17 Una observación adicional respecto a la diferenciación conceptual entre fracciones y números racionales. El breve recorrido histórico que trazamos al comienzo nos marcaba dos etapas diferenciadas:la apari- ción y aceptación de las fracciones como elementos culturales necesarios para representar y manejar situaciones de la vida diaria, y el reconocimiento posterior de estas expresiones de relaciones parte- todo como números-medida a partir del Renacimiento.
En el siglo XIX la matemática experi- mentó numerosos y profundos cambios; se buscó,entre otras cosas, darles a los números un funda- mentoabstracto,que no dependiera de referentes externos.Y en este sentido, se requerían números de la forma a/b, pero sin la referencia a mag- nitudes medibles ni a la relación entre las
4.2. Otra vez los numeradores y denominadores Como sabemos, a/b es la forma en la que se presenta el uso de los térmi- nos numerador y denominador de una fracción. Habitualmente suele decirse que el denominador representa el nú- mero de partes congruentes en que se magnitudes de la parte y del todo de algo. De ahí el recurso a la matemática pura,a la teoría de conjuntos, a seguir un desarrollo abstractoydesdeadentro(Ferreirós,1998). Así se construyeron los números racionales que, como se ve, tienen una naturaleza distinta a la de las fracciones.
Digamos, finalmente, que los “números o?ciales”que se manejan habitualmente en esta matemática pura son los naturales (el conjunto N),los enteros (positivos y nega- tivos, el conjunto Z), losracionales(elcon- junto Q), los reales (el conjunto R), los complejos(elconjun- to C) y los números trans?nitos.Números de?nidos,todos ellos, no de una manera intuitiva o descriptiva, sino axiomática, ma- temáticamenteformal.Suestudioconstituye una rama de la matemática conocida como los Sistemas Numéricos (hay muchos libros
dividió la unidad, y que el numerador denota el número de estas partes que se toman en consideración en la frac- ción. Y suele tenerse la impresión de que ambos términos se estrenan en la matemática cuando se llega al tema de las fracciones. Pero ya sabemos que no es así. Para darle un signi?cado más dedicados a ellos, por si alguien se siente picado por la curiosidad…).
En este contexto formal, las fracciones no aparecen como uno de los sistemas numéricos en el sentido contemporáneo –axiomático– de la matemática.Pero por su expresión numérica y la manera de hacer operacionesconellas,sípuedenconsiderarse no sólo como el antecedente histórico,sino también como la fuente fenomenológica de losnúmerosracionales,esdecir,comoobjetos matemáticos que –sin estar de?nidos como númerosracionales–sepresentanycompor- tan como tales (Freudenthal,1983).
Por todo ello, su estudio –después de los números naturales– resulta muy pertinente y práctico, ya que sigue el patrón histórico de desarrollo de los números en culturas muy destacadas en las que, como hemos visto,enseguidalasfraccionescompartieron presencia y uso con los números naturales. Y además, prepara el estudio posterior de los números racionales.
profundo a ambos términos, vamos a recoger las ideas que ya expusimos en el Cuaderno nº 3.
Allí señalábamos que “la aparición de los términos numerador y denomi- nador en el discurso matemático no debe reservarse al momento en que se
18 entraenelterrenodelasfracciones,sino justamente desde que se mencionan cantidades referidas a alguna entidad particular”.
Porque, “¿qué significa numera- dor? Lo que numera, lo que sirve para numerar; en particular, cada término o expresión que se utiliza para numerar. Y denominador, lo que denomina o sirve para denominar; y en particular, cada término o expresión que se utiliza para denominar”. Y puntualizábamos que en el campo de la gramática, estas expresiones correspondían a los ad- jetivos numerales y a los sustantivos, respectivamente.
“De esta forma, cada vez que en nuestro hablar expresamos un adjetivo numeralseguidodeunsustantivo,esta- mos utilizando un binomio numerador- denominador. Así, en la locución ‘tres sillas’, tres es el numerador y sillas es el denominador. Análogamente al hablar de cinco centenas”.
En este contexto, ¿qué signi?cado tienen el numerador y el denominador de una fracción como 3/5? En su expre- sión verbal, estamos hablando de “tres quintos”. Claramente vemos que “tres” –adjetivo numeral– responde a la idea de numerador que apuntábamos antes; hastaahoranohayningunanovedad.Lo interesante está en la interpretación del denominador:“quinto”debeversecomo unsustantivo,comosillaen“tressillas”. “Quinto”eselsustantivoquedesigna“la quinta parte” de cualquier todo. Inicial- mentepuedesermanejadodeesaforma, comounsustantivo.Igualinterpretación cabeconlosnúmerosqueaparecenenel denominador de otras fracciones.
Es muy importante dotar de este sentido a las fracciones, empezando con las unitarias, es decir, con las que tienen la unidad como numerador. Una fracción como 1/5 puede verse como una unidad, como un objeto-unidad (similara“unasilla”),quepermiteaccio- nes de conteo (un quinto, dos quintos, tres quintos, etc.) y, posteriormente, de suma y de resta (dos quintos más seis quintos son ocho quintos). Así, 1/5 signi?ca que nos estamos re?riendo a la unidad del objeto “quinta parte” de algo (y aquí sintonizamos de nuevo con babilonios y egipcios en cuanto a la singularidad e importancia de las fracciones unitarias…).
