Análisis de vivienda unifamiliar aplicando el teorema de Castigliano (página 2)

3. MOMENTO DE UNA FUERZA:

Magnitud vectorial cuyo valor indica la tendencia a la rotación que provoca una fuerza aplicada sobre un cuerpo, respecto a un punto llamado Centro de rotación. Su valor se calcula multiplicando el módulo de la fuerza por su brazo de palanca, que viene a ser la distancia del centro de rotación (o centro de giro) a la línea de acción de la fuerza.

donde la fuerza y el brazo de palanca, son perpendiculares.

4. VIGAS:

Son miembros estructurales sometidos a cargas laterales; es decir a fuerzas o momentos que tienen sus vectores perpendiculares al eje de la barra.

Tipos de vigas:

Las vigas se describen según el modo en que están sometidas:

1. Viga Simple

La viga simple es una viga con un soporte de pasador en un extremo y un soporte o apoyo de rodillo en el otro. La característica esencial de un soporte de pasador es que impide la traslación en el extremo de una viga pero no su rotación. El extremo A de la viga en la figura (a) no puede moverse en sentido horizontal o vertical, pero el eje de la viga puede girar en el plano de la figura. En consecuencia, un soporte de pasador es capaz de desarrollar una reacción de fuerza con componentes horizontal y vertical (HA y RA), pero no puede desarrollar una reacción de momento.

En el extremo B de la viga en la figura (a), el soporte de rodillo impide la traslación en dirección vertical pero no en la horizontal; por tanto, ese apoyo puede resistir una fuerza vertical (RB) mas no una fuerza horizontal. Por supuesto, el eje de la viga puede girar en B y en A. Las reacciones verticales en los soportes de rodillo y en los soportes de pasador pueden actuar ya sea hacia abajo o hacia arriba y la reacción horizontal en un soporte de pasador puede actuar ya sea hacia la izquierda o hacia la derecha. En las figuras, las reacciones se indican por diagonales que atraviesan las flechas para distinguirlas de las cargas.

5. COLUMNAS:

Una columna es una pieza arquitectónica vertical y de forma alargada que sirve, en general, para sostener el peso de la estructura, aunque también puede tener fines decorativos. De ordinario su sección es circular; cuando es cuadrangular suele denominarse pilar o pilastra. La columna está comúnmente formada por tres elementos: basa, fuste y capitel.

6. TIPOS DE APOYO:

a) Apoyo Empotrado b) Apoyo Móvil o de Rodillo

7. CENTRO DE GRAVEDAD:

El centro de gravedad (CG) es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas masas materiales de un cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo.

8. MOMENTO DE INERCIA:

El momento de inercia o inercia rotacional es una magnitud que da cuenta de cómo es la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas alrededor de uno de sus puntos. En el movimiento de rotación, este concepto desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme.

II. CARGAS ESTRUCTURALES

La actividad del diseño estructural que realiza el ingeniero civil, requiere un gran conocimiento de las cargas, los materiales y las formas estructurales y no solo de los modelos matemáticos usados para obtener las fuerzas internas: momento flector (M), cortante (V), fuerza axial (N), y momento torsor (T). Los estudiantes ya están acostumbrados a esos procedimientos matemáticos y es necesario que entiendan que una viga es un cuerpo real y no una ecuación diferencial o una matriz; por tal razón se presenta aquí un resumen o referencia, para ir introduciendo al estudiante de ingeniería civil en ellos.

En el proceso de diseño el ingeniero civil debe evaluar las cargas o solicitaciones a las que estará sometida la estructura durante su vida útil. Debe hacer un esfuerzo por tenerlas todas en cuenta sin olvidar aquellas que aunque pequeñas puedan poner en peligro la resistencia o estabilidad de la estructura, v.gr.: el efecto de succión producido por un viento fuerte en una bodega o hangar, que puede levantarlo y separarlo de los apoyos, o los cambios fuertes de temperatura que puedan inducir efectos de acortamiento o alargamiento para los cuales no esté adecuadamente provista la estructura. Se deberán tener en cuenta no solo las que constituyan empujes, fuerzas exteriores o pesos permanentes, sino aquellos estados temporales durante la construcción y los mencionados antes, como los efectos térmicos y de retracción, para evitar accidentes y efectos imprevistos. En algunos casos se podrán despreciar, porque su incidencia es pequeña, pero siempre después de haber meditado en su efecto. Los modernos códigos de construcción le dan al ingeniero recomendaciones de cargas mínimas que deben usarse en el diseño de estructuras comunes; en nuestro país la «Norma sismorresistente colombiana NSR-98» exige unas cargas mínimas cuyos valores se mostrarán más adelante. Sin embargo, siempre quedará en el ingeniero la responsabilidad de su evaluación y escogencia. Las cargas que deben considerarse en el diseño de estructuras según la NSR-98, son:

