aplicación de los métodos matemáticos en ella. Isaac Newton nace el 25 de
diciembre de 1643, un después del fallecimiento de Galileo Galilei.
EJERCICIOS 1.Se muestra un bloque de 4 kg en movimiento sobre una superficie horizontal lisa. Si sale del reposo en t = 0 s, ¿qué distancia avanza en los primeros 20 segundos?
F = 40 N
4 kg A) 20 m B) 200 m C) 2 km D) 20 km E) 200 km 2.Se muestra un bloque de 8 kg en movimiento sobre una superficie horizontal lisa. Si sale del reposo en t = 0 s, ¿qué distancia avanza en los primeros 10 segundos?
50N
37° A) 200 m B) 250 m C) 2 km D) 25 km E) 250 km 3.Se muestra un bloque de 3,5 kg en movimiento sobre una superficie plana horizontal lisa. Si sale del reposo en t = 0 s, ¿qué distancia avanza en los primeros 15 segundos?
3N 60° 5N A) 225 m B) 250 m C) 2 km D) 25 km E) 250 km 4.Se muestra los bloques A = 2 kg y B = 8 kg, en movimiento sobre un superficie que no ofrece rozamiento. Sabiendo que F1 = 40 N y F2 = 100 N, determine el módulo de la fuerza de reacción entre los bloques A y B. A) 42 N B) 52 N C) 62 N D) 32 N E) 22 N A B C F 5.Se muestra dos bloques A = 2 kg y B = 3 kg en movimiento sobre la superficie plana horizontal lisa. Si el módulo de la fuerza es F = 120 N, determine el módulo de la tensión en la cuerda C.
movimiento A) 24 N B) 48 N C) 72 N D) 144 N E) 120 N
6.Se muestra los bloques A = 2 kg y B = 3 kg en movimiento, sin rozamiento. Determine el modulo de la tensión en l acuerda que une los bloques. (g = 10 m/s2)
B
A A) 36 N B) 18 N C) 22 N D) 14 N E) 12 N m m 7.Se muestra un sistema de bloques en movimiento, libre de rozamiento. Determine el módulo de la aceleración del bloque de mayor masa (en m/s2). (g = 9,8 m/s2)
g
4m A) g/2 B) g/3 C) g/4 D) g/5 E) g/6 8.Se muestra tres bloques en movimiento, sin rozamiento. Si A = 2 kg, B = 3 kg y C = 5 kg, determine el módulo de la tensión en la cuerda que une los bloquea B y C. (g = 10 m/s2)
B A C A) 15 N B) 20 N C) 25 N D) 35 N E) 40 N 9.Se muestra los bloques A = 3 kg y B = 7 kg, en movimiento, sin rozamiento. Determine el módulo de la tensión en la cuerda que une a los bloques. ( g = 10 m/s2)
A B A) 24 N B) 42 N C) 36 N D) 28 N E) 30 N 10. Se muestra dos bloques en movimiento, sin rozamiento. Si M = 1 kg, determine la tensión en la cuerda que une a los bloques. (g = 10 m/s2)
M 2M 30° A) 5N B) 7 N C) 10 N D) 15 N E) 30 N
ROZAMIENTO O FRICCIÓN 1. Fuerza de Rozamiento: Cuando un cuerpo se pone en contacto con otro y se desliza o intenta resbalar respecto a él, se generan fuerzas de oposición a estos movimientos, a los que llamamos fuerzas de fricción o de rozamiento. La naturaleza de estas fuerzas es electromagnética y se generan por el hecho de que las superficies en contacto tienen irregularidades (deformaciones), las mismas que al ponerse en contacto y pretender deslizar producen fuerzas predominantemente repulsivas. La fuerza de rozamiento es una componente de la resultante de estas fuerzas, su línea de acción es