Porsuparte,lasfraccionesnounita- rias pueden considerarse como expre- siones que equivalen a “tantas veces la unidad fraccionaria”. Por ejemplo, 3/5, leído como “tres quintos”, indica que estamos considerando “tres veces un quinto”, de una forma similar a como la expresión“tressillas”sepuedeentender como “tres veces una silla”. Nuestro len- guajepopularpue- de servirnos de base para enten- der y manejar las fracciones de esta forma. En efecto, en este tipo de lenguaje solemos deno- minar determinados objetos de la vida diaria con expresiones fraccionarias. Así, en Venezuela se designa como “un cuartico” al envase de leche o de jugo que contiene 1/4 de litro; como “un tercio”, al que contiene 1/3 de litro de cerveza; como “un quinto”, al que contiene, aproximadamente, 1/5 de lo mismo; como “un décimo”, al billete de lotería que equivale a 1/10 de la serie… (Y así, hay éstos y otros ejemplos en cada uno de nuestros países). Y todo el mundo entiende qué signi?ca tener “cinco cuarticos” de leche en la nevera o tomarse “tres tercios” de cerveza en una?estaocomprardosdécimosparael próximosorteodelotería…(ynohaypro- blema con las fracciones impropias).
Nuestra conclusión parcial es que ésta es una forma en que también deberíamos manejar las fracciones en el aula de clase, con el sentido y la familiaridad con que lo hacemos en la vida diaria. Una vez más, el lenguaje nos sirve de vehículo entre el concepto y su representación simbólica, a la que puede dotar de sentido pleno…
19 ¿Cuál de estas dos fracciones es ma- yor:7/8 ó 7/9?
Un error frecuente consiste en leer cada fracción como dos números y derivar de ahí que, en nuestro ejemplo, 7/9 es mayor que 7/8, ya que 7 y 9 son más que 7 y 8. Pero si leemos 7/8 como “7 veces 1/8” y 7/9 como“7 veces 1/9”,nos damos cuenta de que 7/8 es mayor que 7/9, ya que 1/9 signi?ca una porción entre las nueve en que se dividió un todo y 1/8,una entre las ocho en que se dividió el mismo todo: nos toca más en 1/8 que en 1/9.Como se ve,no es preciso hacer operaciones aritméticas para responderaestetipodepreguntas(aunque también se pueden efectuar para llegar a la misma respuesta…).
5. ¿Para qué queremos tantos sistemas de representación de las fracciones? He ahí una buena pregunta. Porque habitualmente hemos considerado a la matemática como un área de caminos únicos, de representaciones únicas, de procedimientos únicos, de maneras únicas de resolver un problema… Y ahora resulta que disponemos de hasta siete sistemas de representación del concepto de fracción. 5.1. ¡Qué bueno! Nos topamos con la diversidad… Ya lo dijimos en el Cuaderno nº 1: buscamosconstruirunamatemáticaque asumaygenerediversidad.Enparticular, la “diversidad en los sistemas de repre- sentación de un concepto es algo tan importante que los autores estiman que unapersonallegaadominarunconcepto matemático sólo cuando es capaz de:
• identi?carlo en cualquiera de sus posibles sistemas de representa- ción; • representarlo en todos ellos; • saber pasarlo –“traducirlo”– de cada sistema a todos los demás” (Cuaderno nº 1).
Por consiguiente, en el tema de las fracciones, debemos llegar a alcanzar estas tres competencias:
• identi?car una fracción en cual- quiera de sus siete posibles siste- mas de representación; • representarla en todos ellos; • saber pasarla –“traducirla”– de cada sistema a todos los demás; loqueincluye,cuandoseaposible, buscar “traducciones” dentro de un mismo sistema.
Como vemos, tenemos una gran tarea por delante. Tarea que debemos realizar, nosotros y nuestros alumnos, progresivamente. Porque no todos los sistemas presentan las mismas exigen- ciascognitivas.Porejemplo,ennuestro medio, la competencia de representar una fracción sobre la recta numérica suele alcanzarse más tarde, en compa- raciónconotrasrepresentaciones.Pero esonosigni?caquesetengaquerenun- ciar a ese sistema de representación, sino que su inclusión en las competen- cias a alcanzar será posterior.
Las dos primeras competencias (identificar y representar fracciones en cada uno de los sistemas de repre- sentación) nos imponen como tarea primordialconoceryfamiliarizarnoscon talessistemas,utilizarlosconfrecuencia y espontáneamente. La tercera compe- tencia requiere el dominio de ciertos procedimientos de “traducción”, que presentamos a continuación.
5.2. Procedimientos de traducción entre los sistemas de representación Losresumimosenlasiguientetabla. La mayoría de los procedimientos son muy sencillos e intuitivos y de alguna forma ya han sido tratados. Pero, como veráel(la)lector(a),haydoscasossobre los que se llama la atención –pasar del sistemanuméricoaldecimal,yvicever- sa–yqueserántratadosconmásdetalle posteriormente.
