Métodos estadísticos para la investigación

CAPITULO I

Introducción

• Conceptos básicos

El desarrollo de nuevas tecnologías dentro del proceso productivo, sea este de tipo agropecuario o de tipo industrial, surge del proceso de investigación. De aquí la importancia de los diseños experimentales en la generación de información confiable.

El diseño estadístico de experimentos se refiere al proceso para planear el experimento de tal forma que se recaben datos adecuados que puedan analizarse con métodos estadísticos que lleven a conclusiones válidas y objetivas. Cuando el problema incluye datos que están sujetos a errores experimentales, la metodología estadística es el único enfoque objetivo de análisis. Por lo tanto, cualquier experimento incluye dos aspectos:

El diseño del experimento y el análisis estadístico de los datos. Es común que durante el proceso de investigación se utilicen diseños experimentales no adecuados, es decir que no responden al objetivo de la investigación y por lo tanto, su análisis estadístico también será equivocado, por lo que se llegan a conclusiones erradas, cuando esto ocurre la investigación no tiene ninguna validez.

En el presente texto se hace una breve reseña de lo que son los Métodos estadísticos y parte de los diseños experimentales de uso más común en la Universidad Nacional del Altiplano de Puno.

• La Estadística

Es una ciencia que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos, ya sea para ayudar en la resolución de la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Sin embargo estadística es más que eso, en otras palabras es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la investigación científica.

• La Ciencia

Etimológicamente la ciencia es:(del latín scientia'conocimiento'). Es el conjunto de conocimientos sistemáticamente estructurados obtenidos mediante la observación de patrones regulares, de razonamientos y de experimentación en ámbitos específicos, de los cuales se generan preguntas, se construyen hipótesis, se deducen principios y se elaboran leyes generales y esquemas metódicamente organizados.

La ciencia utiliza diferentes métodos y técnicas para la adquisición y organización de conocimientos sobre la estructura de un conjunto de hechos suficientemente objetivos y accesibles a varios observadores, además de basarse en un criterio de verdad y una corrección permanente.

• Método

En general, se define como método el proceso mediante el cual una teoría científica es validada o bien descartada. La forma clásica del método de la ciencia ha sido la inducción (formalizada por Francis Bacón en la ciencia moderna), pero que ha sido fuertemente cuestionada como el método de la ciencia, especialmente por Karl Popper, quien sostuvo que el método de la ciencia es el hipotético-deductivo.

• La Investigación

Es un proceso que, mediante la aplicación del método científico, procura obtener información relevante y fidedigna (digna de fe y crédito), para entender, verificar, corregir o aplicar el conocimiento. Es la actividad de búsqueda que se caracteriza por ser reflexiva, sistemática y metódica; tiene por finalidad obtener conocimientos y solucionar problemas científicos, filosóficos o empírico-técnicos, y se desarrolla mediante un proceso.

• La Investigación Científica

La investigación científica es la búsqueda intencionada de conocimientos o de soluciones a problemas de carácter científico; el método científico indica el camino que se ha de transitar en esa indagación y las técnicas precisan la manera de recorrerlo.

• Método Científico

El Método Científico está constituido por un conjunto de pasos o etapas bien establecidas que posibilitan dirigir el proceso de investigación de forma óptima, de modo que permita alcanzar su propósito, el conocimiento científico, de la manera más eficiente. El método científico es un rasgo característico de la ciencia: donde no hay método científico no hay ciencia.

• Diseños Experimentales

Es una técnica estadísticaque permite identificar y cuantificar las causas de un efecto dentro de un estudio experimental. En un diseño experimental se manipulan deliberadamente una o más variables, vinculadas a las causas, para medir el efecto que tienen en otra variable de interés.

El diseño experimental prescribe una serie de pautas relativas qué variables hay que manipular, de qué manera, cuántas veces hay que repetir el experimento y en qué orden para poder establecer con un grado de confianza predefinido la necesidad de una presunta relación de causa-efecto.Ronald Fisher es considerado el padre del diseño experimental en sus estudios de agronomía en el primer tercio del siglo XX. A la lista de los pioneros de su uso hay que añadir los de Frank Yates,W.G. Cochran y G.E.P. Box. Muchas de las aplicaciones originarias del diseño experimental estuvieron relacionadas con la agricultura y la biología, disciplinas de las que procede parte de la terminología propia de dicha técnica.

