El algebra en el renacimiento y las contribuciones de Fracisco Vieta y Loduvico Ferrrari

Introducción

Hasta la aparición del Ars Magna de Cardano en 1545, no hubo en el Renacimiento desarrollos trascendentes en álgebra. Sin embargo, merecen ser mencionadas algunas obras que contribuyeron a que esta rama de las matemáticas no quedase en el olvido.

Pero sin duda el cambio más significativo en el carácter del álgebra relacionado con el simbolismo fue introducido por François Viète (1540-1603) un abogado francés cuyo interés por las matemáticas era puro entretenimiento y describe su In Artem Analyticam Isagoge como la obra del análisis matemático restaurado. Viète traza la línea divisoria entre la aritmética y el álgebra y propone utilizar una vocal para representar una cantidad que se supone en álgebra desconocida o indeterminada, y una constante para representar una magnitud o un número que se supone conocido o dado. Esta distinción entre el concepto de parámetro y la idea de incógnita fue un paso previo a la matemática moderna.

Una de las consecuencias más importantes tras la publicación del Ars magna fue que la solución de la ecuación cúbica condujo a las primeras consideraciones significativas acerca de un nuevo tipo de número.

Mas tarde Ferrari contribuye a la solución de la ecuación de cuarto, apoyado por su maestro jerónimo cardano.

El álgebra durante el Renacimiento

Durante el Renacimiento las actividades matemáticas lograron avances muy importantes en el campo del álgebra, la trigonometría y la geometría. Ya se utiliza un simbolismo rudimentario en álgebra, lo símbolos indo-arábigos están suficientemente extendidos, las fracciones decimales se desarrollan poco a poco y la teoría de las ecuaciones ha logrado comprender la solución general de la cúbica y la bicuadrática.

Los números negativos se aceptan progresivamente y la trigonometría, considerada ciencia independiente, dispone ya de tablas muy precisas para las seis funciones. En cuanto a la geometría, se desarrollan nuevas orientaciones en geometría descriptiva y proyectiva. Todos estos avances son ampliamente difundidos de forma más normalizada gracias a la imprenta.

La aplicación de todos estos conocimientos a campos tan diversos como la cartografía, el arte, la óptica o la contabilidad sirvió para relanzar las matemáticas y darles un impulso de modernidad, con un sentido más crítico de los modelos clásicos, intentando definir otros nuevos que los sustituyeran.

A esta etapa de la culminación del Renacimiento y comienzo de las matemáticas modernas contribuyó de forma especial François Viète.

La notación algebraica, un paso importante

El álgebra hasta el siglo XVI era de tipo verbal, en realidad, el álgebra todavía estaba en ese tiempo muy conectada con la geometría. La incógnita de un problema era pensada como la longitud de un segmento de recta; el cuadrado de la incógnita se refería al área de un cuadrado y su cubo, al volumen de un cubo. Desde esta perspectiva, tanto números negativos como potencias más grandes a tres eran imposibles. Además, un cuadrado no podía ser sumado con un cubo es decir no se podía sumar x2+x3, debido a que áreas y volúmenes son cantidades de diferente notaciones y no pueden ser combinadas. Así, el álgebra era todavía un conjunto específico de reglas que eran usadas para resolver ecuaciones particulares. Un avance importante se dio hacia el final del siglo XVI: el álgebra vino a ser una herramienta muy poderosa pues se le proveyó de un mayor simbolismo. Se introdujo la notación exponencial y lo que se escribía como " A cubus" o "AAA " podría ser ahora escrito como A3 . Los símbolos +, –, = fueron también introducidos. Este último fue propuesto por Robert Recorde pues decía que no hay dos cosas tan idénticas como dos líneas paralelas.

François Viète

François Viète, conocido en textos en españoles por su nombre latinizado Francisco Vieta., matemático francés, nace en Fontenay-le-Comte, Francia en el año 1540 y muere en  París Francia, en el año 1603).

Vida

Hijo de un procurador, Viète estudia derecho en Poitiers. En 1560, se convierte en abogado en Fontenay-le-Comte. Se le confían de golpe importantes asuntos, en particular la liquidación de las tierras en la región de Poitou de la viuda de Francisco I y los intereses de María Estuardo, reina de Escocia.

