Teoría del consumidor, de la preferencia a la estimación

Introducción

Siendo las 6 de la mañana,cuando suena el reloj despertador. Usted se levanta, prepara sudesayuno, y conduce hacia el trabajo. Es así, como se da cuenta que al preparar el desayuno, ha invertido una gran cantidad de tiempo y que vive repitiendo en la oficina" mi tiempo es oro", pero al preparar el desayuno no valoró lo suficiente su tiempo o si no hubiese desayunado en una cafetería. De igual forma observa que el tráfico estuvo bastantecongestionado, y que conducir produce una desutilidad que hasta el momentonunca había considerado.

Al pensar en Linda, se acuerda que su madre nunca trabajó y que por el contrario hoy es muy común encontrar que una gran parte de nuestros compañeros de trabajo son mujeres, y entonces exclama: ¡Definitivamente han cambiado los tiempos!

Linda repite en voz alta: "La economía es la ciencia que estudia el comportamiento humano como una relación entre los fines y los medios escasos que tienen usos alternativos". Algo desconcertado, pide explicación y entonces ella responde que si usted le paga $50.000 la hora, con mucho gusto le explica el significado de aquella frase. Dos días después de haber realizado una búsqueda amplia por la biblioteca y recordando aquella frase "mi tiempo es oro", piensa en que de pronto habría sido mejor haberle pagado a Linda por la explicación.La situación anterior es más común de lo que pensamos. La mayoría de nuestras decisiones están determinadas por la escasez de los recursos y servicios.

En estas páginas usted encontrará una descripción de cómo opera el proceso de asignación cuando agentes como usted y Linda enfrentan restricciones, y cómo se verifica si estas restricciones se cumplen.

Objetivo principal del libro

El objetivo principal de este libro, consiste en mostrar cómo la microeconomía puede ser aplicada a situaciones que los consumidores enfrentan cotidianamente. Por tal razón, se desarrolla el esquema formal de la microeconomía, de tal forma que podamos aproximarnos a la conducta de los agentes, siempre y cuando actúen bajo los supuestos enunciados.

Límites a la Elección

Las oportunidades de elegir una canasta de bienes son directamente notorias para cualquier consumidor, y cualquier variación en las oportunidades deberá influir claramente sobre la elección, lo cual muestra que los cambios en las elecciones ordinariamente son debidos a la variación en el conjunto de oportunidades.

En la mayoría de los casos, cuando usted va a comprar algún bien, no sólo encuentra el bien que desea, sino que además encuentra otros productos que le hacen reflexionar sobre los bienes que llevará. Lo que esta situación muestra es que las condiciones sobre las cuales se debe elegir han variado y, consecuentemente, el conjunto de oportunidades ha cambiado.

El Conjunto de Oportunidades

El conjunto de oportunidades más común, se puede describir cuando los hogares tienen un ingreso Y, el cual gastan durante un período en m bienes, o en algunos.

Dado que los bienes, o la cantidad de ellos, son positivos, a precios positivos, la restricción puede escribirse como:

• 1) 

Donde:

Y es el ingreso, pi los precios y xi las cantidades del bien i. Supongamos queexisten dos bienes, Comida (x1) y Abrigo (x2) a unos precios p1 y p2 , entonces lagráfica que ilustra el límite al consumo de éstos será:

Restricciones Típicas

Si se asume que las cantidades mínimas de los dos bienes anteriores para sobrevivir son x1Mínimo y x2Mínimo. La elección estará determinada por el triángulo CDE (Gráfica1.1).

De la anterior gráfica, un ingreso menor a Y= p1x1Mínimo+ p2x2Mínimo no le daría oportunidad de elegir al individuo.

Las restricciones pueden tomar diferentes formas que son: muy pocos abrigos y más alimentos pueden ser más necesarios que una gran cantidad de abrigos.

Si, el consumidor comienza el período 1 sin dinero, al mismo tiempo ahorra o pide prestado a una tasa de interés de cero, el ingreso se distribuye en los períodos Y1 y Y2 y todo se gasta, entonces la restricción presupuestaria será:

En la anterior restricción existe como supuesto implícito un mercado eficiente y cero costos de transacción.

