Esterequerimientocultural–“núme- ros que representan fracciones”– apa- rece plasmado en símbolos abstractos ya desde las culturas babilónica y egipcia; es decir, desde unos 3.000 años a.C. en adelante (Kline, 1992). Los babilonios utilizaron fracciones cuyos “denominadores” eran potencias de 60 [Recuérdese que 60 era la base de su sistema de numeración: ver Cua- derno nº 2] y con ellas representaban las fracciones de la forma 1/n. Así, por ejemplo, la inscripción igi 2 gál-bi 30’ se traduce en términos actuales como: 1/2 = 30/60. Análogamente, igi 8 gál- bi 7 30’ se traduce como: 1/8 = 7/60 + 30/602, lo cual es cierto, ya que 7/60 + 30/602 = 7/60 + 30/3600 = 7/60 + 1/120 = 14/120 + 1/120 = 15/120 = 2 1 2 1 1 “matemáticos” –y por consiguiente, a las fracciones– un uso eminentemente práctico, de aplicación a la vida diaria, al comercio, a la arquitectura, a la as- tronomía, etc. Pero no hubo entre ellos una preocupación teórica acerca del concepto de número, como sí la hubo en la cultura griega. Vamos a asomar- nos a ella.
Lospitagóricos(s.VIa.C.)considera- ban como números solamente a los nú- meros naturales. Pensaban, ade- más,quelanatu- ralezasereducía aestosnúmeros, en el sentido de que todo objeto podíaexpresarse con un número (la medida de su magnitud),ylasrelacionesentreobjetos (entre sus magnitudes), siempre como una relación entre números naturales.
Para lograr esta relación suponían que siempre funcionaría el principio de conmensurabilidad,esdecir,quedadas dos magnitudes (por ejemplo, dos seg- mentos), siempre era posible encontrar unamagnitud(unsegmento)menorque “encajara” un número exacto de veces en cada una de las dos magnitudes (los dos segmentos) relacionadas. Es decir, dados los segmentos a 1/8. Como ejercicio, le sugerimos que halle la “descomposición” de 1/27 a partir de la inscripción ‘igi 27 gál-bi 2 13 20’ y veri?que su exactitud…
Por su parte, los egipcios también utilizaronsímbolosacordesconsusiste- madenumeraciónparadenotarlasfrac- ciones. Así, las fracciones del tipo 1/n (salvo 1/2 y 1/4) se representaban con lanotacióncorrespondientedelnúmero n y un óvalo o punto superpuesto al nú- mero. Las demás fracciones (salvo 2/3, queteníatambiénsusímboloparticular de representación) se reducían a una “suma” de las fracciones unitarias. Por ejemplo y en nuestra notación actual, 5 = 3 + 15, expresión a la que llegaban de la siguiente forma (tomando en cuenta que 3 veces 1/15 es 1/5, y que 5 veces 1/15 es 1/3): 5 = 5 + 5 = (15 +15 + 15) + ( 15+15+15) = 15+ (15+15+ 15+ 15+15) =15+ 1 2 1 1 al modo egipcio…). Cabe destacar que tanto babilonios como egipcios dieron a los conocimientos
8 y b, podía suceder que ni a encajara un número exacto de veces en b, ni viceversa. Pero entonces, siempre era posibleencontrarunsegmentomenorc, talqueestuvieracontenido“nveces”en ay“mveces”enb,conloquelarelación entre a y b podía denotarse mediante la expresión n/m. Por ejemplo, si la longituddeunsegmentoaera“unavez y media” la de un segmento b, c sería la mitad del segmento b, con lo cual b contendría 2 “minisegmentos” c, y a, 3 “minisegmentos”c;así,larelaciónentre a y b vendría dada por la relación 3/2, es decir, “como 3 es a 2”.
Pero esta relación y su expresión como aparente “cociente” de dos números naturales no era conside- rada como un nuevo número –una fracción, la expresión de una relación parte/todo–,sinocomounarazónentre ambas magnitudes, es decir, como la expresión numérica de la relación entre ellas, sin que ambas estuvieran necesariamente ligadas como un par “parte/todo” (de hecho, en el ejemplo anterior, los dos segmentos son inde- pendientes). En la Aritmética de los griegos no existieron, pues, las frac- ciones como números al estilo de los babilonios y egipcios.
