"LA INVESTIGACIÓN MÁS PURA NACE DE LOS ESFUERZOS DE RESOLVER PROBLEMAS PRÁCTICOS Y LA MEJOR INVESTIGACIÓN APLICADA
NACE DE LA CURIOSIDAD INTELECTUAL". FISHER BLACK
Este artículo tiene como propósito hacer una presentación, sin excesivos formalismos matemáticos, pero con fidelidad histórica y suficiente profundidad conceptual, de un modelo de valoración de derivados financieros publicado en el Journal of Political Economy de mayo/junio de 1973, conocido en el ámbito financiero como el modelo de Black-Scholes-Merton, y aceptado desde entonces, como uno de los modelos matemáticos más influyentes en grandes decisiones financieras a nivel mundial. Se pretende también hacer una divulgación de ese modelo, que acaba de cumplir 30 exitosos años de vida, como un homenaje a sus autores.
Palabras clave:
Derivado Financiero, Proceso estocástico, Proceso Wiener, Proceso Itô, Modelo de Black Scholes Merton.
Un derivado financiero es un contrato, cuyo valor es función -se deriva- del precio de otro objeto financiero, que puede ser un activo, una tasa de referencia o un índice, tales como una acción, una divisa o un producto físico. En todos los casos el activo del cual se deriva el precio, es llamado activo subyacente.
Aunque actualmente se utiliza en el mundo una amplísima gama de derivados financieros y múltiples combinaciones entre ellos, los derivados básicos, y más conocidos, siguen siendo las opciones, los forwards, los futuros y los swaps. Por ejemplo, si se tiene una opción sobre una acción, la opción es el derivado financiero, y el activo subyacente es la acción.
Los llamados productos derivados financieros han sido utilizados con diversos objetivos, pero, dependiendo de la intención que se tenga al utilizarlos, los agentes u operadores que intervienen en su uso siempre se pueden enmarcar dentro alguna de las siguientes categorías: coberturistas, especuladores o arbitrajistas.
El objetivo de un coberturista (hedger) es cubrir el riesgo que afronta ante potenciales movimientos en un mercado variable. Los especuladores, utilizan los derivados para apostar acerca de la dirección futura de los mercados y tratar de obtener beneficio de esas tendencias "previstas". Los arbitrajistas toman posiciones compensatorias sobre dos o más activos o derivados, asegurándose un beneficio sin riesgo, y aprovechando situaciones coyunturales de los mercados.
Los orígenes de los modelos para la valoración de derivados financieros se encuentran en la ecuación de difusión, cuyo autor fue Joseph Fourier (1768-1830). Fourier publicó la Théorie Analitique de la Chaleur en 1822; pero desde 1807, aspirando al premio anual de la Academia de Ciencias, había presentado el primer trabajo relativo al tema de la conducción del calor. Ilustres matemáticos puros de la época, tales como Laplace, Lagrange y Legendre, que evaluaron la investigación, manifestaron sus reservas sobre el rigor lógico de algunas de sus deducciones, ya que por su condición de físico-matemático, los procedimientos de Fourier eran más empíricos que lógico-deductivos. Pero lo animaron a continuar su investigación, hasta que su persistencia y la relevancia de su teoría lo hicieron acreedor al Gran Premio de la Academia de Ciencias de París en 1812.
En 1827 el botánico inglés Robert Brown, analizó el movimiento de partículas de polen en el agua, y lo asoció a las teorías vitalistas de la vida, argumentando que ese movimiento era propio de la materia viviente, y relacionado con los mecanismos de la reproducción. Sin embargo, en sus trabajos finales, concluye que el movimiento errático observado era de naturaleza mecánica y no dependía del carácter orgánico ni inorgánico de los objetos considerados.
En 1905, casi un siglo después, Albert Einstein construyó un modelo matemático para explicar ese fenómeno, y lo denomina "movimiento Browniano" en honor a su descubridor.
Las hipótesis básicas de ese modelo de Einstein eran que el desplazamiento de la partícula entre dos instantes es independiente de las posiciones anteriores que haya tenido, y que la ley de probabilidad que rige el movimiento de la partícula sólo depende de distancia temporal. Con estas hipótesis, Einstein llegó a demostrar que la función de distribución f de la posición de la partícula tenía que verificar la siguiente ecuación en derivadas parciales:
, donde x es la variable espacial, t la variable temporal y D es una constante adecuada.
Esta ecuación, que ya era conocida como la ecuación de difusión, se ha constituido posteriormente en una de las vías a través de las cuales, haciendo algunos cambios de variables, se encuentran soluciones a la Ecuación de Black-Scholes-Merton.