20 Para pasar del sistema Numérico Al sistema
Verbal Procedimiento
Lectura de a/b 2/5 Ejemplo
dos quintos Gráfico Dividir una región en b partes congruentes ? continuo Gráfico discreto Decimal y señalar a de ellas Ídem,para un conjunto discreto
Dividir a entre b • ? 2/5 ? • 0,4 Porcentual
Punto recta 0,4 (0,4 x 100)% = 40% 2/5 (Decimal x 100) % (Sólo cuando no haya más de 2 decimales exactos) Dividir el segmento unidad en b partes congruentes y señalar el punto ?nal de las primeras a de ellas 0 1 Decimal Numérico (Reglas de transformación) 0,4 4/10 = 2/5 Porcentual (Decimal x 100) % (Sólo cuando no haya más de 2 decimales exactos) 0,4 (0,4 x 100)% = 40% Todos los demás Pasar a la forma a/b y de ahí a los demás sistemas Porcentual Decimal
Numérico Porcentaje :100 (dividir)
Porcentaje/100 (simpli?car) 40%
40% 40 :100 = 0,4 40/100 = 2/5 Punto recta Todos los demás Pasar a la forma a/b y de ahí a los demás sistemas
Numérico Numerador:medida del segmento que va del 0 al punto.Denominador:medida del segmento unidad (de 0 a 1) Todos los demás Pasar a la forma a/b y de ahí a los demás sistemas Verbal Numérico Traducción directa desde la expresión Gráfico continuo Gráfico discreto verbal o desde la grá?ca
Todos los demás Pasar a la forma a/b y de ahí a los demás sistemas La traducción de una fracción al sistema verbal requiere saber cómo se nombranlasfracciones.Elnumeradorse lee como un número normal; en cuanto al denominador, se le asignan los si- guientes sustantivos, según el número que aparece en él: 2 medio(s) 3 4 5 6 tercio(s) cuarto(s) quinto(s) sexto(s) 7 8 9 10 séptimo(s) octavo(s) noveno(s) décimo(s) Si el denominador es mayor que 10, se forma la palabra con el nombre del número y el su?jo avo(s). Por ejemplo, la fracción 7/11 se lee “siete onceavos” y la fracción 1/20, “un veinteavo”.
Y ahora, unos ejercicios sencillos de traducción entre sistemas de repre- sentación:
• b) Numérico: 2,05 = 100 = 20 41 (fracción impropia) 21 Representar la fracción 7/4 en los demás sistemas de representación. a) Gráfico discreto (el número de• con respecto al total de objetos del conjunto): • • • • • • ? Obsérvese que el primer recuadro representa la unidad (4/4) y el segundo,3/4.
c) Punto recta: 0 1 7/4 2 b) Gráfico continuo:
d) Decimal: 7 :4 = 1,75 e) Porcentual: (1,75 x 100) % = 175 % f) Verbal: Siete cuartos Representar la fracción 70% en los sistemas Decimal, Numérico, Punto recta, Grá?co b) Numérico: 70 % = 70/100 = 7/10 continuo. a) Decimal: 70 :100 = 0,7 c) Punto recta: 7/10 1 0 d) Gráfico continuo: Representar la fracción 2,05 en los sistemas Porcentual, Numérico y Punto recta. a) Porcentual: (2,05 x 100) % = 205 % 5 1 1 c) Punto recta: 1/20 41/20 0 1 2 Esto y aquello,más la mitad de esto y aquello, ¿qué porcentaje es de esto y aquello?
Si a una cantidad (esto y aquello) se le suma su mitad, en términos de re- presentación decimal tenemos 1 + 0,5 (es decir,1,5).El problema consiste en expresar esta cantidad en el sistema porcentual:basta multiplicar por 100 y llegamos a 150%. 205 2,05 = 2 + 0,05 = 2 +100= 2 + 20= 2 20(fracción mixta) ¿%…?
= 15 2 .Y también, 2,03 pasa a ser 2,03100 100 = 100 . Así,pues,la fracción generatriz de una 22 5.3. Del sistema de representación numérico al decimal Elprocedimientogeneralquehemos indicadoconsisteendividirnumerador entre denominador (se recomienda uti- lizar la calculadora) y anotar el cociente contodossusdecimales.Porejemplo,la fracción2/5llevaaladivisión2:5,cuyo resultadoes0,4;enestesentido,puede denominarse como un decimal exacto. Pero la fracción 1/6 lleva a la división 1 : 6, cuyo resultado es 0,166666…, cociente en el que la cifra decimal 6 no cesa de aparecer. Veamos otros ejemplos similares: 0,8333… 2/3 20/11 4/7 0,6666… 5/6 1,818181… 0,571428571428… 45/22 2,0454545… 13/36 0,36111…
Enlasexpresionesdecimalesanterio- res encontramos tres tipos de elementos:
• la parte entera, antes de la coma; • la(s) cifra(s) decimal(es) que se repite(n)inde?nidamente:recibe(n) elnombredeperíodo(porejemplo, 6 en 2/3, 571428 en 4/7, 45 en 45/22); • la(s) cifra(s) ubicada(s) entre la parte entera y la primera cifra del período: recibe(n) el nombre de anteperíodo(porejemplo,8en5/6, 0 en 45/22, 36 en 13/36).
