Los Números en Egipto
La cultura egipcia ha sido una de las culturas que ha dado razón de cómo fue la civilización en la antigüedad, ha brindado huellas y detalles de hasta dónde su civilización logró llegar en diversas actividades.
Una de sus características más sobresalientes es lo referente a la numeración egipcia pues constituye uno de las más antiguas maneras de escritura y numeración del mundo. Sorprende aún más cuando tales símbolos fueron tomados de la propia naturaleza, es decir, de la flora y fauna del Nilo.
Escritura de los Números
Es importante mencionar que los egipcios contaban con un tipo de escritura organizada y en ella se describía los números egipcios en base al número 10, usando jeroglíficos con imágenes comunes en su iconografía que representaban a las unidades, decenas, centenas, millares y así sucesivamente hasta llegar a los millones.
De esta manera realizaban la escritura en ocasiones necesarias, de derecha a izquierda o viceversa, o también de arriba abajo lo cual dependía directamente de la orientación de la figura.
En el Antiguo Egipto se podían representar las cifras con números o palabras (fonéticamente): como "30" o "treinta". La representación fonética del número treinta, sería:
mientras que la expresión numérica de 30, era:
El sistema egipcio era bastante avanzado para su época de tal manera que poseían un sistema determinado para los números cardinales, y otro para los números ordinales.
Numeración Cardinal
Los siguientes signos jeroglíficos eran utilizados en las distintas potencias de diez en los números egipcios. Para representar en jeroglíficos valores numéricos precisos, simplemente se repetía el símbolo el número de veces que fuera necesario, escribiendo de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, aunque como curiosidad, los signos podían escribirse en ambas direcciones.
Así, para representar el número 4622, se repiten tantas veces los signos de cada potencia de diez como fuera necesario:
Números ordinales
Para escribir un número ordinal, los egipcios utilizaron tres formas diferentes:
Operaciones matemáticas
Sumas y restas
Para representar los signos más (+) y menos (-) se usaban los jeroglíficos:
Si los pies estaban orientados en dirección de la escritura significaba suma, al contrario resta.
Fracciones
Los números racionales también podían ser expresados, pero sólo como sumas de fracciones unitarias, con la unidad por numerador, excepto para 2/3 y 3/4. El indicativo de fracción es representado por el jeroglífico de la boca (R), y significa "parte":
Las fracciones se escribían con este operador, p.e. el numerador 1, y el denominador positivo debajo. Así, 1/3 se escribía:
Había signos especiales para 1/2, para 2/3 (de uso frecuente) y 3/4 (de uso menos frecuente):
Si el "denominador" era muy grande y el signo de la "boca" no cabía encima, esta se situaba justo encima del comienzo del "denominador".
Aparte de 2/3 y 3/4 los egipcios no conocían fracciones con numerador distinto a uno. Por ejemplo, la fracción 3/5 se representaba como 1/2 + 1/10 y similar a este ejemplo se descomponían todas las fracciones como suma de fracciones con la unidad como numerador.
Los números egipcios permitían pues que las matemáticas del Antiguo Egipto sean más fáciles de manejar pues comprendían no solo números enteros y naturales sino también fracciones.
La numeración egipcia, y por ende, los números egipcios fueron un apartado importante dentro de la historia del antiguo reinado faraónico.
La Escritura Hierática
Los egipcios, tenían jeroglíficos para los números ordinales, o el cero, y signos para representar operaciones matemáticas y fracciones. La escritura jeroglífica de números, sin embargo no se empleaba demasiado en la vida cotidiana, cuando se escribía sobre un papiro utilizando el sistema numeral egipcio utilizando la escritura hierática, con un sistema diferente.
En la escritura hierática, cada número del 1 al 9 cuenta con un signo, al igual que cada decenas del 10 al 90, centenas del 100 al 900 y millares del 1.000 al 9.000. El sistema de escritura hierática, era más práctico que el de jeroglíficos, ya que requería emplear menos signos para representar un número. La orientación para su escritura era indistinta: se podían escribir de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, modificando la orientación de las figuras según el caso. Muchas veces esta disposición numérica variaba para lograr una mayor armonía estética, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto cuyo número indicaban.
