1 ALEPH SUB – CERO SERIE DE DIVULGACIÓN ?0 2015 – I ?0 pp. 05 – 19 DESDE LA INTERACCIÓN CORDAL A LA MECÁNICA QUÁNTICA (From String Interaction to Quantum Mechanics) Adunador: Alberto Mejías1 ¿Dónde está el origen de esa modalidad de pensamiento filosófico? Puede no haber ningún ori- gen y hasta podría ser erróneo buscar un origen en todo. YOSHIHIRO MARUYAMA Recepción: Enero 2015. Revisión y aceptación: Marzo 2015. Resumen. Teoría de Cuerdas fue desarrollada por la necesidad de dar consistencia a Mecánica Quántica. En este artículo se desea revertir el razonamiento. Pretende- mos que Teoría de Campos de Cuerdas Abiertas da una definición completamente consistente de la teoría –es, por lo menos, un sector autoconsistente. Así, encon- tramos en su estructura, que las reglas de Mecánica Quántica surgen de la naturale- za no conmutativa de las interacciones cordales básicas de empalme/disyunción. Así, en lugar de asumir las reglas de conmutación quántica entre las variables ca- nónicas usuales, las derivamos del proceso físico de las interacciones cordales. Consecuentemente podemos aplicar ese argumento a Teoría M, para cubrir la me- cánica quántica para toda la física. Si Teoría de Cuerdas o Teoría M realmente sub- yacen toda la física, parece que se ha abierto la puerta a una explicación de los orí- genes de la mecánica quántica desde el punto de vista de los procesos físicos. Descriptores: Teoría de Cuerdas, Teoría M, Mecánica Quántica, Teoría Quántica de Campos, estrella MOYAL. Abstract. String Theory was developed by demanding consistency with Quantum Mechanics. In this paper it is wished to reverse the reasoning. We pretend that Open String Field Theory is a fully consistent de?nition of the theory –it is at least a self-consistent sector. Then we ?nd in its structure that rules of Quantum Me- chanics emerges from the non-commutative nature of the basic string joining/split- ALBERTO R. MEJÍAS E. es Licenciado en Matemáticas, egresado de la Facultad de Ciencias de la Universidad de los Andes (ULA) Mérida-Venezuela. Es profesor de Topología, jubilado de la Universidad de los Andes. [email protected]
1. de 2 Alberto Mejías ting interactions. Thus, rather than assuming the quantum commutation rules among the usual canonical variables we derive them from the physical process of string interactions. Morally we could apply such an argument to M-theory to cover Quantum Mechanics for all Physics. If String Theory or M-theory really underlies all physics, it seems that the door has been opened to an explanation of the origins of quantum mechanics from the physical processes point of view. Keywords: String Theory, M-theory, Quantum Mechanics, Quantum Field Theory, MOYAL star. INTRODUCCIÓN La Mecánica Quántica (QM) funciona sorprendentemente bien en todas par- tes conocidas de la Física Microscópica. Se puede deducir la Física Clásica como el límite de QM para grandes números quánticos (o equivalentemente, el límite para pequeño). Por lo tanto, la creencia general es que QM es la única regla para todo ti- po de mecánica. A pesar del tremendo éxito de QM, sin ningún razonamiento sub- yacente, hay que poner, misteriosamente, "a mano", las reglas fundamentales de conmutación de las cuales deriva toda la QM, a saber [x, p] = i para todos los gra- dos de libertad. También está bien establecido que, si se acepta la regla de quanti- zación, se tienen todas las increíbles y correctas consecuencias de la mecánica quántica. El éxito de QM es por supuesto una justificación para aceptar como co- rrecta, a la misteriosa regla, pero nos deja pidiendo una explicación subyacente. En este artículo vamos a presentar argumentos de que puede haber una expli- cación física del origen de las reglas de QM. Vamos a mostrar que hay un vínculo claro entre las reglas de conmutación de los operadores en QM y las interacciones no conmutativas de empalme/disyunción [1] que fueron expresadas en el lenguaje de la formulación estrella MOYAL de Teoría de Campos Cordales (MSFT) [2] en una versión recientemente mejorada y más intuitiva [3]. Excepto por la similitud matemática, la MOYAL (en MSFT no tiene nada que ver con el producto MOYAL [4] que reproduce2 a QM, porque las cantidades básicas no conmutativas en la Para la explicación de cómo el, bien conocido, producto MOYAL [4] para las funciones de espa- cios de fases, clásicas, reproduce todos los detalles de QM, leer la sección III en [3], que resume los elementos esenciales de esta correspondencia. 2
2. Desde la interacción cordal a la mecánica quántica cuerdas en MSFT, son muy diferentes de las conjugadas canónicas indicadas por la mecánica quántica. Sin embargo, encontramos cómo vincular a los conmutadores básicos en QM, a la de cuerdas y derivar las reglas de QM sólo a partir de las reglas de empalme/disyunción de cuerdas. Este vínculo sugiere que existe un fe- nómeno físico más profundo, interacciones cordales, subyacente a las reglas quán- ticas usuales de QM, proporcionando así, una posible explicación de su origen. Los argumentos esenciales para la tesis en este documento, pueden presen- tarse adecuadamente en un modelo simplificado que capta los ingredientes necesa- rios de MSFT. El modelo simplificado, que llamamos mini-MSFT, consiste bási- camente, en el sistema del espacio de fase de dos partículas, en lugar de todo el es- pacio de fase de un número infinito de partículas que constituyen todos los puntos de una cuerda. Las dos partículas pueden ser pensadas como los puntos extremos de una cuerda abierta, pero también es posible no considerar para nada el concepto de cuerda, para discutir