Para tener una idea de este tema tan importante, se presenta un ejemplo típico, que: un ingeniero quiere estudiar la resistencia de una pieza plástica sometida a temperaturas cambiantes. La pieza puede ser elaborada con tres tipos de plástico distintos. De ahí que se plantee las siguientes preguntas:

¿Qué efecto tienen la composición de la pieza y la temperatura en la resistencia de la pieza?

¿Existe algún material con el que la pieza resulte más resistente que con cualquiera de los otros dos independientemente de la temperatura?

• El Diseño de un Experimento

Es la secuencia completa de los pasos que se deben tomar de antemano, para planear y asegurar la obtención de toda la información relevante y adecuada al problema bajo investigación, la cual será analizada estadísticamente para obtener conclusiones válidas y objetivas con respecto a los objetivos planteados.

• Un Diseño Experimental

Es una prueba o serie de pruebas en las cuales existen cambios deliberados en las variables de entrada de un proceso o sistema, de tal manera que sea posible observar e identificar las causas de los cambios que se producen en la respuesta de salida.

Figura 01. Sistema esquema de un proceso o sistema

Un proceso suele visualizarse como una caja negra en donde existe una transformación de lo que entra al proceso, y que se observa en las salidas que produce.

Este proceso puede ser una combinación de máquinas, métodos, personas y otros recursos que transforman las entradas (a menudo un material) en las salidas que tienen una o más respuestas observables. Algunas de las variables del proceso digamos X1, X2宬 Xp son controlables, mientras que otras como Z1, Z2, 宮,Zp son incontrolables (no controlables). Cuando se realiza un diseño experimental es necesario tener en cuenta los siguientes objetivos:

1. Determinar cuáles variables tienen mayor influencia en la respuesta o variable dependiente (Y).

2. Determinar el mejor valor de las (X) que influyen en (Y), de modo que (Y) tenga casi siempre un valor cercano al valor nominal deseado.

3. Determinar el mejor valor de las (X) que influyen en (Y), de modo que la variabilidad de (Y) sea pequeña.

4. Determinar el mejor valor de las (Z) que influyen en (Y), de modo que se minimicen los efectos de las variables incontrolables Z1, Z2,宠,Zp.

• Propósitos de un Diseño Experimental

El propósito de cualquier diseño experimental, es proporcionar una cantidad máxima de información pertinente al problema que se está investigando. Y ajustar el diseño que sea lo más simple y efectivo; para ahorrar dinero, tiempo, personal y material experimental que se va a utilizar. Es de acotar, que la mayoría de los diseños estadísticos simples, no sólo son fáciles de analizar, sino también son eficientes en el sentido económico y en el estadístico.

De lo anterior, se deduce que el diseño de un experimento es un proceso que explica tanto la metodología estadística como el análisis económico.

Conceptos del diseño experimental

Los siguientes conceptos que se definen a continuación se utilizarán en el desarrollo de las unidades posteriores; los cuales fueron retomados de Douglas C. Montgomery, año 1991 y de Robert O. Kuehl, año 2001.

• Diseño

Consiste en planificar la forma de hacer el experimento, materiales y métodos a usar, etc. El diseño es definido técnicamente como la configuración de puntos en el espacio de los factores y el orden en el cual se efectúa, en el tiempo y espacio, la toma de observaciones.

El diseño implica un modelo, y este a su vez implica análisis estadístico, pues la más importante función del diseño es controlar la varianza. Desde esta perspectiva, el diseño es un conjunto de instrucciones para que el investigador reúna y analice los datos en determinada forma, de modo tal que estadísticamente sea posible maximizar la varianza sistemática, regular la varianza sistemática extraña minimizar la varianza del error.

• Experimento

Conjunto de pruebas o ensayos cuyo objetivo es obtener información, que permita mejorar el producto o el proceso en estudio.