No siempre es posible derivar directamente el conjunto de oportunidades; supongamos los siguientes casos:

• El primer bien es perfectamente divisible, pero el segundo es disponible encantidades discretas.

• El pan puede ser consumido al medio día por un individuo, ya sea en Santafé deBogotá o en Santiago de Cali, pero no al mismo tiempo en ambas ciudades.

Restricciones no Lineales

Imaginemos una economía de trueque y sea A la dotación inicial de alimentos y vestidos. Ahora, suponga la existencia de dos grupos: el grupo de los glotones y el grupo de los bien vestidos; el grupo de los glotones tiene comida y desea vestidos y el grupo de los bien vestidos tiene ropa y desea comida. Los dos grupos viven en una isla y están aislados uno del otro; dado que no existe un medio único de intercambio, tampoco existirá una razón única de intercambio.

Como se puede ver en la presente grafica,la información y los costos de transacción evitan al grupo que desea intercambiar ropa por alimentos a través de AC "iniciar un intercambio" con aquellos que desean cambiar alimentos por ropa a través de AB. La tasa de intercambio difiere en las dos direcciones, consecuentemente, los grupos tienen diferentes tasas de intercambio. Una economía totalmente monetizada, donde se utilice como patrón de intercambio el dinero, eliminará las divergencias entre dichas tasas de intercambio, lo que se puede observar a través de la línea discontinua BC.

La no linealidad es más común de lo que se piensa; podemos apreciar la existencia decobros diferenciales en las tarifas de agua: al consumir grandes cantidades de m3 de agua aun precio tendremos unos precios relativos entre el agua y los otros bienes, y alconsumir más agua y pagar más por este consumo los precios relativos cambiarán.

En las elecciones de trabajo es frecuente también que existan no linealidades sobre todo en la elección de ocio o en el comportamiento intertemporal. Si en algún caso un individuo que elige el número de horas que puede trabajar y, cada hora se paga a una tasa fija de salario w.

Anexo a esto, el individuo tiene algún tipo de transferencia ?? en el ingreso como herencias, premios de loterías, etc. Si T es el número de horas disponibles y x0 es el ocio, la restricción presupuestaria vendrá dada por:

Se observa que cuando el individuo gasta todo su dinero en los bienes y x es la cantidad de bienes que puede comprar trabajando, la restricción (3) se puede escribir como:

La elección del consumidor entre AB1 ó AB2, en la gráfica (1.6), tenemos que es la elección de cuánto el individuo decide trabajar y, lo que quiere decir, que el desplazamiento a través de AB1 ó AB2 depende de los gustos, ya que AB1 y AB2 implican diferentes salarios recibidos, distintas cantidades de los otros bienes y diferentes elecciones de ocio.

Ahora bien, si existen impuestos al ingreso como retención en la fuente e incentivos por productividad. Después de un cierto número de horas de trabajo, el individuo tendrá un mayor salario, como se observa en la línea E-D de la Gráfica 1.7.

No obstante, la existencia de impuestos hace que el incremento en el tiempo trabajado no sea igual al incremento en el salario sino menor, lo cual se traduce en una pendiente menor (- w) en la línea C-B como se puede apreciar:

Aunque B también es posible, es confiable que el individuo pueda elegir C ya que implica un mayor salario. Mientras que, cuando se trabaja más allá de D, lo más conveniente será pagar más impuestos.

Cuando las elecciones realizadas incluyen tres tipos de trabajos, cada uno con diferente hora de trabajo y salario, entonces:

Otra forma de no linealidades es introducida cuando en el conjunto de oportunidades, la relación ocio-ingreso es diferente de acuerdo con el período en el cual éstos son consumidos:

Si el consumidor desea gastar más ingreso en el período 1, deberá prestar a una tasade interés y pagar en el período 2. Sin embargo si la situación no es tan extrema y asumimos la existencia de la tasa de interés, esto es, el consumidor paga una mayortasa por pedir prestado, la restricción será menos severa y será descrita por la líneaABE.

Por otro lado la pendiente está determinada por el hecho de que la tasa de interés de pedir prestado será diferente de la tasa de interés para prestar.