paralela a las superficies, y su sentido es opuesto al del movimiento relativo de los cuerpos. Debido a su compleja naturaleza, el cálculo de la fuerza de rozamiento es hasta cierto punto empírico. Sin embargo, cuando los cuerpos son sólidos, las superficies en contacto son planas y secas, se puede comprobar que estas fuerzas dependen básicamente de la fuerza de reacción Normal (N), y son aproximadamente independientes del área de contacto y de velocidad relativa del deslizamiento. 2. Fuerza de Rozamiento Estático (fS): Este tipo de fuerza aparece cuando los cuerpos en contacto no deslizan. Su valor máximo se presenta cuando el deslizamiento es inminente, y el mínimo cuando la intención de movimiento es nula 0 = fs = fs(max) ? fs(max) = µs.N 3. Fuerza de Rozamiento Cinético (fk): Estas fuerzas se presentan cuando las superficies en contacto se deslizan una respecto a la otra. Su valor es prácticamente constante, y vienen dados así: fk = µk.N µs : Coeficiente de rozamiento estático µk : Coeficiente de rozamiento cinético N fk Fexterna W
4. Coeficiente de Fricción ( µ ): el valor de “µ” representa de un modo indirecto el grado de aspereza o deformación común que presentan las superficies secas de dos cuerpos en contacto. Así mismo, “µ” depende de los materiales que forman las superficies. µk < µs µ : cantidad adimensional
5. GRAFICA FUERZA EXTERNA VERSUS FUERZA DE ROZAMIENTO: El módulo de la fuerza de rozamiento estático varía linealmente respecto de la fuerza externa aplicada al cuerpo. También observamos que el módulo de la fuerza rozamiento cinético es prácticamente constante. Resolución Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque. No hay movimiento en el eje Y, mientras que el bloque acelera en el eje X. ?Fy = 0 y ?Fx = m.ax 80 N 5 kg EJEMPLO 01: Se muestra un bloque de 5 kg sobre una superficie áspera donde el coeficiente de rozamiento cinético es 0,4. Si la fuerza horizontal constante que actúa sobre el bloque tiene módulo 80 N, determinar el módulo de la aceleración. (g = 10 m/s2) a
Cálculo de la reacción Normal: = 0 ? N = m.g ?Fy j A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60° j 2. Sobre un cuerpo de 5 kg actúa una fuerza constante de F = 40 i N. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es 0,2; calcular la aceleración (en m/s2) (g = -10ˆ m/s2)
F A) 2 i B) 3 i C) 4 i D) 5 i E) 6 i 3. El bloque se desliza sobre el plano inclinado. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la tabla es 0,5; calcular el módulo de la aceleración (en 80 N Cálculo de la fuerza de rozamiento: fk = µk.N ? fk = µk.m.g fk =(0,4).(5).(10) = 20 N 50 N 5 kg
fk
N
Entonces aplicamos la segunda ley de Newton en el eje X.
?Fx = m.ax ? F – fk = m.ax 80- 20 =(5).ax ? ax =12 m.s-2 Respuesta: el módulo de la aceleración es 12,0 m/s2.
EJERCICIOS
1. El bloque de 500 gramos de mueve con velocidad constate. Si el coeficiente de rozamiento es 0,75; determine la medida del ángulo ?.(g = -10ˆ m/s2)
V=Cte.
