Modelo de Aprendizaje Computacional Cuántico para la Enseñanza Superior de la Matemática (página 2)

MATERIALES Y METODOS

Materiales

Se utilizaron 6 conceptos importantes: modelo, computacional, cuántico, aprendizaje, enseñanza y matemática. Seis teorías: de sistemas, de la computación, de la computabilidad, de la computación cuántica, del aprendizaje, y de los esquemas. Cinco instrumentos: La encuesta, la guía de entrevista de profundidad, la guía de observación cualitativa, la guía de sesiones de profundidad; y la guía de análisis de contenidos.

Métodos

La investigación se desarrolló en el primer año de la ingeniería de sistemas de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Cajamarca, entre los meses de febrero y diciembre del año 2007, es del Tipo Descriptivo-Explicativo con Propuesta, en el área de educación, línea de matemática y computación.

Utilizamos el diseño pre-experimental con visión cualitativa, enmarcado dentro de una investigación pedagógica, que se orientó a determinar el nivel de validación del modelo de aprendizaje propuesto, por consiguiente, se contrastó nuestra hipótesis interpretando las categorías de las variables, y estableciendo por medio de esas categorías su interrelación y de esta manera la transición de procesos de aprendizaje mecanicista a una perspectiva de procesos computacionales cuánticos, en la Ingeniería de Sistemas de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Cajamarca.

Los métodos que se utilizaron fueron el sistémico-estructural, el análisis-síntesis, comparación, y modelado; en forma general se utilizó el método inductivo para representar la realidad de los hechos y sucesos que corresponden a los procesos de enseñanza y aprendizaje; y el método deductivo para sistematizar el conocimiento científico que regula los componentes del Modelo Propuesto de Aprendizaje.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

A partir del presente estudio hemos encontrados los siguientes resultados:

RESULTADO 1:

CARACTERIZACIÓN DE LA E/A DE LA MATEMÁTICA

Resultado 1.1.

Situación Actual del Aprendizaje Mecánico de la Matemática

En cuanto al resultado obtenido al finalizar el año: el 8% de los profesores encuestados manifestaron que los alumnos manifiestan un nivel adecuado de acción en la aplicación matemática; el 62% de los profesores encuestados indicaron que los alumnos muestran adecuado nivel de abstracción en la formación de ideas matemáticas; el 25% de los profesores encuestados manifestaron que los alumnos muestran un adecuado nivel de experimentación de las ideas matemáticas; y, el 5% indicaron que los alumnos muestran adecuada observación reflexiva.

En cuanto a las estrategias utilizadas para la práctica de la matemática: el 55% de los profesores encuestados manifestaron que los alumnos utilizan sólo la abstracción; el 45% de los profesores encuestas dijeron que los alumnos utilizan la abstracción y la experimentación.

Referente al tiempo dedicado para la práctica de la matemática: el 67% de los profesores encuestados indicaron que utilizan 2 horas; y, el 33% manifestaron que utilizan 3 horas. Asimismo, el 25% de los profesores encuestados dijeron que sí es el tiempo correcto para la práctica de la matemática; mientras que el 75% dijeron que no que debe ser más de tres horas.

Frente a las dificultades del aprendizaje de la matemática encontradas en los alumnos del aula, el 17% de los profesores indicaron que a los alumnos no les gusta practicar la matemática; y, el 83% de los profesores encuestados manifestaron que los alumnos cuando practican la matemática se distraen con facilidad.

El 92% de los profesores encuestados dijeron el curso de mayor importancia es "matemática"; y, el 8% de los profesores encuestados manifestaron que el curso de mayor importancia es "Introducción a la Computación".

En cuanto a que si el director de la Escuela Académico Profesional de Ingeniería de Sistemas apoya ante los problemas que se presentan en la enseñanza de las asignaturas en general, y de la de matemáticas particularmente, el 58% de los profesores encuestados indicaron que "no", el 17% que "sí", y el 25% de los profesores encuestados dijeron que "a veces".

Sobre las ventajas que traería el aprendizaje de la matemática en los alumnos, el 67% de los profesores encuestados manifestaron que facilita el razonamiento; el 8% de los profesores encuestados indicaron que contribuye a manejar la lógica con mayor adecuación; y, los otros 25% de los encuestados dijeron que incrementa el desarrollo de su inteligencia.