Un experimento es una interrogante planeada para obtener nuevos factores o para confirmar o denegar los resultados de experimento previos o anteriores donde tal interrogante ayudará a una decisión tal como recomendación de una variedad de planta, aplicación de producto químico, etc.

• Factor

Es un tipo particular de tratamiento, que varía según el deseo del investigador. Son factores por ejemplo, Temperatura, humedad, tipos de suelos, etc.

• Niveles del Factor

Son diversas categorías de un factor. (Por ejemplo, los niveles de temperatura son 20 °C, 30 °C, etc.). Un factor Cuantitativo tiene niveles asociados con puntos ordenados en alguna escala de medición, como temperatura; mientras que los niveles de un factor cualitativo representan distintas categorías o clasificaciones, como tipo de suelo, que no se puede acomodar conforme a alguna magnitud.

• Réplica

La obtención de réplicas permite obtener una estimación del error experimental así como calcular una respuesta más precisa el efecto a estudio. Entre mayor sea el número de repeticiones para cada experimento, mejor será el resultado obtenido.

• Unidad Experimental

Es la unidad del material experimental que recibe la aplicación de un simple tratamiento, en el que se mide y se analiza la variable que se investiga. En el experimento de laboratorio, la unidad experimental será una placa petri, un tubo de ensayo, etc.; en el invernadero será una bandeja, una maceta, etc.; en el campo será una parcela, en el campo de la zootecnia será un animal, etc. para aclarar mejor se caracteriza por:

堅s el material experimental unitario que recibe la aplicación de un tratamiento.

堅s la entidad física o el sujeto expuesto al tratamiento independientemente de las otras unidades. La unidad experimental una vez expuesta al tratamiento constituye una sola réplica del tratamiento.

堅s el objeto o espacio al cual se aplica el tratamiento y donde se mide y analiza la variable que se investiga.

堅s el elemento que se está estudiando.

• Unidad Muestral

Es una fracción de la unidad experimental que se utiliza para medir el efecto de un tratamiento.

• Error Experimental

Es una medida de variación que existe entre dos o más unidades experimentales, que han recibido la aplicación de un mismo tratamiento de manera idéntica e independiente.

• Factores Controlables

Son aquellos parámetros o características del producto o proceso, para los cuales se prueban distintas variables o valores con el fin de estudiar cómo influyen sobre los resultados.

• Factores Incontrolables

Son aquellos parámetros o características del producto o proceso, que es imposible de controlar al momento de desarrollar el experimento.

• Variabilidad Natural

Es la variación entre las unidades experimentales, que el experimentador no puede controlar ni eliminar.

• Variable Dependiente

Es la variable que se desea examinar o estudiar en un experimento. (Variable Respuesta).

• Hipótesis

堅s una suposición o conjetura que se plantea el investigador de una realidad desconocida.

堅s el supuesto que se hace sobre el valor de un parámetro (constante que caracteriza a una población) el cual puede ser validado mediante una prueba estadística.

• Tratamiento

Es un conjunto particular de condiciones experimentales definidas por el investigador; y son el conjunto de circunstancias creadas por el experimento, en respuesta a la hipótesis de investigación y son el centro de la misma.

• Tipos de Tratamientos

A continuación se presentan ejemplos de tratamientos en algunas áreas, tales como:

1) Experimentaciones Agrícolas, un tratamiento puede referirse a:

Marca de Fertilizante.

Cantidad de Fertilizante.

Profundidad del Sembrado.

Variedad de Semilla.

Combinación de Cantidad de Fertilizante y Profundidad de Sembrado; esto es una combinación de tratamientos, etc.

2) Experimentaciones de Nutrición Animal, un tratamiento puede referirse a:

Cría de Ganado Lanar

Sexo de los Animales

Padre del Animal Experimental

Tipo de Alimento

Ración Particular de Alimento de un Animal.

Raza del Animal, etc.

3) Estudios Psicológicos y Sociológicos, un tratamiento puede referirse a:

Edad

Sexo

Grado de Educación

Estatura, etc.

