Los modelos económicos son representaciones abstractas de la realidad para estudiar algún fenómeno económico y social. Ya que no se pueden construir versiones del mercado laboral, del mercado del ocio, etc., se acude a la representación abstracta del fenómeno en cuestión*. Esta representación no es otra cosa que un modelo matemático, en donde, las ecuaciones desarrolladas representan características del comportamiento de los agentes. El avance en la economía experimental ha permitido recrear el funcionamiento de los mercados mostrando la distancia entre la presentación formal, su estimación, y el verdadero funcionamiento de éstos. Aunque muchos de los resultados provenientes de la economía experimental usen pocos individuos, generalmente son estudiantes de últimos semestres Sub Limites a la elección Las oportunidades de elegir una canasta de bienes son directamente observables para cualquier consumidor, y cualquier variación en las oportunidades deberá influir directamente sobre la elección, lo cual muestra que los cambios en las elecciones generalmente son debidos a la variación en el conjunto de oportunidades. Las oportunidades que el consumidor toma en cuenta para la elección de un bien, son necesariamente las mismas por las cuales está en la disponibilidad de obtenerlo, más aun si sus condiciones económicas limitan sus posibilidades y entra en consideración la normativa de conservación no consumista. Es decir, Un consumidor presta consideración a sus limitaciones y prioridades. A partir de ciertas consideraciones es conveniente mencionar: El conjunto de oportunidades, son todas aquellas en las que el consumidor promedio puede adquirir los bienes en un lapso de tiempo establecido, de forma compuesta, tal es el caso más común, cuando los hogares tienen un ingreso Y, el cual gastan durante un período en m bienes, o en algunos a un precio pi. Dado que los bienes, o la cantidad de ellos, son positivos, a precios positivos, la restricción puede escribirse como: Y=?pixi ; cuando i= 2 tendremos: Y = p1x1+ p2x2 Los modelos económicos
Las oportunidades de elegir una canasta de bienes son directamente observablespara cualquier consumidor, y cualquier variación en las oportunidades deberá influir directamente sobre la elección, lo cual muestra que los cambios en las elecciones generalmente son debidos a la variación en el conjunto de oportunidades. Las oportunidades que el consumidor toma en cuenta para la elección de un bien, son necesariamente las mismas por las cuales está en la disponibilidad de obtenerlo, más aun si sus condiciones económicas limitan sus posibilidades y entra en consideración la normativa de conservación no consumista. Es decir, Un consumidor presta consideración a sus limitaciones y prioridades. A partir de ciertas consideraciones es conveniente mencionar: El conjunto de oportunidades, son todas aquellas en las que el consumidor promedio puede adquirir los bienes en un lapso de tiempo establecido, de forma compuesta, tal es el caso más común, cuando los hogares tienen un ingreso Y, el cual gastan durante un período en m bienes, o en algunos a un precio pi. Dado que los bienes, o la cantidad de ellos, son positivos, a precios positivos, la restricción puede escribirse como: Y=?pixi ; cuando i= 2 tendremos: Y = p1x1+ p2x2 Límites a la elección
Es el conjunto de impedimentos por los cuales los grupos sociales están sujetos a un comportamiento de optimización de sus disponibilidades. Según sean las condiciones económicas individuales o grupales, existen un conjunto de restricciones notables de las cuales podemos nombrar: Restricciones típicas, son aquellas por las cuales el consumidor mantiene como mínimas para sobrevivir y satisfacer sus necesidades Restricciones no lineales, son aquellas en las que no existe un medio único de intercambio de bienes a través de un patrón monetario preestablecido, surge el fenómeno de intercambio más antiguo conocido como es el trueque, este se fundamenta en el intercambio de bienes no controlados por un patrón monetario. µ + w(T – X0) =?pixi ; i:1,2,3…nMúltiples restricciones, son aquellas en que en algunas situaciones el consumidor no se enfrenta a una sola restricción, sino a múltiples restricciones, por lo cual estará restringido a un conjunto de bienes y servicios. Restricciones