TIPOS DE CARGA:

1. CARGAS MUERTAS.-

Son aquellas cargas que actúan durante toda la vida de la estructura. Incluyen todos aquellos elementos de la estructura como vigas, pisos, techos, columnas, cubiertas y los elementos arquitectónicos como ventanas, acabados, divisiones permanentes. También se denominan cargas permanentes. Su símbolo "D", corresponde a la inicial en inglés de Dead (muerto).

La principal carga muerta es el peso propio de la estructura. Sus valores se obtienen considerando el peso específico del material de la estructura y el volumen de la estructura. Aunque es el tipo de carga más fácil de evaluar, su monto depende de las dimensiones de los miembros de la estructura las cuales no se conocen al inicio del proceso. Es necesario recurrir entonces a estimaciones del valor inicial. Esta acción será más o menos aproximada, dependiendo de la experiencia del diseñador. En los casos comunes esta estimación inicial será suficiente; pero en casos no rutinarios, será necesario evaluar de nuevo el peso de la estructura y revisar el diseño.

Para elementos longitudinales (vigas), la carga se evalúa por unidad de longitud. Ha sido costumbre evaluarla en sistema MKS: "kg/m , t/m". Sin embargo a partir de la vigencia de la norma NSR-98 se debería hacer en el Sistema Internacional (SI): N/m, kN/m.

El control de las cargas muertas es muy importante en estructuras de concreto reforzado construidas «in situ», pues el volumen de los concretos colocados puede ser muy variable, conduciendo a sobre espesores que producen masas adicionales a las contempladas en el diseño, afectando la evaluación de las cargas de sismo. En el acero estructural se controlan más fácilmente, pues los perfiles vienen de fábrica con tolerancias de peso pequeñas.

Figura 1. Fuerzas distribuidas

Para elementos de gran área, como las placas o pisos se evalúa por metro cuadrado: kN/m2, (kgf/m2 en sistema MKS).

Algunos ejemplos corrientes de pesos propios, propuestos por la norma NSR-98 y el Código Peruano de Puentes (CCP-95) son:

2. CARGAS VIVAS.-

Las cargas vivas son cargas no permanentes producidas por materiales o artículos, e inclusive gente en permanente movimiento. Cabinas, particiones y personas que entran y salen de una edificación pueden ser consideradas como carga vivas. Para simplificar los cálculos las cargas vivas son expresadas como cargas uniformes aplicadas sobre el área de la edificación. Las cargas vivas que se utilicen en el diseño de la estructura deben ser las máximas cargas que se espera ocurran en la edificación debido al uso que ésta va a tener y están determinadas con base a una parte variable y a una porción sostenida por el uso diario.

Las cargas vivas dadas en los códigos tienen la intención de representar la suma máxima de todas las cargas que pueden ocurrir en un área pequeña durante la vida útil del edificio. En ningún caso las cargas vivas deben ser menores que las cargas vivas mínimas dadas a continuación:

Vivienda ………………………………………………………………………………… 1.80 kN/m2 (180 kgf/m2)

Oficinas ……………………………………………………..………………………….. 2.00 kN/m2 (200 kgf/m2)

Escaleras en oficinas y vivienda………………………………………………… 3.00 kN/m2 (300 kgf/m2)

Salones de Reunión

– Con asientos fijos (anclados al piso)………………….……….….…. 3.00 kN/m2 (300kgf/m2)

– Sin asientos fijos ……………………………………………………………. 5.00 kN/m2 (500 kgf/m2)

Hospitales

– Cuartos ………………………………………………………..……………….. 2.00 kN/m2 (200 kgf/m2)

– Salas de operaciones……………………………….………………………. 4.00 kN/m2 (400 kgf/m2)

Coliseos y Estadios

– Graderías……………………………………………………………………….. 4.00 kN/m2 (400 kgf/m2)

– Escaleras ……………………………………………………………………….. 5.00 kN/m2 (500 kgf/m2)

Garajes

– Automóviles ……………………………………………….…………..……. 2.50 kN/m2 (250kgf/m2)

– Hoteles ………………………………………………………………………………….. 2.00 kN/m2 (200 kgf/m2)

– Escuelas, Colegios y Universidades…………………………………………… 2.00 kN/m2 (200 kgf/m2)

– Bibliotecas

– Salas de lectura ………………………………………..………………….. 2.00 kN/m2 (200 kgf/m2)

– Depósitos de libros……………………….………………………..…….. 5.00 kN/m2 (500 kgf/m2)

Cubiertas, Azoteas y Terrazas ……….………………………….. La misma del resto de la edificación.