Uno de los más importantes desarrollos, desde la postguerra, en la teoría del consumidor, consiste en aquellos modelos donde el hogar se ve como una función de producción, esto es, cuando la combinación de los bienes con el ocio se hace a través de una función de producción de hogares.

Si existen dos bienes básicos Z1 y Z2, su producto es limitado por el tiempo disponible en el hogar, por la tasa de salario y por los precios del bien en el mercado. Si la función de producción asigna una igual sustitución entre tiempo y bienes de mercado como insumos, una restricción típica podrá ser:

Otro ejemplo de no linealidades proviene de los modelos que asignan una cantidad determinada de tiempo sobre un sitio en modelos de demanda por recreación. Suponga que un consumidor elige viajar a un lugar, x, y una canasta de bienes Z. En cada viaje se consume t, donde t es el tiempo sobre el lugar:

Donde h es el tiempo usado en trabajar. El agente elige la cantidad de tiempo para trabajar si h es endógeno. Cuando el agente elige una determinada cantidad de tiempo para trabajar los ingresos serán:

Por lo tanto, la restricción presupuestaria no será lineal en el precio de x, px. Haciendo px= 1 se obtiene:

Resumidamente, la existencia de no linealidades en la restricción presupuestaria es muy común y estas no linealidades producirán variaciones diferentes en el conjunto de oportunidades de elección de los agentes, afectando así las elecciones realizadaspor éstos.

Múltiples Restricciones

En algunos casos el consumidor no se enfrenta a una sola restricción, sino a múltiples restricciones, por lo cual podría estar racionado en un conjunto de bienes.

Si el individuo desea realizar una serie de elecciones entre una serie de bienes como deportes, ocio, educación, etc., a las que denominaremos xi . De igual forma, el consumir una unidad (i) requiere una cantidad de tiempo i=1,2,…….,n. Por lo cual las restricciones para el consumidor serán:

Donde Y es el ingreso del individuo, ti el tiempo dedicado a la actividad (i) y T el tiempo total disponible.

Preferencias Individuales

En el presente capítulo se desplegará el marco teórico asociado con el concepto de preferencia. El elemento fundamental en la teoría microeconómica está relacionado directamente cómo los individuos realizan sus decisiones y cómo seleccionan alternativas de un conjunto disponibles de las mismas.

La teoría postula que cada individuo ordena las alternativas de acuerdo con su preferencia relativa. Y de esta forma, cuando el individuo realiza una elección, ésteelige la alternativa con aquello que más tiene de todo lo posible.

Preferencias Individuales

Si se asume la existencia de n alternativas, éstas pueden contener n bienes que usted puede poseer, n posibles candidatos por los cuales votar, n empleos a optar, etc. En general, cuando hay n alternativas en algún orden que desea, usted podrá expresar un orden de preferencias por las mismas.

Existen dos propiedades importantes en su lista:

• Primera, es posible comparar dos alternativas diciendo cuál de las dos es mayor; asimismo, una es más preferida que la otra, o cuando ella tiene el mismo nivel.

• Segunda, dada la naturaleza de las preferencias la misma, no es cíclica2, lo que quiere decir, sila primera alternativa es mayor que la segunda, y también mayor que la tercera,entonces la primera alternativa es mayor que la tercera.

Ahora, se puede establecer un orden, y si solamente algunas de las alternativas son posibles, entonces se podrá seleccionar aquella alternativa que más prefiera.

Definición Formal

• Reflexibilidad

• Completitud

Para todos los elementos x, q en X se cumple que x q ó q x o ambos. Este supuesto simplemente nos dice que dos canastas pueden ser comparadas.

• Transitividad

Estas relaciones de preferencias se utilizan para caracterizar los deseos de los consumidores,por varias combinaciones de bienes. Los bienes son indexados de 1 hasta m. Una canasta de bienes es una colección de varias cantidades de esos m bienes, y la cantidad de cada bien en una canasta es un número real positivo. Se puede observar una canasta como la representación de un vector m-dimensional de números no negativos, comúnmente se asume que los bienes son divisibles.