Las representaciones decimales no exactasquecarecendeanteperíodore- cibenelnombrededecimalesperiódicos puros,mientrasquelasquesípresentan anteperíodo se denominan decimales periódicos mixtos. Pueden representar- se de la forma anterior (0,6666…, etc.) o bien escribiendo el período una sola vez con una especie de pequeño arco superpuesto sobre la(s) cifra(s) que lo compone(n).Aquíloharemoscolocando lascifrasdelperíodoenescrituranegri- ta cursiva;porejemplo:0,666… 0,6; y 2,04545… 2,045. 5.Representelassiguientesfraccionesen forma decimal: 7/9, 18/5, 12/11, 5/33, 1/14,13/15,26/99,5/101 Desde este punto de vista,debemos llegar a distinguir las fracciones que dan una ex- presión decimal exacta: son aquellas cuyos denominadoressonnúmeros“compuestos” por los factores primos 2 y 5;por ejemplo, denominadores como 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, etc.Encambio,lasfraccionescuyosdenomi- nadores tienen otros factores primos (3,7, 11…) generan expresiones decimales perió- dicas. La razón de estos comportamientos estriba en que sólo 2 y 5 son divisores de 10 (otra vuelta al Cuaderno nº 8…). 5.4. Del sistema de representación decimal al numérico Ahoraafrontamoselproblemainver- so; es decir, dada una fracción en forma decimal, pasarla a la forma numérica a/b. Este proceso de traducción suele recibir el nombre de “hallar la fracción generatriz del decimal dado”. Como acabamos de ver, hay varios tipos de decimales, por lo que analizaremos di- versos casos en este proceso.
a) Decimal exacto: El procedimiento es sencillo:se multiplica y divide el decimal por la potencia 10n, donde n es el número de cifras decimales.Así se obtiene una fracción cuyo numerador pasa a ser entero y cuyo denominador es la potencia 10n. x 4 5 Por ejemplo:0,4 pasa a ser ( 0,4 1010) = 10= 2. Análogamente, 7,5 pasa a ser (7,510 10) = 75 x 203 expresión decimal exacta tiene como nume- rador la parte entera seguida de las cifras de- cimales y como denominador la potencia 10n, donde n es el número de cifras decimales.
b) Decimal periódico puro:Veamos cómo se procede con el ejemplo 0,15:
Primero, observemos que es cierta esta igualdad: 0,15 = 0,1515.Ahora multiplica- x 10
23 mosydividimos0,1515por100,conloque no se altera su valor, y se llega a: 0,1515 = (0,1515 x 100)/100 = 15,15/100 = (15 + 0,15)/100.
Hasta ahora tenemos la igualdad: 0,15 = (15 + 0,15)/100. Multiplicando ambos términos de la igualdad por 100 se tiene: 100 x 0,15 = 15 + 0,15. Si restamos 0,15 en ambos miembros de la igualdad, a la izquierda tendremos (100 – 1) veces 0,15, es decir, 99 veces 0,15. Y a la derecha, quedará sólo 15. Es decir, pasaremos a la igualdad: 99 x 0,15 = 15. Finalmente, dividimos ambos miembros de la igualdad entre 99, con lo que llegamos al resultado ?nal:0,15 = 15/99
Si se hubiera tratado de la expresión deci- mal periódica pura 2,15, el proceso sería: 2,15 = 2 + 0,15 = 2 + 15/99 = 198/99 + 15/99 =213/99.Obsérvese que el numera- dorpuededesglosarsecomounadiferencia: 213 = 215 – 2,es decir,como la diferencia entre el número formado por la secuencia “parte entera-período”, 215, menos la parte entera,2.
Todoesteprocesopuedeparecertediosoy complicado,pero se presenta para justi?car la regla que rige la búsqueda de la fracción generatriz en el caso de las expresiones decimales periódicas puras: La fracción ge- neratriz de una expresión decimal periódica puratienecomonumeradorladiferenciaentre el número formado por la secuencia “parte entera-período”, menos la parte entera; y como denominador,tantos nueves como cifras tiene el período.
Por ejemplo, la fracción generatriz del decimal 3,27 tiene como numerador: 327 – 3; y como denominador, 99. Se trata de la fracción 324/99 (verifíquelo).
Análogamenteparaeldecimal 0,123;sunu- merador es 123,y su denominador,999.Se trata de la fracción 123/999 (verifíquelo). c) Decimal periódico mixto: En este caso vamos a obviar la construcción de la regla que rige estos casos [dejamos a los lectores su búsqueda en algún texto de matemáti- ca…] y a exponerla directamente:La fracción generatrizdeunaexpresióndecimalperiódica mixta tiene como numerador la diferencia en- treelnúmeroformadoporlasecuencia“parte entera-anteperíodo-período”,menoselnúmero formado por la secuencia“parte entera-ante- período”;y como denominador,tantos nueves comocifrastieneelperíodo,seguidosdetantos ceros como cifras tiene el anteperíodo.
Vamosadaralgunosejemplosparamostrar cómo se aplica la regla anterior: 2,315 se desglosa así:parte entera:2;anteperíodo:3; período:15.De modo que:2,315 = (2315 – 23)/990 = 2292/990 (verifíquelo). Por su parte, 0,183 se desglosa así: parte entera: 0; anteperíodo: 18; período: 3. De modo que: 0,183 = (183 – 18)/900 = 165/900 (verifíquelo).
Finalmente, 3,12101 se desglosa así: parte entera: 3; anteperíodo: 12; período: 101. De modo que: 3,12101 = (312101 – 312)/99900 = 311789/99900 (verifíquelo).