Un elemento fundamental en la teoría microeconómica consiste en cómo los individuos realizan sus decisiones y cómo seleccionan alternativas de un conjunto disponibles de las mismas. La teoría postula que cada individuo ordena las alternativas de acuerdo con su preferencia relativa. De esta forma, cuando el individuo realiza una elección, éste selecciona la alternativa con aquello que más tiene de todo lo posible. En orden a cualificar la relación de preferencias, la relación deberá satisfacer las siguientes propiedades fundamentales: ReflexividadPara todo x € X, x ?x. Este supuesto nos dice que la canasta x, en el sentido débil, es preferida a sí misma, es decir, que al menos es tan buena como ella misma. CompletitudPara todos los elementos x, q en X se cumple que x ?q ó q ?x o ambos. Este supuesto simplemente nos dice que dos canastas pueden ser comparadas. TransitividadPara todo x , q y z en X, si x? q y q? z entonces x ?z. La propiedad de transitividad plantea la coherencia en las elecciones. Preferencias individuales
La función utilidad Si la ordenación de preferencias es completa, transitiva, reflexiva y continua, entonces las preferencias se pueden representar a través de una función de utilidad continua. La función de utilidad, u, es una función con valores reales, definida sobre el conjunto X, de tal forma que el orden de las preferencias sobre X se preserva por la magnitud de u. De esta forma, una función de utilidad tiene la propiedad de que dados dos elementos x y q en X se cumple que u(q) = u(x) sí y solo sí q ? x. Invarianza de la función de utilidad Si una relación de preferencia es representada por una función de utilidad sobre R , entonces una función de la forma v(x) = f(u(x)), donde f es estrictamente creciente en el rango de v sobre u, será también una función que represente la misma relación de preferencia. Si f y u son continuas entonces v también es continua. Invarianza en la descripciónInvarianza en el procedimientoInvarianza en el contexto
El problema básico del consumidor Al momento de hacer la escogencia para la adquisición de bienes y servicios, el consumidor siempre se ve limitado respecto a su decisión prioritaria según sus necesidades. Cualquier consumidor ha experimentado que sus deseos de elegir m bienes se ven frustrados cuando decide ir al mercado, a un centro comercial, etc. Dicha frustración no es más que la confirmación de que aun cuando se tienen preferencias por los bienes, éstas por sí solas no bastan, esto es, existen restricciones como la cantidad de dinero que poseemos en nuestros bolsillos para comprar dichos bienes. De una manera más formal, asumamos que existen m bienes, los cuales son infinitamente divisibles, consecuentemente vemos como surgen de allí las restricciones múltiples, que no son más que el conjunto de bienes por adquirir pero con un cierto grado de restricción en cuanto a la facilidad para obtenerlos. Dualidad Uno de los aspectos importantes en la teoría del consumidor, consiste en la dualidad. La dualidad es una de las "herramientas" más usadas en la estimación de modelos. Básicamente la dualidad expresa la relación entre los bienes por un lado y los precios por el otro. De esta forma, el consumidor podrá elegir entre maximizar la función de utilidad sujeto a la restricción de presupuesto o, minimizar su gasto en una serie de bienes siempre y cuando, la función de utilidad permanezca constante. La función de gasto y la función indirecta de utilidad están íntimamente relacionadas, pues a partir de invertir C(u,p) = x se encuentra u en función de x y p. Similarmente la inversión de u = v (y,p) nos lleva directamente a x = C(u,p).