• Continuidad

No obstante, la continuidad no asegura la posibilidad de que la superficie de la curva de indiferencia pueda contener conjuntos cerrados. Por ejemplo, en el conjunto de preferencias lexicográficas:

Como se puede observar en el caso de dos dimensiones, considere un conjunto cuyo contorno superior corresponda al elemento x = (1,1), esto es, el conjunto de elementos q x cuya gráfica es (2.2), claramente no es cerrado debido a que la frontera del conjunto por abajo (1,1) no está contenida en el conjunto. Por ejemplo

• Insaciabilidad

La Función de Utilidad

Mientras que la ordenación de preferencias sea completa, transitiva, reflexiva y continua, entonceslas preferencias se pueden representar a través de una función de utilidad continua.

La función de utilidad u, es una función con valores reales, definida sobre el conjunto X, es así que el orden de las preferencias sobre X se preserva por la magnitud deu.

Sin embargo las relaciones de preferencias pueden ser representadas por funciones deutilidad, pero si la relación de preferencias es continua sobre entonces éstapuede ser representada por una función de utilidad.Consiguientemente, sí las preferenciasson reflexivas, transitivas, completas y continuas, u(x) representa dichas preferenciasy deberá cumplirse: Primero, u(x) es estrictamente creciente sí y sólo sí laspreferencias son monótonas. Segundo, u(x) es cuasiconcava sí y solo sí las preferenciasson convexas y tercero u(x) es estrictamente cuasiconcava sí y solo sí laspreferencias son estrictamente convexas

Invarianza de la función de utilidad

La invarianza en la función de utilidad deberá incluir como requisitos adicionales: mantener la invarianza en la descripción, la invarianza en el procedimiento y la invarianza en el contexto.

• a) Invarianza en la descripción

Este requisito requiere que las preferencias entre las opciones no dependan de la forma en la cual ellas son presentadas. Es así como se presentan dos descripciones del mismo problema deberán llevar a la misma elección [Arrow (1982), Tversky y Kahneman (1986)]; proveen el siguiente ejemplo, que viola esta propiedad.

Problema: (126 individuos participaron en el experimento): Asuma que usted se enriquece en $300 más que hoy, y debe realizar una elección entre:

• Una ganancia segura de $100 (72% de los individuos eligieron esta opción).

• 50% de oportunidad de ganar $200 y 50% de oportunidad de no ganar nada

(28% de los individuos eligieron esta opción).

Problema :128 individuos participaron en el experimento): Asuma que usted seenriquece en $500 más que hoy, y debe realizar una elección entre:

• Una pérdida segura de $100 (36% de los individuos eligieron esta opción).

• 50% de oportunidad de no perder nada y 50% de oportunidad de perder $200

(64% de los individuos eligieron esta opción).

Ya que los dos problemas son idénticos, la variación en la descripción tiene ungran efecto en las preferencias.

• b) Invarianza en el procedimiento

Dicha propiedad requiere que los métodos de "extraer" las preferencias mantengan el mismo orden en ellas, entonces dos procedimientos diferentes deberán mantener el mismo orden en las preferencias. Por esta razón este fenómeno está asociado directamente a la existencia de inversión en las preferencias descrito inicialmente. Ahora bien considere un individuo que tiene la oportunidad de jugar dos loterías representadas en la gráfica siguiente

Tenemos:

• La lotería A da un pago de $4 con una gran certeza y un pago de $0 con una pequeña probabilidad.

• La lotería B da un pago de $16 con una probabilidad de un 30% y unpago de $0 con una probabilidad de 70%.

La lotería A es llamada P-Bet debido a que la probabilidad de ganar es muy grande y la lotería B es llamada $-Bet debido a que la cantidad a ganar es muy grande. Cuando los individuos son preguntados por suelección la mayoría elige A.

Del mismo modo, cuando se les pregunta, cuánto pagarían por el derecho a jugar las loterías, el mismo individuo desearía pagar más por el derecho a jugar la lotería B. Es así como la inconsistencia en el comportamiento es evidente, mostrando asimetría en el procedimiento.