6. Obtenga la fracción generatriz de las siguientes expresiones decimales: 4,05 4,05 0,101 0,8 2,75 2,75 0,8 10,1 0,3 Veamosuncasocurioso:eldelafracción0,9 (una sucesión ilimitada de nueves después delacoma…).Deacuerdoconloexpresado anteriormente,su fracción generatriz es 0,9 = 9/9 = 1. De donde se sigue que 0,9 = 1. ¿Será cierto esto? Sí lo es; lo que ocurre es que hemos descubierto otra manera de representar la unidad como fracción decimal: 0,9. [Acabamos de abrir una ven- tana hacia una matemática más avanzada, la que trabaja con expresiones in?nitas y utiliza el concepto de límite para ello. No vamos a entrar en este terreno, pero sí a tomar nota del punto de partida desde el que salimos…].
24 Un comentario ?nal al llegar a este punto.Notodoeltrasiegodefracciones entresusrepresentacionesnuméricasy decimales,enambossentidos,tieneque reducirse a estos ejercicios tan “técni- cos” y “complejos”. También tenemos que familiarizarnos con la equivalencia de las fracciones y los decimales más sencillos y frecuentes. Así como llega- mosadominarlastablasdemultiplicar, deberíamos manejar con soltura al menos las siguientes equivalencias (en ambos sentidos):
a) 1/2 equivale a 0,5; los múltiplos decimales de 0,5 son fracciones de denominador 2 (por ejemplo: 3,5 = 7 x 0,5 = 7 veces 0,5 = 7/2, etc.). b) 1/4equivalea0,25;losmúltiplos decimalesde0,25sonfracciones de denominador 4 (0,75 = 3 x 0,25 = 3 veces 1/4 = 3/4, etc.). c) 1/5 equivale a 0,2; los múltiplos decimales de 0,2 son fracciones de denominador 5 (1,8 = 9 x 0,2 = 9 veces 1/5 = 9/5, etc.); las fraccionesdedenominador5son múltiplosde0,2(porejemplo,4/5 = 4 veces 1/5 = 4 x 0,2 = 0,8). d) 1/10equivalea0,1;losmúltiplos decimales de 0,1 son fracciones dedenominador10(0,9=9×0,1 = 9 veces 1/10 = 9/10, etc.). e) 1/20 equivale a 0,05; los múlti- plos decimales de 0,05 son frac- 3 7 18 9 2 5 3 20 8 ciones de denominador 20 (0,65 = 13 x 0,05 = 13 veces 1/20 = 13/20, etc.); las fracciones de denominador 20 son múltiplos de0,05(porejemplo,17/20 = 17 veces 1/20 = 17 x 0,05 = 0,85).
Tenemos que acostumbrarnos a manejar de esta manera las fracciones ylosdecimalesmásusualesysencillos, y hacerlos así parte de nuestra vida, de lasherramientasmentalesqueestánahí siempre listas para su uso. Esta fami- liaridad mental con las fracciones y los decimalesdebesersiempreunobjetivo de nuestro aprendizaje del tema.
Utilice la recomendación anterior para calcularmentalmentelasexpresionesde- cimalescorrespondientesalasfracciones siguientes:5 , 20 , 10 , 4, 5 , 4 ,2 , 15 , 5
Asimismo,para calcular mentalmente las fracciones numéricas correspondientes a las expresiones decimales siguientes: 0,15; 1,2; 3,25; 1,5; 1,75; 2,6; 0,7; 7,5; 0,65
7. Resuelva los siguientes ejercicios de conversión de fracciones entre los sistemas de representación que se indican:
a) 4/5 a decimal b) 160% a fracción numérica c) 2,5 a fracción numérica d) 200% a decimal e) 13/20 a porcentaje f) 7 a porcentaje g) 6/2 a decimal h) 300% a fracción numérica i) 6/2 a porcentaje
5.5. Fracciones equivalentes Hasta ahora hemos hablado de la traducción mutua entre los diversos sistemas de representación de las frac- ciones. Pero también apuntábamos la posibilidad de traducción al interior de cada sistema. Esto nos lleva a una pri- merapregunta:¿Cuálessonlossistemas de representación que aceptan este proceso interno de traducción?
Una observación cuidadosa nos permite responder que los sistemas de representación que aceptan este pro- ceso interno de traducción (en el que una fracción cambia de representación conservando su valor), son el numérico –y, por consiguiente, el verbal–, el grá- ?codiscretoyelgrá?cocontinuo.Porel contrario,esteprocesonotienesentido en los sistemas decimal, porcentual, y punto sobre la recta.
En los sistemas en los que se pro- duce la traducción interna se habla, entonces, de fracciones equivalentes. El caso más conocido –aunque no el único, como acabamos de ver– es el del sistema numérico a/b. Vamos a anali-
5 10 y 2 5. De todas ellas puede llamarnos la 25 zar cómo en este sistema se generan fracciones equivalentes a una dada y, posteriormente, cómo se descubre si dos fracciones son equivalentes.
Tomemosnuestroejemplodelafrac- ción 2/5. Podemos obtener fracciones equivalentes“ampli?cando”lafracción, es decir, multiplicando numerador y denominador por la misma cantidad entera positiva (no por 0). Por ejemplo, al multiplicar así por 2, llegamos a 4/10; ahora estamos diciendo que el mismotodosehadivididoen10partes congruentes, de las cuales estamos considerando 4. 12 8 2 12 8 6 única que no puede simpli?carse más. Y esto es así, porque dividimos 24 y 60 entre su máximo divisor común, que es 12, con lo cual los factores resultantes, 2 y 5, son números primos relativos, primos entre sí (seguimos con el Cua- derno nº 8…).