4) En una investigación de los efectos de varios Factores en la eficiencia del lavado de ropa en casa, los tratamientos pueden ser varias combinaciones:

Tipo de Ropa (dura y suave)

Temperatura del Agua

Tipo de Detergente

Duración del tiempo de Lavado

Tipo de Lavadora

Duración del Agente Limpiador, etc.

5) En un Experimento para estudiar el Rendimiento de cierto Proceso químico, Los tratamientos pueden ser todas las combinaciones de:

La temperatura a la cual se ejecuta el Proceso

La cantidad de Catalizador Usada, etc.

6) En un estudio de investigación y desarrollo concerniente a Baterías, los tratamientos podrían ser varias combinaciones:

La cantidad de Electrolito

La Temperatura a la cual fue Activada la Batería, etc.

Es muy importante que cuando se elijan los tratamientos, éstos deben dar respuesta a una hipótesis de investigación. La hipótesis de investigación establece un conjunto de circunstancias y sus consecuencias. Los tratamientos deben ser una creación de las circunstancias para el experimento. Así, es necesario identificar los tratamientos con el papel que cada uno tiene en la evaluación de la hipótesis de investigación. Por lo tanto, el investigador debe asegurarse que los tratamientos elegidos concuerden con la hipótesis de investigación.

1.2.7. Algunos experimentos reales planteándose las hipótesis de investigación

A continuación se presentan algunos experimentos reales; planteándose las hipótesis de investigación de cada uno de ellos y sus respectivos tratamientos, que dan respuesta a dicha hipótesis.

La hipótesis es: La velocidad del tránsito depende del ancho de los carriles en las calles.

Para responder a esta hipótesis, los tratamientos se deben definir seleccionando carriles con diferente anchura y se mide la velocidad de los automóviles en cada uno de ellos.

La hipótesis es: La reproducción de los microbios del suelo depende de las condiciones de humedad.

Para responder a esta hipótesis, se establecen tratamientos con distintos niveles de humedad para medir la reproducción de los microbios.

La hipótesis es: El método para medir retrasos del tránsito depende del tipo de configuración usada en la señalización.

Para responder a esta hipótesis, los tratamientos deben ser en relación a la evaluación de varios métodos para medir los retrasos del tránsito en intersecciones con diferentes tipos de configuraciones en los semáforos.

La hipótesis es: Ciertas características demográficas familiares afectan de manera favorable el desarrollo de un niño.

Para responder a esta hipótesis, los tratamientos deben ser en relación con el desarrollo de la adaptación social en niños pequeños según su relación con:

1) Educación de los padres,

2) Ingreso de los padres,

3) Estructura familiar y

4) Edad del niño.

La hipótesis es: La energía requerida al reunir comida para la colonia de las abejas productoras de miel es independiente de la temperatura.

Para responder a esta hipótesis, los tratamientos deben ser en relación al estudio de la cinética de bebida de las abejas productoras de miel a diferentes temperaturas ambientales.

La hipótesis es: La temperatura ambiental en la cual las baterías son activadas altera su vida útil.

Para responder a esta hipótesis, el tratamiento será temperatura y se debe probar un número determinado de baterías a diferentes niveles de temperatura.

• Utilización de los métodos estadísticos en la experimentación

La mayoría de las investigaciones que se realizan en el campo de la ingeniería, ciencia en la industria es empírica y utiliza mucho la experimentación. El uso de los métodos estadísticos puede incrementar la eficiencia de los experimentos y, ayudar a justificar las conclusiones que se obtienen. La utilización de las técnicas estadísticas en la experimentación requiere que el investigador considere los siguientes puntos:

• Uso del conocimiento no estadístico del problema

Se debe tomar en cuenta que los investigadores conocen a fondo su campo de especialidad; ya sea porque tienen una considerable experiencia práctica o una formación académica. Muchas veces se puede utilizar una gran cantidad de teoría para explicar las relaciones que hay entre los factores y la variable respuesta. Este tipo de conocimiento no estadístico se debe tomar en cuenta para elegir los factores y las respuestas, también al decidir el número de réplicas que se quieren realizar, al analizar los datos, etc. Es por tanto que la estadística no puede sustituir el hecho de reflexionar sobre el problema.