• c) Invarianza en el contexto

Tenemos que el último requisito consiste en la invarianza en el contexto, definido por el conjunto deopciones bajo consideración. De acuerdo con Tversky (1996) uno de los supuestosbásicos en una elección racional consiste en que cada alternativa tiene una utilidad quedepende solamente de esa alternativa. Lo que quiere decir, que una opción no preferida, nopuede preferirse si se adicionan nuevas alternativas al conjunto de elección. Lo contrariomostraría que no existe invarianza en el contexto. Esta hipótesis implica que si no existeinvarianza, la "'parte del mercado' de x podría incrementarse al adicionar a {x,y} unatercera alternativa z que es claramente inferior a x pero no a y".

El problema básico del consumidor

Ahora bien se deberá incluir los precios en nuestro modelo básico. Cualquier consumidor ha experimentado que sus deseos de elegir m bienes se ven frustrados cuando decide ir al mercado, a un centro comercial, etc. Esta frustración no es más que la confirmación de que aun cuando se tienen preferencias por los bienes, éstas por sí solas no bastan, lo que quiere decir que, existen restricciones como la cantidad de dinero que poseemos en nuestros bolsillos para comprar dichos bienes.

Restricciones Múltiples

Dualidad

Otros de los aspectos importantes en la teoría del consumidor, consiste en la dualidad. Dicha herramienta es una de las más usadas en la estimación de modelos. Primordialmente la dualidad expresa la relación entre los bienes por un lado y los precios por el otro. Es así como, el consumidor podrá elegir entre maximizar la función de utilidad sujeto a la restricción de presupuesto o, minimizar su gasto en una serie de bienes siempre y cuando, la función de utilidad permanezca constante. El problema se plantea como:

Propiedades de la función indirecta de utilidad

Entre las propiedades usuales de la función indirecta de utilidad, tenemos

Propiedades de la función de gasto

Las propiedades usuales de la función de gasto, son:

Propiedades de las funciones de demandas Marshallianas y Hicksianas

• Adición

El valor total de las demandas Hicksianas y Marshallianas serán los gastos totales:

Homogeneidad

Simetría

Las derivadas transversales de los precios, en las demandas Hicksianas son simétricas:

Negatividad

Tenemos entonces que las propiedades básicas de las curvas de demanda son la adición, la homogeneidad de grado cero en precios e ingreso. Por lo tanto, serán simétricas las respuestas en precios y formarán una matriz semidefinida negativa. Si la simetría y negatividad son comprobables entonces es posible observar la matriz de sustitución de Slutzky.

Trayectorias de expansión

Prácticamente la función de demanda cambia ante un cambio en precios o ingreso; estecambio puede observarse en términos de la estática comparativa: Presuma que losprecios están fijos pero el ingreso del consumidor lentamente se incrementa, entoncesa partir de la colección de puntos resultantes se podría trazar una trayectoria en elortante no negativo que se denomina trayectoria de expansión del ingreso. Estatrayectoria puede ser proyectada en un plano definido por dos bienes, mostrandodicha trayectoria la expansión del ingreso relativo a estos dos bienes de la siguienteforma:

Se puede apreciar que, la gráfica (2.7.a) muestra un conjunto de bienes normales: el consumo de los bienes x1 y x2 se incrementa cuando el ingreso se incrementa.

Mientras que en la gráfica (2.7.b) el bien x2 es un bien inferior, lo que quiere decir que, el consumo cae en tanto el ingreso aumenta. Cuando la demanda de un bien se grafica como una función del ingreso, el resultado se conoce como La curva de Engel para dicho bien. Adicionalmente, en el caso de que las preferencias sean homotéticas, se cumple que u (tx)= tu(x) ?t > 0, entonces, la trayectoria de expansión y la curva de Engel será una línea de trazo continuo como en la gráfica (2.7.c).

La tasa marginal de sustitución

Imagine la curva de indiferencia u(x1, x2) = u1 cuya representación está dada por la gráfica (2.6) para algún valor fijo de u??Dicha curva puede ser pensada como la función x2(x1). De dichas curvas se define la tasa marginal de sustitución del bien 2 por el bien 1 como:

La tasa marginal de sustitución, es la pendiente de la curva de indiferencia, y su sentido económico no es mas que la cantidad que se está dispuesto a renunciar del consumo del bien 1 por consumir unidades adicionales del bien 2, es por ello que la tasa marginal de sustitución definida de la anterior forma decrece cuando x1 crece.