a a
j m/s2) ( g = -10ˆ m/s2)
a
53° A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A. j 4. L a figura muestra dos bloques A y B de 4 kg y 1 kg respectivamente. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque A y la superficie es 0,2; calcular el módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque A. (g = -10ˆ m/s2)
A B 37° A) 1,52 B) 2,4 C) 3,6 D) 4,8 E) N.A. j 5. El bloque de 2 kg se mueve por inercia sobre un a superficie horizontal. Si el coeficiente de rozamiento cinético es 0,65; calcular la aceleración (en m/s2) del bloque. ( g = -10ˆ m/s2) a
m A) -6,5 i B) -7,5 i C) -8,5 i D) -5,5 i j E) -4,5 i
6. La figura muestra dos bloques m1 = 4 kg y m2 = 6 kg. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre m1 y la superficie es 0,5, calcular la aceleración (en m/s2) de m1. (g = -10ˆ m/s2)
m1
m2 A) 2 i B) 3 i C) 4 i D) 5 i E) 6 i j 7. Sobre un cuerpo de 4 kg actúa una fuerza constate F = 70 i N. Si el coeficiente de rozamiento cinético es 0,75, calcular la aceleración (en m/s2). (g = -10ˆ m/s2) a
F k = 0,75 A) 5 i B) 10 i C) 14 i D) 15 i E) 16 i 8. El bloque de 4 kg se mueve por inercia sobre un a superficie horizontal. Si el coeficiente de rozamiento cinético es 0,35; calcular la aceleración (en m/s2) del
j bloque. ( g = -10ˆ m/s2) A) -2,5 i B) -3,5 i C) -4,5 i D) -5,5 i j E) -6,5 i
9. El bloque de 300 gramos se desliza sobre el plano inclinado. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la tabla es 0,2; calcular el módulo de la aceleración (en m/s2). ( g = -10ˆ m/s2)
37° A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 E) N.A. j 10. El bloque de 10 kg se encuentra inicialmente en reposo. Si el coeficiente de rozamiento estático y cinético es 0,8 y 0,6 respectivamente, calcular la aceleración (en m/s2). (g = -10ˆ m/s2) 85 N 10 kg 0,8 0,6 = A) 1,2 i B) 1,5 i C) 1,8 i D) 2,5 i j E) 3,6 i.
11. Sobre un cuerpo de 5 kg actúa una fuerza constante de módulo F = 50 N. Si el coeficiente de rozamiento cinético es 0,1; calcular el módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque. ( g = -10ˆ m/s2) 37° F A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) N.A. j 11. Sobre el bloque de 5 kg actúa una fuerza constante de módulo F = 50 N. Si el coeficiente de rozamiento cinético es 0,1; calcular la aceleración (en m/s2) del bloque. ( g = -10ˆ m/s2) 37° F k A) 2 i B) 3 i C) 4 i D) 5 i E) N.A.
SEMANA 04: TRABAJO y POTENCIA TRABAJO MECÁNICO
1. CONCEPTO DE TRABAJO Por propia experiencia sabemos que necesitamos fuerza para alterar la rapidez de un objeto, para vencer el rozamiento, para comprimir un resorte, para moverse en contra de la gravedad; en cada caso debe realizarse trabajo. En tal sentido, el trabajo es vencer siempre una resistencia. Luego, entendemos por trabajo a la facultad que tienen l as fuerzas para generar movimiento venciendo siempre una resistencia, sea ésta una fuerza o bien la propia inercia de los cuerpos, y sólo habrá trabajo sobre un cuerpo si éste se desplaza a lo largo de la línea de acción de la fuerza aplicada.
F
? Dialogo entre Juan (economista), Pedro (biólogo) y Pablo (físico), acerca del “Trabajo”:
Juan dice: El trabajo el la actividad mas importante que realiza el hombre y la mujer. El trabajo es fuente de riqueza.
Pedro agrega: El trabajo transforma al hombre en el tiempo, la forma de sus manos, su cara y en general de su anatomía se ha transformado en el tiempo debido al trabajo. Según la teoría de la evolución, el trabajo cumple un papel importante en la transformación del mono en hombre.
F F La fuerza que tiene la dirección del movimiento si realiza trabajo mecánico:
WA?B =(F.Cos?).d
También se puede escribir como:
WA?B = F.d.Cos? d A B Descomponiendo la fuerza, tenemos una componente a favor del movimiento y otra perpendicular al movimiento.
F.Sen?
F.Cos? Pablo interviene y dice: Realizar “trabajo mecánico” significa vencer o superar una resistencia con movimiento ordenado.
2. TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE
Si una fuerza mantiene siempre el mismo valor (módulo) y la misma orientación (dirección), se dice que es constante. Ahora, cuando el punto de aplicación de la fuerza se desplaza, se dice que la fuerza realiza trabajo, cuyo valor dependerá de la componente de la fuerza paralela a la dirección del movimiento y de la distancia recorrida.