las ideas principales. Esto es así, porque sólo las propieda- des del espacio de fase, en lugar de las propiedades de la dinámica de las dos partí- culas, entran en la parte principal de la discusión. Por lo tanto, para mantener nues- tra discusión lo más simple posible, vamos a definir el sistema mini-MSFT en Sec- ción 3 y discutir cómo derivar las propiedades de QM a partir de las interacciones "cordales". El mini-MSFT puede ser un modelo útil por su propio derecho, para discutir algunos sistemas físicamente interesantes, como en los ejemplos que esbo- zamos al final de Sección 3. Aunque no utilizaremos todo el instrumental de MSFT en este trabajo, co- menzamos nuestra discusión en la sección 2, con una breve descripción de su confi- guración para que el lector, incluso sin saber mucho acerca de Teoría de Cuerdas, pueda ver la conexión entre Teoría de Campos de Cuerdas y el modelo simplifica- do de 2 partículas en Sección 3 y sea capaz de deducir fácilmente, que los argu- mentos de la tesis en este documento, dados en el contexto del modelo simple en Sección 3, se aplican igualmente a la Teoría de Cuerdas total, en nuestro preferido lenguaje MSFT, para toda la cuerda. La Teoría de Cuerdas total (y su extensión Teoría M) es necesaria para poder aplicar la discusión a toda la Física, siempre y cuando uno esté dispuesto a hacer la suposición de que Teoría de Cuerdas o M- Teoría en realidad fundamenta a toda la Física. GRADOS DE LIBERTAD EN MSFT 3
L( ) R( ) M M M L R L ^ ^ Alberto Mejías
M Los grados de libertad de posición de cuerda abierta X ( ), para un valor fi- jo del parámetro de la lámina mundi, vienen parametrizados por el parámetro de la lámina mundi con 0 . WITTEN [1] sugirió considerar al campo cordal (X( )) como una matriz ij( x) infinito dimensional (X( ) = x ,x ( x), (2.1) cuyos índices izquierdo/derecho i ~ x M( ) y j ~ x M( ) son las mitades izquier- da/derecha de la cuerda con respecto al punto medio en = /2; es decir, x M( ) = {X ( ) para 0 ~ < /2} y x R ( ) = {X ( ) para /2 < ~ } mientras que x M M X ( /2) es la localización del punto medio. En [1] se sugiere que los productos de campos 1(X) 2(X) = 12(X), en teoría de campos de cuerdas abiertas, son pro- ductos matriciales no conmutativos, de matrices de la forma (2.1) y que la acción es similar a la teoría CHERN-SIMONS S = ( 1 2 (Q ) + g 3 ). (2.2) donde Q es el operador BRST (donde BRST se refiere a BECCHI, ROUET, STORA y TYUTIN) de una teoría conformal de campos (CFT) sobre la lámina mundi. Esta propuesta funcionó y produjo correctamente al tipo de modelo VENEZIANO de am- plitudes de dispersión perturbacional cordales [5]. El producto matricial en fue implantado volviendo a la teoría confor- mal de campos en la lámina mundi, para realizar los cálculos, que resultaron ser prohibitivamente complicados y se alejaron de la sencillez y la elegancia de la con- figuración matrizoidal del producto y la acción. Buscando una manera de evitar las complicadas aplicaciones de CFT, tratando de mantener la elegante estructura algebraica, se sugirió en [2], la formulación de producto estrella, de MOYAL, de la Teoría de Campos Cordales (MSFT) y los cálculos realizados en [6-8], demostra- ron que éste era un enfoque más eficiente para calcular y recuperar correctamente las amplitudes VENEZIANO perturbacionales, incluyendo un mayor grado de exacti- tud para las versiones fuera de concha (off-shell) de las amplitudes [8]. El forma- lismo MSFT ha sido reformulado recientemente en [3] en una nueva base de grados de libertad de modo que todas las expresiones, especialmente el producto y los cálculos, se simplifican enormemente. Es la nueva forma del producto estrella que se muestra a continuación, que sugiere la conexión entre empalme cordal y mecáni-
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1 2 1 2 x 1 2 2(X), ¯ ¯ 1 M M p 2 M M ˆ ˆ Desde la interacción cordal a la mecánica quántica
ca quántica.
En la nueva versión de MSFT el campo de cuerdas se toma como un funcio- M nal A(x+, p–) de la mitad del espacio de fase de la cuerda, donde x+( ) es la parte M M simétrica de X ( ) bajo reflexiones con respecto al punto medio, x+( ) = M (X ( ) M + X ( – ), mientras que p–M( ) = (PM( ) – PM ( – )) es la parte antisimétrica M de la densidad del impulso. Nótese que p–M( ) es la conjugada canónica de x–( ) y M conmuta con x+( ) en la primera quantización de la cuerda. Las simétrica/antisi- métrica x±( ) están relacionadas con (xL, x, xR), en la versión WITTEN, por x± = (xL ± xR), incluyendo al punto medio ¯ como parte de x+( ). Así, el campo MSFT A(x+, p–) se relaciona con el campo (X) = (xL, x, xR) = (x+, x–) median- te una transformación FOURIER de x+ a p–. Con esta elección de grados de libertad del semiespacio de fase, para marcar al campo cordal A(x+( ), p– ( )), el producto matricialoide para el empalme de cuerdas en el espacio de posición 12(X) = 1(X) se aplica al producto MOYAL en el semiespacio de fase, A12(x+, p–) = A1(x+, p–) A2(x+, p–) con = exp[ p
4 0 ds sign( – )( ? p – M (s ) ? x+ (s ,e ) – ? p – M (s ) ? x+ (s ,e ) ]. (2.3) Una característica muy importante del nuevo producto estrella, es que es in- dependiente de trasfondo, porque el espacio de fase no considera cuál teoría con- formal de campos sobre la lámina mundi, subyace a la acción de la cuerda Sstring ó a los campos de trasfondo que contiene. La suma sobre los índices M en (2.3), no implica una métrica, porque X está definido con un índice superior y por tanto, PM, que se deriva de la acción según el procedimiento canónico, PM = ?Sstring / (? X ), automáticamente tiene un índice inferior.
