Métodos estadísticos para la investigación (página 2)

Tabla 04. Datos de gasto máximo (x) del problema

Solución

La media y desviación estándar de los datos son respectivamente:

De la tabla de la distribución normal estándar acumulada se obtiene

Ejemplo 2.3 Resolver el ejemplo 2 usando la función de distribución Log-normal.

Solución

La media y desviación estándar de los datos, son estimadores de las media y desviación estándar de la población, son.

De la tabla de la distribución normal estándar acumulada o resolviendo la ecuación por tanteo, para este valor de F (z) se obtiene

z = 2.13

Despejando x de la ecuación

Ejemplo 2.4 Resolver el ejemplo 2 usando la función de distribución Pearson III.

Solución

De la tabla de la función Gamma (Aparicio, 1991) se obtiene, para estos valores de x2 y v, con 5 grados de libertad

F(x) = 95.5 %

Por lo tanto,

P (x ( 7 00) = l – F (7500) = 1 – 95.5 = 4.5%

b) De acuerdo con los problemas anteriores:

P (X ( x) = F(x) = F (y) = 0.9833

De la tabla de la función Gamma (Aparicio, 1991) se obtiene por interpolación para v = 5

Ejemplo 2.5 Resolver el ejemplo 2.2 usando la función de distribución Gumbel.

Tabla 05. Media y desviación estándar para la distribución Gumbel

Solución

Para 25 años de registro, del cuadro anterior se tiene:

Despejando x:

CAPITULO III

Diseño completamente al azar (DCA)

El diseño completamente al azar, es aquel en el cual los tratamientos se asignan completamente al azar a las unidades experimentales o, viceversa. Este diseño es usado ampliamente. Por lo tanto se considera que es un diseño eficiente cuando las unidades experimentales de las que se dispone son muy homogéneas.

3.1. Características principales

1. Aplicable sólo cuando las unidades experimentales son homogéneas (verificar si existe tal homogeneidad).

2. Los tratamientos pueden tener igual o diferente número de unidades experimentales.

3. La distribución de los tratamientos es al azar en las unidades experimentales.

El número de tratamientos está en función del número de unidades experimentales que se dispone. Es conveniente tener pocos tratamientos y más unidades experimentales que muchos tratamientos con pocas unidades experimentales.

3.2. Modelo estadístico Lineal

Este modelo lineal es la siguiente:

3.3. Esquema del diseño completamente al azar

Tabla 06. Representación simbólica del Diseño Completamente al azar (DCA)

3.4. Estimaciones

La técnica para hacer el análisis de varianza, mediante los mínimos cuadrados, nos permite hallar aquellos estimadores que nos aseguraran una suma de cuadrados del error mínimo.

3.5. Suma de cuadrados

3.6. Grados de libertad

Se define como el número de funciones linealmente estimables de los parámetros que pueden tener en el experimento; pero, las funciones linealmente estimables, no son sino el número de comparaciones en el diseño. Otros autores, definen, como los rangos de las matrices: r(X); y el rango de las matrices lo determinan las columnas independientes.

3.7. Cuadrado medio esperado

Conocido como esperanza matemática o valor esperado, es definido como el valor promedio ponderado de los valores que pueden asumir la variable.

Para hallar el valor esperado de una variable, cada uno de los posibles valores de la variable es multiplicado por su correspondiente probabilidad y el producto resultante es sumado. También se lo define como el valor medio de una variable aleatoria si el mismo experimento aleatorio se repite una y otra vez.

El cuadrado medio esperado (ECM), es una valiosa ayuda para el investigador, dado que indica el procedimiento adecuado a seguir en la estimación de parámetros o para la prueba de hipótesis acerca de los parámetros dentro del marco de trabajo en el modelo supuesto.

3.8. Análisis de varianza

Es una técnica matemática que nos permite descomponer una fuente de variación total en sus componentes atribuibles a fuentes de variación conocida. La tabla nos muestra el análisis generalizado para el diseño completo al Azar.