Elasticidad

El sistema Lineal de Gasto

Este sistema (LES) es una generalización de la función de utilidad Cobb- Douglas. Fue desarrollado por Klein y Rubin (1947-48) y Samuelson (1947-48). Investigado empíricamente por Stone (1954) y Geary (1950), por lo cual se le da el nombre Stone-Geary. El sistema lineal de gasto es básicamente una Cobb-Douglas trasladada en el origen al punto (B1,B2), en el cuadrante positivo:

Para 1979 Howe, Pollack y Wales, evalúan un LES usando los siguientes bienes: alimentos, ropa, abrigos y misceláneos denominados por f, c, s y m respectivamente; los datos fueron tomados del consumo en Estados Unidos entre 1929 y 1975 excluyendo los años de guerra(1942-1945), de donde se obtiene:

La función de Utilidad Indirecta Addilog

Como se ha podido apreciar en los ejercicios anteriores, es posible derivar las funciones de demanda de los bienes a través de maximizar la utilidad, sujeta a la restricción de gasto. Pero, la solución no siempre es estimable. La teoría de la dualidad sugiere que una alternativa es especificar una función indirecta de utilidad, una función que es no decreciente en el ingreso, no decreciente y cuasi convexa en precios, continua y homogénea de grado cero en precios e ingreso. De esta forma, a partir de la función de utilidad indirecta que corresponda a algún tipo de preferencias del consumidor puede recuperarse la demanda con la identidad de Roy. Una forma funcional es la función "addilog" de utilidad indirecta introducida por Houthakker (1965):

Las especificaciones Translogarítmicas

La función de utilidad translogarítmica proviene de Christensen, Jorgenson y Lau (1971,1975). Esta ha sido la forma funcional más usada en análisis empíricos de demanda. Una de las ventajas de la translogarítmica es su forma funcional flexible, ya que puede ser aproximada de una función de segundo orden por Taylor a una función de utilidad indirecta arbitraria. La especificación translogarítmica básica viene dada por:

La última ecuación muestra que las partes del gasto son independientes del ingreso, lo cual confirma que las preferencias son homotéticas.

El sistema Casi – Ideal de Gasto AIDS

El sistema de ecuaciones de demanda puede ser derivado a partir de la función de gasto. Suponiendo que éste es continuo y no-decreciente precios y utilidad, y además cóncavo y homogéneo de grado cero, entonces:

El modelo de Rotterdam

Este modelo es parecido alStone-Geary, sólo que en lugar de trabajar con los niveles de los logaritmos se usan las diferencias de los mismos, esto es, diferenciando (2.51) se obtiene:

La Demanda del Consumidor

Si hablamos de la Demanda del Consumidor, se puede decir que es la cantidad que un consumidor desea comprar de una seriede bienes, ya sea expresada como una función de los precios y el ingreso o como unafunción de la utilidad y de los precios.

Si las decisionesque toma el consumidor contradicen los supuestos, entonces el consumidor esconsiderado irracional.Efectivamente, un estudio en sicóticos crónicos realizado en unainstitución mental en New York (USA) demostró que aquellas personas a quien lasociedad considera como "irracionales" siguen la famosa ley de la demanda: "compranmenos cuando aumentan los precios".

Unicidad y continuidad

En la grafica (3.1) se puede observar que la demanda que corresponde a un vector de precios e ingreso podría no ser única); allí existen dos soluciones xa y xb correspondientesa la restricción de presupuesto. Desde un punto de vista técnico, la condición quegarantiza una función de demanda única consistirá en:

El excedente del consumidor y disponibilidad a pagar

El objetivo principal de esta sección, será dar respuesta a la siguiente interrogante

¿Qué sucede cuando el entorno que rodea al consumidor cambia?

Imaginemos a un consumidor con preferencias racionales, continuas y localmente no saciadas. De la misma forma se asume que las funciones de gasto y utilidad indirectas son diferenciables, y concentraremos nuestro interés en los cambios de precios.