Un aspecto elegante de MSFT, que será centralmente relevante para nuestra discusión en este trabajo, es que los operadores quánticos canónicos para cualquier punto de la cuerda X( ), P( ) están representados en el campo cordal A(x+, p–) so-
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ˆ M 2 p MA 2 (2.4) ˆ M p 2 -e |?s | 2 3. Alberto Mejías
lamente por las operaciones cordales de empalme/disyunción, a saber multiplica- ción estrella por la izquierda o por la derecha, dependiendo de si el punto está a la izquierda o a la derecha del punto medio en = /2 X ( , ) A(x+, p–) = p X M (s , e ) A ( x+ , p– ) , si 0 = s = ;
A ( x, p ) x+ (s , e ) – 1 , si = s = p P ( ,)(x+, p–) = (e-e |?s | p– M (s )) A ( x+ , p– ) , si 0 = s = ; A( x+ , p– ) (e p– M (s ))(-1) MA, si p =s = p. (2.5) Nótese que, en el lado derecho, los campos cordales que se empalman son A(x+, p–) y x+ ó A y p– donde x+ y p–, son casos especializados de un campo cordal más general A(x+, p–).
Este producto incluye un pequeño parámetro es un regulador para evitar notorias anomalías de punto medio y el índice M = ( , b, c) incluye espacio-tiempo ( ) y grados de libertad virtuales (b, c), todos los cuales son necesarios y aseguran una teoría bien definida. Se recomienda [3] al lector interesado en los detalles. Nin- guna de estas complicaciones se necesitará para discutir los puntos principales de este documento. A continuación pasaremos a la mini-MSFT que imita de forma simplificada solamente, al producto estrella para empalme/disyunción cordal, utili- zando sólo dos partículas. El resto de este documento debe ser comprensible para el lector sin tener que saber nada sobre cuerdas o teoría de campos cordales.
MODELO DE ENSAYO CON DOS PARTÍCULAS (MINI-MSFT)
Comenzamos con el espacio de fase de dos partículas denominadas L (iz- quierda) y R (derecha). Puede ser útil imaginar que éstas corresponden a los dos puntos finales de una cuerda; sin embargo, esta imagen no es necesaria y la confi- guración siguiente puede aplicarse a circunstancias físicas más generales. Las partí- culas se encuentran en posiciones arbitrarias ( x L , x R ), y tienen ímpetus conjugados
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i i j i i i i i . FOURIER( p, r) 3 Desde la interacción cordal a la mecánica quántica
1 i canónicos ( p L , p R ). Su centro de masa y coordenadas relativas son, R i = 2 ( x L + i 1 i i x R ) y r i = 2 ( x L – x R ), mientras que los ímpetus canónicamente conjugados a 1 ( R i , r i ) son el ímpetu total P i = ( p i L + p i R ) y el ímpetu relativo p i = 2 ( p i L – p i R ). La dinámica es controlada por algunos Hamiltonianos H(P, p, R, r) cuyos detalles no son importantes por ahora.3
Independiente del hamiltoniano, el espacio de fase (P, p, R, r) tiene las pro- piedades canónicas estándar; es decir, podemos definir los clásicos corchetes POIS- SON o conmutadores quánticos basados en los pares canónicos ( R , P ) y ( r ,
p j ). En particular, el clásico corchete POISSON entre dos funciones de espacio fase, cualesquiera, U(P, p, R, r), V(P, p, R, r), es {U, V} = ?U ?V ?R i ?P – ?U ?V ?P ?R + ?U ?V ?r i ?p – ?U ?V ?p ?r i (3.1) Para proceder con la quantización usual en Mecánica Quántica (QM) pode- mos definir la base del espacio propio para un conjunto completo de operadores de conmutación tales como espacio de posición, x L , x R | ó R , r | y expresar la am- plitud de probabilidad para un estado quántico arbitrario | en cualquiera de tales bases como el producto punto en el espacio HILBERT, e.g. ( x L , x R ) = x L , x R | ó (R, r) = R, r | . Estaremos interesados en la transformada FOURIER de este último A(R, p) ???????? (R, r). (3.2) donde R, p| es la base propia completa para el espacio de los operadores de con-
El hamiltoniano H en el modelo de ensayo, es el análogo del operador VIRASORO L0 para una cuerda en cualquier trasfondo, que desempeña un papel de operador de energía cinética en el tér- mino cuadrático en la teoría de campos cordales en la calibración SIEGEL. Más generalmente, el operador cinético en teoría de campos cordales es el operador BRST como en (2.2). 7
i ˆ ˆ + – n (3.3) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Alberto Mejías
mutación (R , pi). Consideraremos a la amplitud de probabilidad A(R, p) = R, p| , tanto un campo de una teoría de campos como una función del semi-espacio de fase clásico ( R , p ). Esta configuración está motivada por MSFT que fue breve- mente descrita en Sección 2. Vamos a llamar el modelo de ensayo en esta sección "mini-MSFT". Los paralelismos entre la MSFT total y mini-MSFT son R i ~ x M ( ), r i ~ x M ( ), P i ~ p + M ( ), p i ~ p – M ( ) y no consideramos hacer paralelos entre el i y M, lo cual permite muchas posibili- dades como bosones y fermiones (ver [3]); pero, para mantener la discusión simple, es suficiente considerar al espacio euclidiano bosónico, para i.