Cuandoelnumeradorydenominador deunafracciónsonnúmerosprimosrela- tivos,lafracciónsedenominairreducible. Pues bien, las fracciones equivalentes a unafracciónirreduciblesóloseconsiguen para descubrir si dos fracciones son equivalentes –valen lo mismo– el re- cursomássencilloeseldepasarambas al sistema decimal (otra vez la calcula- dora…): si se obtiene el mismo número decimal, son equivalentes. Otra vía de hacerlo–comoyael(la)lector(a)lohabrá intuido– es la de buscar una fracción queseasimultáneamenteequivalentea ambas;paralograrlo,lavíamássencilla es la de calcular la fracción irreducible de ambas: si coinciden, ambas fraccio- nes son equivalentes.
8. Halle la fracción irreducible en cada caso: 28/140 36/24 18/108 13/65 42/60 76/12 54/24 56/24 15/16 1 1 5 1 10 1 10 Obsérvese que, sin embar- go, esta fracción tiene también su lectura como 2/5, si se consi- dera que el todo se ha dividido en 5 “pares” (10 partes), de los cuales estamos consideran- do 2 (4 partes). Así se descubre la equivalencia entre ambas fracciones. Del mismo modo se consiguen otras fracciones equivalentes: 6/15 (multi- plicando por 3: ahora hay 5 “ternas” de las cuales se toman 2), 14/35 (mul- tiplicando por 7), etc. Como se ve, la “clase” de fracciones equivalentes a una dada tiene un número infinito de fracciones. 1 5
1 1 5
1 10 1 5 Otro de los procedimientos para obtener fracciones equivalentes a una dada es el de “simpli?car” la fracción, siesposible;estoes,dividirnumerador y denominador por la misma cantidad entera positiva (excluyendo el 1). Por ejemplo, si tomamos 24/60, al dividir así entre 2, llegamos a 12/30; al dividir entre 3, a 8/20; al dividir entre 12, a 2/5. Todas estas fracciones (30, 20 , 5 ) son equivalentes a 24/60.
¿Cuántas fracciones equivalentes a 24/60puedenobtenerseporlavíadela simpli?cación? Tantas como divisores comunes –aparte del 1– tengan 24 y 60 (de vuelta al Cuaderno nº 8…). Estos divisores comunes son {2, 3, 4, 6 y 12}. Porconsiguiente,hay5fracciones equi- valentesa24/60quepuedenobtenerse por la vía de la simpli?cación: 30, 20, 15, 4 10 atención la fracción 2/5, porque es la porlavíadelaampli?cación;enlosdemás casosfuncionaestavíayladelasimpli?- cación, que es siempre más corta.
Un caso particular de equivalencia por ampli?cación es el que atañe a los números naturales considerados como fracciones. Así,1 puede representarse como 2, 3, 5…,es decir,dein?nitasmanerascomofracción.Del mismo modo,2 puede hacerlo como 2, 3, 14, etc. Esta observación nos ayuda también a familiarizarnos con las fracciones y,además, será muy útil cuando operemos con ellas.
En cuanto a la segunda cuestión, 4 6 7
a) y b) 18 y c) y 5 40 52 33 200 d) 60 y 35 f) y 100 11 26 9. Determine si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:
54 27
5.6. Estimar el valor de las fracciones Volvemosdenuevoanuestrointento por familiarizarnos con las fracciones, ahora con el aporte de las fracciones equivalentes. A este respecto, resulta interesante la actividad de estimar el valoraproximadodealgunasfracciones quenopresentannúmeros“amigables” en el numerador y en el denominador (por ejemplo, 28, 17, 63, etc.). La idea es la de acercarnos a fracciones más sen- cillas–particularmentelasirreducibles–, cuyo valor esté cerca del valor de las fracciones dadas. Esta actividad recibe elnombredeestimacióndelvalordelas fracciones.
Esta actividad requiere desarrollar las competencias de observación de cada fracción y la familiaridad con las fracciones más sencillas. Por ejemplo, 28/89 nos lleva a acercarnos a 30/90, cuya fracción irreducible es 1/3 (simpli?cando entre 30); o también a 27/90, cuya fracción irreducible es 3/10 (simpli?cando entre 9). Obsér- vese que el decimal correspondiente a 28/89 es –con sólo 4 cifras deci- males– 0,3146; el correspondiente a 89 70 97 1/3 es 0,333…; y el correspondiente a 3/10 es 0,3. Como se ve, en estas dos estimaciones estamos cerca del valor de la fracción 28/89.
Análogamente,17/70puedeaproxi- marsea20/70(esdecir,2/7),a14/70(es decir, 1/5); a 17/68 (es decir, 1/4), etc. Y 63/97 puede acercarse a 66/99 (es decir, 2/3), a 65/100 (es decir, 13/20), a64/96(esdecir,2/3nuevamente),etc. Lo importante es saber manejarse con soltura y familiaridad; y esta actitud sólo puede ser producto de las ganas de “acercarse” a las fracciones… y de la ejercitación.