Por otro lado, el 29 de marzo de 1900, Louis Bachelier defendió exitosamente en la Universidad de la Sorbona su tesis "Theorie de la Spéculation" para optar al Ph.D, bajo la supervisión de Henri Poincaré. En ella proponía un movimiento Browniano como modelo asociado a los precios de las acciones.
El objetivo del modelo de Bachelier era determinar el valor de opciones accionarias, y aunque fue un buen principio para esa valoración, la fórmula que dedujo estaba basada en supuestos no realistas, ya que asumía la inexistencia de tasas de interés y utilizaba un proceso estocástico(movimiento browniano) que permitía que los precios de las acciones tomaran valores negativos. Posiblemente ésta fue una razón para que ese modelo fuera olvidado durante mucho tiempo.
Posteriormente, autores como Paul Samuelson y James Boness, se ocuparon de superar algunas de los inconvenientes del modelo de Bachelier, asumiendo la existencia de tasas de interés y una distribución de probabilidad más realista para los precios de las acciones; además tuvieron en cuenta que los inversores son adversos al riesgo, y que posiblemente estén dispuestos a asumirlo, pero a cambio de algún premio.
En particular, en 1960, el economista norteamericano Samuelson(premio Nobel de economía en 1970) propuso el movimiento browniano geométrico como modelo para los precios que están sujetos a incertidumbre. En 1964, Boness sugirió una fórmula más cercana a la de Black-Scholes, pero que todavía contaba con una tasa de interés desconocida, que Boness incluía como compensación por el riesgo asociado con el valor de la acción.
Para el modelo de Black-Scholes-Merton, el movimiento Browniano geométrico es el modelo básico asociado a los movimientos de los precios. Pero además estos autores tuvieron en cuenta, y esto fue determinante, que el movimiento Browniano está asociado con la teoría matemática avanzada del cálculo estocástico o cálculo de Ito, desarrollado por el matemático japonés Kiyosi Ito desde 1940, que considera aspectos análogos a los del cálculo clásico de Newton y Leibtniz, pero en condiciones aleatorias.
EL MODELO BLACK-SCHOLES-MERTON
En esta sección vamos a deducir la ecuación diferencial en derivadas parciales que desde su descubrimiento en 1973 ha sido denominada como el modelo de Black Scholes Merton.
Supongamos que el valor de una acción, que se toma como activo subyacente, es S y satisface la siguiente ecuación diferencial estocástica:
,
donde es la tasa promedio de rendimiento, t es el tiempo, es la volatilidad y dx es un proceso de Wiener, que satisface una distribución normal N(0,
). La igualdad planteada se conoce como movimiento browniano geométrico. El valor de una opción sobre aquel activo subyacente, lo denotaremos por V = V(S,t), y es una función del valor de ese activo S, y del tiempo t.
Usando el lema de Itô (que es una conocida fórmula del cálculo estocástico) se tiene que:
En este caso, igual que en el caso discreto, se puede valorar el precio de la opción comparando con un portafolio apropiado, que elimine la aleatoriedad del movimiento browniano. Como S y V están correlacionados, esto puede hacerse construyendo un portafolio que consiste de una opción y un número 
de acciones. El valor de este portafolio estará dado por:
Por lo tanto el cambio del valor del portafolio será:
Que combinando con las expresiones dadas para dS y dV se convierte en:
Además la ganancia de invertir a una tasa sin riesgo r, durante un intervalo de tiempo dt, sería rdt. Entonces asumiendo que no existe oportunidad de arbitraje y que no hay costos de transacción, se tendría que,
Sustituyendo 
en la expresión anterior y dividiendo por t se obtiene la
ecuación diferencial de Black–Scholes:
El valor de cualquier derivado financiero debe satisfacer esta ecuación básica.
Como la mayoría de las ecuaciones diferenciales, la ecuación de B-S-M tiene muchas soluciones, que dependen de las condiciones iniciales y de frontera, y que corresponden a la multitud de posibles instrumentos derivados financieros. En muchos casos prácticos, los procedimientos no permiten una solución analítica, y se hace necesario recurrir a métodos numéricos.
En el caso de una opción call Europea, con precio de ejercicio E, y término de expiración T, al final del período la opción debe valer exactamente máx(S-E, 0) cuando t= T. Para este derivado en particular y con la condición dada, el valor de esa opción, generado por el modelo está dado por:
Esta es la llamada fórmula de Black Scholes Merton. En ella N(x) es el valor de la función de probabilidad acumulada de una distribución normal estándar, es decir:
y
De acuerdo con la fórmula, el valor de la opción de Call C puede ser explicada por la diferencia entre el precio esperado de la acción -el primer término del miembro derecho- y el costo esperado -el segundo término del segundo miembro- si la opción es ejercida.