Para quantizar este sistema de 2 partículas en una nueva forma considerare- mos el enfoque inspirado por MSFT. No asumiremos à priori, las reglas quánticas de conmutación de los operadores (Pi, p i, Ri, r i) que describen la naturaleza tan bien, pero cuyo origen fundamental sigue siendo misterioso. Por el contrario, como origen físico primario de QM partiremos de un producto no conmutativo que tiene significado físico como las interacciones de empalme/disyunción de las cuerdas. Solo a partir del álgebra de empalme/disyunción cordal derivamos el álgebra quán- tica de los operadores (Pi, pi, Ri, r i) sin asumirla. Las operaciones de empal- me/disyunción cordal fueron formuladas para cuerdas abiertas en [1] como un pro- ducto matrizoidal para el campo como en (2.1). Para el presente modelo de ensayo con sólo dos partículas definimos un producto matrizoidal similar de campos en el espacio de posición de la forma 8 ? 12 ( x L , x R ) = d z ? 1 ( x L , z) ? 2 (z, x R ), -8 donde cada campo ( x L , x R ) es considerado como una matriz infinito-dimensio- nal cuyas filas y columnas está marcadas por los índices continuos ( x L , x R ) que corresponden a las ubicaciones de las dos partículas. La regla matrizoidal (3.3) se interpreta como una receta para calcular la amplitud de probabilidad ? 12 ( x L , x R ) cuando dos nubes de 2 partículas, descritas por ? 1 ( x L , x R ) y ? 2 ( x L , x R ), se
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i 1 2 Desde la interacción cordal a la mecánica quántica
unen en una sola nube ? 12 ( x L , x R ), por la aniquilación de un par de partículas, una de cada nube, cuando se juntan localmente en todos los posibles puntos z de todo el volumen completo. Esto es similar a la imagen de las láminas mundi de empalme/disyunción; pero, en el presente caso hay grados de libertad dinámicos sólo en los extremos de la cuerda. Fue demostrado en [2,3] que este empal- me/disyunción puede ser formulado equivalentemente, como un producto tipo MO- YAL, A12 = A1 A2, en el semi-espacio de fase ( R i , p i ) relacionado con el espacio de posición ( x L , x R ) mediante la transformada FOURIER indicada en (3,2). Ahora damos los detalles del producto en el semi-espacio de fase para esta mini-MSFT simplificada. Es físicamente diferente, pero matemáticamente análogo al producto MOYAL usual: A12(R, p) = (A1 A2)(R, p) = A1(R, p)exp( i 2 ( ? Ri ? p – ? Ri ? pi )) A2(R, p) (3.4) Es el paralelo del producto estrella de las cuerdas en (2.3). El parámetro debe te- ner las dimensiones de la constante PLANCK , así que debe ser un múltiplo de por una constante adimensional. De hecho, mostraremos que es idénticamente la constante PLANCK. Las flechas en (3.4) instruyen al lector a aplicar las derivadas de las funciones a la izquierda (A1) ó a la derecha (A2). Por ejemplo, expandiendo en potencias de a este producto , se tiene A12 = A1A2 + i 2 ( ?A ?A ?R i ?p 2
i – ?A
?p 1
i ?A ?R i ) + ··· . (3.5) El término de primer orden en parece un corchete POISSON, pero éste es clara- mente diferente del corchete POISSON canónico de la mecánica clásica en la ecua- ción (3.1), ya que no involucra a los conjugados canónicos tradicionales que están en (3.1). En cambio, la posición del centro de masa, y el impulso relativo, pi, que pertenecen a diferentes pares canónicos tradicionales, se configuran para desempe- ñar un papel nuevo, análogo al de los conjugados canónicos en el semi-espacio de fase (Ri, pi). Usando (3.4) computamos A1 A2 para los casos especiales en los que A1 ó
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i i i i R i i p´ R´ 1 1 ˆ ˆ ˆ • j i j Alberto Mejías
A2 es sólo Ri ó pi, obteniendo así, la multiplicación izquierda o derecha de la A ge- neral de los grados de libertad elementales en el semi-espacio de fase Ri A = (Ri + i ? 2 ?p )A(R, p), A Ri = A(R, p) (Ri – i ? 2 ?p ), pi A = ( pi – i ? 2 ?R i )A(R, p), A pi = A(R, p)( p i + i ? 2 ?R i ). (3.6) No hay potencias superiores de porque las derivadas de orden superior en la expansión de la exponencial en (3.4) se desvanecen para este cálculo. Otras for- mas útiles equivalentes de escribir el producto general, son A1 A2 = A (( R´ + ? p ),( p´ – ? )) A2 ( R, p ) R´ = R, p´ = p 2 2 A ( R´, p´) A2 (( R – ? ), ( p + ? )) R´ = R, p´ = p 2 2 (3.7) Justo como el bien conocido producto estrella MOYAL [4], que está relacionado con el corchete POISSON (3.1) en el espacio de fase pleno (P, p, R, r), reproduce todos los aspectos de la mecánica quántica ordinaria (ver Nota 2), el producto estrella MOYAL de empalme cordal en (3.4), evidentemente, producirá un sistema quánti- coide en el semi-espacio de fase (R, p), que llamaremos mecánica quántica induci- da (iQM). Esta iQM inducido tiene las siguientes propiedades: • El producto es asociativo A1 (A2 A3) = (A1 A2) A3 = A1 A2 A3, al igual que debe esperarse del producto asociativo de operadores en la iQM inducida, donde cualquier producto A1 A2 A3 · · · no requiere paréntesis para computarse sin ambigüedades. Utilizando (3.6) calculamos los productos de los grados de libertad elemen- tales del semi-espacio de fase (R, p) i R R = R R , pi pj = pi pj, 10
i i i j i i ˆ ˆ i A i i /2 Desde la interacción cordal a la mecánica quántica i R i pj = R pj + i 2 d ij , pj i i i R = pj R – 2 d ij . (3.8) Esto nos lleva al conmutador estrella [Ri, pj] = R pj – pj R = pj R – i d ij . (3.9) i Por lo tanto, (R , pj) se comportan como grados de libertad mecánico-quánticos. Pero, esto no es mecánica quántica, ya que en QM ordinaria los operadores corres- pondientes conmutan [R i, p ] = 0. En cambio, esta es la propiedad de conmutación básica en iQM que proviene de las interacciones no conmutativas en teoría de cuer- das.