Referente a las dificultades del aprendizaje de la matemática que se presentan en los alumnos, el 50% de los profesores encuestados indicaron que se debe a que la capacitación docente no se da en forma oportuna; los otros 50% encuestados manifestaron que se debe a que los docentes no asisten a capacitaciones y/o que es conformista.

En cuanto al rol de los padres de familia, el 92% de los profesores indicaron que es importante en la educación de sus hijos; el 8% de los profesores encuestados manifestaron que no es importante.

Resultado 1.2.

Situación Actual del Aprendizaje Computacional Cuántico de la Matemática.

El 100% de los profesores no sabe comunicar y explicar como es que aprende de los libros, los contenidos de la matemática que enseña. Asimismo, tampoco sabe explicar como aprendió de sus profesores. Pero sí explican no muy estructuradamente el proceso de aprendizaje de su propia experiencia indicando que inicialmente es complicado y difícil cuando el tema es nuevo y de reciente experimentación por ellos.

El 80% de los profesores encuestados no describen sistematizadamente los procesos de sus aprendizajes de los contenidos de la matemática que enseñan y lo hacen no contemplando integralmente el aprendizaje de los libros, de sus profesores y de su propia experiencia. Los otros 20% de encuestados tratan de describir sistematizadamente pero no lo logran en su totalidad, indicando que es difícil describir procesos abstractos como el de la matemática.

El 100% de los profesores encuestados indicaron que no saben cuando o en que momento realizan los procesos de abstracción de un objeto que se encuentra en su realidad física y/o en su realidad psíquica. Asimismo, no saben en que momento representan las ideas que en su mente se producen del objeto captado, tampoco saben la forma como los representan. Además desconocen cuando y de que manera se realiza la experimentación, enjuiciamiento y fundamentación de las ideas que representan al objeto captado con relación a los temas de matemáticas.

El 100% de los encuestados no pueden describir el modelo de su aprendizaje de la matemática; tampoco pueden describir el modelo de aprendizaje de los alumnos a quienes les enseñan la matemáticas, desconociendo los elementos que la conforman.

Finalmente, el 80% de los profesores encuestados indicaron que para enseñar matemática no tienen en cuenta el modelo de aprendizaje de sus alumnos, justificando que si no pueden describir el modelo de aprendizaje de sus alumnos es por que lo desconocen. El 20% indicaron que sí tiene en cuenta el modelo de aprendizaje de sus alumnos, justificando que solamente a veces, no siempre.

Resultado 1.3.

Estilo Natural de Aprendizaje de los Jóvenes de 17 años

Los jóvenes de 17 años tienen interés de relacionarse con la realidad concreta y realizar operaciones lógicas y computacionales humanas para representarlas en su espacio mental, y comprenderlas como parte del resultado de su aprendizaje natural. En este sentido el gráfico 1 nos ayudará a entender el estilo natural de aprendizaje de los jóvenes de 17 años que están cursando el primer año de educación superior en ingeniería de sistemas. Del Gráfico 1 se desprende que el sujeto alumno para entrar en contacto con el exterior tiene que tener en su mundo mental una finalidad, una motivación, un objetivo para poder realizar el proceso de exteriorización; es decir salir de sí mismo para experimentar el mundo concreto; este proceso se realiza a través de la acción del sujeto aprendiz y con la transformación de dicha finalidad a través del mundo de los sentidos.

En el mundo real (concreto) ubica, identifica y aprehende (coge) a un objeto real, como proceso de abstracción, también a través del mundo de los sentidos como una situación de transformación del objeto real en objeto mental.

Luego, para que el sujeto aprendiz contraste si el objeto mental representado en el mundo mental coincida con el objeto real existente en el mundo real, es necesario que realice un proceso de enjuiciamiento a las ideas que representan en el objeto mental el objeto real. De esta manera se determina el nivel de coincidencia de las características del objeto mental con las características del objeto real (grado de verdad, grado de falsedad).

Finalmente, se establece la relación del grado de verdad con el grado de falsedad, y de esta manera se fundamenta, es decir se funda (se fija), las características del objeto mental que coinciden con las características del objeto real. En este sentido el proceso de fundamentación es el proceso de integración del aprendizaje del sujeto aprendiz.

En este proceso de razonamiento, el joven de 17 años que cursa el primer año de la ingeniería de sistemas, solo se ejercita más en los proceso de abstracción para el aprendizaje de la matemática que en los proceso de acción, enjuiciamiento y fundamentación.

Resultado 1.4.

Aspectos Programáticos del Área de Matemática

La programación anual del cuarto grado de secundaria contempla los siguientes aspectos: Información general, fundamentación, propósitos (instruccionales, desarrolladores, educativos), capacidades (fundamentales, de área, específicas), valores y actitudes, temas transversales, organización de las unidades didácticas, calendarización, estrategias metodológicas del área de matemáticas, recursos didácticos, orientaciones para la evaluación, y bibliografía.

Para el ÁREA DE MATEMÁTICAS, las capacidades comprenden el razonamiento y demostración para analizar, relacionar, codificar, argumentar y aplicar conceptos, definiciones, axiomas, postulados, reglas y procedimientos. Comprende la comunicación matemática para interpretar, codificar, representar, exponer y defender datos, informaciones, cuadros, tablas, resultados y experiencias. Comprende también la capacidad de resolución de problemas para identificar, formular, estimar, calcular, resolver y evaluar estados situacionales, fundamento cognitivo, alternativas de solución, verificaciones y espacios reales.

En este sentido para la unidad de aprendizaje de la "ESTADÍSTICA EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS COTIDIANOS" se establecen los siguientes indicadores:

Para la capacidad de razonamiento y demostración: 1.-Manera de analizar, relacionar, codificar y argumentar los conceptos, reglas y procedimientos de la sistematización de datos. 2.-Forma de identificación y formulación de una situación real de la vida cotidiana para el copio de datos. 3.-Proceso de conceptualización y formalización de una situación problemática en forma integral.

Para la capacidad de resolución de problemas reales: 1.-Categoriza y sistematiza las variables de una situación real. 2.-Establece la muestra para el acopio de datos. 3.-Eficiencia del acopio y sistematización de datos. 4.-Cálculo y forma de interpretación de los datos. 5.-Estructura de evaluación de los procesos estadísticos.

Para la capacidad de comunicación matemática: 1.-Expone los resultados y procedimientos estadísticos realizados. 2.-Evalúa todo el proceso de resolución del problema real. 3.-Comunica sus apreciaciones y opiniones referente a la experiencia realizada.

Resultado 1.5.

Tema Utilizado para el Aprendizaje Computacional Cuántico de la Matemática

Se utilizaron los temas de los "Métodos de Integración" considerando la integración por partes, integrales de funciones trigonométricas, sustitución trigonométrica y fracciones parciales.

Los métodos de integración son aquellos que sirven para integrar integral de complejidad mediana y alta; para lo cual se tiene que gestionar la información que corresponde a ello. En este sentido, el tema de los métodos de integración se utilizó en cuatro sesiones de aprendizaje.

RESULTADO 2:

CONOCIMIENTO CIENTÍFICO QUE FUNDAMENTA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA.

Resultado 2.1.

Teoría de la ciencia matemática.

Datos del Mundo Real, modelo matemático, matemática pura, resultados matemáticos, predicciones en el mundo real; y datos del mundo real.

Resultado 2.2.

Teorías de la ciencia computacional.

Teoría de la computación en el siglo XX, antes de los computadores, estudia y define formalmente los cómputos utilizando un proceso o algoritmo. Tiene varias subramas: la teoría de los lenguajes y gramáticas formales (lenguajes artificiales). La teoría de la computabilidad que estudia los problemas de decisión resueltos con un algoritmo.

Resultado 2.3.

Teorías de la ciencia de la información.

Teoría de la información (Shannon, 1948), rama de la matemática de la probabilidad y la estadística, utiliza la entropía y la incertidumbre; la información como vía para llegar al conocimiento se hace por la documentación. Teoría de la cibernética (Norbert Wiener, 1948), que trata de los sistemas de comunicación y control de la información en los organismos vivos, maquinas y organizaciones. La teoría del caos que proviene de la rama de la matemática y física, y trata de los comportamientos impredecibles de los sistemas dinámicos: estable, inestable y caótico.