Así como la función de utilidad derivada es suficiente para realizar alguna comparación, también existe una función de utilidad indirecta que lleva a una medida del cambio de la riqueza en unidades monetarias (pesos) que se puede denominarutilidad indirecta métrica monetaria y que se construye a través de la función degasto.Especialmente, se parte de la función de utilidad indirecta v (. ), Eligiendo unvector de precios arbitrarios estrictamente positivo, y a partir de la funcióne (, v(p, y)),se puede obtener la riqueza necesaria para alcanzar el nivel de utilidad v(p, y) cuandolos precios son p. Observe también que la función de gasto es estrictamente creciente,ya que depende del nivel de v(p, y). Así, una medida del cambio de la riquezaexpresada en pesos vendrá determinada por:

Es así como, la utilidad indirecta métrica monetaria puede ser construida para algún vector de precios. Dichas elecciones llevan a dos medidas en torno al cambio de la riqueza: la primera conocida como la variación equivalente (VE) y la segunda como la variación compensatoria (VC).

Gráficamente, estas medidas se pueden ver como:

Las variaciones equivalentes y compensatorias podrían diferir si el vector de precios(que asume la compensación) difiere. El cambio en la riqueza producido por una variación en el precio del bien 1 puede ser medido a través de la curva de demanda marshallian. De esta forma, si definimos la medida de variación (MV) como:

Y si no existen efectos de riqueza en el bien 1, entonces esta medida de variación es exactamente igual a las medidas equivalentes y compensatorias.

La disponibilidad a pagar

Presuma que un consumidor tiene la oportunidad de comprar una cantidad x de un bien. Nosotros deseamos determinar cuánto de esta oportunidad corresponde al "esfuerzo", medido en unidades de gasto sobre otros ítems. Para fijar este valor, deberemos usar la gráfica anterior (33), pero ahora la curva muestra la curva inversa de la demanda del consumidor compensada. Dicha curva resulta de fijar la utilidad u0 al valor original (x=0) y calcular su forma inversa. El consumidor estará dispuesto a pagar más por cada unidad y la utilidad permanecerá constante durante este proceso. Es así como, la cantidad total que se estaría dispuesto a pagar será:

La compensación exigida

La compensación exigida CE, refleja lo que se demandaría con el fin de aceptar un cambio que empeore su situación, o renunciar a un cambio que mejore su situación. Cuando el precio cae la CE es equivalente a la VE y cuando el precio aumenta la CE es equivalente a la VC. Por otro lado la CE no está limitada por la renta, por lo cual su principal efecto será en términos de sustitución.

Comparación entre la disponibilidad a pagar y la compensación exigida

A pesar de que ambas medidas teóricamente representan los mismos resultados, los estudiosde Hahneman (1991), Kahnemann, Knetsh y Thaler (1990) han mostrado quedichas medidas difieren. Por otro lado, existen asimetrías entre lo que unindividuo está dispuesto a aceptar y entre lo que un individuo estaría dispuesto arenunciar (Kahnemann, Knetsh y Thaler, 1990). Ahora bien, si existe un punto dereferencia entre ambas medidas, las propiedades de la función de utilidad subyacentehacia dichas medidas diferirán en convexidad y dirección, esto significaría dependenciacon respecto al punto de referencia (pérdidas y ganancias), aversión al riesgoy, por último, el valor marginal de las pérdidas y las ganancias disminuye con su tamaño.[Tversky y Kahneman

Integrabilidad de la función de utilidad

A partir de la función de demanda x (p, y) se puede recobrar la función de utilidad subyacente, en lo que se conoce como Integrabilidad. Suponga que nosotros tenemos un función de demanda continua y diferenciable x(p,y). Si esta función se encuentra bien definida y se cumple el supuesto de insaciabilidad local (y la ley de Walras) asegurando la igualdad, entonces como previamente se ha demostrado, deberán cumplirse las siguientes condiciones:

Usando el Lema de Shepard como la relación entre la demanda compensada y la función de gasto, encontramos:

Preferencias reveladas

Los axiomas básicos sobre las preferencias son criticados por ser demasiado fuertes, ya sea en su pre ordenamiento o en su ordenamiento completo. Sin embargo, a menudo observamos cómo los individuos realizan elecciones, aunque las restricciones sobre el conjunto de preferencias no sean observables. Una forma de hacer compatibles los supuestos sobre las preferencias y las decisiones que observamos en el mercado, consiste en lo que comúnmente se denomina como preferencias reveladas.