F
? d A B
F ?B La fuerza perpendicular al movimiento NO realiza trabajo:
WA .Sen? = 0
3. INFLUENCIA DEL ANGULO EN LA CANTIDAD DE TRABAJO El ángulo ? que forma la fuerza y el desplazamiento varía entre 0º y 180º, por consiguiente la cantidad de trabajo depende del coseno de este ángulo. F A
La fuerza perpendicular al movimiento no realiza trabajo.
3.3 Si ? = 180º, la cantidad de trabajo es: W F = -F.d B d WA?B = F.d.Cos? …. (1)
3.1 Si ? = 0º, la cantidad de trabajo es: W F = +F.d
F
A
3.2 Si ? = 90º, la cantidad de trabajo es: W F = 0
F B d
W friccion = – fc.d = -µc.m.g.d …. (2) a) Cuando el cuerpo se mueve sobre un plano horozontal: A F B d N 4. TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA DE ROZAMIENTO La cantidad de trabajo que realiza la fuerza de rozamiento depende de la trayectoria que describe el cuerpo en movimiento. El valor tiene signo negativo, debido a que la fuerza de rozamiento se opone al desplazamiento del cuerpo. a) Cuando el cuerpo se mueve sobre un plano horizontal:
W
F fc
N
fk
W.Sen?
? W.Cos?
W
?
La cantidad de trabajo realizado por la fuerza de rozamiento sobre un palno inclinado: W friccion = – fc.d = -µc.m.g.Cos?.d
5. TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA DE GRAVEDAD La cantidad de trabajo que realiza la fuerza de gravedad no depende de la trayectoria, solamente de la altura entre el punto inicial y final.
1) Si el cuerpo se desplaza verticalmente hacia abajo la cantidad de trabajo es positivo:
A ? h B W
6. F4 F3 F2 37° F1 FR FR = m.a WA?B = FR.dAB…. (5)
De la segunda ley de Newton sabemos que:
W FR = FR.d = m.a.d Pero de la ecuación cinemática sabemos que: 2 VF -V02 2 a.d = W mg = +m.g.h …. (3)
2) Si el cuerpo se desplaza verticalmente hacia arriba la cantidad de trabajio es negativo:
B h
W
?
A
W mg = -m.g.h …. (4)
TRABAJO NETO Llamaremos trabajo neto o total a aquel que se consigue sumando los trabajos que varias fuerzas realizan sobre un mismo cuerpo para un desplazamiento determinado. El trabajo neto es igual al trabajo que realiza la fuerza resultante.
= FR.d = m.? ? = FR.d = – W +W +W +W – 2 FR W ?VF -V02 ? ? 2 ? reordenado tenemos que: 2 . . FR mVF mV02 2 2 W 37° A La cantidad de trabajo neto es igual a la variación de la energía cinética:
W FR = FR.d = ?EC
7. TEOREMA DE LA ENERGIA CINETICA El trabajo neto realizado sobre un cuerpo es igual a la variación de la energia cinetica entre dos puntos de la trayectoria.
B
F 3m W FR = ?EC …. (6) F mg N friccion mVf2 mVi2 2 2 = F 7.1 Cantidad de trabajo neto positivo: movimiento acelerado.
7.2 Cantidad de trabajo neto cero: movimiento con rapidez constante.
7.3 Cantidad de trabajo neto negativo: movimiento desacelerado.
8. GRAFICA FUERZA VERSUS POSICIÓN La cantidad de trabajo realizado por la fuerza es igual al área de la región bajo la curva. En general se considera el signo de la medida de cada región, dado que la cantidad de trabajo hecho por la fuerza puede ser positivo o negativo. WA?B = Areabajolacurva…. (7)
EJEMPLO 01: Se muestra la variación de la fuerza con la posición. Determinar la cantidad de trabajo que realiza la fuerza desde X1 = 0 hasta X2 = 3 m.
base.altura (3m).(4N) Resolución El módulo de la fuerza varía linealmente, entonces la cantidad de trabajo es numéricamente igual al área del triángulo. F F WA?B = ? WA?B = = 6 J 2 2 Respuesta: la cantidad de trabajo realizado por la fuerza es 6 J.
EJERCICIOS 1. Determine la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de módulo F = 40 N, para un desplazamiento de 5 metros hacia la derecha.
F = 40 N
4 kg A) 20 J B) 50 J C) 100 J D) 150 J E) 200 J 2. Determine la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de módulo F = 60 N, para un desplazamiento de 8 metros desde A hasta B.
F A B A) 48 J B) 480 J C) 100 J D) 150 J E) 200 J 3. Determine la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de módulo F = 50 N, para un desplazamiento de 6 metros hacia la derecha. X (m) F(N) 4 0 1 2 3 X (m) F(N) 4 0 1 2 3
50N
37° A) 48 J B) 480 J C) 24 J D) 240 J E) 200 J 37° A 4. Determine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza constante de módulo F = 50 N sobre el bloque desde A hasta B.
B
F 3m A) 150 J B) 480 J C) 240 J D) 250 J E) 200 J 5. Si el módulo de F1 = 50 N, determine la cantidad de trabajo neto sobre el bloque para un desplazamiento de 10 metros hacia la derecha. No hay rozamiento. 37° F2=100N 37° F1 A) 1,2 kJ B) 4,8 kJ C) 2,4 kJ D) 3,4 kJ E) 5,2 kJ 6. Determine la cantidad de trabajo neto sobre el bloque para un desplazamiento de 10 metros hacia la derecha. No hay rozamiento. 120° 30 N 50 N 60° A) 5 J B) 8 J C) 10 J D) 20 J E) 30 J 7. Sabiendo que: F1 = 50 N y F2 = 20 N, determine la cantidad de trabajo neto sobre el bloque para un desplazamiento de 8 metros hacia la derecha. No hay rozamiento. F2 F1
37° A) 50 J B) 80 J C) 108 J D) 320 J E) 430 J
8. Sabiendo que: F1 = 60 N, F2 = 50 N, F3 = 40 N, F4 = 10 N; determine la cantidad de trabajo neto sobre el bloque 15 kg, para un desplazamiento de 9 metros hacia la derecha. No hay rozamiento.
F4 F3 F2 37° F1 A) 50 J B) 810 J C) 108 J D) 320 J E) 430 J
9. Sabiendo que: F1 = 50 N, F2 = 20 N, F3 = 100 N; determine la cantidad de trabajo neto sobre el bloque de 20 kg, para un desplazamiento de 20 metros hacia la derecha. No hay rozamiento. F1
53°
A) 1,2 kJ F3 F2 37°
B) 2,6 kJ C) 2,4 kJ D) 3,4 kJ E) 5,2 kJ 10. Determinar la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de módulo constante F = 50 N, para un desplazamiento del bloque de 10 m hacia la derecha. El bloque acelera desde el reposo. Desprecie la masa de la polea móvil.
F A) 150 J B) 500 J C) 250 J D) 1 kJ E) 1,5 kJ 11. Se muestra un bloque de 5 kg que sube con aceleración constante de modulo 4 m/s2. Determine la cantidad de trabajo que realiza la tensión de módulo T cuando asciende 5 metros. (g = 10 m/s2)
T
movimiento A) 250 J B) 500 J C) 350 J D) 1 kJ E) 1,5 kJ 12. La mano del hombre eleva lentamente (equilibrio casi estático) un bloque de 3 kg hasta una altura de 4 metros sobre el piso. Determine la cantidad de trabajo realizado por el hombre. (g = 10 m/s2)
F
A) 100 J B) 110 J C) 120 J D) -120 J E) -140 J 0,8 13. Se muestra la variación de la fuerza con relación al desplazamiento del cuerpo sobre el eje “x”. Determine la cantidad de trabajo hecho por la fuerza variable para un desplazamiento desde x 1 = 0 m, hasta x2 = 0,8 m.
F(N) 50
x(m) 0 A) 40 J B) 20 J C) 50 J D) 1 kJ E) 2 kJ 45° 0 14. Se muestra la variación de la fuerza con relación al desplazamiento del cuerpo sobre el eje “x”. Determine la cantidad de trabajo hecho por la fuerza variable para un desplazamiento desde x 1 = 0 m, hasta x2 = 0,8 m.
F(N) x(m) A) 40 mJ B) 320 mJ C) 50 mJ D) 18 mJ E) 26 2 0 mJ
15. Se muestra la variación de la fuerza con relación al desplazamiento del cuerpo sobre el eje “x”. Determine la cantidad de trabajo hecho por la fuerza variable para un desplazamiento desde x 1 = 0 m, hasta x2 = 4 m.
F(N)
40
x(m) A) 40 J B) 20 J C) 50 J D) 40 J E) 160 J O x(m) 16. Se muestra la variación de la fuerza con relación al desplazamiento del cuerpo sobre el eje “x”. Determine la cantidad de trabajo hecho por la fuerza variable para un desplazamiento desde x 1 = 0 m, hasta x2 = 4 m.
F(N)
6
37°
A) 42 J B) 84 J C) 50 J D) 40 J E) 160 J 17. Se muestra un bloque de 3 kg en movimiento. Determine la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de gravedad desde A hasta B. (g = 10 m/s2) A
20 m
B A) 400 J B) 500 J C) 600 J D) 40 J E) 160 J 18. Se muestra un niño de 30 kg en movimiento sobre un tobogán. Determine la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de gravedad desde A hasta B. (g = 10 m/s2)
A
4m
B A) 1,2 kJ B) 500 J C) 600 J D) 1,4 kJ E) 120 30 m J
19. Se muestra una esfera de 0,5 kg en movimiento sobre un tobogán. Determine la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de gravedad desde A hasta B. (g = 10 m/s2)
A B A) 400 J B) 500 J C) 300 J D) 30 J E) 150 J 20. Se muestra un bloque de 5 kg en movimiento sobre un plano inclinado. Determine la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de gravedad sobre el bloque, cuando asciende 9 m. (g = 10 m/s2)
F
9m
40 m A) 450 J B) 500 J C) -300 J D) -350 J E) – 450 J
POTENCIA MECÁNICA
1. CONCEPTO DE POTENCIA Si contratamos a una persona para que lave nuestra ropa sin indicarle el tiempo, ella lo podrá realizar en una hora, en un día o en un año, con tal de que lo lave todo. Pero si se compra el trabajo de un día y se quieren hacer las cosas lo más rápido posible, lo que pretendemos es conseguir una cantidad de trabajo por hora. Este es el lenguaje práctico de la industria. La potencia es justamente esto, la rapidez de hacer trabajo. Albert Einstein dice: Las máquinas se seleccionan por la potencia que desarrollan. Si por ejemplo la máquina “A” tiene mayor potencia que la “B”, lo que queremos decir es que: –
– En el mismo tiempo la máquina “A” desarrolla mayor trabajo que la máquina “B”. La máquina “A” realiza el mismo trabajo que la máquina “B” pero en menor tiempo. Cantidad de trabajo hecho Tiempo empleado Potencia = …(1) 1 joule 1segundo 1watt = La cantidad de potencia mecánica se mide en watt (abreviado W).
2. POTENCIA MEDIA La potencia de un motor se puede determinar en función de la velocidad:
. F P = = = F.? ?.Cos? = FV.Cos? … (2) t t ? t ? V ? = ángulo entre F y t: tiempo transcurrido
CASO PARTICULAR Si ? = 0º, la potencia que desarrolla la fuerza es igual al producto de la fuerza por la rapidez.
F B . A P = FV …(3) 3. EFICIENCIA El trabajo útil o salida de potencia de una máquina nunca es igual a la de entrada. Estas diferencias se deben en parte a la fricción, al enfriamiento, al desgaste, la contaminación,…, etc. La eficiencia nos expresa la razón entre lo útil y lo suministrado a una máquina: .100% Potencia util Potencia entregada n = … (5) La eficiencia expresa el grado de perfeccionamiento de una maquina o motor.
La potencia se pierde debido al calentamiento de las piezas, el ruido (sonido) y combustión del petróleo (producción de dióxido de carbono). La eficiencia es una cantidad adimensional. Su valor esta comprendido entre cero y la unidad o entre 0 % y 100 %.
4. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA La potencia absorbida (entregada) es igual a la suma de la potencia útil, mas, la potencia perdida. e u P = P + Pp …. (6)
No existe ninguna maquina térmica o motor de eficiencia 100 %.Es imposible construir una maquina o motor de eficiencia 100 %.
5. UNIDAD DE TRABAJO Y ENERGÍA La cantidad de trabajo (en joule), es igual al producto de la potencia (en watt) por el intervalo de tiempo transcurrido (en segundo). El kilowatt es una unidad de potencia que equivale a mil (1 000) watts, y el kilowatthora es una unidad que por naturaleza le corresponde al trabajo, pero es más usada como unidad de energía eléctrica. Un kilowatthora (kw.h) corresponde a 1 000 W liberados continuamente durante una hora. Así pues, se tendrá que: W = P.t … (7)
1 kw.h = (1 000 W) (3 600 s) = 3,6. 106 J
EJEMPLO 01: Un horno eléctrico libera energía calorífica a razón 50 calorias segundo . ¿Qué cantidad de energía en kilojoules libera en 5 minutos? (1 caloría = 4,2 J) Resolución Si cada minuto equivale a 60 segundos, el tiempo transcurrido es 300 segundos. calorias segundo Pero cada caloría equivale a 4,2 joules. 4, 2 joules 1caloria W =1500calorias. = 6300J La cantidad de energía es: 6 300 joules.
Respuesta: En 5 minutos libera 6,3 kJ
EJEMPLO 02: Un horno eléctrico libera energía calorífica a razón 50 joules segundo . ¿Qué cantidad de energía en kilocalorías libera en 8 minutos? (1,0 J = 0,24 calorías)
Resolución Si cada minuto equivale a 60 segundos, el tiempo transcurrido es 480 segundos. joules segundo Pero cada joule equivale a 0,24 calorías. 0, 24caloria 1 joule W = 24000 joule. = 5760 calorias La cantidad de energía es: 5 760 calorías. Respuesta: En 8 minutos libera 5,76 kilocalorías
EJERCICIOS
1.Marcar falso (F) o verdadero (V), respecto a la eficiencia. I. No existe ninguna máquina o motor de eficiencia 100%. II. La eficiencia señala el grado de perfeccionamiento de una máquina o motor. III. La eficiencia es una cantidad adimensional. A) VVF B) FVV C)VFV D) VVV E) VFF
2.Un máquina recibe una cantidad de trabajo de 300 J, de los cuales pierde 60 J. Determine la eficiencia de la máquina. A) 0,60 B) 0,70 C) 0,80 D) 0,85 E) 0,90 3.Una máquina de eficiencia 75 % realiza un trabajo útil de 1,8 kJ en un minuto. Determine la potencia (en watts) entrega la máquina. A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50
4.El motor de un automóvil recibe 10 galones de gasolina de los cuales pierde 3 galones debido al calentamiento, sonido y combustión. Determine la eficiencia del motor. A) 0,60 B) 0,70 C) 0,80 D) 0,85 E) 0,90 5.Desde una altura de 5 metros se abandona un cuerpo de masa 2 kg. Determine la potencia realizada por la fuerza de gravedad (en watts) hasta que el cuerpo llegue al piso. (g = 10 m/s2) A) 100 B) 120 C) 30 D) 80 E) 90
6.El motor de un bote desarrolla una potenc
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