Resultado 2.4.

Teorías de la interacción contextual.

El condicionamiento operante de Skinner, postula que operando experimentalmente sobre el ambiente obtendrá una recompensa o evitará un castigo. Preparación-Modelado-Encadenamiento-Contracondicionamiento. La teoría experimental de Cronbach (1963), que postula la experiencia. La teoría del condicionante de Gagné (1985), basada en la teoría de la información y la de sistemas, realizada en cuatro fases: estimulación, almacenamiento, transformación, almacenamiento, ejecución, retroalimentación (Feedback, control).

Resultado 2.5.

Teorías de la interacción cognitiva.

Teoría genética de Piaget, teoría del desarrollo cognitivo que concibe el aprendizaje como una actividad de asimilación, acomodación, equilibrio y adaptación con ciertos esquemas dados. La teoría por descubrimiento de Bruner (1966), teoría de la instrucción (normativa) y se refiere al procesamiento activo de la información en los cuatro pasos siguientes: motivación, estructura, presentación y refuerzo. La teoría significativo de Ausubel (1976-2002), teoría de la organización e integración de la información, relaciona un nuevo conocimiento o información con la estructura cognitiva existente.

Resultado 2.6.

Teorías de la interacción social.

Teoría del aprendizaje por observación se Bandura (1973-1977), se refiere a la imitación del comportamiento de otra persona que se da por: modelos, modelamientos y experimentos. La teoría socicultural de Vygotsky (1978), que supone un carácter social, a través del nivel de desarrollo real, nivel de desarrollo potencial, y zona de desarrollo próximo.

RESULTADO 3:

MODELO DE APRENDIZAJE COMPUTACIONAL CUÁNTICO PARA LA ENSEÑANZA SUPERIOR DE LA MATEMÁTICA.

El gráfico N° 2 nos muestra el modelo de aprendizaje computacional cuántico para la enseñanza superior de la matemática.

Se observa que los procesos consta de cuatro fases o etapas: La primera denominada "Reflexión Cuántica", la segunda "Abstracción Cuántica", la tercera "Experimentación Cuántica" y la cuarta denominada "Acción Cuántica".

En la etapa de la "Reflexión Cuántica" se realiza una observación reflexiva computacional cuántica, a través de los procesos de reflexión, después de experimentar en la realidad concreta. En la etapa de "Abstracción Cuántica" se forman las ideas, a través de la abstracción, después de reflexionar. En la etapa de "Experimentación Cuántica" se realizan lo procesos de experimentación, es decir, que la ideas formadas se simulan para su experimentación, después de la abstracción. En la etapa de "Acción Cuántica" se concretan las experiencias, a través de la acción, que se simularon anteriormente.

Existen dos vías para realizar los procesos de aprendizaje computacional cuántico de la matemática en jóvenes de 17 años: Una descendente y otra ascendente.

Observando en el gráfico 2, la vía descendente tiene el siguiente recorrido: 1.-De la reflexión cuántica (observación reflexiva) a la abstracción cuántica (formación de ideas). 2.-De la abstracción cuántica (especulación) a la experimentación cuántica (simulación). 3.-De la simulación cuántica a la acción cuántica.

Los procesos de reflexión-abstracción cuántico son los procesos de asimilación en el aprendizaje computacional de la matemática; los procesos abstracción-experimentación cuántico son los procesos de convergencia, de contrastación, de verificación, de acercamiento de las ideas formadas, configuradas; los procesos experimentación-acción cuántico son los procesos de acomodación, adaptación de las ideas formadas y comprobadas a la realidad (experimentación concreta), por medio de la acción.

Después de realizar los procesos descendentes, entonces, su integración se realiza directamente de la reflexión a la acción (Del pensar al hacer), denominado acto divergente descendente.

La vía ascendente tiene el siguiente recorrido: I.-De la concreción (acción) a la abstracción (formación de ideas). II.-De la abstracción (especulación) a la experimentación (simulación de ideas). III.-De la simulación a la reflexión (observación reflexiva).

Los procesos acción-abstracción cuántica son procesos de asimilación de la representación de la realidad en abstracción en ideas que concuerden con aquella realidad concreta. Los procesos de abstracción-experimentación cuántica son procesos que convergen, en el sentido que las ideas formadas que representan a la realidad concreta deben ser ensayadas (experimentadas) para ver el nivel de convergencia entre la realidad concreta y las ideas formadas con respecto a ella. Los procesos de experimentación-reflexión cuántica son procesos de asimilación debido a que las ideas formadas que han sido contrastadas con la realidad concreta, ahora son reflexionadas para luego precisar mejor las ideas formadas anteriormente.

Después de realizar los procesos ascendentes, entonces, su integración se realiza directamente de la acción a la reflexión (De la acción al pensar) denominado acto divergente ascendente.

Hay que tener en cuenta que para un "Aprendizaje Computacional Cuántico" efectiva, eficaz, eficiente y productiva es necesario realizar un ciclo completo de sus procesos: desde la ACCIÓN CUÁNTICA hasta la REFLEXIÓN CUÁNTICA y de la REFLEXIÓN a la ACCIÓN.

RESULTADO 4:

PRE Y POST TEST DE LA MEDICIÓN DEL NIVEL DE APRENDIZAJE COMPUTACIONAL CUÁNTICO DE LA MATEMÁTICA.

Los grupos pre-experimentales a los que se aplicó el modelo de aprendizaje computacional cuántico para la enseñanza de la matemática estuvo constituido por 30 alumnos para la sesión "A" y 30 alumnos para la sesión "B" del primer año de educación superior de la ingeniería de sistemas de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Cajamarca.

Para ambos grupos y tanto para el pre y pos test se seleccionó el tema denominado: "Método de Integración" que se realizó en cuatro sesiones de aprendizaje: 1.-Para la integración por partes; 2.-Para las integrales de funciones trigonométricas; 3.-Para la sustitución trigonométrica; y 4.-Para las funciones parciales.

Resultado 4.1.

Pre-Test del Grupo Pre-Experimental de la Sesión "A"

Este resultado se muestra en el cuadro N° 1.

De acuerdo a los procesos de aprendizaje computacional cuántico de la matemática, desde la acción cuántica hasta la integración cuántica va descendiendo desde el 48% hasta el 27% que es el nivel de aprendizaje computacional más bajo; siendo el resultado final del pre-test del nivel de aprendizaje de los alumnos de la sesión "A" del 1er. Año del 37%.

Resultado 4.2.

Pos-Test del Grupo Pre-Experimental de la Sesión "A"

Este resultado se muestra en el cuadro N° 2.

De acuerdo a los procesos de aprendizaje computacional cuántico de la matemática, desde la acción cuántica hasta la integración cuántica va descendiendo desde el 70% hasta el 43% que es el nivel de aprendizaje computacional más bajo; siendo el resultado final del pos-test del nivel de aprendizaje de los alumnos de la sesión "A" del 1er. Año de Ingeniería de Sistemas del 61%.

Este resultado, comparado con el del pre-test, indica que el nivel de aprendizaje de la matemática aplicando el modelo computacional cuántico se ha incrementado en un 24%, manifestando que el modelo funciona positivamente.

Resultado 4.3.

Pre-Test del Grupo Pre-Experimental de la Sesión "B"

Este resultado se muestra en el cuadro N° 3.

De acuerdo a los procesos de aprendizaje computacional cuántico de la matemática, desde la acción cuántica hasta la integración cuántica va descendiendo desde el 44% hasta el 26% que es el nivel de aprendizaje computacional más bajo; siendo el resultado final del pre-test del nivel de aprendizaje de los alumnos de la sesión "B" del 1er. Año de ingeniería de sistemas, del 34%.

Resultado 4.4.

Pos-Test del Grupo Pre-Experimental de la Sesión "B"

Este resultado se muestra en el cuadro N° 4.

De acuerdo a los procesos de aprendizaje computacional cuántico de la matemática, desde la acción cuántica hasta la integración cuántica va descendiendo desde el 65% hasta el 40% que es el nivel de aprendizaje computacional más bajo; siendo el resultado final del pos-test del nivel de aprendizaje de los alumnos de la sesión "B" del 1er. Año, del 57%.