• Mantener el Diseño y el Análisis tan simple como sea posible

Casi siempre, lo más adecuado son los métodos de diseño y análisis estadístico más simples. Por lo tanto, es recomendable el uso de técnicas estadísticas poco complejas y muy refinadas. Si se realiza el diseño cuidadosamente y correctamente, el análisis se espera que sea relativamente sencillo. Sin embargo, es poco probable que aun la estadística más compleja y elegante corrija la situación si se ha actuado indebidamente en la elaboración del diseño.

• Reconocer la diferencia entre la significación práctica y estadística

No hay seguridad de que una diferencia sea suficientemente grande, desde el punto de vista práctico, por el sólo hecho de que dos condiciones experimentales producen respuestas medias, estadísticamente diferentes. Por ejemplo, un ingeniero puede determinar que una modificación en el sistema de inyección de gasolina de un automóvil mejora el rendimiento medio en un 0.1 mi/gal. Éste es un resultado estadísticamente significativo. Sin embargo, esta diferencia es demasiado pequeña desde el punto de vista práctico si el costo de la modificación es de 1,000 dólares.

• Usualmente los experimentos son iterativos.

En las primeras etapas de un estudio no es conveniente diseñar experimentos demasiado extensos; ya que sólo se requiere que se conozcan los factores importantes, los intervalos en que estos factores van a ser investigados, el número apropiado de niveles para cada factor y las unidades de medición adecuadas a cada factor y la respuesta. Por lo general, al principio de un experimento no se está en capacidad de definir estos aspectos, pero es posible conocerlos a medida que se avanza la experimentación. Esto favorece al empleo del enfoque iterativo o secuencial; pero por regla general, la mayoría de los experimentos son iterativos.

• Importancia del análisis de varianza

En el caso que nos encontremos con experimentos en donde hay que realizar varias pruebas de hipótesis a la vez, y se trabaje con el mismo nivel de confianza (_); es decir, aquellos experimentos en los cuales es necesario hacer la comparación de más de dos tratamientos simultáneos, podría utilizarse Prueba de hipótesis múltiples (Comparación por pares), pero es recomendable aplicar el análisis de varianza; que es la técnica estadística que sirve para analizar la variación total de los resultados experimentales de un diseño en particular, descomponiéndolo en fuentes de variación independientes atribuibles a cada uno de los efectos en que se constituye el diseño experimental. Esta técnica tiene como objetivo identificar la importancia de los diferentes factores o tratamientos en estudio y determinar cómo interactúan entre sí.

Al llevar a cabo la prueba de hipótesis pueden cometerse dos tipos de errores, que son:

a) Error tipo I: Se da cuando la hipótesis nula (Ho) es rechazada siendo verdadera.

b) Error tipo II: Se comete cuando la hipótesis nula (Ho) no es rechazada siendo falsa.

Las probabilidades de cometer estos tipos de errores generalmente se denotan por:

a= P (Error tipo I)

߽ P (Error tipo II).

Tabla 01. Las diferentes situaciones que se pueden dar con la hipótesis nula (Ho).

La utilización del análisis de varianza justifica la disminución de la probabilidad de cometer el error tipo I en el experimento.

Por ejemplo: Supongamos que se desea probar la igualdad de cinco medias usando la prueba de hipótesis múltiple.

Por lo tanto, el procedimiento apropiado para probar la igualdad de varias medias es el Análisis de Varianza. Probablemente esta es la técnica más útil en el campo de la inferencia estadística.

CAPITULO II

Probabilidades

2.1. Probabilidad y sus axiomas

Según Aparicio (1993), las leyes naturales más simples son aquellas que expresan las condiciones bajo las cuales un evento de interés ocurre o no ocurre con certeza. Estas condiciones se expresan como:

Si se presenta un conjunto de condiciones S, entonces el evento A, seguramente, ocurre; o bien

Si se presenta un conjunto de condiciones S, entonces el evento A no puede ocurrir.

En el primer caso, A es un evento seguro con respecto a las condiciones S y en el segundo es un evento imposible.