Entre las propiedades usuales de la función indirecta de utilidad, tenemos: Es homogénea de grado cero en (p,y), esto es, v( tp, ty)= v(p,y) " t >0. No es creciente en p y es estrictamente creciente en y. Es cuasi convexa con respecto a p, esto es el conjunto {p: v(p,y) £ c} es convexo para cada y > 0 y algún c. La derivada de la función indirecta de utilidad con respecto a los precios e ingreso se conoce también como la Identidad de Roy y es una forma conveniente de recuperar la demanda Marshalliana, Es continua en p e y. Propiedades de la función indirecta de utilidad
Propiedades de la función de gasto Entre las propiedades usuales de la función de gasto, se encuentran: La función de gasto es homogénea de grado uno en precios, formalmente para algún escalar q >0 : C(u, qp) = q C(u,p). Esto es, si los precios se doblan se deberá desembolsar dos veces más cantidad de dinero para estar en la misma curva de indiferencia. La función de gasto es creciente en m, no decreciente en p y creciente en al menos un precio. Esto se deriva del axioma de insaciabilidad ya que dados unos precios, el consumidor tiene que gastar más para estar mejor, debido a que un incremento en precios requiere más cantidad de dinero para permanecer mejor. La función de gasto es cóncava en precios. Cuando el precio de un bien cambia, mientras los otros precios y la utilidad permanecen constantes, la concavidad implica que el costo aumenta no más que linealmente, esto es esencial, porque el consumidor minimiza sus gastos reacomodando sus compras en orden a tomar las ventajas de la estructura de precios. La función de gasto es continua en p y la primera y la segunda derivada con respecto a los precios existe. Cuando ellas existan, las derivadas parciales de las funciones de gasto con respecto a los precios serán las funciones de demandas Hicksianas. Propiedades de la función indirecta de utilidad
Trayectorias de expansión Usualmente la función de demanda cambia ante un cambio en precios o ingreso; este cambio puede observarse en términos de la estática comparativa: Suponga que los precios están fijos pero el ingreso del consumidor lentamente se incrementa, entonces a partir de la colección de puntos resultantes se podría trazar una trayectoria en el ortante no negativo que se denomina trayectoria de expansión del ingreso. Esta trayectoria puede ser proyectada en un plano definido por dos bienes, mostrando dicha trayectoria la expansión del ingreso relativo a estos dos bienes. La tasa marginal de sustitución La tasa marginal de sustitución es la pendiente de la curva de indiferencia, y su sentido económico no es otro que la cantidad que se está dispuesto a renunciar del consumo del bien 1 por consumir unidades adicionales del bien 2, por esta razón la tasa marginal de sustitución definida de esta forma decrece cuando x1 crece. La pendiente de la línea de restricción presupuestaria se asume que la solución anterior ocurre en un punto x con x > 0, esto es posible incluso para uno o más componentes de x que sean cero.
La función de Utilidad CES La función de utilidad CES surge como una analogía directa a la teoría de la producción (Arrow et-al 1961) y tiene la forma: u(x1,x2 ) =(a1 x1n+a2 x2n)¹/n, con n= 1 La función de Utilidad Indirecta Addilog Como se ha podido observar, es posible derivar las funciones de demanda de los bienes a través de maximizar la utilidad, sujeta a la restricción de gasto. Sin embargo, la solución no siempre es estimable. La teoría de la dualidad sugiere que una alternativa es especificar una función indirecta de utilidad, una función que es no decreciente en el ingreso, no decreciente y cuasi convexa en precios, continua y homogénea de grado cero en precios e ingreso. V(p1,p2,Y) = a1(Y/P1)^ß1 + a2(Y/P2)^ß2. Las especificaciones Translogarítmicas La función de utilidad translogarítmica proviene de Christensen, Jorgenson y Lau (1971,1975). Esta ha sido la