Algunas consideraciones para el tratamiento de las funciones en el nivel superior (página 2)

Algunas consideraciones del concepto de función.

La definición de función como correspondencia entre dos conjuntos, la más abarcadora y elaborada es el resultado de mil años de evaluación de esta noción. Esta definición conjuntista amplía el campo de aplicaciones matemáticas.

La idea de dependencia habilidades sido primordial en el concepto de función hasta mediados de siglo XIX. Esto se puede inferir de las definiciones como la de Euler (1755) o la de Cauchy (1821). Se observa que desde sus orígenes, tanto en las definiciones como en las aplicaciones que fueron apareciendo de las funciones, se consideraban atributos, variación, dependencia y tiempo (como variable que modifica las cosas). Estas, entre otras, son características que tenían los problemas que generaban la necesidad del concepto de función.

Como dependencia se entiende la ligazón entre las características de las cantidades. Así, un cambio de un de las mismas generará un efecto en las otras. Este es un elemento muy importante en la noción de función. Por otra parte, la idea de dependencia está intrínsicamente ligada a la de variación y variable, pues la manera de predecir que una cosa depende de otra es hacer variar cada una a su turno y constatar cuál es el efecto de la variación. Se considera, pues, que los principales elementos de las funciones son la variación, la dependencia y la correspondencia (Ruíz, María Elena, 1998).

Las funciones numéricas proporcionan una manera de de cuantificar y descubrir la dependencia entre variables y también un modelo para el estudio del comportamiento del fenómeno en cuestión. La modelación del fenómeno por una función posibilita hacer previsiones y tomar los recaudos necesarios cuando la magnitud que se estudia se acerca a valores que se consideran críticos. Es por eso que resulta más importante hacer un análisis de las características globales de la función: dónde crece, dónde decrece, cuán rápidamente lo hace, dónde toma valores extremos, qué valor toma en cada punto, etc.

Acerca de la enseñanza de las funciones.

En el noveno grado de la escuela cubana se introduce y se define el concepto de función y su relación con la dependencia funcional. Además, se analizan las diferentes formas de representar funciones y su relación mutua mediante el estudio de las funciones lineales.

En el preuniversitario, específicamente en el décimo grado, se continúa con el estudio de las funciones cuadráticas partiendo de la parábola de vértice en el origen de coordenadas y se generaliza para cualquier función . Luego, en el onceno grado, se introducen y estudian las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Por último, en el duodécimo grado, se sistematizan todas las estudiadas hasta ese momento. Es de destacar que este contenido constituye uno de los objetivos a evaluar en los exámenes de ingreso a la Educación Superior.

En la educación superior, específicamente en los Institutos Superiores Pedagógicos, se completa el estudio de las funciones reales de una variable y se incluyen las inversas de las trigonométricas, las hiperbólicas y otras no elementales necesarias para la comprensión de algunos conceptos.

La bibliografía que se utiliza en esta educación, en su mayoría, solo hace referencia a algunas funciones reales que se utilizan pero no tienen en cuenta toda su clasificación general, lo que en ocasiones constituye un obstáculo para los estudiantes en la identificación de algunas funciones.

Después de un análisis profundo se asumió la clasificación que aparece en el Libro de Metodología de la Enseñanza de la Matemática del colectivo de autores cubanos encabezados por Sergio Ballester particularmente en algunos casos (ver anexo).

Caracterización de las funciones en las clases de Matemática.

En la educación media, para el estudio de las funciones, se parte de su concepto y se analizan sus propiedades a partir de gráficos y analíticamente. Con el nuevo enfoque metodológico general de la asignatura en la secundaria básica, que irrumpe en el curso 1999-2000, se pretende la presentación de las funciones a partir de situaciones extradocentes y para las funciones lineales. El docente emplea ejemplos y ejercicios relacionados con la práctica y otros tomados de la propia Matemática.

En la educación media superior, en el estudio de otras funciones como las trigonométricas, las exponenciales y las logarítmicas, no se buscan, en la mayoría de los casos, las diferencias y los elementos comunes entre estas. Cuando se logra hacer, los nexos observados son escasos.