Aquí están algunas versiones de la numeración hierática:
Con este sistema los números se forman con pocos símbolos. El número 9999 tiene solamente 4 símbolos hieráticos en vez de 36 jeroglíficos. Otra gran diferencia entre el sistema hierático y el nuestro es que en el hierático la posición de los símbolos no es importante, se puede escribir en cualquier orden.
Ejemplo de cómo los egipcios escribían 2765 en hierático:
Segunda manera de escribir el número 2765, en orden inverso:
Como los jeroglíficos, los símbolos hieráticos también cambiaron a lo largo del tiempo, pero sufrieron más cambios en seis periodos diferentes. Inicialmente los símbolos utilizados estaban muy ligados al correspondiente jeroglífico pero su forma fue cambiando a lo largo del tiempo. La versión que presentamos del sistema hierático es del 1800 a.C. Los dos sistemas fueron utilizados a lo largo de 2000 años, el hierático se utilizaba en los papiros, como por ejemplo en el papiro de Rhind y el papiro de Moscú, mientras que los jeroglíficos se continuaron utilizando en piedras esculpidas.
El sistema de números egipcios, evoluciona hasta la incorporación de Egipto al imperio romano, momento en que el sistema de jeroglíficos queda relegado a las inscripciones monumentales.
Los Números en el Renacimiento
El Renacimiento comprende una nueva manera de ver y hacer el arte. Es tal vez el momento más alto en el desarrollo del arte universal. Y es también una nueva perspectiva de ver y hacer ciencia; aunque parezca difícil de concebir, ambas expresiones humanas no son excluyentes entre sí durante el Renacimiento, sino que aparecen muchas veces íntimamente unidas.
En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo como en muchos países del Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época del Medioevo desarrollado y especialmente en el Renacimiento. El punto de arranque de las matemáticas en Europa fue la creación de los centros de enseñanza. Con anterioridad, tan solo algunos monjes se dedicaron a estudiar las obras de ciencias naturales y matemáticas de los antiguos. Uno de los primeros centros de enseñanza fue organizado en Reims (Francia) por Gerberto (Silvestre II) (940-1003). Fue posiblemente el primero en Europa que enseñó el uso de los numerales hindú-arábigos. Sin embargo hubo que esperar a que los musulmanes rompieran la barrera lingüística, hacia el siglo XII, para que surgiera una oleada de traducciones que pusieran en marcha la maquinaria matemática. El trabajo de los traductores fue sensacional. Así Gerardo de Cremona (1114-1187) tradujo del árabe más de 80 obras. Durante el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180-1250) más conocido como Fibonacci. Alrededor del año 1202 escribió su célebre obra "Liber Abaci" (el libro del ábaco), en el que se encuentran expuestos: el cálculo de números según el sistema de numeración posicional; operaciones con fracciones comunes, aplicaciones y cálculos comerciales como la regla de tres simple y compuesta, la división proporcional, problemas sobre la determinación de calidad de las monedas; problemas de progresiones y ecuaciones; raíces cuadradas y cúbicas… Fibonacci quedó inmortalizado por la famosa "sucesión de Fibonacci" y el famoso problema de los conejos. Otra obra importante fue el "Practica Geometriae" dedicada a resolver problemas geométricos, especialmente medida de áreas de polígonos y volúmenes de cuerpos. Otro contemporáneo, aunque no tan excepcionalmente dotado fue Jordano Nemorarius (1237-?) a quien debemos la primera formulación correcta del problema del plano inclinado. El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) generalizó el concepto de potencia, introduciendo los exponentes fraccionarios, las reglas de realización de las operaciones con ellos y una simbología especial, anticipándose de hecho a la idea de logaritmo. En una de sus obras llegó a utilizar coordenadas rectangulares, aunque de forma rudimentaria, para la representación gráfica de ciertos fenómenos físicos.