Cubiertas inclinadas de estructuras metálicas y de madera con imposibilidad física de verse sometidas a cargas superiores a las aquí estipulada:

– si la pendiente es mayor del 20% …………………….….………….. 0.35 kN/m2 (35 kgf/m2)

– si la pendiente es menor del 20% …………………………..……….. 0.50 kN/m2 (50 kgf/m2)

Fábricas:

– Livianas ……………………………………..…………..……………………. 5.00 kN/m2 (500 kgf/m2)

– Pesadas………………………………………………………………..……… 10.00 kN/m2 (1000 kgf/m2)

Depósitos

– Livianos ………………………………..…………………………………….. 5.00 kN/m2 (500 kgf/m2)

– Pesados………………………………………………………………….……. 10.00 kN/m2 (1000 kgf/m2)

Almacenes

– Detal ………………………………….………………………………………… 3.50 kN/m2 (350 kgf/m2)

– Por Mayor …………………………………………………………..………… 5.00 kN/m2 (500 kgf/m2)

Las barandas, pasamanos y antepechos deben diseñarse para resistir una fuerza horizontal de 0.75 kN por metro lineal, aplicadas en la parte superior. Se debe diseñar con el efecto más desfavorable de carga viva en los diferentes vanos de la estructura o elemento.

Cargas vivas en obra o durante el proceso de construcción deben incluir: materiales de construcción, formaletería y grúas u otras maquinarias. Para cubiertas se deben incluir los trabajadores y materiales de construcción dentro del análisis de cargas vivas.

III. SISTEMA DE CARGAS

AREAS TRIBUTARIAS:

Es el área cargada de una estructura particular que contribuye en forma directa a la carga aplicada aun miembro particular de la estructura. Conviene definirla como el área limitada por líneas trazadas a la mitad de la distancia a la viga o la columna próximas. En la figura 2 se muestra las áreas tributarias de varias columnas.

Figura 2. Áreas tributarias de columnas

En la Figura 3 se muestra las áreas tributarias teóricas de una viga y de una trabe. (El término trabe en general se refiere a una viga grande y, en algunas ocasiones, también puede referirse a una viga a la que se unen otras vigas más pequeñas).

Figura 3. Áreas tributarias

Si consideramos la viga en la parte superior izquierda del sistema de piso de la Figura 3. vemos q ala mitad de la viga el área tributaria se extiende a la motad de la distancia a la viga próxima en cada dirección. Sin embargo, en los extremos de la viga el piso estas soportado en parte por las vigas y en parte por las trabes que son perpendiculares a la vigas. La superficie superiores de las vigas y de las trabes se supone q con frecuencia se localizan ala misma elevación. En consecuencia, la frontera del área tributaria estará a la mitad de las dos, es decir, aun ángulo de 45º.

De manera similar, las áreas tributarias para una trabe interior de piso se han dibujado en la misma figura. La trabe debe soportar las cargas sobre las áreas tributarias q ahí se muestran, así como las reacciones de extremo de las vigas.

PÓRTICOS O MARCOS

Son otras estructuras cuyo comportamiento está gobernado por la flexión. Están conformados por la unión rígida de vigas y columnas. Es una de las formas más populares en la construcción de estructuras de concreto reforzado y acero estructural para edificaciones de vivienda multifamiliar u oficinas; en nuestro medio había sido tradicional la construcción en concreto reforzado, pero despúes de 1991, con la «apertura económica» se hacen cada vez más populares las estructuras aporticadas construídas con perfiles estructurales importados, desde nuestros países vecinos: Chile, Brasil, Ecuador y de otros, tan lejanos como el Japón o Polonia.

Figura 4: estructura metálica aporticada, campus La Nubia UN Manizales

La gran estandarización y control de calidad que ha obtenido la industria del acero en el mundo, hace indiferente para el diseño, el origen geográfico del perfil estructural, primando el menor costo. En épocas de superproducción de acero a nivel mundial, como la actual, éste aumenta aún más sus ventajas competitivas sobre materiales tradicionales en nuestro medio como el concreto reforzado.