Estime el valor de las siguientes fraccio- nes, aproximándolas a fracciones más sencillas: 31/59 91/62 53/149 26/60 83/39 97/79 37/121 13/31 89/91
5.7. Y ahora sí, ¿para qué tantos sistemas de representación de las fracciones? Quizás ahora ya tenemos una bue- na respuesta a la pregunta con la que iniciábamosesteapartado.Lavariedad de sistemas de representación no es algo super?uo, ni mucho menos inútil. Ya hemos visto algo de lo que se puede sacar de esta variedad… Enresumen,podemosdecirquenos hemos sumergido en la diversidad ma- temática; que nos ha ayudado a captar mejor el concepto y signi?cado de las fracciones;quenospermitefamiliarizar- nosconellas;quelavariedadnosfacilita la resolución de tareas con fracciones al permitirnos optar por el sistema más adecuado a cada tarea… Y en esta tó- nica seguiremos cuando, en el próximo Cuaderno, abordemos las actividades de ordenar fracciones, operar con ellas y resolver problemas.
6. Las fracciones en nuestra vida Familiarizarnosconlasfraccionesno suponesolamenteacostumbrarnosasus conversiones de un sistema de repre- sentación a otro, o a sus equivalencias dentro de un mismo sistema. También supone saber “verlas” y “utilizarlas” en nuestra vida. Una actividad destinada a este ?n puede ser, por ejemplo, la de tomar la altura de un mueble, indicar unpuntoenél,y estimarquéfrac- ción representa –respecto a la altura total– la distancia desde labasedelmue- blehastaelpun- to indicado. El ejercicio puede llevarse a otros
, , 9 , 7 , 13,10, 2? 27 objetos cuya altura o longitud puede medirse, a super?cies cuya área puede calcularse, a volúmenes medibles, etc. Todo es cuestión de imaginación… Después de hecha la estimación deben obtenerselasmedidascorrespondientes con el ?n de evaluar la precisión de la fracción estimada.
Unaactividadcomplementariapue- de ser la inversa: tomar una dimensión de un objeto, indicar una fracción, y tratar de ubicar sobre el objeto la parte de la dimensión correspondiente. Por ejemplo, puede tomarse un diccionario y solicitar que se abra en la página que represente 1/4 ó 2/3… de todo el libro, y luego veri?car la precisión de la estimación.
Finalmente, también es posible es- timar la magnitud del todo a partir de la medida de una fracción estimada. Por ejemplo, en el caso del dicciona- rio, se puede abrir en determinada página, tomar nota del número de página indicado, observar el grueso del libro cerrado y estimar la fracción que sobre el total representa el grueso de las páginas separadas, y a partir de ahí estimar cuántas páginas puede tener el libro. Un caso similar es el de estimar el número de personas en una cola a partir de estimar la fracción que representa un número determi- nado de sufridos ciudadanos (algo hay que hacer para distraerse en una cola…). En fin, trate de proponerse y practicar con situaciones similares. Lo importante es entender que las fracciones están presentes en nuestra vida y que es cuestión de saber verlas y utilizarlas. unidades,la fracción valdrá 0,5.¿Cuál es la fracción original?
c) ¿Cuál es la cifra decimal que ocupa la posición 2009 en el desarrollo decimal de 4/101? d) En cada una de las sucesiones siguientes, averiguar el valor de la fracción omitida: 7. La resolución de problemas en el campo de las fracciones Vamos a plantear algunos proble- mas que pueden referirse a la utili- zación del concepto de fracción y de sus diversas representaciones. Lo que sugerimos a nuestros lectores es que, una vez leído el enunciado de cada si- tuación, intenten resolver el problema por cuenta propia antes de revisar la vía de solución que se presenta pos- teriormente.
a) ¿Cuál de las siguientes fracciones se acerca más a la unidad: 7 3 10 8 12 9 1 8 4
b) El denominador de una fracción excedeen7unidadesalnumerador.Si al denominador se le agregan otras 7 3 3 3 8 2 3 4 a) 1,1, 5,…,3, 11
b) …, 1,11,14,17
c) …, 5, 11, 23, 47
e) Con los dígitos del 1 al 9, utilizados todos una sola vez y repartidos entre el numeradoryeldenominador,formaruna fracción equivalente a 1/2.
f) En una reunión, la mitad de los invitados son hombres.De todos los hombres presentes,40% son calvos;y deestosúltimos,lamitadhablainglés. Si sólo 4 calvos hablan inglés,¿cuántas mujeres hay en la reunión?
g) Si el z % de v es 15, ¿cuál es el v % de z?
Vamos,pues,areportaralgunasvías desoluciónparapodercontrastarlascon las que hemos podido obtener entre todos. 3 5 9 17 1 2 ? ¿ 5 9 ? ¿
28 a) Una forma sencilla de resolver el pro- blema es “traducir” todas las fracciones a su expresión decimal y anotar aquella cuyo valorestémáspróximoalaunidad.Perosise pre?ere trabajar con las expresiones dadas, basta observar lo que le falta (o le sobra) a cada fracción con respecto a 1:1/8,1/4,1/9, 1/7,1/13,1/10,1/2,respectivamente.De to- das ellas,la menor es 1/13.Por consiguiente, la fracción más cercana a 1 es 12/13.
b) Después de agregar otras 7 unidades al denominador, éste es 14 unidades mayor que el numerador.Si la fracción ahora vale 0,5(esdecir,1/2),esporqueeldenominador eseldobledelnumerador. Porconsiguiente, éste debe valer 14 y el denominador,28.La fracción original es 14/21.
