La solución de problemas: en matemática y en la vida

Resumen

Este trabajo tiene como objetivos dar una aproximación a las ideas básicas sobre las analogías entre la solución de problemas en la Matemática y en la vida como aspectos esenciales para la toma acertada de decisiones por directivos y estudiantes. El conocimiento de los tipos de problemas y las fases correspondientes para llegar a una acertada solución son algunos de los aspectos a tratar en el trabajo. La importancia de una correcta toma de decisiones como objetivo a lograr estará sin dudas muy relacionado con la preparación que tengan los estudiantes, entiéndase directivos para la toma correcta de decisiones.

Palabras claves: solución de problemas, toma de decisiones

Desarrollo

Matemática es la única asignatura que se estudia en todos los países del mundo y en todos los niveles educativos. Supone un pilar básico de la enseñanza en todos ellos. La causa fundamental de esa universal presencia hay que buscarla en que las matemáticas constituyen un idioma poderoso, conciso y sin ambigüedades. Ese idioma se pretende que sea aprendido por nuestros alumnos, hasta conseguir que lo "hablen". En general por medio de la contemplación de cómo los hacen otros (sus profesores), y por su aplicación a situaciones muy sencillas y ajenas a sus vivencias (los ejercicios).

    La utilización de un idioma requiere de conocimientos y herramientas mínimos para poder desarrollarse. Pero sobre todo se necesitan situaciones que inviten a comunicarse por medio de ese idioma, a esforzarse en lograrlo, y, desde luego, de técnicas para hacerlo. En el caso del idioma matemático, una de las técnicas fundamentales de comunicación son los métodos de Resolución de Problemas.

    La resolución de problemas es considerada en la actualidad la parte más esencial de la educación matemática. Mediante la resolución de problemas, los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea.

La resolución de problemas es un proceso mental que supone la conclusión de un proceso más amplio que tiene como pasos previos la identificación del problema y su modelado. La resolución de problemas reside principalmente en dos áreas: la resolución de problemas matemáticos y la resolución de problemas personales (en los que se presenta algún tipo de obstáculo a su resolución).

Es un proceso mental que supone la conclusión de un proceso más amplio que tiene como pasos previos la identificación del problema y su modelado. Por problema se entiende un asunto del que se espera una solución que dista de ser obvia a partir del planteamiento inicial. Considerada como la más compleja de todas las funciones intelectuales, la resolución de problemas ha sido definida como un proceso cognitivo de alto nivel que requiere de la modulación y control de habilidades más rutinarias o fundamentales.

Desde el inicio del actual curso 2012-2013, se ha estado realizando un esfuerzo especial en esclarecer la misión y prioridades de la educación superior en los municipios y sus instituciones, en respuesta a las transformaciones que están ocurriendo en el país y en las universidades.

En este propósito se han realizado encuentros con los directores de los CUM, donde han participado: cuadros y funcionarios del PCC, vicepresidentes y funcionarios de los gobiernos provinciales y municipales, las universidades de los cuatro organismos formadores, entidades de la producción e instituciones culturales y científicas con el objetivo de propiciar una actualización de la vigencia, desarrollo e impacto de la educación superior en los municipios, así como identificar las principales insuficiencias y barreras que afronta en su gestión y las recomendaciones para su solución.

Dentro de las principales cuestiones a las que se ha arribado a un consenso están:

• Convicción de la necesidad de los Centros Universitarios Municipales (CUM) como interface necesaria de las universidades en el despliegue de todos los procesos universitarios en el logro de una mayor pertinencia e impacto económico social.

• Necesidad de atender de forma proactiva la preparación de los cuadros del territorio y su superación integral en el dominio de los Lineamientos del Partido y de la Revolución y su alcance en el territorio. Facilitar un pensamiento estratégico en la formulación de la planeación del desarrollo municipal integral en todas sus dimensiones y en especial de los recursos humanos calificados del territorio que requieran de esta planeación.

• Brindar la superación necesaria a los directivos y profesores de los municipios, en los nuevos roles que asume el CUM.

La importancia de los Centros Universitarios Municipales como actores de los procesos esenciales de la universidad cubana así como el llamado a la preparación constante y consecuente de directivos en los territorios y de los profesores viene a asegurarnos sin lugar a dudas que mientras más preparados estemos mejores posibilidades tendremos de desarrollar un trabajo más efectivo y duradero.

El proceso de solución de problemas, en un sentido muy amplio, abarca actividades muy diferentes, heterogéneas, sin embargo, en sentido estricto, englobaría: aquellas tareas que exigen procesos de razonamiento relativamente complejos y no una simple actividad asociativa o rutinaria.

En general, el proceso de solución de problemas y el proceso de razonamiento, se han tratado como dos áreas independientes. Sin embargo, para solucionar un problema, el sujeto debe poner en marcha procesos de razonamiento, por eso en realidad, es difícil trazar la línea divisoria entre la investigación sobre solución de problemas y sobre otros procesos de razonamiento.