Ahora demostraremos que esta iQM es una semilla para la construcción de la usual QM en el espacio de operadores completo ( x L , p Li , x R , p Ri ). Una aplica- ción entre operadores en QM y su representante en iQM es una propiedad elegante e intuitiva de MSFT según lo dado en Ecs. (2,4), (2.5). Traducido a mini-MSFT, su aplicación se da sólo en términos de entre dos campos en el semi- espacio de fase, como sigue x L A = R i A i p L A = p i
x R A = A R i i p R A = A (- p i ) el producto
el producto por la izquierda, para la partícula L
por la derecha, para la partícula R (3.10) La razón para el signo (–) en la última línea se explica naturalmente en la versión cordal de la en la MSFT : es porque para las cuerdas x + ( ), es simétrica con res- pecto a reflexiones desde el punto medio, mientras que p – ( ) es antisimétrica, conduciendo a + p – ( ) | – p – ( ) | /2. Usando esta aplicación, ahora comprobemos la consistencia de las reglas de conmutación en QM con respecto a sus representativas en iQM, dadas arriba. Calculamos los conmutadores utilizando
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i i i i i i ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 1 i 1 i i i Alberto Mejías sólo las reglas de en (3.10), la asociatividad de y el resultado para el con- mutador de en (3,9). Encontramos [ x L , p Lj]A =[R i , p j]* A = i d ij A (3.11) [ x R , p Rj]A = A [- p j , R i ]* = i d ij A (3.12) [ x L , [ x L , p Rj]A = – R i A p j + R i A p j = 0 p Rj]A = p j A R i – p j A R i = 0 (3.13)
(3.14) Para para que este resultado en iQM coincida con los conmutadores de operadores en QM [ x L , p Lj] = i d ij = [ x R , p Rj] , debemos identificar al parámetro con la constante PLANCK = . (3.15) Así hemos derivado las reglas básicas de QM para cada partícula de la iQM inducida por la interacción cordal, utilizando sólo productos de campos en el semi- espacio de fase, que representan a empalme/disyunción cordal. Por lo tanto, la no- conmutatividad inherente a las interacciones cordales, está conectada directamente a las misteriosas reglas de quantización previamente inexplicadas, de QM. Hasta ahora esto ha sido considerado dentro de un modelo de ensayo, pero puesto que el mismo fenómeno es también válido para la Teoría de Cuerdas total (véase [3]), su- poniendo que la Teoría de Cuerdas es la teoría fundamental para toda la Física, en- tonces se convierte en una declaración para toda la física.
Continuando con mini-MSFT, a continuación, investigamos algunos opera- dores construidos a partir de los básicos. Partiendo de las propiedades básicas en (3.10), podemos derivar la representación de cada operador (Pi, pi, Ri, r i), en tér- minos de sólo el producto de campos y luego evaluar los productos estrella en ca- da línea de abajo usando (3.6), después de insertar = , como sigue R i A = 2 x L + x R A = 2 R i A + A R i = R i A , r i A = (x L – x R ) A = (R i A – A R i ) = i ? pi A ,
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) ( 1 2 ( ˆ ˆ i i R iL R i ˆ ˆ (3.17) ˆ Desde la interacción cordal a la mecánica quántica
P i A = ( p iL + p iR ) A = ( p i A – A p i ) = -i ? Ri A , p i A = 1 p iL – p iR A = 2 p i A + A p i ) = p i A . (3.16) El resultado final en términos de representación del operador diferencial es plenamente consistente con la correspondiente, bien conocida, representación de operadores diferenciales de operadores en QM. Pero el punto aquí es que este resul- tado se desprende tan sólo de las interacciones de acoplamiento/disyunción de cuerdas, vía el producto de campos, dadas en (3.4) y (3.10).
Yendo más allá de (3.10), derivamos los siguientes resultados bien adiciona- les que fueron significativos en la formulación de MSFT [3]: si tenemos cualquier operador cuántico OL ( x L , p L) (respectivamente OR ( x R , p R) ) en QM usual, construido a partir de sólo los grados de libertad de la partícula L (respectivamente R), entonces su representación en la versión iQM, viene dada por la misma función en la que reemplazamos ( x L R i y p p ) y análogamente( x i y p iR cir, (- p i ) ), donde está, a saber, a la derecha (izquierda) de R ó p. Es de- OL ( x L , p L) A = O L (R, p) A ( por la izquierda), OR ( x R , p R) A = A O R (R, – p) ( por la derecha), donde O L significa que todos los factores R, p, dentro de él, están multiplicados estrella uno con otro, en el mismo orden en que aparecen los operadores en la ver- sión QM; mientras que en el caso de O R , todos los factores R ó (– p) dentro de él están multiplicados estrella uno con otro, en el orden opuesto que los operadores correspondientes en OR ( x R , p R) . Las expresiones para O L u O R se pueden i reducir a una función clásica de (R , pi) después de usar repetidamente los produc- tos elementales dados en (3.8), para reescribir O L u O R como las expresiones clásicas O L, R (R, p). En la MSFT total sólo aparecen operadores cuánticos puramente L o puramente R, 13
ˆ ˆ (3.18) ’s. ˆ 2 ? 2 1 2 2 ˆ R 1 4 p ˆ µ ˆ + + 2 – – Alberto Mejías
como antes, debido a la localidad del parámetro (ver nota al pie 2). Más general- mente, en mini-MSFT uno puede estar interesado en escribir el operador QM para cualquier hamiltoniano H ( x L , p L , x R , p R) en el lenguaje de los productos estre- lla en iQM. Esto se da representando a cada operador elemental de L/R como pro- ductos estrella por la izquierda/derecha según (3.10). Por lo tanto, conseguimos la representación iQM de cualquier hamiltoniano QM como sigue H ( x L , p L , x R , p R) A = H((R ), (p ),( R), (– p))A(R, p), donde hay que preservar el orden de los factores, con respecto a las
Ahora damos dos ejemplos. En el primer ejemplo tenemos dos partículas (L y R) interactuando con una fuerza central del tipo oscilador armónico. Podemos convertir al operador H1 para este problema, a su versión iQM utilizando la aplica- ción (3.18) que involucra solamente productos de campos de cuerdas H1A = [ 2 ( p L + p R ) + 2 (x L – x R ) ]A(R, p) = 1 2 ( p 2 + 2 R 2 ) A + 1 2 A ( p 2 + 2 R 2 ) – 2 R A R = [ – 2 2 ? 2 + p 2 + ? 2 2 ? 2 ]A(R, p). En la segunda línea sólo aparecen productos de campos de cuerdas que usan el em- palme de cuerdas. La última línea se obtiene evaluando los productos estrella, uti- lizando (3.7), (3,6). El resultado de la última línea claramente coincide con la re- presentación familiar del hamiltoniano mediante el operador diferencial como se expresaría a partir de QM en la base (R, p).