Este resultado, comparado con el del pre-test, indica que el nivel de aprendizaje de la matemática aplicando el modelo computacional cuántico se ha incrementado en un 13%, manifestando que el modelo funciona positivamente.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

CONCLUSIONES

1. La situación actual del aprendizaje mecánico de la matemática en el primer año de educación superior de la ingeniería de sistemas indica que sólo se realizan los procesos de abstracción de forma no muy adecuada.

2. La situación actual del aprendizaje computacional cuántico de la matemática en el primer año de educación superior en la ingeniería de sistemas, manifiesta que tanto los profesores como los alumnos no son conscientes de la descripción de su propio modelo de aprendizaje.

3. El estilo de aprendizaje de los jóvenes de 17 años que cursan el primer año de ingeniería de sistemas, establece una relación entre el mundo mental (ideas) de los sujetos aprendices y el mundo real (concreto), y que no son tomados en cuenta por los profesores que enseñan la matemática.

4. Los aspectos programáticos del Área de Matemática del primer año de educación superior de la ingeniería de sistemas, mencionan capacidades de área que son omitidos, por los profesores, en la práctica de la enseñanza de la matemática.

5. El tema utilizado para probar el funcionamiento del Modelo de Aprendizaje Computacional Cuántico está relacionado con la gestión de datos que trata los "Métodos de Integración" y que se desprende ésta última de la ciencia matemática.

6. El conocimiento científico que fundamenta la enseñanza de la matemática está diversificado en cuatro grupos de teorías: la teoría de la ciencia matemática (1), las teorías de la ciencia computacional (2), las teorías de las ciencia de la información (3), y las teorías de las ciencia de la educación (8 teorías del aprendizaje).

7. El Modelo Computacional Cuántico está conformado por cuatro grupos de procesos o fases: la acción cuántica cercana al mundo real, la abstracción cuántica, la experimentación cuántica, y la reflexión cuántica cercana al mundo mental (mundo de las ideas).

8. El mejoramiento o la transición de la perspectiva mecanicista a la perspectiva computacional cuántica del aprendizaje de la matemática se verificó que se ha dado positivamente en un 24% promedio, aproximadamente; con lo cual se verifico el funcionamiento del modelo de aprendizaje computacional cuántico para la enseñanza superior de la matemática.

RECOMENDACIONES

1. El Modelo de Aprendizaje Computacional Cuántico sea aplicado a todos los años del de educación superior para su mayor precisión en su verificación y funcionamiento.

2. Capacitar a los profesores del Área de Matemática para que el Modelo sea utilizado en todas las Carreras Profesionales de la Universidad Nacional de Cajamarca, para su extensión del mismo.

3. Utilizar el Modelo de Aprendizaje Computacional Cuántico en la enseñanza de otros Áreas.

LITERATURA CITADA

1. ———–. 2002. Febrero 13. Posición del Área de Conocimiento "Didáctica de la Matemática" ante la Formación del Profesorado de Matemática. Recuperado el 13 de Marzo del 2007 de la URL http://www.rsme.es/comis/educ/secundaria.pdf

2. BETH, E.W. y PIAGET, J. (1980). Epistemología Matemática y Psicología: relaciones entre la lógica formal y el pensamiento real. Editorial Crítica. Grijalbo. Barcelona. España.

3. CASTAÑEDA, F.; FERNÁNDEZ, S.; PERAL, J.C. (1997). La resolución de Problemas en las Matemáticas del Bachillerato. (Libro del profesor y Libro del alumno). Servicio Editorial. Universidad del País Vasco. España.

4. DISEÑO CURRICULAR. ASPECTOS GENERALES. 1989. Enseñanza Secundaria Obligatoria 12-16. Junta de Andalucía. Dirección General de Renovación Pedagógica. Sevilla, España.

5. DUBINSKY, E. (1996). Aplicación de la Perspectiva Piagetiana a la Educación Matemática Universitaria’. Educación Matemática, Vol 8-No3, pp. 24-41.