La idea de que las fracciones eran realmente números se consolidó a par- tir del Renacimiento. “En 1585, Simon Stevin da la idea de una solución que imperarádurantetressiglos,alproponer unanuevade?nición:númeroesaquello mediante lo que se explica la magnitud de alguna cosa” (Ferreirós, 1998, p. 8). De?niciónqueNewtonclari?caen1707, en su Arithmetica Universalis:
ENTENDEMOS POR NÚMERO NO TANTO UNA MULTITUD DE UNIDADES CUANTO LA RAZÓN ENTRE UNA CANTIDAD ABSTRACTA CUALQUIERA Y OTRA DEL MISMO GÉNERO QUE SE TOMA POR UNIDAD.
(Citado en Ferreirós, 1998, p. 8).
Deestamanera,una fraccióncomo2/3–que inicialmentesólorepre- sentabalarelaciónentre la magnitud de la parte y la del todo del queprocedía–seinterpretatambiéncomo unnúmeroquemideel“númerodeveces que la parte está contenida en el todo, consideradoéstecomolaunidad”.Así,las fracciones,comolosnúmerosnaturalesy hastalospropiosnúmerosirracionales(las raícescuadradas,porejemplo),seconvier- ten en números-medida de magnitudes comparadas con la unidad. Por consi- guiente,todosellospuedenrepresentarse como puntos de la recta numérica. 2. El concepto de fracción y sus diversas formas de representación Después de esta breve introducción histórica podemosplantear el concepto de fracción como la expresión de la relación entre una parte y el todo. Para de?nirlo, necesitamos tres elementos:
1. Un todo, considerado como uni- dad 2. Una partición de ese todo en b partes congruentes (b > 0) 3. La referencia a un número a de esas partes.
En Matemática, los conceptos re- quierennecesariamentealgúnmodode representaciónquehadeserpertinente, es decir, que permita mostrar adecua- damente y con cierta simplicidad el conceptoysuspropiedades,asícomolas posiblesoperacionesytransformaciones alasquepuedesometerseposteriormen- te. En este sentido, algunos conceptos sonpolimorfos,esdecir,puedenadoptar diversasformasderepresentación.Tales el caso del concepto de fracción.
En efecto, existen varios campos o sistemasderepresentaciónparaelcon- ceptodefracción.Vamosapresentarlos –tomandocomoreferenciauntodofrac- cionadoen5partescongruentes,delas queconsideramos2–y,posteriormente, a describirlos:
9 1. Verbal: “los dos quintos de…” 2. Numérico: 2/5 3.Gráficocontinuo(númerodecua- drículasrayadasconrespectoalnúmero total de cuadrículas congruentes):
4. Gráfico discreto (número de • con respecto al número total de obje- tos): • ? ? ? •
5. Decimal: 0,40 (40 de las 100 centésimas que posee la unidad) 6. Punto sobre la recta numérica: 0 1/5 2/5 3/5 4/5 1 7. Porcentual: 40% (40 de cada 100 partes)
Los cuatro primeros sistemas res- ponden más directamente a la relación parte/todo,relación que,comosabemos yhemosvistoenlasreferenciashistóri- cas anteriores:
1.Puedeexpresarseverbalmente:la mitad, los dos tercios, etc. (siste- ma verbal). 2.Habitualmentenecesitaexplicitar los dos números enteros que re- ?ejen la magnitud de la relación entre la parte y el todo (sistema numérico). 3.Puedereferirseamagnitudescon- tinuas tales como la longitud de un segmento, el área de una su- per?cie,elvolumendeunsólido… (sistema grá?co continuo). 4. O también a magnitudes discre- tas,comoelnúmerodeobjetosde un conjunto, la cantidad de dine- ro… (sistema grá?co discreto).
Los sistemas de representación 5 y 6 (decimal y como punto sobre la recta numérica) responden más bien a la idea posterior y complementaria de fracción como medida de magnitudes compara- das con la unidad, de la que también se habló anteriormente. Finalmente, todo porcentaje(sistema7)puedeconsiderarse en principio como una fracción de deno- minador 100 –siempre que la cantidad porcentualseaentera;porejemplo,37%–. [Sinembargo,elusoquehabitualmentese hacedelosporcentajesydesusaplicacio- neslosubicatambiénenelterrenodelas razones y proporciones (reglas de tres…), como veremos en el Cuaderno 11].