Ya en el siglo XV, época de las grandes navegaciones, la trigonometría fue separada de la astronomía, alzándose como ciencia independiente de la mano de Regiomontano (1436-1474), que trató de una manera sistemática todos los problemas sobre la determinación de triángulos planos y esféricos. Regiomontano enriqueció además el concepto de número, introduciendo los radicales y las operaciones con ellos, ampliando así las posibilidades de resolución de ecuaciones. Nicolo Tartaglia (1500-1557), Fiore y Scipión del Ferro (1456-1474) desarrollaron fórmulas para la búsqueda de ecuaciones de tercer grado.
Pero fue Jerónimo Cardano (1501-1576) quien introdujo un método regular de resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado en su obra "Ars Magna". En esta obra se expresan diversos teoremas que relacionan raíces y coeficientes, así como la divisibilidad de un polinomio por factores (x-x1), donde x1 es raíz del polinomio. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica.
Fue François Viète (1540-1603) quien dio un sistema único de símbolos algebraicos consecuentemente organizado, gracias al cual resultó por primera vez posible, la expresión de ecuaciones y sus propiedades mediante fórmulas generales. Viète estableció en todo momento, una fuerte conexión entre los trabajos trigonométricos y algebraicos, de forma que de igual manera que se le considera el creador del álgebra lineal, se le podría considerar como uno de los padres del enfoque analítico de la trigonometría, esto es, la goniometría. Para hacer más fáciles los cálculos, los matemáticos desarrollaron ciertos procedimientos en los que, el papel fundamental lo jugaban determinadas relaciones trigonométricas, lo que llevó a la confección de numerosas tablas trigonométricas. En la elaboración de tablas trabajaron, por ejemplo, Copérnico (1473-1543) y Kepler (1571-1630). Semejantes métodos se utilizaban tan frecuentemente que recibieron el nombre de "prostaferéticos". Ellos fueron utilizados por los matemáticos de Oriente Medio, Viète, Tycho Brahe, Wittich, Bürgi y muchos otros.
Estos métodos siguieron utilizándose incluso después de la invención de los logaritmos a comienzos del siglo XVII, aunque sus fundamentos, basados en la comparación entre progresiones aritméticas y geométricas, comenzaron a fraguarse mucho antes. En 1614 fue publicada por John Neper (1550-1617) la obra "Canonis mirifici logarithmorum descriptio" y en ella las primeras tablas de logaritmos de funciones trigonométricas.
Años más tarde, en estrecha colaboración con Henry Briggs (1561-1630) desarrollaron el sistema logarítmico decimal. La teoría de las funciones logarítmicas fue seguidamente desarrollada, alcanzando su culminación en los trabajos de Leonard Euler. Junto a estos avances científico-matemáticos comenzaron a desarrollarse las primeras máquinas de cálculo.
Cero (0). La clave de la numeración posicional:
El cero es un invento relativamente moderno. No lo conocían ni babilonios, ni chinos, ni egipcios, ni las civilizaciones mediterráneas como griegos o romanos, que utilizaban sistemas de numeración agregativos. En ellos, las cifras del número se agregan entre sí. Ejemplo de numeración romana: MCCXXXVIII = 1.238.
El concepto de cero roza la metafísica: es una "nada" que, bajo ciertas condiciones, hace que otros números cambien de valor. Por ejemplo: un "12" representa doce objetos, pero si le añadimos un simple cero ("120") se convierte en ciento veinte objetos o unidades. Es la base del sistema de numeración posicional -como el nuestro-, en el que el valor de cada guarismo no depende de él mismo, sino del lugar que ocupa dentro del número total.
Estuvo en uso en Europa hasta bien entrada la Edad Media, aunque no facilitaba en nada los cálculos aritméticos. Sumar y restar dos números resultaba francamente complicado; multiplicar y dividir, poco menos que imposible.