En el segundo ejemplo ilustramos el hamiltoniano H1 derivado de la teoría de cuerdas en 2 dimensiones con quarks (0-branas) fijados en los extremos [10], donde las posiciones de los quarks x L, R (en la base del cono de luz) son, en reali- dad, los puntos extremos de la cuerda, H2 A = [ 2 m L 2 p L + 2 m R 2 p R p R + x L – x R ]A(R, p) 14
2 + con la ' n n g 3 ˆ 4 Desde la interacción cordal a la mecánica quántica 2 m L = 2 p A + A 2 m R 2 p + ' dk A(R, p) ( R ) – ( R) A(R, p) pk 2 m L = 2 p A(R, p) + A(R, p) 2 m R 2 p ' dk A(R, p + k). pk 2 (3.19) En la segunda línea se utiliza la aplicación (3.18) para conectar a la versión versión de operador QM. En la tercera línea, la prima ' en la integral, , significa la integral del valor principal que surge de los productos estrella en la segunda línea de computación. La última línea reproduce exactamente el espectro QCD para N , grande en dos dimensiones (ecuación integral T HOOFT de un mesón [9]), como era de esperarse de [10], pero aquí, se omitirán los detalles.4
Para cualquier elección del hamiltoniano podemos definir el término cuadrá- tico de la teoría de campos para la mini-MSFT y además podemos incluir interac- ciones "cuerda" – "cuerda " que imitan a la MSFT como sigue S = d R d p [ 1 AH( A) + 2 A A A + ··· ]. (3.20) Aquí los puntos + · · · implican que se pueden construir varios modelos mini- MSFT que incluyen potencias superiores de las interacciones de campos, más allá del término cúbico. Los diagramas tipo FEYNMAN para esta teoría de campos, re- producen las operaciones de empalme/disyunción de láminas mundi, como en los viejos "diagramas de dualidad" cordaloides. Consideramos que con sólo la interac- ción cúbica en (3.20) y el hamiltoniano cordal 2D, de la ecuación (3.19), parece que el enfoque mini-MSFT correspondería a los cálculos para cuerdas 2D, de los diagramas FEYNMAN en [10], que dieron correctamente las interacciones mesóni- cas, utilizando solamente cuerdas y branas (quarks al final), con amplitudes acordes con gráficos planares en QCD 2D para N grande. Tal vez esta exacta y exitosa co- rrespondencia cuerdas-QCD podría ahora ser generalizada a cuatro dimensiones mediante mini-MSFT en (3.20) incluyendo los componentes transversales de R , p más allá de los componentes del cono lumínico.
En [9,10] la función ondal está en el espacio de ímpetus (pL, pR), mientras que en (3.19) está en el espacio de fase mixto A(R, p). Después de una transformación FOURIER (R P) y un apropia- do cambio de variables de (P, p) a (pL, pR) encontramos la misma ecuación integral para meso- nes. 15
4. ˆ Alberto Mejías Esto completa la construcción del modelo de teoría de campos mini-MSFT. El tiempo demostrará si esto es un método útil para discutir algunos sistemas físi- cos, tales como cuerdas de QCD. Es posible generalizar más al sistema, asignándo- le a A, índices que correspondan al espín y otros números cuánticos y, correspon- dientemente, eligiendo un H apropiado. En este trabajo se ha utilizado el concepto de mini-MSFT principalmente como una simplificación de la MSFT total para dis- cutir la relación entre el empalme producto estrella de cuerdas y las reglas de quan- tización de QM. Como se muestra en [3], todas las facetas de nuestras discusiones aquí también son válidas en la MSFT total así como en subsectores derivables de ella. PERSPECTIVAS Hemos demostrado que en el semi-espacio de fase de iQM, podemos repro- ducir todos los aspectos de QM ordinaria, apoyados sólo en las reglas del producto cuyo significado físico es interacciones creadas por empalme/disyunción de cuer- das. Para finalizar la tesis central en este documento, con respecto a la fuente de las reglas de la mecánica quántica en toda la física, se necesita primero suponer que Teoría de cuerdas (o la generalización a Teoría M) podría ser la descripción correc- ta de todos los fenómenos físicos. Así, basado en la MSFT total [3] (y su posible generalización a teoría M), uno puede alegar que la fuente de las reglas de conmu- tación mecánico-cuánticas en toda la física podría rastrearse hasta el fenómeno físi- co de interacciones cordales de empalme/disyunción, expresadas en el semi-espacio de fase, en el lenguaje MSFT. Si este punto de vista se mantiene más allá del apa- rente limitado alcance de MSFT, en todos los aspectos de Teoría M, incluyendo se- gunda quantización, entonces el concepto que discutimos aquí, de que las interac- ciones cordales son la fuente de la Mecánica Quántica, aumentaría la credibilidad de la Teoría de Cuerdas como una teoría fundamental. Reevaluemos los ingredientes principales que conducen a estos resultados. En primer lugar está el iQM generado por el producto de empalme cordal de la ecuación (3.4), que proviene de la correspondiente ecuación (2.3) en Teoría de Campos Cordales total. En segundo lugar está la conexión de los operadores cuán- ticos en QM con el producto estrella de empalme cordal como se da en la ecuación (3.10), que también proviene de la Teoría de campos cordales total en Ecs. (2,4), 16