Cuando un evento A, en presencia de un conjunto de condiciones S, a veces ocurre y a veces no, se llama aleatorio con respecto al conjunto S. es natural suponer que, cuando esto sucede, no se han tomado en cuenta en el conjunto S todas las condiciones necesarias para la ocurrencia o no ocurrencia del evento, y no, como a veces se hace, que no exista una ley física que conduzca a esta ocurrencia o no ocurrencia. Esas condiciones o leyes que no se incluyen en el análisis del evento A, se suplen por una ley de probabilidades, la cual indica con qué frecuencia se presenta el evento dadas las condiciones S.

Aparicio (1993) menciona como ejemplo, el volumen mensual de escurrimiento en una sección dada de un río. Al tomar una muestra de los escurrimientos (esto es, al aforar la corriente en un número finito de meses), se observa que el volumen mensual de escurrimiento es a veces mayor de 300 000 m3, pero a veces es menor. Si se quisiera aprovechar el agua de río, por ejemplo, para riego, pero sin hacer una presa, el dato de que el volumen es a veces mayor de 300 000 m3, pero a veces es menor resulta, obviamente, demasiado vago.

Por otra parte, la determinación precisa de los volúmenes mensuales de escurrimiento que se presentarán durante los siguientes L años (siendo L la vida útil de la obra de captación) involucraría el análisis de un conjunto de condiciones que van desde las meteorológicos hasta los cambios que se presentarán en la cuenca de aportación demasiado complicado o para el cual no se dispone de herramientas adecuadas.

Podría entonces buscarse el volumen mínimo y el máximo observado durante los n meses en que se han hecho las observaciones y proporcionar al proyectista del aprovechamiento un dato de tipo:

Dónde: V es el volumen de escurrimiento mensual en m3.

Aunque la desigualdad anterior es de mayor utilidad que el dato de que el volumen mensual a veces es mayor de 300 000 m3, pero a veces menor, todavía es de poco utilidad para el proyectista. Él recibiría una información mucho más valiosa si se le dice que en aproximadamente el 70% de los mese el volumen es mayor de 300 000 m3; una evaluación mucho más completa de los escurrimientos del río sería mostrar, para cualquier volumen V, el porcentaje v (V) de los meses en que han escurrido no menos de Vm3 en el periodo de datos.

Si el número de meses de observación con cuyos datos se ha formado la figura es grande (por ejemplo, 1000), es razonable suponer que durante la vida útil de la obra (que podría ser de 500 meses) el escurrimiento en el río tendrá un comportamiento similar al mostrado en la figura siguiente. Aunque, a menos que la muestre sea infinita, nunca será exactamente igual.

Esto significa que, por grande que sea la muestra, siempre habrá una probabilidad (que disminuye conforme aumenta el tamaño de la muestra) de que el volumen es un mes cualquiera sea mayor de 10 x 105 m3 o menor de 0.25 x 105 m3. Entonces, la figura siguiente es una aproximación a la ley de probabilidades que suple las condiciones S, por las cuales el volumen mensual de escurrimiento toma un valor dado v; dicha aproximación estará más cercana a esta ley conforme el tamaño de la muestra es mayor.

Para que un evento sea seguro debe incluir todos los posibles casos o resultados del experimento (espacio muestral). Así, en el caso del escurrimiento del río, el evento seguro es:

Que es el tercer axioma de la teoría de la probabilidad.

La ley de probabilidades que describe el comportamiento estadístico de una variable aleatoria – que en el caso mencionado anteriormente es el volumen de escurrimiento mensual – se puede representar de varias maneras, entre las que cabe mencionar la función masa de probabilidad discreta, la función de distribución de probabilidad acumulada, la función de densidad de probabilidad y la función de distribución de probabilidad. A continuación se hará un breve recordatorio de estas funciones y sus propiedades.

2.2. Funciones de la probabilidad

2.2.1. Definición

Mejía (1991), menciona, si se define A y B como eventos aleatorios en el espacio muestral S, donde la probabilidad de A y B son respectivamente P (A) y P (B) y E1, E2, E3,充En son experimentos, se tiene.