En el Renacimiento: Este período histórico es el del nacimiento del capitalismo temprano (capitalismo en su fase comercial). Se da aquí una importante concentración y acumulación de riqueza. Aumenta la circulación de moneda. Surge en este período el concepto de empresa como un ente abstracto y despersonalizado con un capital distinto al patrimonio de los socios. Aumenta de manera casi exponencial el intercambio comercial. El capital se internacionalizó. Surgen los cimientos de una gran banca. Los banqueros renacentistas financiaron todo tipo de empresas, incluso las políticas. Para todo lo ya descrito, la aparición -no hacía mucho tiempo como vimos- del concepto del 0 (cero) en Europa, fue casi providencial. El nuevo sistema numérico que surge con él, permitió realizar las engorrosas operaciones bancarias que conllevaba, por ejemplo, el cálculo de paridad entre las diversas monedas que circulaban por el continente, en tiempo mucho más breve. Además, va a ser en la época renacentista cuando haga su aparición la moderna contabilidad, es decir, el cálculo en una operación de doble entrada de los ingresos y egresos de un negocio o emprendimiento comercial. Por ello, el cero fue muy bien venido durante el Renacimiento.
p, Pi ¿Cuánto mide una circunferencia?
Probablemente ? es el número más famoso de la historia. Representa la relación existente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es un número irracional, es decir, no se puede representar exactamente con una fracción. Su valor real es 3,14159265358979323846… y así, hasta el infinito, sin que su secuencia de cifras se repita jamás. Aunque para la inmensa mayoría de la gente, ? será siempre tres-catorce-dieciséis. Fue en 1706 cuando el matemático inglés William Jones propuso el nombre de ?. Parece ser que eligió esta letra griega por ser la equivalente a nuestra p de perímetro (el de la circunferencia). Pero fue en 1748 cuando el suizo Leonhard Euler le dio el espaldarazo definitivo empleando el término en su obra Introducción al cálculo infinitesimal.
Aparece en todo lo que presenta forma de circunferencia. Por ejemplo, las gotas de lluvia, las estrellas, los planetas, las burbujas de agua, las ondas en un estanque… Su cálculo a través de la Historia, en las diferentes civilizaciones, ha sido algo esquivo y complejo.
En el arte del Renacimiento: Se vuelve a revalorar la imagen del círculo, pues se re estudiará con detenimiento la arquitectura clásica greco romana. Para los antiguos griegos el círculo era sinónimo de perfección: única figura geométrica que comienza y termina en un mismo punto. De la misma manera entonces, el círculo va a ser un gran ideal en la arquitectura renacentista y, por ende, va a haber un especial aprecio por un cálculo adecuado de ?. Por citar un par de ejemplos:
Filippo Brunelleschi (1377-1446), arquitecto florentino que fue uno de los maestros fundamentales en la transición hacia el nuevo estilo. Es considerado el primer arquitecto renacentista. En 1432 acabó la construcción de la cúpula del Duomo, de la Catedral de Florencia. Un prodigio de ingeniería, por las dimensiones de la cúpula: 40 metros de diámetro por 56 de altura, que era irresoluble para la época. Y, aunque la cúpula es octogonal, la intención de una base circular es lo que le conferirá su singular belleza, tanto así, que es considerada la primera obra arquitectónica del Renacimiento. Y servirá -junto al edificio antiguo: el Panteón de Roma-, como modelo para la maravillosa cúpula de la Basílica de San Pedro del Vaticano, en Roma, de apariencia circular casi perfecta, diseñada por Miguel Ángel.
Bramante (1444-1514), gran arquitecto del Renacimiento, va a construir una obra de inspiración clásica de gran originalidad: el Templete de San Pedro, en Roma. Hecha por encargo de los Reyes Católicos de España, en 1492, para ser erigido en el lugar donde -según la tradición- el apóstol Pedro fue martirizado. Iglesia pequeña pero de gran elegancia, sobrias y hermosas terminaciones; hecha en granito, de planta circular casi perfecta, rodeada de columnata de orden toscano y cubierta por una cúpula de media naranja también circular. Presenta todos los elementos del nuevo estilo renacentista.
Su valor numérico es 0,6180339887498948482… y continúa hasta el infinito. No representa más que una proporción. Supongamos que dividimos una barra de un metro en dos trozos desiguales, de forma que la proporción entre la barra entera y el segmento mayor sea justamente la misma que entre éste y el menor. Justamente esa proporción es el número áureo.