Fases en la resolución de un problema:

1ª) Fase de preparación: Basada en la comprensión del problema. Supone un análisis e interpretación de los datos disponibles.

2ª) Fase de producción: El sujeto elabora y pone en marcha una estrategia: un conjunto de operaciones para poder llegar a la solución.

3ª) Fase de enjuiciamiento: Reflexión y evaluación de la solución generada comparándola con el criterio de solución que nos propone el enunciado de la tarea.

Esta fase es muy sencilla cuando el problema está bien definido.

Tipos de problemas

Existen diferentes clasificaciones sobre los distintos tipos de problemas; nos quedamos con la de Greeno (1978):

• Problemas de Transformación: constan de una situación inicial, una meta y un conjunto de operaciones intermedias que transforman ese estadio inicial en la solución final.

• Problemas de Inducción de Estructuras: son problemas cuya solución requiere descubrir analogías estructurales entre elementos que pertenecen a dominios dispares; aunque no está claro el tipo de procesos que permiten descubrir analogías estructurales, lo que sí parece claro es el proceso básico de comprensión de relaciones de similitud (se semejanza).

• Analogías verbales: problemas que se ajustan al formato A es a B como C es a D. Los dos primeros términos (A y B) mantienen una relación explícita en el problema y la tarea del sujeto es descubrir un término incógnito D que mantenga con C una relación similar a la que existe entre A y B, y que aparece explícita en el problema.

• Analogías complejas: de acuerdo con la teoría del procesamiento de la información, un problema consta de 3 elementos: un estadio inicial, un estadio final y un conjunto de estrategias u operadores intermedios que transforman el estadio inicial en final.

Sin embargo, existe una vía alternativa para buscar la solución a un problema que consiste en usar la solución de un problema diferente como modelo para resolver el problema sobre el que estamos trabajando.

¿Cómo enfrentar diariamente la solución de los problemas que el quehacer rutinario nos impone?

La toma certera de decisiones pasa en un primer término por el análisis creativo y detallado del problema a enfrentar. La preparación que tengamos para ello será el soporte indiscutible para la obtención de los resultados esperados.

¿Cómo plantear y resolver problemas?

Un problema matemático puede ser resuelto mediante una técnica de cuatro etapas:

• entender el problema.

• crear un plan.

• llevar a cabo el plan.

• revisar e interpretar el resultado (mediante el método científico)

Si esta técnica fracasa, según Pólya (1945): «Si no puedes resolver ese problema, entonces existe un problema más sencillo que éste que sí podrás resolver: encuéntralo» O bien: «Si no puedes resolver el problema propuesto, intenta resolver primero un problema relacionado. ¿Podrías imaginar un problema relacionado más accesible?».

El libro de Pólya contiene un conjunto de sugerencias heurísticas a modo de diccionario, muchas de las cuales ayudan a generar un problema más accesible. (Luis Elucay) (1994): «Un problema de investigación, puede ser una realidad compleja-conflictiva; un desconocimiento; una curiosidad una interrogante. La investigación científica consiste en hallar fenómenos en un problema, identificarlos, formularlos y tratar de encontrar su solución, sea con ayuda del conocimiento existente, sea con el conocimiento nuevo y, en todo caso, a la luz de la razón y de la experiencia. Dejar de tratar problemas es dejar de investigar. Los problemas pueden a veces estar referidos a carencias objetivas, desconocimiento de si toma, causas, efectos, relaciones, procesos o indicadores que den cuenta de la línea de base o situación de partida de cualquier esfuerzo investigativo».

Hemos ido viendo cómo en las distintas áreas del currículo los alumnos se ven enfrentados a problemas de distinta naturaleza, que requieren de ellos la activación de conocimientos factuales y conceptuales específicos, así como el dominio de técnicas y estrategias que en muchos casos difieren de un área a otra. La investigación reciente destaca el carácter específico de los conocimientos implicados en la solución de distintos tipos de problemas, a partir de las comparaciones entre personas expertas o no (por ejemplo, CHI, GLASER y FARR, 1988; ERICSSON y SMITH, 1991). Igualmente, la enseñanza de la solución de problemas está abandonando un enfoque generalista –basado en la idea de que los alumnos podían aprender modelos generales o "ideales" útiles para resolver cualquier problema– en favor de un acercamiento más específico, ligado a los contenidos conceptuales y a los dominios de conocimiento a los que pertenecen los problemas.

A los alumnos no se les puede "enseñar a pensar" o a "resolver problemas" en general al margen de los contenidos específicos de cada área del currículo (por ejemplo, BRANDSFORD et al., 1989; HALPERN, 1992). En consecuencia, la enseñanza de la solución de problemas debe ser un contenido más de cada una de las materias, de importancia variable, según las propias convicciones y el modelo docente puesto en marcha por cada profesor o cada centro dentro de un currículo abierto.

Ahora bien, el hecho de que haya que enseñar a los alumnos a resolver los problemas propios de cada área no debe implicar que en cada área se afronte la enseñanza de la solución de problemas de un modo diferente o desconectado de lo que sucede en otras áreas. Aunque los conocimientos y algunas de las estrategias necesarias para resolver un problema de Matemáticas y para realizar un juego de simulación en Geografía son diferentes, una lectura atenta a lo planteado también revelará que existen muchas dificultades comunes para la enseñanza y el aprendizaje de la solución de problemas en esos diversos dominios. Aunque los conocimientos que hay que enseñar a los alumnos para resolver problemas en las distintas áreas son sólo parcialmente coincidentes, las dificultades para enseñarlos son relativamente constantes.

Un tratamiento común o globalizado de algunos de los rasgos de la enseñanza de la solución de problemas en la escuela no sólo puede facilitar que su inclusión en el currículo sea más sistemática y equilibrada sino que también puede ayudar a superar algunas de las dificultades de aprendizaje que se han apuntado de modo específico, para cada una de las áreas del currículo. Tal vez la mejor manera de identificar los rasgos comunes a la enseñanza de los distintos tipos de problemas sea situarlos en el contexto de los contenidos del currículo, donde obviamente la solución de problemas, en todas las áreas analizadas, se hallaría más próxima a los contenidos.

Algunos criterios que permiten convertir en problemas el trabajo individual de los estudiantes

En el planteamiento del problema

1. Plantear tareas abiertas, que admitan varias vías posibles de solución e incluso varias soluciones posibles, evitando las tareas cerradas.

2. Modificar el formato o definición de los problemas, evitando que el alumno identifique una forma de presentación con un tipo de problema.

3. Diversificar los contextos en que se plantea la aplicación de una misma estrategia, haciendo que el alumno trabaje los mismos tipos de problemas en distintos momentos del currículo y ante contenidos conceptuales diferentes.

4. Plantear las tareas no sólo con un formato académico sino también en escenarios cotidianos y significativos para el alumno, procurando que el alumno establezca conexiones entre ambos tipos de situaciones.

5. Adecuar la definición del problema, las preguntas y la información proporcionada a los objetivos de la tarea, utilizando, en distintos momentos, formatos más o menos abiertos, en función de esos mismos objetivos.

6. Utilizar los problemas con fines diversos durante el desarrollo o secuencia didáctica de un tema, evitando que las tareas prácticas aparezcan como ilustración, demostración o ejemplificación de unos contenidos previamente presentados al alumno.

Durante la solución del problema

7. Habituar al alumno a adoptar sus propias decisiones sobre el proceso de solución, así como a reflexionar sobre ese proceso, concediéndole una autonomía creciente en ese proceso de toma de decisiones.

8. Fomentar la cooperación entre los alumnos en la realización de las tareas, pero también incentivar la discusión y los puntos de vista diversos, que obliguen a explorar el espacio del problema para confrontar las soluciones o vías de solución alternativas.

9. Proporcionar a los alumnos la información que precisen durante el proceso de solución, realizando una labor de apoyo, dirigida más a hacer preguntas o fomentar en los alumnos el hábito de preguntarse que a dar respuesta a las preguntas de los alumnos.

En la evaluación del problema

10. Evaluar más los procesos de solución seguidos por el alumno que la corrección final de la respuesta obtenida. O sea, evaluar más que corregir.

11. Valorar especialmente el grado en que ese proceso de solución implica una planificación previa, una reflexión durante la realización de la tarea y una autoevaluación por parte del alumno del proceso seguido.

12. Valorar la reflexión y profundidad de las soluciones alcanzadas por los alumnos y no la rapidez con la que son obtenidas.

Conclusiones

Sin dudas es de vital importancia que haya una correcta preparación y capacitación entre estudiantes (directivos) relacionada con los pasos a seguir, la estrategia a seguir, en la solución de un problema, ya sea este matemático, en el cual se verán involucrados los estudiantes, como de la vida, en que todos, estudiantes y directivos en particular nos vemos inmersos de alguna forma u otra. Resulta de particular importancia que se asuma por ambas vías lo imprescindible de no cejar en el empeño de llegar al resultado final con los resultados esperados, la constancia en el esfuerzo es el valor principal para que las decisiones finales se vean premiadas por ese esfuerzo. Sin ánimo de pensar que para cada problema de la vida haya que comenzar por discernir cada paso o cada fase, se hace sí fundamental que se produzca siempre el análisis mínimo en concordancia con lo conocido matemáticamente. El hábito en este proceder influirá decididamente en la agilidad con que al final demos nuestras decisiones (respuestas) de la mejor forma posible.

Bibliografía

Brandsford et al., 1989

Elucay, Luis 1994(Cómo plantear y resolver problemas)

Greeno, James G (1978): Introduction to Mathematical Psychology

http://www.goodreads.com/author/show/1343728.James_G_Greeno

George Pólya: How to Solve It, Princeton, 1945. ISBN 0-691-08097-6.

Autor:

Lic. Nelson Posada Martínez

Profesor Auxiliar de la Filial Universitaria de Jagüey Grande