Tabla 07. Análisis de varianza del Diseño Completamente al Azar (DCA)

3.9. Prueba estadística de hipótesis

La hipótesis a probar es:

Para ellos se usa la prueba estadística de F, porque la suma de cuadrados de las fuentes de variación se atribuyen como variables X2 (Chi-cuadrado no central), las cuales son independientes entre sí, resultado basado en el Teorema de Cochran el cual dice: Que cada fuente de variación del diseño experimental corresponde a una estructura algebraica que recibe el nombre de forma cuadrática, la cual se distribuye como una X2 y entre las fuentes de variación.

Una prueba de F es la relación de dos X2 (Chi cuadrados) independientes divididos cada uno en sus respectivos grados de libertad.

Llamada F de Snedecor (lo que se halla en las tablas) tabulares. La prueba de F exige que sean dos X2 centrales o dos X2 no centrales.

3.10. Ventajas del diseño completamente al azar

• Es sencillo de planificar

• Existe más grados de libertad para estimar el error experimental

• Es flexible en cuanto a número de repeticiones y tratamientos

• Se puede tener diferentes números de repeticiones por tratamiento sin que el análisis se complique

• Es útil cuando las unidades experimentales tienen una sola variabilidad uniforme repartida

• Cuando se pierde alguna parcela experimental se puede considerar que se tenía diferente número de repeticiones por tratamiento

• El error experimental puede obtenerse separadamente para cada tratamiento para comprobar la suposición de homogeneidad del error.

3.11. Desventajas del diseño completamente al azar

1. No se puede controlar el error experimental, por lo tanto no es un diseño muy preciso

2. Cuando se tiene diferente número de repeticiones por tratamiento, es necesario calcular un error estándar por cada pareja de medias si se quiere comparar sus diferencias.

3.12. Usos del diseño completamente al azar

1. Es muy útil en ensayos de laboratorio o invernadero, donde las diferencias entre unidades experimentales son insignificantes.

2. Se usa en ciertos tipos de experimentos con animales.

3. No se usa en experimentos de campo dado que no da facilidades para controlar el error experimental.

3.13. Aplicación de programas estadísticos

En el presente texto se dará una introducción de diferentes paquetes estadísticos, tales como son: el MINITAB, SAS 9.2, SPSS, STAT, entre otros, pero para nosotros es muy importante aprender la aplicación a métodos estadísticos el Statistical Analysis System (SAS).

El SAS, o Statistical Analysis System, fue diseñado como una herramienta de análisis de datos para todo propósito. SAS proporciona herramientas para el almacenamiento y recuperación de información, modificación de datos y programación; elaboración de reportes, estadística simple y avanzada, y el manejo de archivos. Varios de los productos de SAS son integrados con el SAS BASE para proporcional un sistema completo. Por ejemplo, el módulo SAS/STAT provee una poderosa herramienta para procedimientos de análisis estadístico el cual incluye regresión, análisis de varianza, análisis de datos categórico, análisis multivariado, análisis discriminante, análisis de conglomerados, etc. El módulo SAS/ETS provee procedimientos para realizar análisis de Series de Tiempo y el SAS/IML es usado para la manipulación de datos matriciales.

Ejemplo.3.1 (Ejercicio con diferente número de observaciones)

Como parte de la investigación del derrumbe del techo de un edificio, un laboratorio prueba todos los pernos disponibles que conectaban la estructura de acero en tres distintas posiciones del techo. Las fuerzas requeridas para "cortar" cada uno de los pernos (valores codificados) son las siguientes:

Posición 1: 90, 82, 79, 98, 83, 91

Posición 2: 105, 89, 93, 104, 89, 95, 86

Posición 3: 83, 89, 80, 94

Efectúese análisis de variancia para probar con un nivel de significancia de 0.05 si las diferencias entre las medias muestrales en las tres posiciones son significativas

• a) Calculo del termino de corrección

Tabla 08. Resultado de Análisis de variancia de prueba de laboratorio

C.V. = 7.8766 %

Solucionario con el SAS

Resultados con el paquete del SAS

Ejemplo 3.2

Se realizan tres pruebas de la resistencia a la compresión en seis muestras de concreto. La fuerza que fractura cada muestra de forma cilíndrica, medida en kilogramos, está dada en el siguiente cuadro: Muestra

Pruébese con un nivel de significancia de 0.05 si estas muestras difieren en su resistencia a la compresión.