Desde la interacción cordal a la mecánica quántica (2.5). El segundo ingrediente puede ser considerado como una particular represen- tación de los operadores cuánticos. Por supuesto, siendo una representación, está obligado a satisfacer las correctas normas quánticas. De hecho, la versión cordal en Ecs. (2,4), (2.5) fue lograda por primera vez a en [3], a partir del estudio de la cuer- da quantizada; es decir, de los conocimientos adquiridos en QM. Lo nuevo es que a diferencia de otras representaciones, esta representación se basa en un proceso físi- co de empalme/disyunción cordal que tiene lugar a la escala PLANCK. En otras palabras, aunque es una representación está también conectada a procesos físicos de una manera que otras representaciones de los operadores cuán- ticos no lo están. Esto proporciona la semilla de una explicación de que la mecánica quántica existe debido a ciertos fenómenos, mientras que otras representaciones no tienen esta capacidad. En esta representación, si no se producen los procesos físicos de empalme/disyunción cordal, no hay mecánica cuántica, porque el parámetro de no-conmutatividad en empalme/disyunción cordal, no es otro que la constante PLANCK . Por lo tanto, invertimos el camino lógico que nos trajo desde la mecá- nica cuántica, a través de la teoría de cuerdas, a SFT, en particular a MSFT. Consi- deramos la premisa de que Teoría de Cuerdas o Teoría M es el principal punto de partida para la descripción de todos los fenómenos de la naturaleza. Esto demanda que no haya objetos puntuales, que todos los objetos son fundamentalmente corda- loides y que deben interactuar sólo a través de procesos de empalme/disyunción cordal. El lenguaje de MSFT deja en claro que en tal caso, se obtiene una mecánica quántica inducida y que la de la Mecánica Quántica, proviene de la no-conmutati- vidad de empalme/disyunción. En este enfoque podemos decir que los operadores QM y las correspondientes reglas de conmutación se introducen por conveniencia mediante las ecs. (2.4), (2.5), (3.10) para hacer conexión con el lenguaje familiar, pero no como fundamentales ni tampoco porque se necesiten para los cálculos – MSFT ya está equipada con los instrumentos de cálculo. La información de que las relaciones de conmutación quántica fundamenta- les están conectadas a los procesos de empalme/disyunción se transmite a la física de baja energía muy por debajo de la escala PLANCK. El primer paso en este proce- so, es que la teoría de campos cordales es aproximada por la teoría de campos loca- les, donde sólo los grados de libertad del centro de masa de la cuerda, indican a los campos locales (i. e. R en mini-MSFT). La derivada en la teoría de campos locales, es la representación del ímpetu conjugado canónico (P en mini-MSFT), notando que la derivada surge del producto estrella empalme cordal (ver e. g. ec. (3.16)). Finalmente, en el sector de una partícula de la teoría de campos locales, recupera- 17
[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] Alberto Mejías mos la reglas usuales de la mecánica quántica, en la representación del espacio de posición, donde el ímpetu es representado por la derivada. Este razonamiento se ex- tiende fácilmente, a otros grados de libertad, incluso el espín, incluyendo fermiones en el formalismo de campos cordales. Independientemente de la tesis central de este trabajo, a un nivel más modes- to, hemos introducido un nuevo espacio de representación para los operadores me- cánico-quánticos mediante la aplicación en ec. (3.10), que puede encontrar variadas aplicaciones. El modelo mini-MSFT puede ser útil por derecho propio, para discu- tir algo de física perturbacional y no-perturbacional, en ciertas circunstancias. Referencias E. WITTEN, Non-commutative geometry and string field theory, Nucl. Phys. B 268 (1986) 253. I. BARS, Map of Witten’s to Moyal’s , Phys. Lett. B 517 (2001) 436, arXiv:hep-th/0106157; I. BARS, MSFT: Moyal star formulation of string ?eld theory, arXiv:hep-th/0211238. I. BARS, D. RYCHKOV, Background independent string ?eld theory, arXiv: 1407.4699. J. E. MOYAL, Quantum mechanics as a statistical theory, Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 45 (1949) 99. S. GIDDINGS, The Veneziano amplitude from interacting string ?eld theory, Nucl. Phys. B 278 (1986) 242. I. BARS, Y. MATSUO, Associativity anomaly in string ?eld theory, Phys. Rev. D 65 (2002) 126006, arXiv:hep-th/0202030; I. BARS, Y. MATSUO, Compu- ting in string field theory using the Moyal star product, Phys. Rev. D 66 (2002) 066003, arXiv:hep-th/0204260. I. BARS, I. KISHIMOTO, Y. MATSUO, String amplitudes from Moyal string ?eld theory, Phys. Rev. D 67 (2003) 066002, arXiv:hep-th/0211131; I. BARS, I. KISHIMOTO, Y. MATSUO, Analytic study of nonperturbative solutions in open string field theory, Phys. Rev. D 67 (2003) 126007, arXiv:hep- th/0302151; I. BARS, I. KISHIMOTO, Y. MATSUO, Fermionic ghosts in Moyal string field theory, J. High Energy Phys. 0307 (2003) 027, arXiv:hep- th/0304005. 18
[8] [9] Desde la interacción cordal a la mecánica quántica I. BARS, I.Y. PARK, Improved off-shell scattering amplitudes in string field theory and new computational methods, Phys. Rev. D 69 (2004) 086007, arXiv:hep-th/0311264. G. ’T HOOFT, Two dimensional model for mesons, Nucl. Phys. B 75 (1974) 461. [10] I. BARS, Exact equivalence of chromodynamics to a string theory, Phys. Rev. Lett. 36 (1976) 1521, and references therein to earlier work, see especially Eqs. (9a) and (13a). [11] ITZHAK BARS, DMITRY RYCHKOV, Is string interaction the origin of quantum mechanics? Phys. Lett. B (2014) 19