c)Laexpresióndecimalde4/101es0,0396. Es decir, cada 4 posiciones se repite el mismo grupo de cifras, en el mismo orden. Para averiguar cuál es la cifra que ocupa la posición2009,debemosobtenerelrestode dividir 2009 entre 4, que es 1 (el cociente de esta división, 502, signi?ca que hay 502 grupos completos de las cuatro cifras del período). Así,pues,laposicióndecimal2009 está ocupada por la 1ª cifra del período,es decir,por el 0. d) a) Si se toman los valores 1 y 3 como 3/3 y 9/3,respectivamente,se observa que los numeradores de esas fracciones se incrementan de 2 en 2, mientras que los denominadores permanecen iguales a 3.La fracción omitida es,pues,7/3.
b) Los numeradores aumentan de 1 en 1, y los denominadores de 3 en 3.La fracción omitida debe ser,pues,0/5,es decir,0.
c) Aquí los patrones son un poco más complejos, pero una observación atenta nos lleva a inferir que cada numerador se obtiene aumentando 1 al doble del nume- rador anterior,y que cada denominador se obtiene restando 1 al doble del denomina- dor anterior. Así, pues, la fracción anterior a 5/3 debe ser 2/2,es decir,1.
e) El método a seguir debe ser el de ensayo y ajuste.He aquí una pista inicial:si se han de utilizar las 9 cifras signi?cativas y el denomi- nadorhadesereldobledelnumerador,éste debe contar con 4 cifras, y el denominador con 5. Además, la primera de estas cinco debe ser el 1,y la primera de las del nume- rador,mayorque5(¿porqué?).Porotrolado, ¿el 5 puede ?gurar en el numerador (¿por qué?)?Apartirdeaquí,escuestióndeensayar y ajustar. Una de las respuestas posibles es .Pero hay otras.Intente hallarlas… f)Consideremoselconjuntodeloshombres. Que 40% de ellos sean calvos signi?ca que lo sonlos2/5.Deellos,losquehablaninglésson lamitad,esdecir1/5deloshombres.Peroesta fracciónequivalea4hombres.Porlotanto,el número total de hombres será 4 x 5 = 20.Y 20 es también el número de mujeres.
El problema también puede resolverse por la vía grá?ca. Como nos hablan de los 2/5 de los hombres (40%),vamos a repre- sentar el conjunto de los hombres como un rectángulo dividido en 5 cuadrículas congruentes:
Las dos primeras, por ejemplo, correspon- deríanaloscalvos,yunadeellas(lamitad)a los que hablan inglés.Pero el“valor”de esta cuadrícula es 4, de donde se desprende el valor de 20 para todo el conjunto.De aquí, el número de mujeres,también 20.
g) La mejor manera de resolver el ejercicio es presentando alguna situación numérica que satisfaga el enunciado “el z % de v es 15”. Podemos pensar en v como 30 (el doble de15),de donde se sigue quez debe ser 50 (50%), ya que el 50% (la mitad) de 30 es 15. Ahora hay que responder a la pregunta ¿cuál es el 30% de 50? Si el 10% es 5, el 30% es 15,el mismo valor.Si se ensaya con otro valor de v (50, 60, 100…) y se halla el correspondiente de z (30,25,15…),se verá que la respuesta siempre es la misma:15. 7269 14538
29 8. Y ahora, otros ejercicios “para la casa”… 13. Un sastre compró la mitad de 9 metros de tela y utilizó 4 1/2 metros. ¿Cuánta tela sobró? 10 9 4 10. La longitud del monstruo del lago encantado es de 20 metros, más la mitad de su propia longitud.¿Cuánto mide de largo el monstruo?
Con los dígitos del 1 al 9, utilizados to- dos una sola vez, formar (si es posible) el numerador y el denominador de una fracción equivalente a 1/3.Ídem,equiva- lente a 1/4 y a 1/5.
11. En cada una de las sucesiones siguientes, averiguar el valor de la fracción omitida:
a) 11, 7, 7,…,
b) 1 2,12, 1 0, 14, 2,…,
12. La diferencia entre el 60% y el 45% de un número es 30. ¿De qué número se trata? 18 8 15 21 3
Referencias bibliográ?cas
– Ferreirós, J. (1998). Introducción. En: R. Dedekind, ¿Qué son y para qué sirven los números? (pp. 5-75). Madrid: Alianza. – Freudenthal, H. (1983). Didactical phe- nomenology of mathematical structures. Dordrecht: Reidel. – Kline, M. (1992). El pensamiento ma- temático de la Antigüedad a nuestros días, Vol. I. Madrid: Alianza. 1 5 2 4 1 4 1 4 1 5 3 6 5 7 3 3 9 Respuestas de los ejercicios propuestos
1. Son iguales 2. 4 decimales 3.1 2; 110 ó 1 1; 2 1; 11 9; 612 ó 6 3 4. 3 ó 1 3 5. 0,7; 3,6; 1,09; 0,15; 0,0714285; 0,86; 0,26; 0,0495 6. 405/100 u 81/20; 401/99; 91/900; 8/10 ó 4/5; 248/90 ó 124/45; 11/4; 8/9; 91/9; 3/9 ó 1/3 7. 0,8; 160/100 u 8/5; 5/2; 2; 65%; 700%; 3; 3; 300% 8. 1; 2; 1; 1;10; 19 ó 6 1; 4 ó 15 b) cualquier otra fracción equivalente a 2/3 12. 200 13. Nada
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