Lo curioso o enigmático, es que aparece constantemente en la naturaleza, como un molde o patrón constructivo: desde la imbricación de las semillas en ciertas flores, hasta la organización de escamas en las piñas y otros frutos.
En el arte, la Grecia clásica empezó a considerar la proporción áurea como la máxima calidad estética de un diseño arquitectónico, escultórico o pictórico. Justamente, el número de oro se representa por la letra griega Fi (?) en honor a Fidias, el genial arquitecto del Partenón de Atenas, quien utilizó ? en este famoso edificio para lograr en él las armoniosas proporciones que terminarían haciéndolo célebre. El número áureo es así antiquísimo. Su cálculo aparece en las obras de Euclides, matemático griego a caballo entre los siglos IV y III a. de C. Pero probablemente, ya en el siglo VI a. de C., el filósofo griego Pitágoras, fundador de una secta místico-religiosa dedicada al estudio de las matemáticas, lo investigó. Así, los antiguos griegos se interesaron por ?, en parte, por su estrecha vinculación con la arquitectura y la escultura que, través de su utilización en la geometría, les permitía alcanzar la proporción entre las partes y el todo.
El número áureo fue objeto de estudio durante muchos siglos. En la Edad Media el matemático italiano Fibonacci (nacido 1170 en Pisa, Italia) se encontró con él por sorpresa al resolver un acertijo matemático sobre la multiplicación de parejas de conejos. Lo que parecía un mero divertimiento dio origen a la denominada serie de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…) En ella cada número se genera por la suma de los dos anteriores (1+1 = 2; 1+2 = 3…). Una de sus propiedades radica en que guarda escondido ?. Lo sabemos porque si dividimos dos números consecutivos de la serie de cualquier valor mayor a 3, el resultado es una aproximación cada vez mayor al número áureo (13/21 = 0,61; 21/34 = 0,6176…). Lo aún más sorprendente -como ya mencionamos- es que el cálculo de Fibonacci se repite en muchos fenómenos de la naturaleza, como en la distribución óptima de las hojas en un tallo, el número y disposición de escamas de una piña…
Artistas matemáticos: El Renacimiento rescató de la antigua Grecia las teorías geométricas aplicadas a la arquitectura, escultura o pictórica. Los artistas las enfocaron, sobre todo, en el hombre, considerado como la medida de todas las cosas. Su relación con las matemáticas era muy estrecha.
Un ejemplo lo hallamos en la famosa figura de un desnudo masculino, que Leonardo da Vinci dibujó para la portada de la obra del matemático Luca Paccioli, autor de La divina proporción, dibujo conocido como El hombre del Vitrubio. En esta obra, Paccioli propone un hombre perfecto o ideal, en el que las relaciones entre las partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Leonardo plasmó estas ideas en un dibujo en el que las relaciones -entre otras- de la altura del hombre y la distancia desde el ombligo al suelo es ?.
He aquí el cuadro de Leonardo da Vinci llamado "La Anunciación". Como se puede comprobar sobre el esquema impreso en la guía de estudio, Leonardo no realizó sus cuadros al azar. La disposición de los personajes obedece a un sistema de construcción geométrica que asegura a la obra proporciones armoniosas. Esta disposición era la conocida por Luca Paccioli como "divina proporción"; así, los lados del "rectángulo de oro", en que se centran cada uno de los personajes representados en la pintura (en medio de los círculos), deben tener como medida 1 a 1,618; o sea, la proporción ?. Podemos comprobar en numerosas partes del cuadro este tipo de rectángulo. Aún hasta nuestros días, muchos arquitectos utilizan el "número áureo", para otorgar proporciones armoniosas a sus obras.
Autor:
Arias, Orleanys
Betancourt, Yaselin
Gámez, Antonio
Salavarria, Brenda
Enviado por:
Carla Santaella
Facilitador
COLMENARES, Juan
Ciudad Bolívar; Noviembre de 2010
Universidad Nacional Experimental "Simón Rodríguez"
Núcleo: Bolívar
Curso: Historia de los números