Tabla 09. Resultado de Análisis de variancia de prueba de laboratorio

Resultados con el paquete del SAS

Dependent Variable: R

PROGRAMAS DIVERSOS DEL DISEÑO COMPLETO AL AZAR APLICANDO EL SISTEMA PARA ANALISIS ESTADISTICO

CAPITULO IV

Pruebas de rango múltiple

4.1. Introducción

El investigador desea conocer si los tratamientos tienen algún efecto sobre la variable que se estudia. Es decir desea saber si las medias estimadoras de las &µ de las poblaciones de los tratamientos son iguales o distintas.

Es propósito de todo investigador que realiza un análisis de variancia de un experimento en particular, realizar la prueba sobre el efecto de los tratamientos en estudio, para ello hace uso de la prueba F el cual indicará si los efectos de todos los tratamientos son iguales o diferentes; en caso de aceptar la hipótesis de que todos los tratamientos no tienen el mismo efecto, entonces es necesario realizar pruebas de comparación de promedios a fin de saber entre que tratamientos hay diferencias, y para esto es necesario realizar pruebas de comparación múltiple como las siguientes:

• 1. Diferencia Limite Significativa o Diferencia Media Significativa (DLS)

• 2. Prueba de Rangos Múltiples de Duncan

• 3. Prueba de Rangos Múltiples de Tukey

• 4. Prueba de Comparación de Dunnet

• 5. Puebla de Student-Newman-Keuls (SNK)

4.2. Diferencia límite significativa o diferencia media significativa (DLS)

Es un procedimiento comúnmente usado para comparar la diferencia entre un grupo de medias y para comparar cada uno de los grupos de medias con un tratamiento estándar. Se justifica sólo en las siguientes condiciones:

a. La prueba F resulta significativa.

b. Las comparaciones fueron planeadas antes de ejecutar el experimento.

c. Es solamente valido para algunas comparaciones específicas, ya que al incrementarse el número de comparaciones se incrementa el error tipo I.

4.3. Prueba de rangos múltiples de Duncan

La prueba de rango múltiple Duncan es una comparación de las medias de tratamientos todos contra todos de manera que cualquier diferencia existente entre cualesquier tratamiento contra otro se verá reflejado en este análisis. Utiliza un nivel de significancia variable que depende del número de medias que entran en cada etapa de comparación.

La idea es que a medida que el número de medias aumenta, la probabilidad de que se asemejen disminuye. Para obtener los comparadores Duncan, se toman de la tabla de Duncan los valores de acuerdo al número de tratamientos y con los grados de libertad del error. Cada uno de estos valores será multiplicado por el error estándar de la media y éstos serán los comparadores para determinar cuáles diferencias son significativas.

Este procedimiento es utilizado para realizar comparaciones múltiples de medias; para realizar esta prueba no es necesario realizar previamente la prueba F y que ésta resulte significativa; sin embargo, es recomendable efectuar esta prueba después que la prueba F haya resultado significativa, a fin de evitar contradicciones entre ambas pruebas.

Las características son las siguientes:

4.4. Prueba de rangos múltiples de Tukey

Este procedimiento es llamado también 넩ferencia Significativa Honesta묠se utiliza para realizar comparaciones múltiples de medias; esta prueba es similar a la prueba de Duncan en cuanto a su procedimiento y además es más exigente.

La prueba Tukey se usa en experimentos que implican un número elevado de comparaciones o se desea usar una prueba más rigurosa que la de Duncan. Es de fácil cálculo puesto que se define un solo comparador, resultante del producto del error estándar de la media por el valor tabular en la tabla de Student-Newman-Keuls y usando como numerador el número de tratamientos y como denominador los grados de libertad del error.

Debe considerarse que esta prueba es más estricta en su clasificación; así el 5% de Tukey casi es equivalente al 1% de Duncan

4.5. Prueba de Comparación de Dunnet

Esta prueba es útil cuando el experimentador está interesado en determinar que tratamiento es diferente de un testigo, control o tratamiento estándar, y no en hacer todas las comparaciones posibles (que pasarían a una segunda prioridad); es decir, cuando se quiere comparar el testigo con cada uno de los tratamientos en estudio. Tiene las siguientes características:-Se utiliza cuando existe tratamientos testigo o control y se desea comparar este testigo con los demás tratamientos.