En 1571, pasa a ser abogado en el Parlamento de París, y se le nombra consejero en el Parlamento de Rennes en 1573. En 1576, entra al servicio del rey Enrique III de Francia, quien le encomienda una misión especial. En 1580, pasa al servicio exclusivo del rey en el Parlamento de París, Tras la muerte de Enrique III, Viète pasa a formar parte del consejo privado de Enrique IV, y partir de 1594, se encarga exclusivamente de descifrar los códigos secretos enemigos.

Fue conocedor de Diofanto y Cardano, estableció las reglas para la extracción de raíces y dio a la trigonometría su forma definitiva en Canon mathematicus (1570). Se lo considera uno de los principales precursores del álgebra, puesto que se dedicó así mismo al estudio de los fundamentos del álgebra, con la publicación, en 1591, de In artem analyticam isagoge, en el cual introdujo un sistema de notación que hacía uso de letras en las fórmulas algebraicas. Se ocupó finalmente de diversas cuestiones geométricas, como la trigonometría plana y esférica.

Sus obras

En el periodo que va de 1564 a 1568 escribió dos obras, una de astronomía titulada Harmonicon coeleste que no llegó a publicarse y su gran Canon mathematicus seu ad triangula, cuya impresión duró más de ocho años y se publicó en 1579. Las aportaciones de esta obra fueron, entre otras, la utilización sistemática de los números decimales, con empleo de la coma; la aplicación sistemática del álgebra a la trigonometría descubriendo de nuevo la mayor parte de las identidades elementales con fórmulas generales para las expresiones de las funciones; la obtención de fórmulas trigonométricas de conversión del producto de funciones en una suma o una diferencia, o la obtención de lo que hoy se conoce como teorema del coseno.

En su obra Variorum de rebus mathematicis, de 1593, formuló un enunciado equivalente al teorema de la tangente.

Pero su fama le vendría por su contribución al álgebra, con su obra In artem analyticam isagoge, que se publicó por primera vez en Tours en 1591. Sirvió para la generalización del álgebra simbólica, muy parecida a la que después Descartes culminó. Viète utilizaba las vocales para identificar a las incógnitas y las consonantes para nombrar los parámetros conocidos (al contrario que ahora), pero aún utilizaba abreviaturas para identificar operaciones.

Así, por ejemplo, para nombrar la ecuación 2ax² + 3bx – x³ = D hacía lo siguiente: la x la nombraba A; los parámetros a y b los nombraba B y F; al D lo llamaba solido; a la operación de multiplicar, in; el cuadrado, q (de quadratus); el cubo era c (de cubus), y la igualdad era aequatur. Escribía:  B 2 in A q + F 3 in A – A c aequatur D solido.

Tras su muerte, en 1615, se publicó su obra De aequationum recognitione et emendatione, con estudios precisos sobre las raíces de las ecuaciones polinómicas.Con Viète alcanzó el álgebra un grado de generalización notable y dio nuevos enfoques a la resolución de todo tipo de ecuaciones. 

Contribución a las soluciones a ecuaciones polinómicas

Abogado francés aficionado a las matemáticas empezó a usar vocales para representar variables y consonantes para representar constantes.

Esto permitió a los matemáticos representar, por ejemplo, a toda la clase de ecuaciones cuadráticas como

y esto hizo posible que se pudieran discutir técnicas generales para resolver algunas clases de ecuaciones. Tanto que 1590 aproximadamente Vieta realizo avances en los métodos algebraicos, consiguió reducir una cuadrática general a una cuadrática pura utilizando una hábil sustitución. Su ecuación general es expuesta de la siguiente manera "a quadr +B2in A aequantur Z plano" es nuestro días esto se reduciría

De hecho, fue Vieta quien interpretó la cúbica general como una ecuación de la que todos los casos que consideraba Cardano eran ocurrencias particulares. Además, dio un solo método de solución que podía aplicarse a todos los casos. Si bien el simbolismo algebraico de Vieta no es el que usamos actualmente, sí era uno muy parecido. Así, para nosotros, la ecuación general de tercer grado la escribimos como,

Solución de la ecuación de tercer grado

La reducción de caso general, fue considerada por Tartalia. El hecho es que Cardano En 1545, publicó en su "Args Magna" y en el la contribución de Tartalia, cuando Tartalia protestó, Ferrari un alumno de Cardano, afirmo que su maestro había recibido la solución de Ferro. Desde esa época la solución es conocida bajo el nombre de Cardano.

A continuación se presenta la solución en su forma moderna:

Aunque hay duda quien es el verdadero autor de la fórmula, es un hecho que Cardano contribuyo mucho al desarrollo de la teoría de ecuaciones algebraicas.