Preferencia revelada directamente

Condición suficiente para maximizar la utilidad

Si las elecciones (p,x) fueron generadas por un consumidor que maximiza su utilidady sus preferencias cumplen el supuesto de insaciabilidad, entonces estas eleccionessatisfacen las preferencias reveladas directamente. Formalmente se requiere el cumplimientodel teorema de Afriat.

Agregación

Ahora bien, un punto de suma importancia consiste en la agregación sobre los individuos, ya que el comportamiento agregado de los consumidores, en muchas situaciones, es más importante que el comportamiento de un consumidor en particular. Y desde un punto de vista econométrico, deberán existir restricciones en la agregación cuando se estimen las funciones de demanda.

En torno a la demanda agregada se deberá discutir en primer lugar si ésta puede ser expresada como una función de los precios y de la riqueza agregada. En segundo lugar, si las restricciones individuales sobre las preferencias se sostienen en el agregado; y en tercer lugar, cómo se medirían dichos cambios agregados. Una agregación perfecta en un período, depende de que todos los precios sean los mismos para todos los individuos. Así, las variaciones provienen por parte de la riqueza que cada individuo posee.

Agregación lineal

Supongamos la existencia de I consumidores con preferencias racionales y funciones Walrasianas de demanda xi(p,Wi). Dados unos precios y unos niveles de riqueza (W1,…, WI) para Iconsumidores y m bienes, la demanda agregada viene determinada por:

La presente condición implica invarianza en la demanda agregada ante cambios en la redistribución de la riqueza, gráficamente esto se puede observar como:

En la grafica se observa que para todos los consumidores las trayectorias de expansión de la riqueza son paralelas.Una condición necesaria y suficiente para que el conjunto de consumidores tenga trayectorias de expansión de riqueza paralelas consistirá en que las preferencias admitan funciones de utilidad indirectas tipo GORMAN:

Vi(p,Wi) = ai(p) + b(p)Wi

En dicha ecuación deberá ser igual para todos los agentes y ai podría diferir entre todos los consumidores [Luenberger (1995), Mas-Collel et-al (1995)]. Deaton (1980) considera que ai puede interpretarse como el gasto de subsistencia que debería ser igual para todos los agentes que pertenecen a una comunidad. A través de la identidad de Roy, se puede demostrar que las demandas vienen definidas como:

Xi(p,Wi) = Ai(p) + B(p)Wi

Y la demanda agregada, sobre todos los consumidores, viene definida por:

Lo cual muestra que la demanda agregada depende de los niveles de ingreso solamente con relación a la riqueza total.Por otro lado, la demanda de un bien deberá ser cero, siempre que Wi sea cero. En el caso básico ai debería ser cero, pero todo depende del bien en cuestión.

Suponiendo que existe una distribución uniforme de la riqueza a través de los consumidores, en el caso de dos bienes, una relación positiva mostraría que aquellos consumidores con un consumo mayor que el promedio de un bien, gastan una fracción mayor que el promedio de la última unidad de riqueza sobre el bien:

Agregación no lineal

Una agregación lineal exacta requiere que la demanda promedio del mercado estéen función de gasto total promedio.

El conjunto de ecuaciones diferenciales parciales pueden integrarse para encontrar la función de gasto, esto es, para el hogar h la función de gasto toma la forma:

Separabilidad

Estructura de las preferencias.

Independencia.

Un orden de preferencia representado por una función de utilidad u (y, z). Entonces, si y es independiente de z la función de utilidad será:

Donde U(n,z) es estrictamente creciente en n. Si u es continua y fuertemente monótona, entonces n y u son continuas.

Débil y fuerte independencia.

Separabilidad de las preferencias.