Figura 03. Diagramas de Ven

2.2.2. Probabilidad condicional

Mejía (1993) afirma que, si la probabilidad de un evento tal como B, depende de la ocurrencia de otro evento A, se tiene una probabilidad condicional. En otras palabras P (B) está condicionada por P(A).

2.2.3. Teorema de probabilidad total

Si B1, B2, B3,…, Bn representan eventos mutuamente excluyentes y colectivamente eventos completos, se puede determinar la probabilidad de otro evento A del modo siguiente:

Figura 04. Diagrama de Ven

2.2.4. Teorema de Bayes

De la definición de probabilidad condicional se sabe que:

2.2.5. Permutaciones

Si consideramos n objetos diferentes del cual seleccionamos y ordenamos en línea, r, de los n objetos. A tal ordenamiento se le llama permutación de r objetos. Al número posible de tales permutaciones se le designa por:

Dónde: n! es denominado factorial de n.

Como ejemplo tomemos las permutaciones tomadas dos a dos de las letras a, b, c, d: 4P2=n!/(n-r)!=4!/2!=12. Estos son: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.

2.2.6. Combinaciones

Si se está interesado solamente en los objetos seleccionados, cuando entre n se eligen r, sin tener en cuenta su ordenación, entonces a la selección no ordenada se le llama combinación.

2.3. Variable aleatoria y distribución de probabilidades

2.3.1. Variable aleatoria

Se le conoce como variable aleatoria, porque su valor queda determinado por el resultado de un experimento.

2.3.2. Variable aleatoria discreta (V. A. D.)

Se dice que una variable aleatoria X es discreta, si tiene las siguientes propiedades.

1. El número de valores para los cuales X tiene una probabilidad positiva es finito o a lo mas infinito numerable.

2. Cada intervalo finito en la escala de números reales contiene a lo más un numero finito de los valores de X.

Si un intervalo aX/font>

2.3.3. Función de densidad y función de distribución de la V. A. D.

Para juzgar, como se distribuye una variable aleatoria, es decir cómo cambia su probabilidad cuando cambia la variable, es útil representar la función de densidad por medio de un grafico.

2.3.4. Variable aleatoria continua (V. A. C.)

Una variable aleatoria es continua si puede tomar cualquier valor dentro del campo de los números reales.

2.3.5. Función de densidad y función de distribución de la V. A. C.

Una función de densidad de una variable aleatoria continua X, es una función F(x) que cumple las siguientes propiedades:

Figuras 05. Propiedades de las Funciones de densidad y de distribución de la V. A. C.

2.3.6. Momentos de distribuciones

Los momentos son magnitudes fundamentales asociadas a las leyes de probabilidad. Se demuestra, en efecto que hay una ley de probabilidad se halla descrito completamente por sus momentos.

2.3.7. Momento respecto al origen

Mn Es el momento de orden n, n=1, 2, 3, 4,弯font>

2.3.8. Esperanza matemática

Dado la variable aleatoria X, se designa por esperanza matemática de X, la suma de los productos de los valores que puede tomar para sus probabilidades correspondientes.

2.3.9. Momentos centrados

En la práctica se escoge, siempre que es posible, la media como origen de la variable X para el cálculo de los otros momentos. Estos momentos se llaman momentos centrados y se escriben de la siguiente forma:

2.3.10. Variancia de una distribución

Al momento centrado de orden 2 se le conoce como la VARIANCIA de una distribución.

2.3.11. Coeficiente de asimetría de Pearson

Se obtiene con los momentos centrados de 2do y 3er. Orden:

2.3.12. Coeficiente de apuntamiento o curtosis

Aumenta con la extensión y aplanamiento de la curva de densidad.

2.3.13. Estimación de parámetros

La función de densidad y la función de distribución acumulada pueden escribirse como una función de la variable aleatoria y en general como una función de sus parámetros:

Como x es una V. A. D. podemos expandir el segundo miembro como una serie de Taylor:

2.4. Métodos de estimación de parámetros

2.4.1. Método de los momentos

Este método fue propuesto por Pearson (1857-1936) y consiste en igualar un determinado número de momentos teóricos de la distribución de la población con los correspondientes momentos muéstrales, Para obtener una o varias ecuaciones que, resueltas, permitan estimar los parámetros desconocidos de la distribución poblacional.