Observe la representación de una fracción en una calculadora cientí?ca… y compárela con las anteriores. ¿Una nueva forma de representación? En lo que sigue analizaremos algu- nas de las implicaciones inmediatas que se derivan del concepto de frac- ción; luego nos detendremos en el sistema numérico de representación a/b; y posteriormente, trataremos de ver qué sentido tiene el hecho de disponer de tantos sistemas de repre- sentación y qué podemos hacer con todos ellos. 3. Algunas consecuencias inmediatas derivadas del concepto de fracción Anteriormente mencionamos tres elementos necesarios para integrar el concepto de fracción. Vamos a dete- nernos en cada uno de ellos. Después plantearemos algunos ejercicios que pueden ser resueltos tomando en cuenta directamente el concepto de fracción. 3.1. El todo como unidad Cada fracción en particular hace referencia a un todo que se toma como unidad, y que puede variar de una situación a otra. Por eso, el todo es lo primero que hay que precisar cuando de fracciones se trata. Veamos estas situaciones prácticas:
10 Alfredo y Rafael tienen dinero en el bolsillo. Alfredo gasta la quinta parte del suyo y Rafael,la mitad de lo que tiene.¿Quién de los dos ha gastado más dinero?
Evidentemente, no podemos precisar la respuesta porque desconocemos las cantidades de dinero que posee cada persona (los todos). Por ejemplo,Alfredo podía haber tenido 100 pesos (gastaría 20) y Rafael 30 (gastaría 15,menos queAlfredo).Pero también podría ocurrir lo contrario o,incluso,que ambos gastaran lo mismo (por ejemplo,siAlfredo tuviera 50 pesos y Rafael 20:ambos gastarían 10 pesos).En principio,1/2 es mayor que 1/5,pero sólo si ambas fracciones se re?eren al mismo todo.
Tres medios loros son loro y medio;pero,¿cuántos loros y medio son?
Está claro: 1 (1 loro y medio).Esta especie de acertijo hace alusión jus- tamente a la posibilidad de manejar distintas unidades como referencia del todo:medio loro (hay 3),1 loro (hay uno y medio),loro y medio (hay uno).
Enuna?estasereparteequitativamenteunpastelentre8niños. Sara se lleva su parte a su casa y la comparte equitativamente con sus dos hermanos.a) ¿Qué fracción del pastel trajo Sara a su casa? b) ¿Qué parte de ese pedazo de pastel se comerá? c) ¿Qué parte del pastel original se comerá?
a) Un octavo.El todo es el pastel original. b) Un tercio.El todo es el pedazo que va a compartir con sus dos hermanos. c) 1/24.El todo es el pastel original.
¿Cuántas docenas de huevos son 3 huevos? ¿Y cuántas medias docenas? ¿Y cuántos pares de huevos son 7 huevos?
Si el todo es la docena de huevos,3 huevos son la cuarta parte (1/4) de una docena de huevos.Ysieltodoeslamediadocenadehuevos,3huevossonlamitad(1/2)deunamedia docena de huevos.Por su parte,7 huevos son 3 pares y medio (3 1/2) de huevos. Volveremos sobre estas precisiones más adelante. 3.2. La partición de la unidad Elsegundoelementonecesariopara la de?nición de la fracción es la parti- ción del todo en b partes congruentes (b > 0).
¿Por qué el número de partes ha de ser mayor que 0?
Porque no tiene sentido dividir algo en 0 partes, no se puede. Por consiguiente, no puede haber fracciones de la forma a/0.
¿Se puede dividir un todo en una parte?
Sí. Dividir un todo en una parte signi?ca que la parte es única y coincide con el todo. Es decir, el todo se deja intacto. Por consiguiente, sí puede haber fracciones de la forma a/1.
Por otro lado, conviene insistir en que las partes han de ser congruentes. Estosigni?caquesilasmagnitudesson continuas (longitudes, áreas, volúme- nes,tiempos…),lasparteshandeserdel mismo tamaño. Y que si son discretas, han de contar con el mismo número de elementos.
11 ¿Qué fracción está representada por la cuadrícula rayada de la ?gura?
Pues,evidentemente,no es 1/5.Habrá que hacer otros cálculos para llegar a la respuesta.
Al repartir 36 juegos educativos entre 3 aulas de preescolar, se dejan, respectivamente,11, 11 y 14 juegos.¿Puede decirse que a cada aula le corresponde 1/3 del total de juegos?
No,ya que las tres partes no son congruentes.De haberse dejado 12 juegos en cada aula, sí podría decirse que a cada una le correspondió 1/3 del total de los juegos. 3.3. Considerar algunas de esas partes Veamos algunas de las situaciones que se pueden presentar (de paso iremos dando respuesta a algunas de las preguntas planteadas al inicio del Cuaderno): Tenemos un todo dividido en b partes. ¿Puedo no considerar ninguna de esas partes, es decir, referirme a 0 partes?
Sí.Sería el caso,por ejemplo,de yo ser tomado en cuenta para el reparto de un pastel y luego renunciar a la parte que me corres- ponde:me estaría llevando 0 partes del pastel (0/b),es decir,nada, 0.Por consiguiente,0 es una fracción,que responde a la forma 0/b, cualquiera que sea el valor de b > 0.
¿Un número natural a puede ser considerado como una fracción?
Acabamos de ver que 0 es una fracción.A?rmar que cualquier otro número natural, por ejemplo el 3,también puede ser considerado como fracción exige establecer qué sentido tiene 3 como fracción: signi?ca que el todo ha sido dividido en una parte –es decir, se deja intacto– y que ahora considero 3 de esas partes, es decir, 3 todos, 3 unidades.Así, la representación numérica más inmediata de 3 como fracción sería 3/1. Por consiguiente, cualquier número natural a puede ser considerado como una fracción.
12 ¿Existen fracciones negativas?
Evidentemente, no. El número de partes en que se divide el todo viene dado por un nú- mero natural mayor que 0.Y el número de partes que se toman o consideran viene dado también por cualquier número natural, incluido el 0. Nunca aparecen números negativos, y tampoco es posible una relación negativa entre la parte y el todo. Por consiguiente, no podemos hablar de fracciones negativas.
¿Existen fracciones de la forma a/b en las que a pueda ser igual o mayor que b?
La respuesta es a?rmativa en ambos casos. Si a = b, estamos hablando del número 1, ya que la situación indica que el todo se divide en b partes,de las cuales consideramos todas; es decir,estamos tomando el todo,la unidad.Si a > b,simplemente estamos indicando que consideramos un número a de partes que es mayor que el número b de partes en que se dividió el todo;lógicamente,esta fracción excede el valor del todo,de la unidad. Laúltimasituaciónnosllevaahablar de dos clases de fracciones: propias, aquellas de la forma numérica a/b en lasquea< b;eimpropias,aquellasdela formaa/benlasquea>b.Vamosarefe- rirnos con más detalle a estas últimas.
¿Cuál es el signi?cado de una frac- ción como 7/4? De acuerdo con el pro- ceso que lleva a su de?nición, hay un todoqueinicialmentesehadivididoen 4 partes congruentes; posteriormente consideramos7deesaspartes,esdecir, tomamos 7 partes del tamaño 1/4 del todo.Grá?camente,tenemosuntododi- vidido en 4 cuadrículas congruentes: 3 La fracción 7/4 viene dada por la parte rayada siguiente:
Evidentemente, 7/4 equivale a 4/4 más 3/4, es decir y como se observa en la grá?ca, a 1 y 3/4: una unidad com- pleta y 3/4 de otra. Cuando la fracción impropia se expresa como un entero y una fracción propia, recibe el nombre de fracción mixta, es decir, “mezcla” de un entero y de una fracción propia, yserepresentacolocandojuntosambos elementos: 1 4. Conviene diferenciar la situación anterior de esta otra:
A pesar de que ahora también considera- mos 7 cuadrículas del mismo tamaño que en el caso anterior, la situación nos está hablando de un todo dividido en 8 partes congruentes de las que estamos tomando 7:esta representación grá?ca corresponde a la fracción numérica 7/8. De nuevo hay que resaltar la importancia de de?nir el todo en cada caso. Unasituaciónenlaquepuedenpresentarse fracciones impropias es la correspondiente al reparto equitativo de objetos (más ob- jetos que receptores), siempre que estos objetos se “dejen” fraccionar. Por ejemplo, si se reparten 8 balones entre 5 personas, no podemos decir que a cada persona le toquen 8/5 de balón, ya que estos objetos son indivisibles; la situación se resuelve de acuerdo al modelo de una división entera: a cada persona le corresponde 1 balón (cociente) y quedan 3 (resto) sin repartir. Pero si se trata de, por ejemplo, 8 panes, sí tiene sentido decir que a cada persona le corresponden 8/5 de pan. Esta expresión, resultado del reparto,signi?ca que cada pan se ha dividido en 5 partes congruentes, 5 quintos,(obsérvese que el todo es un pan) y que a cada persona le corresponden 8 de esasquintaspartes,8“trozos”deltamañode
= 2 1 5 11 5 , 4, 9 , 12 13 3 1/5depancadauno.Enotraspalabras,como si fuera 1 pan entero y 3/5 de otro pan.