La ecuación de cuarto grado: Lodovico Ferrari

Lodovico Ferrari fue un matemático italiano, nació en Bolonia, Italia, el 2 de febrero de 1522 y murió en la misma ciudad envenenado de trióxido de arsénico por su hermana el 5 de octubre de 1565.

Fue un estudioso de las matemáticas y en unión de otros colaboradores, llegó a ser uno de los mayores representantes de la escuela de Bolonia, que se dedicaba principalmente al estudio del álgebra, con lo que le llegó al descubrimiento de la resolución algebraica de la ecuación general de cuarto grado. Dio también la demostración de la fórmula para resolver ecuaciones de tercer grado.

Ferrari se educo en casa, cuando su padre murió, se fue a vivir con su tío Vincenzo. Después se fue a Milán y empezó a trabajar en casa de Cardano, convirtiéndose en su sirviente a los 14 años, pues Cardano pronto descubrió que Ferrari sabía leer y escribir y lo tomó como secretario para que le escribiera sus propios libros. Pronto se dio cuenta de que también Ferrari aprendía con rapidez y empezó a enseñarle matemáticas.

Contribución de Ferrari a la solución de ecuaciones de cuarto grado.

Ferrari junto con Cardano estudiaron la solución de las cúbicas que Tartaglia les había comunicado. Ellos resolvieron los problemas que Zuanne da Coi había propuesto y escribieron los casos en que podía presentarse una cúbica con coeficientes positivos. En este proceso, Ferrari descubrió también la solución general de la cuártica en 1540, con un bello argumento que reducía el problema a resolver una cúbica por el método de Tartaglia.

En su obra Ars Magna, Girolamo Cardano (1501-1576) dice que el primero que consiguió la solución de una ecuación de cuarto grado fue Ludovico Ferrari, ya que aquél acepto el desafío de Zuanne di Tonini da Coi para resolver un problema que éste, finalmente, dio solución utilizando un procedimiento parecido al aplicado para resolver la ecuación de tercer grado.

En notación moderna, la solución de Ferrari de la ecuación:

Si en la ecuación cuártica general (previa división por el primer coeficiente):

Ahora solo queda estudiar ecuaciones de este tipo

Ahora bien Primero se completa el cuadrado para obtener

Ahora el miembro de la derecha es cuadrático en x, pudiendo elegir y tal que sea un cuadrado perfecto. Esto se hace igualando el discriminante a cero, en este caso

Sabemos como resolver cúbicas, y podemos hallar los tres valores de y. Con estos valores de y, el miembro de la derecha de (1) es un cuadrado perfecto. Extrayendo los raíces cuadradas en ambos miembros, obtenemos una ecuación cuadrática en z.

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Conclusiones

La contribución de Francisco Vieta al desarrollo del álgebra fue muy importante, no sólo por haber sido el primero en introducir una notación mucho más adecuada para el análisis algebraico que la de sus predecesores, sino que proveyó al álgebra de un nuevo enfoque: en su trabajo encontramos un nuevo simbolismo para denotar entidades algebraicas, una clara inclinación hacia el análisis como el método del álgebra y una negación de la geometría como su fundamento.

También es preciso señalar que el simbolismo introducido por Vieta no estaba completamente desarrollado pues era una mezcla de álgebra abreviada con un estilo simbólico; no obstante, fue lo suficientemente flexible como para sentar las bases de la teoría moderna de ecuaciones.

Así, en el esquema de Vieta, un analista (algebrista), armado con este simbolismo, podría encontrar resultados para ecuaciones algebraicas generales y luego aplicarlos a casos particulares.

Después de que Tartaglia enseñara a Cardano a resolver cúbicas, Cardano animó a su alumno, Lodovico Ferrari, para que estudiara las ecuaciones cuárticas. Ferrari resolvió la cuárticas con quizás el más elegante de todos los métodos para resolver este tipo de problemas. Cardano de nuevo se apropió de este resultado y publicó 20 casos de ecuaciones cuárticas en su Ars Magna.

Autor:

García, Ángel

PROFESORA: OLGA RIOS

CENTRO REGIONAL UNIVERITARIO DE VERAGUAS

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNICAS

ESCUELA DE MATEMÁTICA

TRABAJO DE:

HISTORIA DE LA MATEMATICA

MAT 423

II SEMESTRE

2011