01.1 La prueba inicial de Euler Aunque se habian encontrado ya soluciones numéricas aproximadas, se pretendía la obtención de la suma exacta, que hasta el trabajo de Euler, no habia sido lograda. En esencia la forma de resolución de Euler consistió en identificar los coeficientes de una factorización infinita de la función trigonométrica senx con los de su desarrollo en serie de Taylor-McLaurin. 22
8 . n s 2 = ? n 1- n=1 Del Problema de Basilea a la Función Zeta de Riemann
El problema, en definitiva, consiste en determinar el valor de la suma infinita de los cuadrados de los inversos de los números naturales: 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 +… o bien, llamandola mediante la función ? (x) = 8
n=1 1 nx , ?x ? R se trataría de encontrar el valor de ? (2) = 1 2 n=1 n Partiendo de la función trigonométrica senx , nos encontramos que se anula para los múltiplos de p : senx = 0, para x = ±np , n = 0,1, 2,…
Si consideramos la función sen(sp ) sp , s ? R los ceros corresponden a sp = ±np ? s= ±n, pudiendo factorizarse cada uno de los valores enteros en la forma: (n+ s)(n – s) = n2 – s2 = n2 1-
Se tiene, en definitiva: , n =1, 2,… sen(sp ) 8 2 sp s n 2 = K. 1- s 1 2 1- s 2 2 … 1- s n 2 … Como el límite del cociente del seno al arco tiende a la unidad, se tiene que ha de ser K=1. Por tanto:
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= ? 1- n=1 0 1 1 = – + p 2 p 4 4 Carlos Sánchez Chinea sen(sp ) 8 sp s n 2 = 1- s 1 2 1- s 2 2 … 1- s n 2 … [1.1.] que puede expresarse, extrayendo factor común s2 , s3, s4… , en la forma: sen(sp ) sp =- 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 +… s2 + 1 1.2 2 + 1 2.3 2 +… s4 – 1 1.2.3 2 + 1 2.3.4 2 +… s6 +… por otra parte, podemos considerar el desarrollo en serie de Taylor de la función sen(sp ) = sen(0) 0! .0 + sen'(0) 1! sp + sen''(0) 2! (sp )2 + sen'''(0) 3! (sp )3 +… = 0 + sp – (sp )2 – (sp )3 +… = 2 3! esto es: = sp – 1 3! (sp )3 + (sp )5 -… 5! sen(sp ) sp 1 (sp )3 1 (sp )5 sp sp 3! sp 5! sp -… = 1- s2 + 6 120 s -… si hacemos ahora la identificación de coeficientes entre el desarrollo obtenido me- diante la factorización y el obtenido mediante Taylor, encontramos que – 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 p 2 +… = – ? 6 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 +… = p 2 6 ? ? (2) = p 2 6 el resultado obtenido por Euler es correcto, aunque fue criticado en su tiempo por diversos matemáticos, entre ellos los Bernoulli, ya que Euler no había probado pre- viamente ni la convergencia ni que los únicos ceros de la función cociente utilizada fueran precisamente los indicados en el desarrollo de la factorización. En realidad, Euler no daría una argumentación exhaustiva hasta 1741.
01.2 Generalización
El resultado anterior ? (2) = p 2 / 6 puede generalizarse para los enteros positivos
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