El valor de la opción es mayor cuanto más alto sea el precio presente de la acción S; cuanto más alta sea la volatilidad del precio de la acción -medida por la desviación estándar 
-; cuanto más alta sea la tasa de interés libre de riesgo r; cuanto más largo sea el tiempo hasta la madurez T, y cuanto más bajo sea el precio de ejercicio E, ya que entonces aumenta la probabilidad de que la opción sea ejercida. Esta probabilidad es, bajo la hipótesis de neutralidad del riesgo, evaluada por la función de distribución normal estandarizada N, en el segundo término del segundo miembro.
En la ecuación todos los parámetros son observables, excepto la volatilidad. Ésta debe estimarse a partir de datos históricos del mercado. Alternativamente, si se sabe el precio de la opción call, puede utilizarse para calcular la volatilidad estimada por el mercado, también llamada "volatilidad implícita".
Con frecuencia se confunden el modelo y la fórmula. Es importante aclarar que el modelo B-S-M es la ecuación diferencial en derivadas parciales; y la fórmula de B-S-M, aunque es muy aplicada, sólo es una solución particular, válida para condiciones iniciales o de frontera muy específicas.
Fisher Black y Myron Scholes, quienes fueron los creadores originales del modelo, lograron plasmarlo en un artículo en octubre de 1970, que titularon "A Theoretical Valuation Formula for Options, Warrants and Other Securities".
Al tratar de publicarlo en el Journal of Political Economy, de la Universidad de Chicago, el trabajo fue rechazado por ser excesivamente especializado. Posteriormente intentaron de nuevo publicarlo en Review of Economic and Statistics, de Harvard, y volvieron a fracasar. Reescribieron el artículo en enero de 1971, con nuevo título -"Capital Market Equilibrium and the Pricing of Corporate Liabilities"- pero, otra vez tuvieron una respuesta negativa.
Pero insistieron, y triunfó su persistencia: Lograron que la versión final, de mayo de 1972, titulada "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", apareciera en el Journal of Political Economy de mayo/junio de 1973, un año después de que, en un artículo del Journal of Finance, Black y Scholes explicaran que su fórmula había sido verificada empíricamente.
El modelo toma su nombre de Black y Scholes porque fueron ellos los primeros en deducirlo, basando sus estudios en el Capital Asset Pricing Model (CAPM), por el cual Sharpe ganó el premio Nobel de economía en 1990.
Pero mientras preparaban su trabajo de 1973, la influencia de Robert C. Merton resultó decisiva. "Las sugerencias de Merton, que también trabajaba en la valuación de opciones -dice Black en un artículo de 1989-, mejoraron nuestro paper. En particular, Merton señaló que si se asume un trading continuo entre la opción y la acción, puede mantenerse entre ellas una relación que esté, literalmente, libre de riesgo. En la versión final del modelo, Black y Sholes, tuvieron en cuenta los aportes de Merton.
Por lo tanto , fue Merton quien advirtió que el equilibrio de mercado no es un requisito para la valuación de la opción; basta con que no exista oportunidad alguna de arbitraje. El método descrito en el caso particular mencionado se basa, precisamente, en la ausencia de arbitraje y en el cálculo estocástico. Esta idea puede ser generalizada para la valuación de otros tipos de derivados.
En un trabajo de 1973, Merton publicó un paper en el que incluyó la fórmula de Black-Scholes, generalizada a otras cuestiones: por ejemplo, dejó que la tasa de interés fuera estocástica. Cuatro años más tarde, también desarrolló un método más general de derivar la fórmula, al basarse en la posibilidad de crear opciones, sintéticamente, mediante el trading de la acción subyacente y un bono libre de riesgo. Estas son las razones por las cuales es usual mencionar a los tres autores cuando se hace alguna referencia al modelo, aunque Black y Scholes publicaron sus resultados tres meses antes que Merton.
Merton y Scholes recibieron en 1997 el Premio Nobel de Ciencias Económicas por su trabajo sobre la valoración. El jurado que otorgó dicho galardón también reconoció las aportaciones de Black, que no pudo compartir el premio con sus colegas por haber fallecido el 30 de agosto de 1995.
