La primera concierne a los números primos. Se inició con los estudios de Tabit Ibn Qurra sobre los números amigos. No se sabe cómo continuó, salvo que en el siglo XI, Ibn al – Haytham resolvió problemas de congruencia y que al – Farisi logró nuevos resultados respecto a la descomposición de un número en factores primos.
Detengámonos en lo que se constituiría un gran aporte en teoría de números en matemáticas: Los números amigos.
Dos números amigos son dos enteros positivos a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de los divisores propios de a. (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).
Un ejemplo es el par (220, 284), ya que:
Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284
Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220
Para los pitagóricos los números amigos tenían muchas propiedades místicas.
Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos:
Esta fórmula genera los pares (220, 284), (1184, 1210), (17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056). El par (6232, 6368) también es de números amigos, pero no se puede hallar por la fórmula anterior.
Los números amigos han sido estudiados por Al Madshritti (muerto en 1007), Abu Mansur Tahir al-Baghdadi (980-1037), Pierre de Fermat(1601-1665), René Descartes (1596-1650), a quien se atribuye a veces la fórmula de Tabit, C. Rudolphus y otros. La fórmula de Tabit fue generalizada por Euler.
En la Edad Media, existió la creencia de que si se daba de comer a dos personas (al mismo tiempo pero no en el mismo lugar) sendos alimentos que contenían una inscripción 220 para uno y de 284 para el otro, entonces se volvían amigos por arte de magia.
Si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus divisores propios), recibe el nombre de número perfecto.
La segunda dirección, sugerida por el estudio de la Aritmética de Diofanto traducida parcialmente por Qusta Ibn Luqa, suscitó investigaciones sobre la resolución de sistemas de ecuaciones indeterminadas con soluciones enteras o racionales y sobre las tríadas pitagóricas. La tercera dirección concierne al estudio de las series y de series finitas que aparecen en ciertos problemas de álgebra, de probable origen preislámico.
Reencontramos estos problemas en el capítulo sobre el cálculo de superficies y volúmenes (por el método de exhaución), cuyo origen se remonta a Arquímedes, y en el de los números figurados, cuyo estudio se reactivó gracias a la traducción de la Introducción a la Aritmética de Nicómaco.
Sobre la primera tradición sólo se ha podido constatar en los textos de al – Andalus y el Magreb el tema de los números amigos. AI – Mutaman, matemático de Zaragoza, insertó en su tratado una nueva traducción del opúsculo de Tabit Ibn Qurra, y encontramos cálculos de parejas de números amigos en las obras de al – Hassar (siglo XII) y Ibn Munçim. Puesto que ninguno de los libros mencionados se tradujo al latín o al hebreo, no sabemos a través de qué canales circularon esos temas por Europa. La segunda tradición se halla presente en el Occidente musulmán en forma de problemas resueltos en obras de álgebra, pero no se menciona a Diofanto ni a los matemáticos árabes inspirados por él. En cuanto a la tercera tradición, se manifiesta en el capítulo de la ciencia del cálculo que trata problemas relativos a la suma y sabemos que su contenido circuló por Europa, bien fuera en escritos latinos y hebreos o en traducciones de textos árabes.
13. La Geometría
En Geometría se genera una primera tradición a partir de problemas de constructividad de puntos y figuras planas. Tras enfrentarse a menudo con construcciones irresolubles algunos matemáticos islámicos extendieron la noción de existencia geométrica o algebraica mediante la utilización sistemática de las secciones cónicas. Se realizaron estudios sobre las propiedades de tales curvas y sobre los mejores medios para engendrarlas. Ello permitió resolver, de nuevas y múltiples maneras, los problemas clásicos de la tradición griega: trisección del ángulo, duplicación del cubo, inscripción de polígonos regulares en el círculo. Más tarde, diferentes contribuciones favorecieron la elaboración de la teoría geométrica de las ecuaciones cúbicas.
Una segunda tradición se dedicó a los problemas de medida (superficies, volúmenes, momento de inercia), lo que permitió volver a obtener resultados perdidos de Arquímedes (como la determinación del área de una sección de parábola) y completar otros.