forma funcional más usada en análisis empíricos de demanda. Una de las ventajas de la translogarítmica es su forma funcional flexible, ya que puede ser aproximada de una función de segundo orden por Taylor a una función de utilidad indirecta arbitraria. El sistema Casi – Ideal de Gasto AIDS El sistema de ecuaciones de demanda puede ser derivado a partir de la función de gasto. Suponiendo que éste es continuo y no-decreciente precios y utilidad, y además cóncavo y homogéneo de grado cero, entonces: El sistema AIDS (Almost Ideal Demand Sistem) cumple las restricciones de adición, homogeneidad y simetría. Para satisfacer las condiciones de negatividad se requiere que la matriz de Slutzky sea semidefinida negativa: cij= gij +bi bj Log (Y/ p) – xipi dij + xjpj xipi
La demanda indica la cantidad que un consumidor desea comprar de una serie de bienes, ya sea expresada como una función de los precios y el ingreso o como una función de la utilidad y de los precios. LA DEMANDA
La demanda que corresponde a un vector de precios e ingreso podría no ser única, en la gráfica (3.1) allí existen dos soluciones xA y xB correspondientes a la restricción de presupuesto Si un orden de preferencias es continuo, satisface la insaciabilidad local, y es estrictamente convexo, entonces para todo p >> 0, y > 0 la demanda x( p, y) es única, define un valor singular, y es una función continua UNICIDAD Y CONTINUIDAD
El excedente del consumidor se considera la diferencia existente entre la cantidad máxima que un consumidor está dispuesto a pagar por una cantidad determinada de un bien y lo que en la realidad paga por esa cantidad y la disponibilidad a pagar es la cantidad máxima que pagaría un Consumidor por adquirir un determinado Bien. El excedente del consumidor y disponibilidad a pagar
consiste en mostrar cómo manteniendo la estructura de las preferencias es posible separar las decisiones de gastar en cada grupo Separabilidad
La función de Producción de Hogares La función de producción de hogares fue introducida entre 1965 y 1966 por los artículos de Gary Becker y Kevin Lancaster; que los consumidores no obtienen directamente de los bienes comprados en el mercado, sino derivan de los atributos que poseen los bienes. (5.5) Max m (g(x)) Sujeto a bX1 = Z* . = . bXn = Z* (X1,…, Xn) = 0 (P1,…,Pn) = 0 (5.1) Maximizar z u= u (z) Sujeto a Z=g (X) P X = Y (5.2) Maximizar u= u (g(X)) = v (X); Sujeto a P X – Y = 0 (5.3) Minimizar PX= Y; Sujeto a v(X) = v0 (5.4) Min {P.X | t (Z, X) = 0}; Sujeto a bX = Z*
Estática Comparativa Nos interesan las respuestas de los consumidores ante el cambio en el salario y los coeficientes tecnológicos. Considerando los efectos de sustitución puros las demandas Hicksianas se obtienen de la siguiente forma: (5.13) Min S (pi bi + w ti) Zi – w T Sujeto a u (Z1,…., Zn) = uº Análisis de la Riqueza en el Mercado de Bienes (5.19) E (Z1, p, uº)= Min [C (Z1, Z, p) |uº = u (Z1, Z)] Por el teorema de la envolvente obtenemos: (5.20) = -(?u1 (Z1, Z, uº) – C1 (Z1, Z, p))
Bienes Públicos (5.23) VC= C (p, uº, a‘) – C (p, uº, aº) uº es el nivel de riqueza inicial C es la función de gastos a es un bien publico Variables Dependientes, Discretas y Limitadas 6.1 Especificación del Modelo (6.1) pi =p (Yi = 1) = G(x*i, ?); i = 1, 2, … n. (6.2) p (Yi = 1) = F[H(x*I, ?)]
Formas Comunes de las Funciones de Probabilidad (6.3) Prob (Y=1) = F (ß´x) Prob (Y=0) = 1 – F (ß´x) (6.4) F (x, ß) = ß´xi Dado que E [Y] = F(x, ß), el modelo de regresión será: (6.4.1) Yi = E [Yi] + (Yi- E[Yi]) = ß´xi + ?i con ?i = Yi – E [Yi] modelo de probabilidad lineal. Estimación Los modelos de Probit y Logit se estiman por máxima verosimilitud donde cada observación es extraida de una distribución de Bernoulli. (6.11) Prob (Y1 = y1, Y2 =y2, Y3=y3,…, Yn=yn)=