El modelo de valoración de opciones era la solución a un problema de más de 70 años. Y constituyó, por ende, un importante logro científico. Sin embargo, la principal contribución de Black, Merton y Scholes está vinculada a la importancia teórica y práctica de su método de análisis, presente en la resolución de muchos otros problemas económicos.
El método -que después se aplicaría a otras áreas de la economía, tales como crecimiento económico neoclásico en un contexto incierto, empresa competitiva con precio incierto, tasas estocásticas de inflación y crecimiento en una economía abierta en ambiente de incertidumbre- produjo un impresionante auge de nuevos instrumentos financieros y facilitó un manejo más eficaz del riesgo, no solo entre los agentes económicos que se sienten inclinados a tomarlo, sino también entre aquellos que son adversos a él. La importancia práctica del modelo radica en que ha hecho posible una administración científica del riesgo, y ésta a su vez, ha generado un rápido crecimiento, en las tres últimas décadas, de los mercados de derivados.
El modelo de Black-Scholes-Merton B-S-M, desde su aparición, produjo un impresionante auge en el uso de derivados para diseñar innovadoras estrategias de negociación para protegerse contra los riesgos financieros o para especular con ellos en los mercados modernos, y ha sido reconocido como la herramienta matemática capaz de generar millones de dólares de rendimientos en pequeños períodos de tiempo; pero también, como culpable de pérdidas astronómicas en cuestión de horas.
En este punto es necesario hacer una digresión sobre la utilización de los modelos matemáticos en todos los campos, y su "culpabilidad" de resultados no esperados. Todo modelo es una representación de un fenómeno real. En particular, al modelar matemáticamente una situación real se pretende facilitar su análisis y disponer de un soporte que permita tomar decisiones racionales en torno a esa situación. Por esta razón es ideal que el modelo represente tan fielmente como sea posible el fenómeno real. Pero la aproximación entre el modelo y la realidad tiene un precio: Normalmente mientras más fidelidad se pretenda en el modelo, éste será más complejo. La complejidad del modelo implica aspectos como las condiciones, hipótesis o supuestos, bajo las cuales él es aplicable.
En muchas situaciones reales han ocurrido "catástrofes" financieras al utilizar ciertos modelos matemáticos, pero los especialistas están absolutamente de acuerdo sobre la razón de esos fracasos: Se utilizan modelos en situaciones en las cuales no se cumplen los supuestos, se asignan todas las decisiones trascendentes a una sola persona, el modelo no se conoce suficientemente o se confía sin recelo en algún modelo o software específico, ignorando sus limitaciones. En algunos casos, seguramente la ambición desmedida de poder económico, haya sido la razón de estruendosos fracasos financieros. Pero definitivamente no es la matemática o los modelos los que fallan, sino el uso indiscriminado de ellos.
Pero la importancia práctica de la labor científica desarrollada por Black, Merton y Scholes se refleja, también, en otros hechos. El Chicago Board Options Exchange introdujo el negocio de opciones en abril de 1973, un mes antes de la publicación de la fórmula de valuación de opciones. En 1975, los traders ya habían comenzado a aplicarla para valuar y proteger sus posiciones. Actualmente, miles de traders e inversores la usan a diario en distintos mercados de todo el mundo. Tan rápida y extendida aplicación de un resultado teórico fue una novedad para la economía, fundamentalmente porque el ambiente matemático en el que descansa la fórmula no formaba parte de la instrucción práctica o académica de los economistas de aquellos tiempos.
Hoy en día, la habilidad para usar opciones y otros derivados, con miras a manejar riesgos, es un activo muy valioso. Las innovaciones financieras se orientan fundamentalmente hacia una efectiva compra-venta de volatilidad. Los portfolio managers, por ejemplo, compran puts(otro tipo de opciones) con el fin de reducir el riesgo de grandes bajas en los precios de los activos financieros.
Las compañías usan opciones y otros instrumentos derivados para reducir sus propios riesgos. Los bancos y otras instituciones financieras apelan al método desarrollado por Black, Merton y Scholes para desarrollar y determinar el valor de nuevos productos, o vender soluciones financieras a la medida a sus clientes. Pero también lo aprovechan para reducir los riesgos que surgen de su actuación en los mercados financieros.
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Autor:
Luis Ceferino Franco Arbeláez
Matemático Universidad Nacional de Colombia. Magíster en Matemáticas Aplicadas Universidad Eafit. Especialista en Finanzas y Mercado de Capitales Universidad de Medellín. Docente Investigador de la Facultad de Ingeniería Financiera de la Universidad de Medellín. Dirección electrónica: lfranco[arroba]udem.edu.co Teléfono: 3 40 54 20