La prueba de F-calculado del ANDEVA debe ser significativa.- Las comparaciones son planteadas antes de realizar el experimento.- Es una prueba modificada de la prueba DLS.- Se utiliza un tratamiento de control como punto de referencia con el cual comparar todos los demás tratamientos.

4.6. Prueba de Student-Newman-Keuls (SNK)

La prueba con el comparador Student-Newman-Keuls (SNK) es similar en metodología a la de Duncan, pero con un nivel de rigurosidad intermedio con respecto a Duncan y Tukey, es decir, ni tan exigente como Tukey, ni tan flexible como Duncan.

Este procedimiento es más conservativo que el de Duncan en el número de diferencias que declara significativa. Por lo tanto, en situaciones en las cuales no es necesario ser tan conservativo se sugiere el uso de esta metodología probabilidades más relajado, digamos un 10% a un más alto.

4.7. Transformación de datos

La razón principal de la transformación de datos es que de llevarse a cabo un análisis estadístico con resultados que no cumplan con los supuestos acerca del modelo estadístico, se puede llegar a una conclusión equivocada.Un cambio de escala puede variar la media y la variancia de la variable así como su relación con respecto a otras variables.

La forma de la distribución de una variable cambia con la escala. Mediante una transformación adecuada puede conseguirse que un variable que no se distribuye normalmente pase a tener una distribución casi normal. Las poblaciones con variancias desiguales pueden convertirse en homocedásticas (variancias homogéneas) mediante una transformación apropiada. Las transformaciones más usadas son:

4.7.1. Transformación logarítmica

Si los bloques y los tratamientos aumentan o disminuyen las mediciones en un determinado porcentaje en lugar de una determinada cantidad, entonces se dice que los efectos son multiplicativos y no aditivos.

En estos casos, una transformación logarítmica transformará en aditiva la relación multiplicativa y en consecuencia el modelo lineal podrá ser aplicado a los nuevos datos.

Para ciertos tipos de análisis, el investigador prefiere la escala que elimina las interacciones mientras que para otras puede preferir la escala que restituye los efectos lineales. Lo que hay que recordar es que la relación entre las variables está muy influenciada por las escalas con las que se miden dichas variables. Las interpretaciones de los datos sólo son válidas en relación con la escala particular adoptada en un caso determinado.

4.7.2. Transformación de la raíz cuadrada

Cuando los datos están dados por números enteros procedentes del conteo de objetos, como por ejemplo el número de manchas en una hoja o el número de bacterias en una placa, los números observados tienden a presentar una distribución de Poisson más que una distribución normal.

Las consideraciones teóricas conducen a la transformación de la raíz cuadrada de los números observados.Normalmente esta transformación determina que las variancias de los grupos sean más iguales. También es aplicable a las distribuciones sesgadas puesto que acorta la cola larga. Si y es el número observado, para el análisis estadístico y la prueba de significación utilizaremos y1/2. Cuando los números observados son pequeños (de 2 a 10), se prefiere la transformación (y+0.5)1/2, en especial cuando algunos de los números observados son cero.

4.7.3. Coeficiente de variabilidad

Es una medida de variabilidad relativa (sin unidades de medida) cuyo uso es para cuantificar en términos porcentuales la variabilidad de las unidades experimentales frente a la aplicación de un determinado tratamiento. En experimentación no controlada (condiciones de campo) se considera que un coeficiente de variabilidad mayor a 35% es elevado por lo que se debe tener especial cuidado en las interpretaciones y ó conclusiones; en condiciones controladas (laboratorio) se considera un coeficiente de variabilidad mayor como elevado.

CAPITULO V

Diseño en bloque completo al azar (DBCA)

5.1. Definición

Se llama también experimento con dos criterios de clasificación, porque tiene dos fuentes de variación; estas son tratamientos y bloques: este diseño es un modelo estadístico en el que:

• Se distribuyen las unidades experimentales en grupos o bloques, de tal manera que las unidades experimentales dentro de un bloque sean homogéneas, pero entre grupos haya heterogeneidad y que en el número de unidades experimentales dentro de un bloque sea igual al número de tratamientos por investigar.

• Los tratamientos son designados al azar a las unidades experimentales dentro de cada bloque.

5.2. Características:

1. Las unidades experimentales son heterogéneas.

2. Las unidades homogéneas están agrupadas formando los bloques.

3. En cada bloque se tiene un número de unidades igual al número de Tratamientos (bloques completos)

4. Los tratamientos están distribuidos al azar en cada bloque.

5. El número de repeticiones es igual al número de bloques.

5.3. Modelo estadístico lineal

En este diseño el valor de cada unidad experimental Yij se explica según el siguiente modelo estadístico lineal:

Tabla 10. Representación simbólica de los datos en un diseño en Bloque Completo Al Azar con "t" tratamientos y "r" repeticiones

Tabla 11. Análisis de Varianza generalizado para un Diseño en Bloque Completo Aleatorio

Ejemplo 5.1.

Se diseñó un experimento para estudiar el rendimiento de cuatro (04) detergentes diferentes. Las siguientes lecturas de "blancura" se obtuvieron con un equipo especialmente diseñado para 12 cargas de lavado distribuidas en tres (03) modelos de lavadoras:

Considerando los detergentes como tratamientos y las lavadoras como bloques, efectuar el análisis de variancia y su prueba con un nivel de significación de 0.01 si existen diferencias entre los detergentes o entre las lavadoras. Además, efectuar la prueba de Rango Múltiple de Duncan a la probabilidad de 0.01.

data experimento;

RESULTADO DE SAS

Dependent Variable: rendto

Duncan's Multiple Range Test for rendto

NOTE: This test controls the Type I comparisonwise error rate, not the

experimentwise error

rate.

PROGRAMAS VARIOS DE DISEÑO BLOQUE COMPLETO AL AZAR

CAPITULO VI

Diseño de cuadrado latino (DCL)

6.1. Introducción

El agrupamiento de las unidades experimentales en dos direcciones (filas y columnas) y la Asignación de los tratamientos al azar en las unidades, de tal forma que en cada fila y en cada columna se encuentren todos los tratamientos constituye un diseño cuadrado latino.

Este diseño es una extensión del Diseño Bloque Completo al Azar y se utiliza cuando las unidades experimentales, a las cuales se van a aplicar los tratamientos pueden agruparse de acuerdo a dos fuentes de variabilidad llamadas bloque (hileras) y columnas respectivamente, también se le conoce con el nombre de doble bloqueo.

En la experimentación agrícola es posible emplear este diseño principalmente cuando se quiere eliminar el efecto de la variabilidad debido a doble pendiente del terreno. Este diseño se caracteriza que el número de bloques sea igual al número de tratamientos, esto es r = t y el número total de unidades experimentales en el experimento debe ser igual a r2

Este diseño se recomienda cuando el número de tratamientos varía entre 3 y 10. Además se puede emplear siempre que haya homogeneidad dentro de bloques y dentro de columnas, pero alta heterogeneidad entre bloques entre columnas.

6.2. Características

1. Las u.e. se distribuyen en grupos, bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma.

2. En cada fila y en cada columna, el número de unidades es igual al número de tratamientos.

3. Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna.

4. El número de filas = número de columnas = número de tratamientos.

5. Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en

Pruebas de contraste se procede como el diseño completo al azar y el diseño de bloques. La desviación estándar de la diferencia de promedios y la desviación estándar del promedio, están en función del cuadrado medio del error experimental.

El nombre de cuadrado Latino se debe a R.A. Fisher [The Arrangement of Field Experiments, J. Ministry Agric., 33: 503-513 (1926)]. Las primeras Aplicaciones fueron en el campo agronómico, especialmente en los casos de suelos con tendencias en fertilidad en dos direcciones.

Formación de cuadrados latinos

Suponga 4 tratamientos A, B, C y D, con estos tratamientos se pueden formar 4 cuadros diferentes llamadas típicas o estándar (en la primera fila y en la primera columna se tiene la misma distribución).