De la mano con el desarrollo de las formas de estimación de los modelos, la literatura ha venido ofreciéndonos una serie de contrastes para conocer la "bondad" de los modelos estimados. El origen de estos contrastes se remonta a los trabajos de Rao (1947) en lo que se conoce como "contraste Score" o "contraste de puntuación". Posteriormente Silvey (1959) propone el contraste de multiplicadores de Lagrange que no es otra cosa que el mismo contraste de Rao. Sub. Contrastes de Especificación
Si existen n observaciones independientes y1, y2, y3,……, yn con funciones de densidad idénticas f( y, q ) donde q es un vector p ´ 1 de p parámetros. Entonces la función de verosimilitud L( q ), el vector de puntuación (Score vector) d( q ), y la matriz de información I( q ) y vienen definidas como: Sub. Contraste de Rao o Contraste de Puntuación
La matriz de información de White(1982) se basa en el hecho de que en un modelo especificado correctamente, tendremos: Sub. El contraste de la Matriz de Información de White El Contraste de Comentos Condicionados (CM) El contraste de momentos condicionados fue sugerido por Newey (1985) y Tauchen (1985), y se basa en la premisa de que bajo una especificación correcta, no solamente se tiene E[d( q )] = 0 sino también condiciones de sobreidentificación como E[ m ( y, q )] = 0. El contraste de momentos condicionados puede reducirse a la regresión:
Entre los primeros trabajos sobre Heterocedasticidad realizados por Maddala y Nelson (1975) se argumentan que una regresión con Heterocedasticidad en los errores, los estimadores son consistentes pero ineficientes. En el caso del Tobit, el estimador máximo verosímil (ML) es inconsistente en la presencia de Heterocedasticidad Brannas y Laitila (1989). Sub. Contrastes de Heterocedasticidad Contraste comúnmente usado consiste en el contraste de las razones de verosimilitud o LR-test, el cual consiste en:
Cuando no existe normalidad, existen sesgos en los estimadores Goldberger (1983). Pagan y Vella (1989) sugieren un contraste CM para normalidad con base en el tercer y cuarto momento de los residuos. En términos generales, ya se trate de un Logit, Probit o Tobit, el problema consiste en evaluar el momento. Lee y Maddala (1985) sugieren usar el método de recursividad para los momentos. Sub. Contrastes de Normalidad Contraste de Correlación Contemporánea Kiefer (1982) desarrolla un contraste Score para un Probit multivariado: él comienza con el supuesto general de que la matriz de correlación de los errores es R y crea un contraste de puntuación para la hipótesis R = I. Kiefer también desarrolla un contraste para la hipótesis r=0 cuando R = (1-r)I +ree´, donde e es un vector de unos; este contraste es bastante conveniente en modelos de efectos aleatorios con datos de panel.
El contraste para sesgos de selección fue el primer contraste de especificación en modelos con variables dependientes limitadas. Este contraste fue desarrollado por Gronau (1974) y Heckman (1979). En términos generales se le conoce como el contraste de Heckman. El problema planteado parte del modelo de autoselección tipo Heckman, de la forma: Sub. Contraste de Sesgos de Selección Y la ecuación de selección es
No es muy común contrastar estabilidad en modelos de variables dependientes limitadas, sin embargo, Anderson (1987) abre el camino en este tipo de contrastes. Anderson propone comparar el logaritmo de la verosimilitud cuando el modelo es regresado sobre un período, con respecto a un período posterior. El trabajo se inspira en el contraste de estabilidad de Chow, extendiéndose el uso de las variables dummy a los modelos Tobit y Probit. Hoffman y Pagan (1989) sugieren, siguiendo a Anderson, definir primero un período de 1 hasta s y un período de s+1 hasta s+S, y elaborar el estadístico: Sub. Contraste de Estabilidad Contraste de Exogeneidad En modelos de ecuaciones simultáneas que involucran variables dependientes limitadas, Groger (1990) considera un contraste de exogeneidad tipo Hausman a través de una estimación de mínimos cuadrados ordinarios no-linelaes.
La identificación del modelo con una o más ecuaciones, requiere una investigación de cuáles parámetros son conocidos y desconocidos. Por parámetros conocidos entiéndase aquellos que pueden ser identificados, estos parámetros generalmente son características de la población y de la distribución de las variables observadas como las varianzas y covarianzas para los cuales los estimadores de la muestra son consistentes. Los parámetros desconocidos son aquellos parámetros cuyo estatus de identificación no es conocido, estableciendo entonces el investigador cuándo existen valores únicos para estos. Sub. Identificación
Esta es la condición más sencilla, pero no es una condición suficiente. La regla t, parte de que el número de elementos no-redundantes en la matriz de covarianzas de las variables observadas deberá ser mayor o igual al número de parámetros desconocidos en q, esto es: Sub. Regla T Regla del B Nulo Pueden escribirse como funciones de las matrices de covarianzas identificadas de las variables observadas. Si los errores de una ecuación no están correlacionados con aquellos de las otras ecuaciones, en un sistema (Y es diagonal), entonces esas ecuaciones pueden tratarse como separadas o no relacionadas. Si Y no es diagonal y los errores de las últimas dos ecuaciones están correlacionadas, entonces tal modelo será llamado "Seemingly unrelated regresions". La regla B nula es una condición suficiente para identificar un modelo.
Una propiedad para todos los modelos recursivos consiste en que para una ecuación dada, el término de error g no esté correlacionado con las variables explicatorias. De esta forma, cov (x2, g2) = 0, cov (x3, g1) = 0 y cov (x2, g3) = 0, y de igual forma para cov (g2, y1)= cov (g2,g2x2+g1) = 0. Así, g2 no está correlacionado con y1 y x2, las dos variables explicatorias de la segunda ecuación, y de igual forma cov (g3, y1)=0 y cov (g3, y2)=0. En general, para la i-ésima ecuación en algún modelo recursivo, gi no está correlacionado con las variables endógenas, las cuales son variables explicatorias en esa ecuación; esto se debe a que las variables endógenas están en función de las variables exógenas y de los errores de las otras ecuaciones, los cuales no están correlacionados con gi . Sub. Regla Recursiva Condiciones de Rango y Orden Si una condición de restricción en una ecuación se determina a partir de las variables excluidas, entonces "una condición necesaria para que una ecuación sea identificada consiste en que el número de variables excluidas de la ecuación sea al menos p-1 ".
Generalmente las elecciones de los consumidores involucran elecciones discretas como usar gas o no, usar energía eléctrica o no, comprar un automóvil o no, etc. La anterior aproximación ha sido criticada por sicólogos como Thurstone (1927), Luce y Supes (1955), Tversky (1969) y por economistas como Georgescu-Roegen (1958), Quandt (1956) y Macfadden (1981, 1986), ya que implica fuertes postulados sobre el poder discriminatorio de los agentes, así como una capacidad ilimitada de procesar información. Sub. Resumen de las Reglas de Identificación Modelos de Utilidad Discreta
La interpretación proviene de Tversky (1972a), para quien la utilidad de diferentes alternativas es determinística, pero el proceso de elección en sí mismo es probabilístico. En este tipo de modelos el individuo no necesariamente elige la alternativa que da la mayor utilidad; en lugar de esto, existe una probabilidad de elegir cada una de las posibles alternativas, incorporando la idea de "racionalidad limitada" dado que los individuos no necesariamente seleccionan lo que es mejor para ellos Macfadden (1981, pp.198). Sub. Modelos con Regla de Decisión Estocástica REGLAS DE DECISIÓN Modelos con Utilidad Estocástica Existen dos versiones tradicionales de los modelos de utilidad estocástica. El primero proviene de Thurstone a partir de la teoría sicológica de la elección individual y el segundo proviene de Macfadden en la versión económica de la elección discreta. El modelo de Thurstone tiene su origen en una serie de experimentos donde se les preguntaba a los individuos acerca de comparar intensidades de estímulos físicos, por ejemplo, el rango de tonos en términos del ruido. Dada la variabilidad en las respuestas, Thurstone propone que un estímulo provoca una "sensación" o un estado sicológico que es la realización de una variable aleatoria.
El consumidor representativo es un agente cuya utilidad nos muestra un conjunto de preferencias diversas. Ya que en la práctica los consumidores tienden a comprar, solamente una, o en todo caso muy pocas de las variantes de un producto que se les ofrece, el consumidor representativo ha sido bastante criticado19. Como bien lo han señalado Archival, Eaton y Lipsey (1986), la cuestión sobre cuándo el consumidor representativo puede constituir una descripción agregada válida de una población de consumidores caracterizados por elecciones discretas en el ámbito individual es un punto de discusión abierto. Sub. Elecciones discretas con Productos Diferenciados Análisis de Riqueza En un análisis continuo se puede encontrar el excedente del consumidor a través deintegrar la curva de demanda compensada entre dos precios. Sin embargo, en el análisis discreto existirán puntos de discontinuidad y no-diferenciación en la función indirecta de utilidad y en la función de gasto, por lo tanto existirán problemas al integrar las funciones. La demanda se podría modelar, como observan Small y Rosen (1981),
Suponga un consumidor que maximiza sujeto a la restricción con una función de utilidad dos veces diferenciable y estrictamente cuasicóncava. Asuma que U es finito siempre que X1 o X2 sean cero, y que U es estrictamente creciente en Xn y no decreciente en X1 y X2. Sea e(P1,P2 ,U) el mínimo gasto requerido para alcanzar el nivel de utilidad U y sea ,Y) el valor de la función indirecta de utilidad a los precios iniciales y el ingreso; entonces la variación compensada para un cambio de precios en p1 de a viene definido como: Sub. El teorema de Small y Rosen Cuando un bien es comprado en unidades discretas, pero existen no concavidades en la función de utilidad, el consumidor elige entre soluciones alternativas de esquina. Supongamos una canasta de 3 bienes donde las curvas de indiferencia entre X1 , X2 y el bien numerario son convexas, entonces en cada vector de precios el consumo tanto en X1 como en X2 podría ser cero. Los supuestos del teorema de Small y Rosen garantizan que los U(Xn,0,X2) y U(Xn,X1,0) sean funciones bien definidas manteniéndose el excedente del consumidor. Resumiendo, el excedente del consumidor se puede encontrar siempre que exista una función de gasto dado que dicha función es diferenciable en precios.
APLICACIONES DE LA TEORÍA DEL CONSUMIDOR A LA ELECCIÓN DE OCIO. El ingreso y el tiempo son restricciones en una persona al momento de decidir comprar o producir un bien o servicio, donde el dinero influye directamente en el tiempo de elegir o adquirir algún activo
RESTRICCIONES NO ECONÓMICAS BIOLÓGICAS HISTÓRICAS CULTURALES
DISTRIBUCIÓN DE LOS DÍAS TRABAJADOS Grafica 1: Distribución de los días trabajados
FÓRMULA DE COMPRA DE BIENES
FUNCIÓN DE UTILIDAD PARA RESTRICCIONES PRESUPUESTARIAS
GRÁFICA DE RESTRICCIONES PRESUPUESTARIAS Grafica 8.2. Decisión de trabajar. Gráficamente se muestra así: 8.5) px + wx0 = m + wT. Si x = 0 y no existe ingreso adicional, entonces wx0 = wT ó x0 = T si x0 = T = 0, por lo cual w = 0 y x = m / p. La cantidad de trabajo ofrecida se mide por la distancia 0 – T. Las curvas tendrán diferentes pendientes de acuerdo con la tasa de salario. La decisión de cuántas horas ofrecer al individuo determinará la decisión de participar en el mercado laboral. Un cambio en w altera el ingreso y el efecto sustitución, la cantidad m + wT representa el ingreso total disponible del consumidor que será gastado en ocio y bienes.
GRÁFICA DE LAS DIFERENTES RESTRICCIONES PRESUPUESTARIAS Grafica 8.3: el salario mínimo que induce a participar. De acuerdo con las tasas de salario w1(CAT) y w2 (DAT), la curva de indiferencia es tangente a la línea quebrada (E-F), mientras la pendiente de (E-F) es w*/p, esto es, la tasa marginal de sustitución la cual es un indicador de la tasa de salario de reserva w* el punto A en la gráfica (8.3). Si el salario es menor que w*, el individuo no participará en el mercado, si el salario es w2 se ofrecerán horas positivas. Si w = w* el trabajador es indiferente. Donde w* es el salario de reserva, aquel valor de w que hace que x0 = T: T = x0(µ + w*T. w*,p)
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