La tercera tradición, nacida de una lectura crítica de los Elementos de Euclides, permitirá extender las operaciones aritméticas a los irracionales positivos, elaborar nuevas reflexiones sobre los fundamentos de la Geometría (en particular, sobre el postulado de las paralelas) y redefinir el concepto de razón, lo que permitiría establecer la noción de número real positivo.
Paralelamente se desarrolló otro tipo de reflexión hasta el siglo XI, concerniente a los problemas de construcción y razonamiento geométricos, que luego se extendió a todos los instrumentos de demostración (análisis y síntesis, reducción al absurdo, inducción). De hecho es una verdadera tradición, constituida a partir de elementos ya presentes en el corpus filosófico y matemático griego. Sus artífices son Tabit Ibn Qurraa en el siglo IX, Ibrahim Ibn Sinan y as-Siji en el siglo X, Ibn al-Haytham en el XI, y probablemente otros cuyos escritos no han llegado hasta nosotros y que futuras investigaciones podrían revelar.
Se ha comenzado a determinar aspectos relativos a la circulación de esas diferentes tradiciones geométricas orientales. Respecto a la primera, disponemos de dos testimonios poco conocidos que permiten asegurar que llegó a al – Andalus y al Magreb. El matemático magrebí Ibn Haydur menciona dos escritos orientales sobre la inscripción del heptágono. Se trata de las epístolas de as-Sagani (siglo X) y de un tal Abu Muhammad. El mismo autor menciona un texto atribuido a un matemático hindú que toma como valor aproximado del lado del heptágono inscrito la mitad del lado del triángulo equilátero inscrito en el círculo.
El segundo testimonio, mucho más importante, es el del filósofo zaragozano Ibn Bajá, Avempace para los latinos, que da informaciones precisas sobre los trabajos de su profesor Ibn Sayyid, de Valencia, y sobre sus propios trabajos concernientes al estudio de las cónicas y su uso para generar nuevas curvas planas, que habrían sido usadas para resolver dos generalizaciones de problemas clásicos: el de la determinación de n medias proporcionales entre dos magnitudes dadas (que generaliza el problema para dos medias, resuelto ya por los griegos) y el de la multisección de un ángulo (que generaliza el de la trisección).
Hay que señalar que en el siglo XII se consideraban ambas generalizaciones como no resueltas todavía; al menos es lo que dice el gran matemático as – Sama"wal. Este hecho por sí mismo nos permite afirmar no sólo que el contenido del corpus geométrico clásico (cuyo conocimiento es indispensable para dedicarse a problemas nuevos del mismo tipo) era conocido en ciertos foros científicos hispanos, sino que sus matemáticos se hallaban bien informados sobre los problemas en que trabajaban los matemáticos islámicos orientales y participaron activamente en su resolución.
Para la segunda tradición no disponemos sino de los libros de al – Mutaman, que nunca se refiere explícitamente a sus fuentes, pero que debido a la diversidad de temas tratados en sus obras y a las maneras en que lo hizo, podemos afirmar que una gran parte de la tradición árabe relativa a Arquímedes llegó a al – Andalus, incluso si las pruebas concretas de que disponemos, por el momento, no se refieren sino al escrito de Ibrahim Ibn Sinan sobre el cálculo del área de una porción de parábola.
En lo que concierne a la tercera tradición, se sabe desde hace poco tiempo que la contribución más importante de Ibn al – Haytham en este campo, su Librosobre el análisis y la síntesis, llegó a Zaragoza como muy tarde en la segunda mitad del siglo XI. La copia sirvió para la redacción de algunos capítulos del libro de al-Mutaman.
En trigonometría, los primeros pasos dados en Oriente consistieron en extender y mejorar las tablas hindúes de senos y cosenos, y luego introducir funciones nuevas: tangente, cotangente, secante y cosecante. Más tarde se establecieron las relaciones fundamentales entre estas seis funciones, siendo la más célebre el teorema del seno, que servirá para el cálculo de los elementos del triángulo esférico, y que sobre todo permitirá ahorrarse el uso del teorema de Menelao (siglo I), instrumento menos efectivo para los calculistas.
El teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos. Otra forma de expresarlo sería: En todo triángulo la relación de un lado al seno del ángulo opuesto es constante.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces:
La importancia de estas nuevas herramientas llevará a los astrónomos a dedicarles capítulos autónomos. Es lo que harán Ibn Iraq, en Asia central y Abu l – Wafa", en Bagdad. Esas contribuciones puramente matemáticas favorecieron el proceso de autonomía de la trigonometría en relación a los problemas astronómicos que permitieron su desarrollo. Esta autonomía está ya patente en el libro de al – Biruni, Las claves de la Astronomía, y se completará en el tratado de Nasir ad – Din at – Tusi, El libro de la figura secante.
No hay elementos que permitan asegurar que estas dos últimas obras fueron conocidas en España. Eso no significa que los métodos y resultados que contienen no hayan circulado mediante obras menos importantes o más especializadas.
En efecto, según el matemático magrebí del siglo XIV Ibn Haydur, el teorema del seno era accesible en su época (y por tanto también en los siglos XII y XIII) sea a través de una obra de Ibn Muadh (muerto después de 1050), un matemático de Jaén, sea a través de otro especialista hispano, Jabir Ibn Aflah, sea a través del apéndice añadido por el filósofo Avicena a su resumen del Almagestode Ptolomeo. Ibn Haydur supone incluso que ningún escrito oriental de trigonometría, distinto del de Avicena, llegó al Occidente musulmán. Si eso fuera cierto tendríamos ahí otro ejemplo de ruptura, aún inexplicada, en la circulación de importantes resultados científicos.
Comentarios y conclusiones
El genial aporte de los árabes, nos permiten entender quiénes somos y hacia dónde vamos en matemáticas. Muchos somos los sorprendidos por la gran capacidad de cálculo que tienen los árabes y lo increíble de la diferencia con los griegos, preocupados éstos de la forma que, como aquellos, de la práctica.
De lo expuesto, podemos extraer las siguientes conclusiones y principales aportes para tomar en cuenta:
a) Los árabes representaron un gran avance matemático en la edad media, al iniciar de manera brillante, una rama de la matemática, importante en tiempos modernos: el álgebra.
b) El sistema de numeración actual, es un aporte de los hindúes, pero que los árabes perfeccionaron e hicieron más práctico en escritura y en uso.
c) Aportaron la base del actual método Ruffini – Horner y calcularon con gran exactitud 17 cifras del número p.
d) Introdujeron la barra horizontal para la notación actual de las fracciones.
e) Al – Jwarizmi, considerado padre del álgebra, introduce el al – jabr, término con que se inspiró la palabra "álgebra" y que era el pieza clave en el proceso de resolución de ecuaciones, el tema favorito de los árabes.
f) Empezaron estudios sobre la teoría de números con "los números amigos" y en geometría se hicieron estudios de las secciones cónicas y se aportó "El teorema del seno"
Bibliografía
14. Las Matemáticas Árabes Y su papel en el Desarrollo de La Tradición Científica Europea, Ahmed Djebbar. Traducido por Sergio Toledo Prats. España
15. La Matemática Árabe, Juan Vernet Gines. España.
16. Historia Universal Santillana, Editorial Santillana. Perú.
17. La Matemática en la época medieval, Héctor Fabio Cadavid Rengifo. Colombia
18. Orígenes y desarrollo del álgebra, Andrea Vélez Salas y Carolina Fernández González.
19. Las matemáticas en el antiguo Egipto, Lina Morales Peral. 2002.
20. La civilización árabe, en:
21. La civilización, en:
http:/www.rincondelvago.com
22. La "Nación Árabe", en:
23. Matemática árabe, en:
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/anecdotas/mate4d/mate4d.htm
24. Historia árabe, en:
http://es.geocities.com/aabenaes4/pueblos/arabes.html
25. Matemática árabe en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_%C3%A1rabe
26. Al – Jwarizmi en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Al-Khwarizmi
27. Matemáticas – Legado del mundo Árabe, en:
Dedicado a Telassim.
Sin ti no hay líneas.
Autor:
Ronald Javier Límaco Cusi
Julio de 2009
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