Este diseño presenta las siguientes características:

La disposición de las variantes del experimento sobre el terreno se hace en dos direcciones perpendiculares recíprocas y esto es lo que lo diferencia del bloque al azar.

En este las variantes se agrupan además de bloques en columnas lo que es un nuevo elemento en éste diseño.

Se puede utilizar en experimentos agrotécnicos, así como de selección de variedades, pero no es recomendable en experimentos donde se utilice la mecanización.

Elimina la variabilidad de la fertilidad del suelo en dos direcciones.

En este diseño el número de filas y columnas y de tratamientos son iguales.

Presenta la dificultad de que el mismo no se puede estudiar un número grande de variante o tratamiento.

6.3. Ventajas

• 1. Disminuyen los efectos de dos fuentes de variabilidad de las unidades experimentales en los promedios de los tratamientos y en el error experimental.

• 2. El análisis de variancia es simple, aun cuando es ligeramente más complicado que el DBCA.

• 3. En el caso de que se pierden todas las unidades experimentales de un mismo tratamiento, el resto de tratamientos siguen ajustados a las características del cuadrado latino. Si se pierde íntegramente un bloque o columna, el diseño queda ajustado al DBCA.

• 4. Cuando los bloques y las columnas están relacionados con variaciones definidas de dos criterios de clasificación, ellos pueden ser considerados como tratamientos.

6.4. Desventajas

• 1. Como el número de tratamientos depende del número de bloques y columnas y por consiguiente el número de unidades experimentales, esto le resta flexibilidad al diseño para su uso. Es por esto que no es recomendable para mayor número de tratamientos.

• 2. A igualdad de número de tratamientos y repeticiones, este diseño tiene menos grados de libertad para el error experimental.

• 3. El error experimental tiende a incrementarse al aumentar el ancho de los bloques y el largo de las columnas, como consecuencia principalmente del aumento del número de tratamientos.

6.5. Modelo estadístico Lineal

El resultado de una unidad experimental cualesquiera como se puede apreciar, está influenciado

Ejemplo 6.1

Aplicar el Diseño de cuadrado latino, para comparar tres métodos de soldadura (A, B y C), para conductores eléctricos, con tres diferentes operadores y utilizando tres diversos fundentes para soldar y el experimento es de dos repeticiones:

Analice como cuadrado latino a la probabilidad de 0.01 y efectuar la prueba de rango múltiple de Duncan.

DATA CUADRADO;

INPUT REPET HILERA COLUM TRAT RDTO;

PROC PRINT;

PROC GLM;

CLASS REPET HILERA COLUM TRAT;

MODEL RDTO= REPET HILERA COLUM TRAT;

MEANS HILERA COLUM TRAT/DUNCAN;

TITLE 'DISEÑO DE CUADRADO LATINO';

RUN;

RESULTADO DE SAS

Dependent Variable: RDTO

NOTE: This test controls the Type I comparison wise error rate, not the experiment wise error

Alpha 0.05

Error Degrees of Freedom 10

Error Mean Square 1.377778

Number of Means 2 3

Critical Range 1.510 1.578

Means with the same letter are not significantly different.

Duncan Grouping Mean N HILERA

A 13.5000 6 1

A 13.2500 6 2

A 13.2500 6 3

Duncan's Multiple Range Test for RDTO

NOTE: This test controls the Type I comparisonwise error rate, not the

experimentwise error

Alpha 0.05

Error Degrees of Freedom 10

Error Mean Square 1.377778

Number of Means 2 3

Critical Range 1.510 1.578

Means with the same letter are not significantly different.

Duncan's Multiple Range Test for RDTO

NOTE: This test controls the Type I comparisonwise error rate, not the experimentwise error

Alpha 0.05

Error Degrees of Freedom 10

Error Mean Square 1.377778

Number of Means 2 3

Critical Range 1.510 1.578

Means with the same letter are not significantly different.

Duncan Grouping Mean N TRAT

A 14.5833 6 1

A 14.4167 6 2

B 11.0000 6 3

PROGRAMAS VARIOS DEL DISEÑO DE CUADRADO LATINO