Por otro lado, el proceso de pasar de una expresión de fracción impropia a una de fracción mixta es muy sencillo: se efectúa la división del numerador entre el denominador; el cociente da el enterodelafracciónmixta;ylafracción propia adicional tiene como numerador elrestodeladivisiónycomodenomina- dor, el divisor de la misma división. Así, por ejemplo, para 11/5: 11 5 1 2 Elprocesoinversoseanalizaráalhablar de la suma de fracciones, aunque puede ser fácilmente deducido por loslectores.
Es de hacer notar que las fraccio- nes mixtas suelen utilizarse con cierta frecuencia en el habla de la vida diaria, como por ejemplo, cuando alguien so- licita 2 metros y medio de una tela o unrefrescoquecontienelitro y medio, o cuando uno habla de una película de cine que dura hora y tres cuartos o de un pitcher que ha estado lanzando durante 7 entradas y dos tercios en un juego de béisbol…
3. Escriba las fracciones mixtas corres- pondientes a las fracciones impropias: 2, 15 9 100 76 10 3.4. Ejercicios de aplicación directa del concepto de fracción Y ahora, algunas situaciones que pueden ser resueltas directamente a partir de las consideraciones previas acerca del concepto de fracción:
Rosario y Maribel participan en dos ?estas diferentes,en las cuales se reparten equi- tativamente sendos pasteles del mismo tamaño.Si el trozo recibido por Rosario es menor que el recibido por Maribel,¿en cuál de las dos ?estas hubo más invitados?
Evidentemente, hubo más invitados en la ?esta en la que participó Rosario, porque si la unidad es la misma, cuanto mayor es el número de partes, menor es el tamaño de cada una,y viceversa.
4.Si la unidad se representa grá?camente mediante este rectángulo:
indique qué fracción está representada por la parte rayada:
Si la grá?ca
representa los 3/4 de cierta unidad,construya la unidad correspondiente.
14 Primero,debemos construir las 3 cuadrículas de tamaño 1/4 que llenan la grá?ca anterior:
Y a partir de aquí,completar la unidad (los 4/4) con 4 de esas cuadrículas:
El mismo ejercicio,si la grá?ca representa 1/4 de la unidad:
La grá?ca de la unidad puede ser ésta (pueden darse otras formas de agrupación de las12 cuadrículas congruentes):
De nuevo,el mismo ejercicio,si la grá?ca representa los 3/5 de la unidad: Ahora la unidad se compondrá de 5 de las cuadrículas anteriores;por ejemplo: Gra?que la fracción 3/2,si la unidad es: ? ? ? ? ? ?
Comolamitaddelaunidadvieneexpresada por 3 cuadritos,y como 3/2 equivale a una unidad y media,tendremos la grá?ca: ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Gra?que la fracción 6/5,si la unidad es: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
La fracción 6/5 equivale a la unidad más 1/5 de la misma (? ?), con lo que ten- dremos: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Represente la unidad sobre la recta numérica, a partir de la ubicación de la fracción dada: 0 1/3 Si el punto indicado representa a la fracción 1/3,la unidad comprenderá 9 de los peque- ños segmentos marcados,es decir: 0 1/3 2/3 1
15 El mismo ejercicio para la siguiente situación: 0 4/7 Se observa que la fracción 1/7 abarca dos de los pequeños segmentos marcados,de donde se deduce que la unidad comprenderá 14 de tales segmentos: 0 1/7 4/7 1 Exprese ahora la unidad si la grá?ca representa sus 7/5 partes:
Primero debemos obtener la cuadrícula equivalente a 1/5 de la unidad.Para ello,dividimos el rectángulo anterior en 7 partes congruentes y rayamos una de ellas:
Ahora construimos la unidad,equivalente a 5 de estas cuadrículas:
La grá?ca ?nal de la unidad es:
Represente la unidad sobre la recta numérica,a partir de la ubicación de la fracción dada:
0 12/5 La observación nos lleva a comprobar que cada fracción 1/5 abarca dos de los segmentos pequeños marcados sobre la recta numérica, por lo que la unidad comprenderá 10 de tales segmentos: 0 1/5 1 12/5 Exprese la unidad si la grá?ca repre- senta la fracción 14 : Obsérvese que hay justamente 14 elemen- tos de la forma en la ?gura anterior,por lo que ese elemento equivale a 1/3 de la unidad considerada. Una representación grá?ca de la unidad puede ser: .Ahora 3 3 3 puede veri?carse en la grá?ca inicial cómo la fracción 14 equivale a la mixta 4 2 .