6. GIMENO SACRISTAN L. & Pérez Gómez A. (1993). Comprender y transformar la enseñanza. 2a. Ed. Madrid: Morata.

7. GONZÁLEZ SEPULVEDA, Andrés M. 2004, Julio 27. Computación Cuántica: Introducción a la Ingeniería. Publicado en la web de monografías.com. Recuperado el 13 de Marzo del 2007 de la URL: http://www.monografias.com/trabajos16/computacion-cuantica/computacion-cuantica.shtml

8. MARTÍNEZ VELASCO, Jesús. S/F. La Ciencia Cognitiva Una Investigación Interdisciplinar: Etapas de su construcción (I y II). Recuperado el 14 de Marzo del 2007 de la URL: http://www3.unileon.es/dp/dfh/ctx/1997/Martinez1.doc

9. MATURANA, H. y VARELA, F. (1990). El Árbol del Conocimiento: Las bases biológicas del conocimiento humano. Madrid, Ed. Debate; p. 145.

10. MOREA, Lucas. (1997). Teoría de sistemas. Sinexi. S.A. Recuperado el 25 de Febrero del 2005 de la URL de monografías.com. http://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtml

11. PIAGET, JEAN. (1985). "Seis estudios de psicología". Barcelona. Planeta-Agostini, páginas 93 a 107 (La Adolescencia).

12. RICO, L. (1996). Bases Teóricas del Currículo de Matemáticas en Educación Secundaria. Madrid: Editorial Síntesis.

13. RICO, L. y OTROS. (1997). La Educación Matemática en la Enseñanza Secundaria. Barcelona: Editorial Horsori.

14. SHELL CENTRE. (1990). El Lenguaje de Funciones y Gráficas. (Traducción de Félix Alayo). Ministerio de Educación y Ciencia. Servicio Editorial Universidad del Pais Vasco. Epaña.

15. VARELA,F.J. (1990). Conocer Las Ciencias Cognitivas: tendencias y perspectivas. Barcelona, Gedisa. p. 108.

16. VIERA, ANA – NIETO, JESUS. 1988. "Anteproyecto para el Diseño Curricular. Área de Matemáticas 12-16". Junta de Andalucía. Sevilla, España.

17. VIGOSTSKY, L. S. (1987). Historia del Desarrollo de las Funciones Psíquicas Superiores. La Habana. Ed. Científico-Técnica

18. VON BERTALANFFY, Ludwig. (1976). Teoría General de Sistemas. Petrópolis. Vozes.

19. VON BERTALANFFY, Ludwig. (1994). Teoría General de Sistemas. Ed. Fondo de Cultura Económica. México.

20. WIKIPEDIA, Enciclopedia Libre. Matemática. Recuperado el 13 de Marzo del 2007 de la URL: http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

21. WIKIPEDIA, Enciclopedia Libre. Psicología Cognitiva. Recuperado el 13 de Marzo del 2007 de la URL: http://es.wikipedia.org/wiki/Psicolog%C3%ADa_cognitiva

22. WIKIPEDIA, Enciclopedia Libre. Teoría Computacional de la Mente. Recuperado el 13 de Marzo del 2007 de la URL: http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_computacional_de_la_mente

23. WIKIPEDIA, Enciclopedia Libre. Teoría de la Computabilidad. Recuperado el 13 de Febrero del 2007 de la URL: http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_computabilidad

24. WIKIPEDIA, Enciclopedia Libre. Teoría de la Computación. Recuperado el 13 de Febrero del 2007 de la URL: http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_computaci%C3%B3n

25. ZAMBRANO R., Gloria. Las Oportunidades de Aprendizaje en Matemática: Un estudio para 4to. Año de secundaria. Ministerio de Educación, Perú. Recuperado el 12 de Marzo del 2007 de la URL: http://www.minedu.gob.pe/umc/publicaciones/boletines/Boletin-26.pdf

Yter Antonio Vallejos Díaz

Ingeniero Electrónico de la Universidad Ricardo Palma, Lima-Perú. Estudios Doctorales en Ingeniería Informática, convenio conjunto Pontificia Universidad Católica del Perú y Universidad Politécnica de Madrid-España. Maestro en Ciencias de la Educación, Línea: Investigación y Docencia de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo, Lambayeque-Perú. Estudiante del Programa de Complementación Pedagógica y Universitaria en la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo, Lambayeque-Perú. Doctorando en Ingeniería de Sistemas en la Universidad Nacional Federico Villarreal, Lima-Perú. Profesor adscrito al Departamento Académico de Sistemas, Estadística e Informática de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Cajamarca-Perú.

Cajamarca, 27 de febrero del año 2008