En el nivel superior la tendencia es a realizar el análisis de manera aislada. Por otra parte, ciertas bibliografías solo enumeran algunas funciones elementales y no elementales y excluyen, o simplemente no tienen en cuenta, otras menos empleadas pero que pueden utilizarse para ejemplificar conceptos en cursos posteriores. Todo ello trae como consecuencia que el docente proceda de igual manera, en escasas ocasiones se clasifican las funciones reales y se ramifican o se incluyen en los correspondientes grupos para facilitar su estudio.

Después de revisar exámenes y programas y realizar visitas a clases, se ha detectado que algunas de las deficiencias que presentan los estudiantes que reciben los temas de Cálculo Diferencial, Cálculo Integral y en Límite y continuidad, se encuentran en el conocimiento de las propiedades de las funciones reales, específicamente en el dominio de elementos importantes de determinadas funciones.

En la primera asignatura de la disciplina en la que se sistematizan los conocimientos del Álgebra sobre funciones y se introducen otras, se parte de relacionarlas todas en un diagrama (ver anexo). Se buscan semejanzas, diferencias y relaciones entre algunas de estas; así, por ejemplo, en las trigonométricas el cómo obtener el coseno a partir del seno, l tangente, la cotangente, el arcoseno y el arcocoseno. También se estudian las semejanzas entre funciones trigonométricas y las hiperbólicas. También se trata de encontrar cada una de estas últimas a partir de establecer las relaciones en la hipérbola para introducir las funciones hiperbólicas en analogía con las que se establecen en la circunferencia al introducir las trigonométricas. La utilización de la analogía como principio heurístico para este tipo de funciones, y también para otras, facilita el aprendizaje de esta línea directriz tan importante en la educación media.

Después de relacionadas todas las funciones reales que se estudian se orienta el completamiento de una tabla en la que aparecen estas funciones con sus gráficas y sus propiedades más importantes.

Como parte de las actividades prácticas que se desarrollan en este tema está la comparación de dichas funciones.

La tabla confeccionada se emplea como material de consulta en otras asignaturas que facilita y agiliza el trabajo de los alumnos y el docente.

Por otra parte, para el desarrollo de este tema, el docente puede auxiliarse del software Laboratorio Matemático y de otros existentes que tratan este tema, así como las enciclopedias que se encuentran al alcance de todos.

Conclusiones.

A partir de las observaciones a clases y revisión de documentos se ha evidenciado una disociación entre la enseñanza de las diferentes funciones reales pues no siempre se buscan las relaciones, nexos, semejanzas y diferencias existentes entre unas y otras por lo que el estudiante en ocasiones no es capaz de apreciar las relaciones que se pueden establecer entre unas y otras.

Es importante el empleo de recursos que relacione los saberes matemáticos y agilice y fortalezca el trabajo con las funciones reales que sirven de base para el estudio de otros contenidos de las Matemáticas.

Bibliografía.

Ballester, Sergio. Metodología de la Enseñanza de la Matemática. Tomo I. Ed. Pueblo y Educación. Cuba. (1992).

Junk, Werner. Conferencias sobre Metodología de la Enseñanza de la Matemática. Tomo I. Editorial Pueblo y Educación. Cuba. (1979).

Guerra, Ariel. Propuesta metodológica para la introducción y el tratamiento de la funciones elementales en la secundaria básica. 2001.

Kalnin. Álgebra y funciones elementales. Editorial Mir. Moscú.

Piscunov. Cálculo Diferencial e Integral. Tomo I. Editorial Mir. Moscú.

Ruíz, María E. Enseñanza de las funciones en el nivel medio; algunos condicionamientos del docente. Primer Congreso de Didáctica de las Ciencias. La Habana. Cuba. (1998).

Tassara, Detzel, Ruíz. Informe final proyecto de investigación "Funciones: un aporte para la enseñanza de la Matemática en el nivel medio. Argentina. (1997).

Anexo

Autor:

Lic. Elías Rodríguez Yero

Lic. Yadira Escalona Suárez

Universidad Pedagógica "Pepito Tey" de la ciudad de Las Tunas, Cuba

Los autores son:

Profesor Asistente Elías Rodríguez Yero, Las Tunas Cuba, licenciado en educación, especialidad de Física, con 25 años de experiencia en la docencia y Profesora Asistente Yadira Escalona Suárez, licenciada en educación, especialidad de Matemática-Computación, con 11 años de experiencia, ambos trabajadores de esta universidad.