4. La representación numérica de la fracción: a/b Comovimosanteriormente,elsiste- ma numérico de representación de una fracciónadoptalaformaa/b.Aunqueya hemosaludidoaella,inclusoenalgunos ejercicios previos, vamos a detenernos algo más, por cuanto es la de uso más habitual y conviene establecer algunas puntualizaciones al respecto.
4.1. Antes de seguir, ¿cuántos signi?cados puede tener una expresión del tipo a/b? Esta llamada de atención es nece- saria y oportuna, como veremos. Con lo expresado hasta ahora, podemos reco- nocerdossigni?cados:eldefracciónyel derazón.Perotambiénhayotros.Vamos a examinarlos con cuidado para que no aceptemos como fracción cualquier expresión numérica de la forma a/b.
16 1.a/bcomo fracción:Expresa la relación entre los valores de una parte y del todo del que proviene la parte.Por ejemplo,si en un grupo hay 20 hombres y 30 mujeres, la relación del número de hombres con res- pecto al de todo el grupo es de 2/5,donde el todo se ha tomado como 5 decenas de personas, y la parte, como 2 decenas de hombres.
2. a/b como razón: Expresa la relación entre los valores de dos magnitudes cuales- quiera,de la misma o diferente naturaleza. Por ejemplo, la relación del número de hombres con respecto al de mujeres (en el caso anterior) es 2/3, es decir, el núme- ro de hombres es al número de mujeres como 2 es a 3; o también, por cada dos hombres hay 3 mujeres. Aquí 2/3 no re- presenta una fracción (no hay una relación parte/todo),sino una razón.O también,en un movimiento uniforme,la velocidad (en km/h) de un vehículo que ha recorrido 350 km en 5 horas viene representada por la razón 350/5 [Como veremos en el Cuaderno 11,en un movimiento uniforme las distancias recorridas son proporcionales a los tiempos empleados; y desde esta perspectiva, la velocidad representa la razón de la proporcionalidad entre ambas magnitudes]. 3. a/b como división de dos cantida- des enteras: Expresa justamente eso,una división indicada (por ejemplo, un reparto a efectuar), y la necesidad de calcular el cociente (resultado del reparto). Por ejemplo, 180/15 puede indicar la división de 180 caramelos entre 15 niños, con el ?n de averiguar el número de caramelos que corresponderá a cada niño. O bien, simplemente, la forma de proceder para establecer cuántas veces 15 está contenido en 180.
4. a/b como número racional: Es un elemento de un conjunto numérico abs- tracto,denotado Q,que está formado por clases de pares ordenados equivalentes de números enteros (positivos y negativos) cuyosegundoelementoes? 0.Porejemplo, el número racional 2/5 es un represen- tante de la clase de los in?nitos números racionales equivalentes a 2/5: {4/10, 12/30, (-2)/(-5),(-6)/(-15),14/35,…}.Un número racional no hace referencia a la medida de magnitudes que se relacionan como una parte con un todo (caso de las fracciones) o como dos magnitudes entre sí (caso de lasrazones).Esalgoabstracto,sinreferentes, propio de la matemática pura.Y puede ser negativo, situación que no se da ni en las fracciones ni en las razones. A esta variedad de signi?cados del símbolo a/b se le denomina polisemia de a/b. La moraleja de este cuento está clara: no todo lo que se representa en la forma a/b es una fracción; por consi- guiente,nohayqueconfundirlasconlas razonesniconloscocientesdenúmeros naturalesniconlosnúmerosracionales. Conceptualmente, estos cuatro “obje- tos”matemáticossondiferentes,apesar de que pueden presentarse bajo la mis- ma forma. No es, por tanto, la forma lo quedistingueaestosconceptos,sinoel análisisdelasituaciónenqueaparecen en cada caso.
Pero hay algo más. Las fracciones tampoco están obligadas a presentarse siempre en la forma a/b. Ya vimos que hay otros seis posibles sistemas de representación. He aquí la riqueza y la complejidad de las fracciones como objeto de estudio. 3 4 PUES NO, NO TODO LO QUE BRILLA ES ORO, Y NO TODO LO QUE SE PARECE A MÍ ES UNA FRACCIÓN… JE JÉ
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