2.5. Método de máxima verosimilitud

2.6. Distribución de probabilidades de variables aleatorias continuas

2.6.1. Distribución normal

La distribución normal, es una distribución de dos parámetros cuya función de densidad es:

2.6.2. Distribución normal estándar

2.6.3. Distribución uniforme o rectangular

Figura 06. Funciones de densidad y distribución

2.6.4. Distribución exponencial

La función de densidad f(x), y la función de distribución f(x), son:

2.6.5. Distribución gamma

La media, la varianza y el coeficiente de asimetría para la distribución gamma son:

Los estimadores para los parámetros de la distribución gamma por el método de momentos son:

Tabla 02.

Las expresiones anteriores tienen un ligero sesgo asintótico, para pequeñas muestras, este puede ser apreciable.

2.6.6. Distribución log-normal de dos parámetros

Las tablas de distribución normal estándar pueden ser usadas para evaluar la distribución log normal.

Como f(x)=f(y)/x : pero f(y) es una distribución normal tenemos:

2.6.7. Distribución log-normal de tres parámetros

El coeficiente de asimetría, g, esta dado por:

2.6.8. Distribución de valores extremos

2.6.9. Distribución de valores extremos tipo I (Gumbel)

Se le conoce también como Gumbel, este tipo de distribución es usado frecuentemente para estudio de magnitud-duración y frecuencias de lluvias (Hershfield, 1961) y como la distribución de valores máximos de caudales anuales de un río.

Gumbel (1958), estudio la aplicación para datos de descargas diarias. La función de densidad de probabilidad para la distribución de valores extremos tipo I es:

El signo + se emplea para eventos mínimos y el signo – para eventos máximos.

La función de distribución acumulada es:

Según Lowery y Nash, el método de momentos da resultados satisfactorios en el cálculo de estos parámetros.

2.6.10. Distribución de valores extremos tipo III (WEIBULL)

La distribución de valores extremos tipo III (tiene gran aplicación para eventos hidrológicos mínimos. Esta distribución se le conoce como la distribución de Weibull de 2 parámetros y su función de densidad es:

Por el método de máxima verosimilitud, calculamos haciendo:

El coeficiente de asimetría es lo mismo que en el caso de la distribución de Weibull de 2 parámetros.

Resolviendo algebraicamente las ecuaciones correspondientes a E(x) y Var(x), podemos resolver para:

2.6.11. Distribución beta

Función de densidad:

2.6.12. Distribución de Pearson tipo III

Karl Pearson (1953), propuso que la distribución de frecuencias puede ser representada por la siguiente función de densidad:

2.6.13. Distribución log Pearson tipo III

La transformación puede ser: Z=Ln(X) o Z=Ln(x-xo)

Donde: Z=variable aleatoria con distribución Pearson III

X=Variable aleatoria con distribución log Pearson III

La función de densidad para X y Z se dan a continuación:

2.7. Problemas de probabilidad aplicados a hidrología

Ejemplo 2.1 Determinar el valor de la constante a de la función de densidad de probabilidad:

Cuál es la probabilidad de que un valor X seleccionado aleatoriamente de esta función:

a) Sea menor que 2?

b) Esté entre 1 y 3?

c) Sea mayor que 4?

d) Sea mayor que 6?

e) Sea igual a 2.5?

Solución

Ejemplo 2.2 Los gastos máximos anuales registrados en la estación hidrométrica Las Perlas en el río Coatzacoalcos se muestran en el cuadro siguiente.

¿Cuál es la probabilidad de que, en un año cualquiera, el gasto sea mayor o igual a 7 500 m3/s?

Se planea construir cerca de este sitio un bordo para protección contra inundaciones. ¿Cuál debe ser el gasto de diseño si se desea que el periodo de retorno sea de 60 años?

Supóngase que los datos del cuadro siguiente siguen una distribución normal.