Los pórticos tienen su origen en el primitivo conjunto de la columna y el dintel de piedra usado por los antiguos, en las construcciones clásicas de los griegos, como en el Partenón y aún más atrás, en los trilitos del conjunto de Stonehenge en Inglaterra (1800 años a.C.). En éstos la flexión solo se presenta en el elemento horizontal (viga) para cargas verticales y en los elementos verticales (columnas) para el caso de fuerzas horizontales (figura 5: (a) y (c)).

Figura 5: acción de pórtico bajo cargas verticales y horizontales v.s. acción en voladizo.

Con la unión rígida de la columna y el dintel (viga) se logra que los dos miembros participen a flexión en el soporte de las cargas (figuras 5 (b) y (d)), no solamente verticales, sino horizontales, dándole al conjunto una mayor «resistencia», y una mayor «rigidez» o capacidad de limitar los desplazamientos horizontales. Materiales como el concreto reforzado y el acero estructural facilitaron la construcción de los nudos rígidos que unen la viga y la columna.

La combinación de una serie de marcos rectangulares permite desarrollar el denominado entramado de varios pisos; combinando marcos en dos planos perpendiculares se forman entramados espaciales. Estos sistemas estructurales son muy populares en la construcción, a pesar de que no sean tan eficientes como otras formas, pero permiten aberturas rectangulares útiles para la conformación de espacios funcionales y áreas libres necesarias para muchas actividades humanas (ver figura 6).

Figura 6: edificio aporticado de concreto reforzado

Los métodos de análisis introducidos desde la distribución de momentos de CROSS (1930), hasta las formulaciones matriciales de la RIGIDEZ, ampliamente usados con los computadores, han reducido las tediosas operaciones rutinarias, que limitaron su uso en el siglo pasado.

En cursos posteriores se trabajará a profundidad el denominado «Método Matricial de la Rigidez», que es hoy en día el preferido por los sistemas de análisis de estructuras por computador y se hará una introducción detallada al «Método de los Elementos Finitos», que es la mejor herramienta de que disponen los ingenieros para el estudio de esfuerzos en estructuras complejas; este tema lo podrán cursar los estudiantes que seleccionen la «línea de profundización en estructuras», del plan de estudios de Ingeniería Civil.

• A. DISTRIBUCIÓN DE CARGAS EN PÓRTICOS

B. ANÁLISIS EN UN PÓRTICO

Tramo 1 (x = 0 en B) L > x > 0

Tramo 2 (x = 0 en D) L/2 > x > 0

Tramo 3 (x = 0 en E) L/2 > x > 0

Tramo 4 (x = 0 en A) L > x > 0

CAPÍTULO II

Análisis estructural

I. ESTRUCTURA A ANALIZAR.-

Como objeto de estudio y de análisis estructural tomaremos esta vivienda unifamiliar, caracterizada por ser una vivienda simple de cuatro lados y por tener presente un muro a lo largo del perímetro del techo.

II. METRADO DE CARGAS.-

Para el análisis de la vivienda en primer lugar la vemos como un pórtico en la cual podemos repartir las cargas que se presentan sobre esta.

En el siguiente pórtico podemos apreciar la presencia de vigas principales y secundarias. Diferenciarlas es importante ya que esto definirá la forma de distribución de las cargas.

Las vigas principales son perpendiculares al sentido del vaciado de la loza.

Las vigas principales soportan cargas, las vigas secundarias solo son de enlace.

Dimensiones de la loza de Concreto armado

Sección de las vigas principales:

Sección de las vigas secundarias:

Muro sobre la loza

III. METRADO PARA VIGAS

• I. VIGAS PRINCIPALES:

• 1. Cargas muertas:

P = volumen x peso especifico

– Peso propio de la viga :

– Peso de la losa :

– Peso del muro superpuesto :

• 2. Carga viva:

– Sobrecarga :

– Carga final es igual a: 1.5 carga muerta + 1.8 carga viva

• II. VIGAS SECUNDARIAS.

1. Carga muerta:

– Peso propio de la viga :

– Peso del muro superpuesto :

– Carga final es igual a: 1.5 carga muerta + 1.8 carga viva

IV. METRADO PARA COLUMNAS

• 1. Cargas muertas:

Peso de la losa.

Peso de la viga principal.

Peso de la viga secundaria.

Peso de muros sobre la viga principal.

Peso del muro sobre la viga secundaria.

