Teoría de conjuntos

“Teoría de conjuntos” Autores: Profesor instructor: Lic. Wilmer Valle Castañeda Profesor auxiliar: MsC: Mercedes Camejo Puentes

Nociones elementales de la teoría de conjuntos

ORIENTACIONES PARA EL TRABAJO CON LAS GUÍA DE ESTUDIO

El contenido de esta guía, te ayudará de manera satisfactoria a enfrentar el contenido que sobre los “Nociones elementales de la teoría de conjuntos” recibirás en este semestre. Está estructurada en 4 temas, en los cuales las definiciones, ejemplos y contenidos importantes están subrayados. Cada tema cuenta con las siguientes secciones: Para la autoevaluación: con un grupo de interrogantes para reflexionar sobre lo aprendido. Ponte a prueba: para que evalúes los contenidos adquiridos en el tema. Te deseamos lo mejor en este semestre. Cualquier sugerencia para mejorar la obra puede ser enviada a [email protected]

Nociones elementales de la teoría de conjuntos

OBJETIVOS GENERALES: 1. Contribuir a la formación de la concepción científica del mundo y a la formación política ideológica de los estudiantes, aprovechando las potencialidades de la asignatura, de modo que les permita defender la política educacional del Partido Comunista de Cuba y del Estado Cubano, teniendo en cuenta las mejores experiencias pedagógicas, así como los principios y normas de la ética profesional pedagógica, que permita formar actitudes revolucionarias, patrióticas y de amor al trabajo.

2. Contribuir al adiestramiento lógico lingüístico de los estudiantes y al logro de una correcta expresión oral y escrita, que permita a los estudiantes exponer sus argumentaciones de forma precisa, coherente, racional y convincente a partir del dominio de la simbología y terminología matemáticas, como base para su mejor desenvolvimiento en todos los ámbitos de su actividad futura.

3. Desarrollar hábitos de estudio y técnicas para la adquisición independiente de nuevos conocimientos y la racionalización del trabajo mental a partir de la utilización creadora de los recursos bibliográficos y tecnológicos.

4. Resolver ejercicios y problemas relativos a los contenidos que se trabajan en la escuela primaria con un mayor nivel de profundidad, aplicando definiciones y proposiciones con un adecuado rigor matemático.

TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS OBJETIVOS: 1) Explicar la importancia que tiene la teoría de conjuntos para la enseñanza preescolar. 2) Determinar el valor de verdad de proposiciones y saberlas utilizar en la fundamentación de sus razonamientos. 3) Aplicar las relaciones con conjuntos en el análisis de juicios y razonamientos de las Nociones Elementales de la Matemática.

SISTEMA DE CONOCIMINETOS:

Nociones elementales de la teoría de conjuntos – Importancia de la teoría de conjuntos para la enseñanza preescolar. – Formación de conjunto y relación de pertenencia. Representación de conjuntos Notación constructiva y notación tabular. Conjunto finito, infinito, unitario, nulo y universo. – Relaciones entre conjuntos. SISTEMA DE HABILIDADES: 1- Identificar las relaciones entre conjuntos. 2- Establecer relaciones entre conjuntos. 3- Representar relaciones entre conjuntos en diagramas de Venn. 4- Resolver problemas aplicando los contenidos del tema abordado. TEMA 2: OPERACIONES CON CONJUNTOS. OBJETIVOS: 1- Determinar el valor de verdad de proposiciones y saberlas utilizar en la fundamentación de sus razonamientos. 2- Aplicar las operaciones con conjuntos en el análisis de juicios y razonamientos de las Nociones Elementales de la Matemática. SISTEMA DE CONOCIMIENTOS: – Operaciones con conjuntos. Propiedades de las operaciones con conjuntos. Demostración de algunas de estas propiedades. SISTEMA DE HABILIDADES 1- Identificar las operaciones con conjuntos. 2- Establecer operaciones con conjuntos. 3- Representar operaciones con conjuntos en diagramas de Venn. 4- Resolver problemas aplicando los contenidos del tema abordado. BIBLIOGRAFÍA:

Nociones elementales de la teoría de conjuntos Colectivos de autores. Libro de matemática para la licenciatura en Educación Primaria. Colectivo de autores de la UCP Rafael María de Mendive. Compendio mínimo de lógica matemática, teoría de conjuntos, relaciones, funciones y numeración para la formación del maestro primario. List G. y otros. Lógica Matemática, Teoría de Conjuntos y Dominios Numéricos.

Nociones elementales de la teoría de conjuntos 1. FORMACIÓN DE UN CONJUNTO Y RELACIÓN DE PERTENENCIA. NOTACIÓN TABULAR, DESCRIPTIVA Y CONSTRUCTIVA. Aunque siempre hemos estado rodeados de conjuntos, e incluso formamos parte de diversos conjuntos, la noción de conjunto tardó en aparecer. A pesar de su tardía puesta en escena, la teoría de conjuntos es tan valiosa que ha afectado significativamente la estructura y el lenguaje de las matemáticas modernas. Sin miedo a exagerar, puede afirmarse que todas las ramas de la matemática utilizan conjuntos. Se puede atribuir el nacimiento de las ideas conjuntistas a los trabajos de los matemáticos alemanes Richard Dedekind (1831-1916) y Georg Cantor (1845- 1918) y Ernest Zermelo (1861-1953) estableció los axiomas sobre los que se desarrolló la teoría de conjuntos. Además los diagramas de Venn – Euler deben su nombre a los grandes matemáticos John Venn y Leonard Euler. Desde muy temprana edad surge en el niño la noción de pluralidad, colección, agrupación, reunión o variedad, surge lo que se acostumbra a llamar en Matemática, el concepto de conjunto. Los niños que comienzan la escuela trabajan larga e intensamente con conjuntos concretos, por ejemplo, con barras, semillas y otros tipos de conjuntos, y los utilizan para comparar, ordenar, quitar, antes de calcular con los números. Son ejemplos de conjuntos: – El conjunto de todos los estudiantes de nuestra universidad. – El conjunto de los puntos de un plano. – El conjunto de las letras del alfabeto español. A cada estudiante, a cada punto y a cada letra se le denomina elemento de cada uno de los conjuntos respectivamente. Los términos conjunto y elemento constituyen la base del lenguaje matemático. Conjunto y elemento son nociones primitivas que no pueden definirse, luego se toman como conceptos básicos, a partir de los cuales se pueden definir otros entes matemáticos y formular proposiciones verdaderas (teoremas) sobre relaciones y propiedades referidas a conjuntos.

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Para conjuntos dados es posible establece una y solo una de las posibilidades siguientes: – El objeto es elemento del conjunto formado. – El objeto no es elementos del conjunto formado.

Definición: Un conjunto está formado cuando para cada objeto, es posible decidir si es un elemento de conjunto o no.

Las reglas que rigen la construcción de conjuntos son: 1. La colección de objetos debe estar bien definida. Se debe saber con certeza cuándo un objeto pertenece al conjunto y cuándo no. El conjunto no está bien definido cuando hay ambigüedad sobre los elementos que lo componen o se requiere incorporar criterios adicionales para identificar tales elementos. Por ejemplo, si el conjunto está formado por las 15 empresas más importantes del país, se requiere conocer los criterios que confieren importancia a las empresas: volumen de ventas, capital social, número de empleados, etcétera. 2. Ningún objeto puede aparecer más de una vez; en general, los elementos deben ser distintos. Por ejemplo, el conjunto de letras que forman la palabra Habana es: h, a, b, n. 3. El orden en el que se enumeran los objetos no tiene importancia. Para simbolizar los conjuntos se emplean letras mayúsculas, por ejemplo: A = {letras vocales} que se lee: A es el conjunto de letras vocales. Las llaves sirven para encerrar entre ellas los componentes del conjunto o su descripción y los elementos que lo integran se simbolizan mediante letras minúsculas. Cuando un elemento x pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x ? A, se lee (x es un elemento de A, x pertenece la conjunto A o el conjunto A contiene al elemento a). En caso de que un elemento y no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y ? A, se lee (y no es un

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elemento de A, el conjunto A no contiene al elemento y o y no pertenece al conjunto A).

Ejemplo 1: Si A = {a, e, i, o, u}, entonces a ? A, b ? A, e ? A, f ? A Si B = {x?x es par}, entonces 3 ? B, 6 ? B, 11 ? B, 14 ? B

Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: 1- Por extensión: Cuando se enumeran sus elementos. 2- Por intención: Cuando se menciona una propiedad definida. En la primera de estas formas los elementos se encierran entre llaves separados por coma o punto y coma y se habla entonces de la representación tabular. Para la segunda forma existen dos variantes de representación: la descriptiva (la propiedad se enuncia en términos del lenguaje común) y la constructiva (la propiedad se enuncia mediante una forma proposicional).

Ejemplo 2: D = {1; 2; 3; 4; 6, 12} D: Conjunto de los divisores de 12. D = {x; x ? N; x |12}

Además los conjuntos se pueden representar mediante diagramas de Venn, que son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.

Ejemplo 3: Escribe en todas las formas posibles. Represéntalas en un diagrama de Venn A = {x ?x2 = 4} A: Conjunto formado por los números cuyo cuadrado es 4. A = {-2; 2}

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Nociones elementales de la teoría de conjuntos PARA LA AUTOEVALUACIÓN 1. a) ¿Cómo se denotan los conjuntos? b) ¿Qué requisitos debe cumplir un conjunto para que esté bien determinado? c) ¿Cómo escribir conjuntos en forma tabular, descriptiva y constructiva? d) ¿Cómo representarlos mediante un diagrama de Venn? e) Si P es el conjunto de los números pares, ¿qué significa 3 no pertenece a P? ¿Cómo se escribe esta relación simbólicamente? f) Si se tiene el conjunto de los seres vivos, y el conjunto de las personas que habitan la ciudad de Pinar del Río. ¿Crees que estos conjuntos están bien determinados? ¿Por qué?

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2. Con cada una de las frases siguientes se pretende indicar cómo determinar un conjunto. Decir en cada caso, si el conjunto queda bien determinado o no y explicar cada respuesta. a) El conjunto formado por los números: 7, 11, 25, 1000. b) Un conjunto formado por números. c) Un conjunto de lápices rojos que hay en tu escuela. d) Un conjunto formado por: tu profesor de Matemática, tu papá y tus compañeros y compañeras de aula. e) El conjunto de letras. f) Conjunto de extraterrestres viviendo en Cuba. g) Un conjunto formado por las letras de la palabra Revolución. 2.2 clasifica cada uno de los conjuntos anteriores 3. Escoge símbolos para denotar el conjunto y los elementos que lo constituyen en los conjuntos bien determinados del ejercicio anterior. 4. ¿Qué forma de representación se ha empleado en cada uno de los siguientes casos? Fundamenta. M = {x ? N ? 2 ? x ? 6}; Q = {0; 2; 4; 6: 9}; F: divisores de 8 a) Escribe M y F en forma tabular, Q en forma constructiva y descriptiva.

PONTE A PRUEBA 1. Con cada una de las frases siguientes se pretende indicar cómo determinar un conjunto. Decir en cada caso. Si el conjunto queda bien determinado o no y explicar cada respuesta. a) El conjunto formado por los números naturales menores que 12. b) Un conjunto formado por los estudiantes. c) El conjunto formado por las letras de la palabra lógica d) Un conjunto formado por los animales e) El conjunto de letras del alfabeto español f) Conjunto de los meses del año que tienen menos de 30 días g) Conjunto formado por el número natural que resulta de dividir 2 por 5

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h) Conjunto de años bisiestos. 1.2 Escoge símbolos para denotar el conjunto y los elementos que lo constituyen en los conjuntos bien determinados. 1.3 Clasifica cada uno de los conjuntos bien definidos. Fundamenta. 2. ¿Qué forma de representación de los conjuntos se ha empleado en cada uno de los siguientes casos? Fundamenta. 3. Escriba en forma constructiva y en forma descriptiva cada uno de los siguientes conjuntos: 4. Atendiendo a los conjuntos dados en el ejercicio anterior determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique las falsas. 5. Completa las proposiciones siguientes con los símbolos ? o ?: e) 2 ___ {1; 3; 5; 7}, b) 5 ___ {2; 4; 5; 6}, c) 3 ___ {x ? N / 2 < x < 6}, d) 2 ___ {4; 5; 6; 7}, 8 ___ {x ? N / 8 < x < 10}, f) 0 ___ ? g) América ___ { x / x es el nombre de un país }, 6. Definir por extensión cada uno de los siguientes conjuntos: a) A = {x ? Z / x2= 4} b) B = {x ? Z / x – 2 = 5} c) T = {x / x es una cifra del número 2324} d) C = {x ? Z / x es positivo y negativo} e) R = {x ? Z?x2=9} f) Q= {x / x es una letra de la palabra calcular} g) G = {x / x es una letra dela palabra CORRECTO} 7. Sea T = {x ? Z / 4x = 12}. ¿Es T=3? ¿Por qué? 8. Define en notación constructiva cada uno de los siguientes conjuntos: a) A: El conjunto de todos los números enteros entre 3 y 4 b) B: El conjunto de todos los números enteros positivos múltiplos de 3 c) C: El conjunto de los números reales que satisfacen la ecuación (3x + 1) (x + 2) = 0 d) D: El conjunto de todos los números enteros que satisfacen la ecuación (3x + 1) = 0 e) E: el conjunto de todos los números pares positivos. 9. Escribe en notación constructiva, tabular o descriptiva según corresponda:

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a) M = {x ? N?-3,4 ? x ? 8,286}

b) T = {1; 3; 6; 10; 15} c) C: Conjunto de los números naturales comprendidos entre 14 y 72 sin incluirlos. d) D = {1; 2; 4; 8; 16} e) E: Conjunto de todos los números naturales mayores que 5 f) F: Conjunto de todos los números naturales igual a 5 o mayor que 5 g) G: Conjunto de todos los números naturales que sean menor que -2 o mayor que 4 9.1 Representar en un diagrama de Venn los conjuntos M, T y D 10. Dados los conjuntos: A = {x ? N ? -6 ? x ? 3} B = {x ? N ? x ? 2,8} C = {x ? N ?-3,¯¯¯¯ ? x ? 4} a) Escríbelos en notación tabular b) Represéntelos en un diagrama de Venn c) Completa los espacios con los símbolos ?, ? 1 ___ A; 6 ___ A; 3 ___ B; 1 ___ B; 4 ___ C; 5 ___ C; 3___ C 11. Expresa los siguientes conjuntos en notación constructiva o descriptiva según corresponda. a) A = {x ? N?x es un dígito} b) B = { z ? H?z es el título de un libro}

c) C: El conjunto C cuyos elementos son todas las soluciones reales de la ecuación x + 4 = 5. d) D: El conjunto constituido por los números pares positivos. e) E: el conjunto constituido por las consonantes que en el idioma español se acentúan. f) F = {x ? R?5 ? x ? 7} g) G = {P ? P ? r}

Nociones elementales de la teoría de conjuntos h) H: el conjunto formado por todos los puntos del plano ? que está a una distancia igual a 5 cm de la recta r. i) I: el conjunto formado por todos los puntos de la esfera con centro en Q y radio igual a 5 cm.

Nociones elementales de la teoría de conjuntos 2. Conjunto finito, infinito, unitario, nulo y universo. Relaciones entre conjuntos. Un conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos. Se denota por: ? o bien por { }. El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto. Ejemplo 1: a) ? = {x ? son los dinosaurios que viven en la actualidad} b) { } = {x ? son los hombres mayores de 300 años} c) ? = {x ? son números positivos menores que cero} Un conjunto unitario es aquel formado por un solo elemento. Se denota por: {a} Ejemplo 2: a) El conjunto por los libertadores de América cuyas iniciales son S. B. b) El conjunto de todos los números naturales que son pares y primos a la vez. c) El conjunto solución de la ecuación 2x – 6 = 0, en el domino de los números naturales. Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados. Ejemplo 3: a) J = {x ? es el número de un día del mes de junio} b) K = {x ? x2 = 4} c) L = {x ? es la cantidad de autos en la ciudad de Pinar del Río} Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados. Ejemplo 4: a) N = {1, 3, 5, 7, 9, 11,…} b) M = {2, 4, 6, 8, 10,12,…} c) Q = {x ? es la cantidad de puntos en una línea} Se llama conjunto universo al que contiene a todos los elementos de un dominio determinado. Lo designamos con U. Nota: Hacer ver que a diferencia de que el conjunto vacío no contiene ningún elemento, el conjunto universo los contiene a todos.

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Ejemplo 5: El conjunto de los números naturales, puede ser el conjunto universo del conjunto de los números pares. El conjunto de las rectas de un plano, puede ser el conjunto universo de todas las rectas que se pueden trazar por un punto dado.

Ejemplo 6: Sean los conjuntos: U = {1; 3; 5; 7; 9}; N = {n ? N?n: 3 ? 3}; P = {x ? N? 2x + 3 = 6}; Q = {n ? N?3n ? 6} a) Escriba en forma tabular los conjuntos N, P y Q b) ¿Qué nombre recibirá cada uno de estos conjuntos? c) ¿Sobre qué dominio numérico está construido cada uno de los conjuntos anteriores?

Solución: a) N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, P = ?, Q = {3; 4; 5; 6; …}

b) Finito, Finito; Nulo, Infinito Naturales, que es el conjunto universo

Veamos las relaciones de inclusión: Conjuntos iguales: Se dice que los conjuntos A y B son iguales si cada elemento de A es un elemento de B, y cada elemento de B es un elemento de A. Se denota A = B. Si A y B no son iguales se denota A ? B y significa que, existe un x, elemento de A

que no es elemento de B, o que existe un x elemento de B que no es elemento de A. Propiedades: – Todo conjunto es igual a sí mismo, o sea, A = A. – Si A = B, entonces B = A.