1 ALEPH SUB – CERO SERIE DE DIVULGACIÓN ?0 2015 – I ?0 pp. 20 – 51 DEL PROBLEMA DE BASILEA A LA FUNCIÓN ZETA DE RIEMANN (Problem Basel to the Riemann Zeta Function) Carlos Sánchez Chinea1 Recepción: Marzo 2015. Revisión y aceptación: Abril 2015. Resumen. Presentamos los elementos del problema de Basilea y de lo que podemos considerar su continuación, un siglo después, por Bernard Riemann, al ampliar de definición de la función zeta al campo complejo. Por razones de espacio no analizamos aquí la importantísima relación de la función zeta con la distribución de los números primos, planteándonos como único objetivo el describir los aspectos básicos de su construcción y prolongación analítica a todo el campo complejo. Descriptores: Basilea, Euler, Zeta, Riemann, funcion, ceros, analitica, prolongacion, dominio, recta critica, banda critica. Abstract. We present the elements of the Basel problem and what can be considered its continuation, a century later, by Bernard Riemann, to extend the definition domain of the zeta function to the complex field. Because of space limitations, we do not analyze the important relationship of the zeta function with the distribution of primes, we solely focus on describing the basics of construction and the analytic extension to the entire complex field. Keywords: Basel, Euler, Zeta, Riemann, functions, zeros, analytical, prolongation, domain, straight criticism, critical band. Carlos Sánchez Chinea, es Licenciado en Ciencias Físicas y Profesor de Matemáticas de Educa- ción Secundaria, con la Condición de Catedrático, en el Instituto de Enseñanza Secundaria “Isidro de Arcenegui y Carmona” de Marchena, Sevilla, España. Prejubilado en 2008. casanchi.com, ca- [email protected], [email protected].
8 2 3 Del Problema de Basilea a la Función Zeta de Riemann
00 Introducción
El problema de determinar la suma exacta de la serie infinita 1 2 n=1 n 1 1 = 1+ 2 + 2 +… fue afrontado por diversos matemáticos en los siglos XVII y XVIII, desde su enunciado por el matemático y sacerdote boloñés Pietro Mengoli (1626-1686), en su obra “Novae quadraturae arithmeticae”, en 1650. Sin embargo, la primera solución correcta fue obtenida por Leonard Euler en 1735 (“De Summis Serierum Reciprocarum”), cuando tenía 28 años, y su descubrimiento le supuso gran notoriedad entre los matemáticos de su tiempo. Se denominó Problema de Basilea, por ser ésta su ciudad de residencia.
Los trabajos de Euler fueron retomados en el siglo XIX por Bernard Riemann (1826-1866), estudiando ahora la función que da la suma infinita de los inversos de las potencias de n para el caso general de exponente s complejo.
La función zeta de Riemann está definida en el semiplano r(s)>1 por una serie de Dirichlet simple. En tal semiplano es convergente absolutamente y uniformemente. No tiene ceros ni singularidades en dicho dominio de definición. Es, en definitiva, una función analítica dentro del semiplano r(s)>1.
Si estudiamos una prolongación analítica de la función a todo el plano complejo, es decir, si encontramos una función definida en todo punto de C tal que coincida con la función zeta de Riemann al restringirla al semiplano r(s)>1, podemos estudiar los posibles ceros y singularidades de dicha prolongación.
Para la función prolongación analítica encontramos que tiene infinitos ceros en el eje real negativo (ceros triviales), que resultan ser los infinitos números reales enteros pares negativos. Y tiene también una singularidad, un polo simple de residuo unidad, en el punto s=1. Tiene asimismo ceros (no triviales), de parte imaginaria no nula, dentro de la banda 0< real(s)< 1, denominada banda crítica.
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Carlos Sánchez Chinea Jacques Hadamard y De la Vallée Poussin probarían en 1896 que la prolongación analítica de la función zeta no se anula en la recta 1+i.t, cualquiera que sea t real, por lo que todos los ceros existentes para dicha función prolongación son los ya indicados: triviales (pares negativos de parte imaginaria nula), y los no triviales (de parte real entre cero y la unidad, y parte imaginaria no nula) comprendidos en la banda crítica. Se descubriría que los ceros no triviales de la prolongación analítica de la función zeta (en adelante llamaremos simplemente función zeta a dicha prolongación) pueden interpretarse como frecuencias armónicas en la distribución de los números primos. De ahí la importancia de su estudio. Para mejor visualización de la singularidad en s=1 conviene prolongar primeramente la función zeta al semiplano r(s)>0 mediante alguna función sencilla que permita hacer el estudio. La prolongación analítica de la función zeta al semiplano r(s)>0 puede hacerse de forma elemental encontrando alguna función f(s) definida en tal semiplano, cuya restricción al semiplano r(s)>1 coincida con la función zeta originalmente definida (la serie simple de Dirichlet), y que nos permita estudiar la singularidad única en s=1, quedando establecido el carácter meromorfo de dicha prolongación. Mientras que para prolongar analíticamente la función zeta a todo el plano necesitamos obtener una ecuación funcional general que nos permita el estudio global para todo s de C. Obtendremos la llamada Ecu
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