• 2. Cargas vivas:

Sobrecarga.

Carga final es igual a: 1.5 carga muerta + 1.8 carga muerta.

ANALISIS DE FUERZAS ACTUANTES SOBRE LA ESTRUCTURA

• I. VIGAS PRINCIPALES:

Cargas muertas:

– Peso propio de la viga:

– Peso de la losa:

– Peso del muro superpuesto:

Carga viva:

– Sobrecarga :

– Corte 1-1 ; Tramo AB:

– Corte 2-2 ; Tramo BC:

– Corte 3-3 ; Tramo AB:

Por el teorema de Castigiliano….

Reemplazando… (,

…. (1)

Reemplazando… (,

…. (2)

Reemplazando… (,

…. (3)

Sumando (1) y (3)…

Sumando (2) y (3)…

DIAGRAMAS DE CORTANTES Y MOMENTOS

CORTANTES MOMENTOS

• II. VIGAS SECUNDARIAS:

Cargas muertas:

– Peso propio de la viga:

– Peso del muro superpuesto:

– Corte 1-1 ; Tramo AB:

– Corte 2-2 ; Tramo BC:

– Corte 3-3 ; Tramo AB:

Por el teorema de Castigiliano….

Sumando (1) y (3)…

Sumando (2) y (3)…

DIAGRAMAS DE CORTANTES Y MOMENTOS

CORTANTES MOMENTOS

• III. COLUMNAS:

Como ya se mostró en el metrado de cargas el peso que soportara cada columna de la estructura será:

• CARGAS MUERTAS:

• CARGAS VIVAS:

Carga final:

1.5 carga muerta + 1.8 carga muerta.

Analizando el esfuerzo producido en la columna tenemos:

Analizando la deformación unitaria de la longitud y la variación unitaria del área de la sección transversal tenemos:

• Deformación unitaria de la longitud

• Variación unitaria del área de la s. transversal

ANALISIS DE LA DEFLEXION DE LA VIGA

A. VIGA PRINCIPAL:

• Primero calculamos el valor de las incógnitas mostradas:

• Hacemos los cortes necesarios para poder analizarla y planteamos nuestra ecuación de momentos:

• Conociendo la siguiente relación matemática obtenemos:

• Aplicando las siguientes condiciones obtenemos:

• Finalmente tenemos que la ecuación que determina la deflexión en cualquier punto es:

A. VIGA SECUNDARIA:

• Primero calculamos el valor de las incógnitas mostradas:

• Hacemos los cortes necesarios para poder analizarla y planteamos nuestra ecuación de momentos:

• Conociendo la siguiente relación matemática obtenemos:

• Aplicando las siguientes condiciones obtenemos:

• Finalmente tenemos que la ecuación que determina la deflexión en cualquier punto es:

Conclusiones

Después de haber finalizado este trabajo podemos concluir:

• Que el teorema de CASTIGLIANO es muy útil para el desarrollo de cuerpos estáticamente indeterminados ya que basándose en la energía potencial interna del cuerpo hallamos las diferentes incógnitas.

• Hemos calculado los esfuerzos cortantes los cuales nos determinan el acero transversal se colocan tanto en columnas como en vigas.

• También se cálculo los momentos flectores los cuales determinan el acero longitudinal que se coloca tanto en columnas como en vigas.

• El cálculo de la deflexión en la viga por el método de doble integración nos da el expresado en una ecuación con la cual podemos saber el valor de la deflexión en cualquier punto de la viga.

Bibliografía

• Cervera Ruiz,M y Blanco Diaz,E.(2002). Mecanica de Materiales-Metodos de Analisis. Segunda Edicion. Edicions UPC. Barcelona-España.

• Ortiz Berrocal,Luis.(1998). Resistencia de Materiales.McGra-Hill.Madrid-España.

• Timoshenko.S.(1957). Resistencia de Materiales. Espasa-Galpa S.A. Madrid-España.

• Vásquez Fernández, Manuel(1994). Resistencia de Materiales. Tercera Edicion. Editorial Noela. Madrid-España.

• Beer, Ferdinand P.; Johnston, E. Rusell Jr & DeWolf, John T.(2003). Mecánica de Materiales. Tercera Edición. McGra-Hill.Madrid-España.

Autor:

Olano Facundo Tulio H.

Paico Saavedra Segundo A.

Tirado Morales Víctor E.

Curso: Resistencia de Materiales

Docente: Ing. Alejandro Vera Lázaro

Chiclayo, Marzo del 2009

UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTA