El infinito

En la monografía G077 (Descanso divino), página 5, párrafo 2 (de la Nota), se decía que es permisible pensar que la desbordante complejidad y la inasequible profundidad que para el científico (supuestamente "liberado" de prejuicios perceptivos) tiene la realidad haga que ésta aparezca ante sus ojos como caótica y desordenada, pero eso no quiere decir que así sea efectivamente. Por ejemplo, tomemos el caso de los números primos; éstos se nos presentan "indomables" desde el punto de vista matemático, puesto que hasta el presente todo indica que es imposible formular una ley que permita obtener un término general analítico que dé cuenta de todo número primo; por consiguiente, dada nuestra finitud operativa, podemos decir que para el ser humano los números primos son "anárquicos o caóticos" (no admiten una regla formativa, es decir, una forma algorítmica compuesta por un número finito de pasos o etapas de cálculo). Ahora bien, cabe preguntarse: ¿Admiten los números primos un algoritmo de infinitos pasos? O, todavía más general: ¿Pueden ser concebidos los números primos como un algoritmo resultante de una relación entre valores numéricos que pertenecen a un conjunto de infinitos elementos, con un orden de infinitud para este último de carácter superior al del conjunto de los números primos? La idea que se pretende transmitir es la siguiente: La apariencia caótica de la realidad puede no serlo realmente (de hecho, no puede serlo, si es que en verdad ha sido diseñada por el Sumo Hacedor); tal vez, como en el caso de los números primos, nuestra finitud algorítmica impida la visión no caótica que nos proporcionaría un algoritmo infinito; pero nuestra mente "finita o limitada" es incapaz de usar algoritmos infinitos, ya que esta capacidad intelectual sólo podría pertenecer a una mente "infinita o ilimitada", a saber, la mente del Todopoderoso (para una mejor consideración de la infinitud operativa, ver G081: La omnipresencia).

Eternidad.

En G050 (Trascendencia), página 2, se expuso lo siguiente: «Al parecer, tanto Adán como Eva tenían un concepto bastante claro de lo que es la muerte. Es posible que el hebreo arcaico básico, es decir, el idioma original con el que fue dotado Adán al tiempo de ser creado, con el objeto de facilitarle la comunicación con el Creador, contuviera ya el vocablo "muerte" o similar. No obstante, como quiera que los animales y las plantas morían o dejaban de existir, y este hecho era bien evidente para la primera pareja humana, no sólo de manera teórica sino también de forma experimental u observable, ellos, pues, quizás comprendían muy bien el significado de este concepto».

Del relato sagrado del Génesis se desprende que Dios tenía previsto para el ser humano una vida sin fin, en un entorno paradisíaco: «Y Jehová Dios procedió a tomar al hombre y a establecerlo en el jardín de Edén para que lo cultivara y lo cuidara. ?Y también impuso Jehová Dios este mandato al hombre:

"De todo árbol del jardín puedes comer hasta quedar satisfecho.

?Pero en cuanto al árbol del conocimiento de lo bueno y lo malo, no debes comer de él, porque en el día que comas de él, positivamente morirás"» (Génesis 2:15-17).

El propio primer hombre debió percatarse rápidamente de que su existencia se prolongaría indefinidamente si respetaba la prohibición divina, de manera que el fantasma de la "muerte" no le afectaría en el futuro. Por consiguiente, la noción rudimentaria de eternidad (vida sin fin, infinitud en el tiempo) debió surcar ya por su mente.

Así, pues, una primera aproximación al concepto de INFINITUD lo proporciona la noción de ETERNIDAD (infinitud en el tiempo). La ETERNIDAD es un concepto más concreto que la INFINITUD, puesto que se refiere a un tipo particular de INFINITUD, a saber: Infinitud en la corriente del Tiempo.

NOTA:

La definición breve de "Eternidad es infinitud en la corriente del Tiempo" introduce un concepto polémico: Tiempo… ¿Qué es el Tiempo?… Por lo tanto, esta cuestión será analizada en una próxima monografía.

Infinitud.

Tal como se expone en G063 (Limitaciones científicas), página 7, nota, William Thomson (1824-1907), primer barón Kelvin (Lord Kelvin), fue un físico y matemático británico que se destacó por sus importantes trabajos en el campo de la termodinámica y la electrónica gracias a sus profundos conocimientos de análisis matemático. Es uno de los científicos que más hicieron por llevar a la física a su forma moderna. Es especialmente famoso por haber desarrollado la "escala Kelvin" de temperatura. Recibió el título de "barón Kelvin" en honor a los logros alcanzados a lo largo de su carrera.

En varios libros de texto de Física universitaria, se atribuye a Lord Kelvin la siguiente declaración: "Suelo repetir con frecuencia que sólo cuando es posible medir y expresar en forma numérica aquello de que se habla, se sabe algo acerca de ello: nuestro saber será deficiente e insatisfactorio mientras no seamos capaces de traducirlo en números. En otro caso, y sea cual fuere el tema de que se trate, quizás nos hallemos en el umbral de su conocimiento, pero nuestros conceptos apenas habrán avanzado en el nivel de la ciencia".

Si de alguna manera estas palabras atribuidas a Lord Kelvin expresan una verdad fundamental, entonces el concepto de INFINITUD debería ser matematizado para que pudiéramos obtener un conocimiento profundo del mismo. De otra manera, habríamos de contentarnos con una noción superficial y nebulosa.

Pues bien, se estima que uno de los logros de la matemática moderna ha sido encarar con cierta medida de éxito el reto de "domesticar racionalmente" uno de los conceptos más inaccesibles y paradójicos que haya podido pretender la fragilidad del intelecto humano: el concepto de Infinito. La matemática es la única disciplina que actualmente puede proveer el lenguaje que se necesita para hablar con mayor exactitud o precisión acerca del infinito, o la ciencia que pretende medir el infinito.

Vulgarmente se suele utilizar la palabra "infinito" para denotar algo muy grande, ilimitado, imposible de contar, indefinido… Por lo tanto, se impone una definición más rigurosa de este concepto para poder incorporarlo al ámbito matemático. Y esto se ha hecho introduciendo previamente la noción de "conjunto", o entidad formada por "elementos"; es decir, se ha tenido que crear la "Teoría matemática de conjuntos".

Desde el punto de vista matemático, un "conjunto" es una entidad formada por elementos, o la reunión de "elementos" (cualesquiera que sean dichos elementos). Por ejemplo, un bosque puede ser considerado como un conjunto formado por muchos árboles, siendo cada árbol de dicho bosque un elemento del conjunto; por su parte, un árbol puede ser considerado como un conjunto formado por muchas hojas, siendo cada hoja un elemento del conjunto; así mismo, una hoja de árbol puede ser considerada como un conjunto formado por muchas células vegetales, siendo cada célula un elemento de dicho conjunto; y así sucesivamente. Evidentemente, un bosque está formado por árboles, arbustos, fauna boscosa, etc., pero por necesidades teóricas de simplificación lo hemos definido matemáticamente como "conjunto de muchos árboles"; igualmente podríamos decir de un árbol (integrado por hojas, raíces, ramas, etc.) o de una hoja (formada por células, elementos minerales de la savia intercelular, gases circulantes, etc.).

Definido, pues, el concepto de "conjunto" matemático", nos encontramos ahora en la posición ventajosa de poder definir lo que es un "conjunto finito": conjunto formado por una cantidad limitada de elementos, o por una cantidad de elementos que se pueden contar. Entonces, un "conjunto infinito" es todo conjunto "no finito", esto es, un conjunto formado por una cantidad ilimitada de elementos o por una cantidad tal de elementos que no se pueden contar.

Así, por tanto, el concepto de "infinito" matemático está asociado a la idea de cómputo impracticable o cantidad incontable de elementos. Y esto vale también para definir el concepto de infinito en la medida, cuyo símbolo es "8", al ser jalonada la "recta real" por números naturales o números que sirven para contar: en este caso "8" (infinito) equivale a una posición numérica en la recta real que se encuentra más allá de todo número natural:

Pero el infinito matemático va más allá de lo "muy grande" y de la posibilidad humana (temporal) de contar, como muy bien se ha descubierto hace más o menos un siglo. En realidad, los recientes hallazgos acerca del infinito matemático hacen compleja la noción de infinito y establecen una infinita jerarquía de conjuntos infinitos, cada uno de los cuales es diferente de los demás por ser de mayor o menor cardinalidad (cantidad de elementos) que el resto de ellos.

Ahora bien, la noción de "infinito" como idea de algo ilimitado o inalcanzable ha sido una fuente de confusión y controversias a través de la historia de la ciencia. Perturbó a los antiguos griegos, quienes trataron inútilmente de comprenderlo por vía de someter el concepto (de "infinitud") a la intuición del sentido común, la cual, lamentablemente, estaba inspirada en un mundo percibido como finito y, consecuentemente, los condujo a conclusiones contradictorias y paradójicas.

Para Platón (427-347 antes de la EC) y Pitágoras (580-495 antes de la EC) el infinito era " apeiron" (el caos), pues el infinito carecía de medida (metron). La voz "apeirón", tal como la empleaba Anaximandro (610-546 antes de la EC), significaba "sin fin, sin límite", y suele traducirse como "lo infinito, lo indefinido, lo ilimitado".

La idea del infinito también fue evitada o marginada por Aristóteles (384-322 antes de la EC) y por los escolásticos (siglos XI a XV de la EC), quienes basaban su aversión hacia el susodicho concepto en las propias absurdidades o contradicciones que el "infinito" les generaba. Uno de los típicos argumentos esgrimidos en contra del "infinito" era el conocido como "la aniquilación de los números finitos", pues según este argumento los números finitos son absorbidos por los números infinitos; es decir, para todo número finito "a", sucede lo siguiente: "a + 8 = 8", y de esta forma los números infinitos aniquilan a los números finitos.

Sin embargo, Aristóteles percibía que la necesidad de apelar al "infinito" era inexorable, a pesar de la animadversión teórica que éste pudiera desencadenarle, por lo que trató de enfrentar el problema del infinito a través de dos representaciones, o dos concepciones complementarias, y cuya interacción dialéctica ha influido en el propio desarrollo de la matemática. En el tercer libro de su obra "Física", Aristóteles distingue dos tipos de infinito; el infinito como un proceso de crecimiento sin final o de subdivisión sin final y el infinito como una totalidad completa. El primero es el " infinito potencial" y el segundo es el "infinito actual".

La noción de "infinito potencial" se centra en la idea de una operación reiterativa e ilimitada, es decir, en la "recursividad" (recurrencia, o hacer que vuelva a ocurrir) interminable. Así, por muy grande que sea un número natural siempre podemos concebir uno mayor que ése, y otro mayor que este último y así sucesivamente, donde la última expresión "y así sucesivamente" encierra la propia idea de reiteración ilimitada, tendente al infinito. Este tipo de infinito potencial es el que sirve de base a la noción de "límite" en el cálculo infinitesimal.

Por su parte, la noción de "infinito actual" (o infinito como totalidad) fue ampliamente desarrollada en geometría, ya en la Grecia Antigua, al dividir un segmento de recta en un número infinito de puntos. En efecto, pronto constataron los matemáticos griegos que un segmento rectilíneo cualquiera podía ser dividido en dos subsegmentos iguales mediante un punto medio que sirviera de frontera; a su vez, uno de los dos subsegmentos admitía la misma operación (recurrencia), y así sucesivamente, hasta el infinito. Se podía obtener así una sucesión de infinitos puntos (1, ½, ¼, …) pertenecientes, todos ellos, a un mismo segmento rectilíneo; la conclusión inequívoca era que todo segmento rectilíneo contiene una infinidad de puntos (infinito actual).

En la Edad Media, la mayor parte de la matemática relacionada con lo infinitamente grande ( infinito) y lo infinitamente pequeño (infinitesimal) tomó la forma de una serie de especulaciones en torno a las ideas de Platón y Aristóteles sobre la relación entre punto y recta, la naturaleza de lo inconmensurable, las paradojas de Zenón, la existencia de lo indivisible y la potencialidad y actualidad de lo infinito. Pero más que nada, en esta época, el debate sobre la naturaleza del infinito tuvo connotaciones teológicas antes que matemáticas, al considerarse el "infinito" como una propiedad exclusiva de la majestad divina. Así, Agustín de Hipona creía que sólo Dios y sus pensamientos eran infinitos; y Tomás de Aquino, por otra parte, pretendía demostrar en su "Summa Theologiae" que, aunque Dios era "ilimitado" (ver NOTA, a continuación), Él no podía crear cosas absolutamente ilimitadas.

NOTA:

Es una afirmación obscura y vaga decir que "Dios es ilimitado", lo cual puede llevar a error y, de hecho, así ha sucedido. Bien es verdad que, de acuerdo con las sagradas escrituras, Dios es ilimitado en amor, justicia, sabiduría (omnisciencia) y poder (omnipotencia), entre otras características. Pero corporalmente reside en los cielos según las sagradas escrituras, no en todas partes (omnipresencia); en consecuencia, posee límites corpóreos, puesto que no se encuentra ubicado en cualquier lugar o en todo lugar. La aberración de atribuir omnipresencia al Todopoderoso es un grave error antibíblico que desacredita la fiabilidad de la "Summa Theologiae".

Parece que la idea original de la omnipresencia divina fue desarrollada por la comunidad judía de "los fariseos" (siglo VI antes de la EC a siglo II de la EC). La revista LA ATALAYA del 15-3-1995, páginas 25-26, editada en español y en muchos otros idiomas por la Sociedad Watchtower Bible And Tract, informa:

«El nombre “Fariseos”, o “Peruschím” (en hebreo), probablemente significa “separados”. Los fariseos se consideraban seguidores de Moisés. Formaron su propia sociedad o fraternidad (en hebreo: javuráh). Para ser admitido, había que prometer ante tres miembros que se observaría con rigurosidad la pureza levítica, se evitaría la relación estrecha con los “amhaárets” (la multitud ignorante), y se pagarían meticulosamente los diezmos. [El evangelio de] Marcos 2:16 menciona a “los escribas de los fariseos". Algunos fariseos eran escribas y maestros profesionales, mientras que otros eran laicos.

Los fariseos creían que Dios es "omnipresente". Razonaban que, puesto que "Dios estaba en todas partes, podía adorársele dentro y fuera del Templo, y que no se le invocaba sólo mediante sacrificios. Así que promovieron la sinagoga como lugar de culto, estudio y oración, y la convirtieron en un lugar central e importante en la vida de la gente, hasta el punto de rivalizar con el Templo" (Encyclopaedia Judaica)…

Los fariseos también creían en una mezcla de predestinación y libre albedrío. En otras palabras, "todo está predestinado, pero se da libre albedrío". En cualquier caso, ellos creían que Adán y Eva estaban predestinados a pecar y que hasta un leve corte en el dedo estaba predeterminado.

Puede que Jesús tuviera presente estas ideas falsas cuando habló del derrumbamiento de una torre que provocó la muerte de dieciocho personas. Preguntó: "¿Os imagináis vosotros que con eso se probó que [las víctimas] fueran mayores deudores que todos los demás hombres que habitaban en Jerusalén?" (Lucas 13:4). Este accidente, como casi todos, fue consecuencia del "tiempo y el suceso imprevisto", no del destino, como creían los fariseos (Eclesiastés 9:11)…».

La doctrina de la "omnipresencia divina" (capacidad de estar presente en todas partes simultáneamente) se infiltró en el cristianismo primitivo progresivamente, entre otras cosas porque parece que algunos fariseos se hicieron cristianos y posteriormente trataron de conjugar sus viejas creencias con las enseñanzas de Jesucristo. Entonces, tras la muerte del último apóstol, Juan, hacia finales del primer siglo de la EC, al no existir ya ninguna "restricción" que frenase las tendencias apóstatas anticristianas que estaban floreciendo en el seno mismo del cristianismo (tal como había sido profetizado previamente por Jesús, Pablo, Pedro y otros), la doctrina de la omnipresencia cobró auge.

La inclusión de esta cualidad (la omnipresencia) entre las capacidades de la divinidad, sumada al atributo de omnipotencia, ha dado lugar a un conflicto teológico denominado "Paradoja de Epicuro" o "Problema del mal", según el cual no debería ser posible el mal en un mundo donde Dios está en todas partes y es todopoderoso. Éste es uno de los principales argumentos que esgrimen las llamadas "religiones deístas" (que consideran que la divinidad es únicamente creadora del mundo y nada más, sin posterior interacción con lo creado), contra las denominadas "religiones teístas" (que atribuyen a la divinidad no sólo un papel creador, sino también un papel activo o interactivo con lo creado).

La escolástica medieval cree haber refutado esta cuestión (el problema del mal) afirmando que la existencia de todas las cosas deriva de Dios, pero no son Dios; considerando que Dios es el Ser puro, que reúne en sí todas las perfecciones, y los demás entes del universo, al ser creados, recibieron el acto de ser por participación divina, reuniendo en sí ciertos actos y teniendo otros en potencia. El mal, entonces, no es considerado como una creación de Dios, sino como una imperfección por ausencia de bien, de forma análoga a como se puede interpretar la oscuridad, no como un ente en sí mismo, sino como ausencia de luz.

Sin embargo, en buena medida, los argumentos escolásticos a este respecto han resultado ser como el humo de un incendio, el cual, si deviene suficientemente denso, impide ver el fuego que lo produce. Así, el oportuno uso de una terminología teológica excesivamente abstracta, ambigua, irreal y rebuscada, capaz de aburrir y ahuyentar a las mentes científicas más inquietas, ha sido la estrategia más eficaz empleada por los astutos escolásticos. Pero, de todas formas, al afirmar que la omnipresencia es una de las perfecciones de la divinidad, el olor de la polémica no se pudo desprender de ellos. Por ejemplo, al asumir la doctrina antibíblica del "infierno de fuego" no pudieron evitar que algunos de sus propios correligionarios sinceros se preguntaran de qué manera un Dios omnipresente y santo pudiera estar (o no estar) fuera de ese lugar de tormento eterno.

Galileo y el infinito.

Galileo Galilei nació en Pisa el 15-2-1564, cuando esta ciudad pertenecía al Gran Ducado de Toscana, y fue el mayor de sus siete hermanos e hijo de un músico y matemático florentino llamado Vincenzo Galilei, quien quería que éste, su hijo mayor, estudiase medicina. Pero los Galilei eran una familia de la baja nobleza y se ganaban la vida gracias al comercio, por lo que se encargaron de la educación de Galileo hasta los 10 años, edad en la que el niño pasó a cargo de un vecino religioso llamado Jacobo Borhini cuando sus padres se trasladaron a Florencia. Por mediación de éste, el pequeño Galileo accedió al convento de Santa María de Vallombrosa (Florencia) y recibió una formación más religiosa que científica y le llevó a plantearse unirse a la vida religiosa, algo que a su padre le disgustó. Por eso, Vincenzo Galileo —un señor bastante escéptico— aprovechó una infección en el ojo que venía padeciendo su hijo Galileo para sacarle del convento alegando "falta de cuidados". Entonces, 2 años más tarde, Galileo fue inscrito por su padre en la Universidad de Pisa, donde estudió medicina, filosofía y matemáticas.

En 1583 Galileo se inició en la matemática por medio de Ostilio Ricci, un amigo de la familia y alumno del famoso Tartaglia. Ricci tenía la costumbre, rara en aquella época, de unir la teoría a la práctica experimental. Atraído por la obra de Euclides, sin ningún interés por la medicina y todavía menos por las disputas escolásticas y la filosofía aristotélica, Galileo reorienta sus estudios hacia las matemáticas. Todavía estudiante, descubre la ley de la "isocronía" de los péndulos, primera etapa de lo que será el descubrimiento de una nueva ciencia: la mecánica. Murió en Florencia, el 8-1-1642, casi con 88 años de edad.

Hoy día, en retrospección, Galileo Galilei es considerado un astrónomo, filósofo, matemático y físico italiano de altísimo nivel para su época, relacionado estrechamente con la "revolución científica occidental", la cual, según se dice, hizo que la ciencia se librara del estado infructífero en el que estaba empantanada a causa del dogmatismo religioso que tenía impuesto y que la encorsetaba. Además de esto, Galileo fue un eminente hombre del Renacimiento que mostró interés por casi todas las ciencias y artes conocidas en sus días (música, literatura, pintura). Sus logros incluyen la mejora del telescopio, gran variedad de observaciones astronómicas, la primera ley del movimiento y un apoyo determinante para el copernicanismo. Ha sido considerado como el "padre de la astronomía moderna, padre de la física moderna y padre de la ciencia moderna".

Su trabajo experimental es visto como complementario a los escritos de Francis Bacon en el establecimiento del moderno método científico y su carrera científica es complementaria a la de Johannes Kepler. Su trabajo se considera una ruptura de las teorías de la física aristotélica y su enfrentamiento con la Inquisición católica romana suele presentarse como el mejor ejemplo de conflicto irresoluble entre religión y ciencia en la sociedad occidental.

NOTA:

Bien es verdad que Galileo Galilei fue un científico digno de admiración, pero, como en el caso de toda otra persona humana imperfecta, tuvo sus defecciones y algunas de éstas le causaron graves problemas a la hora de enfrentarse con la Iglesia Católica en Roma, donde fue citado obligatoriamente y recriminado por ésta mediante el Tribunal de la Inquisición debido a que las declaraciones públicas de sus convicciones apolillaban la integridad de la doctrina católica y, consecuentemente, ponían en aprietos la autoridad papal y eclesiástica de la época. Por ejemplo, la revista DESPERTAD del 22-5-1984, página 9, editada en español y en muchos otros idiomas por la Sociedad Watchtower Bible And Tract, en un contexto en el que se señalan delitos fraudulentos cometidos por la casi totalidad de los más famosos hombres de ciencia de la historia, declara, en parte:

« Científicos famosos del pasado no fueron todos tan puros y dedicados como se nos hace creer. Además de sir Isaac Newton (1642-1727), he aquí una lista de otros cuyos delitos también han salido a luz: Claudio Ptolomeo, Galileo Galilei, Gregorio Mendel, etc., … [En cuanto a Galileo Galilei,] matemático y astrónomo italiano, conocido por las pruebas que hizo lanzando pesas desde la torre inclinada de Pisa, fue considerado el fundador de la ciencia experimental moderna debido a que para sus respuestas dependía de hechos observables más bien que de los escritos de Aristóteles. Pero a sus contemporáneos se les hizo difícil reproducir los resultados que él obtuvo, y llegó a ser conocido por sus " experimentos pensados ", lo cual daba a entender que él se imaginaba los resultados en vez de observarlos ».

Según Bertrand Russell ("El panorama de la ciencia", 1951), el conflicto entre Galileo y la Iglesia Católica fue un conflicto entre el razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo. La "inducción" basada en la observación de la realidad, propia del método científico que Galileo usó por primera vez, ofrecía pruebas experimentales de sus afirmaciones y publicaba los resultados para que pudiesen ser repetidas, frente a la "deducción", a partir en última instancia de argumentos basados en las declaraciones formales de alguna autoridad considerada incuestionable, ya sea de filósofos como Aristóteles o de las sagradas escrituras.

El 8 de febrero de 1616, Galileo envía su "teoría de las mareas" (Discorso del flusso e reflusso) al cardenal Orsini en un intento de refutar el geocentrismo (defendido por la Iglesia Católica) y afianzar el heliocentrismo copernicano (repudiado por la Iglesia). Esta teoría (a la cual se le ha reprochado durante mucho tiempo de estar en contradicción con el principio de la inercia enunciado por el mismo Galileo, y que sólo puede explicar pequeños componentes del fenómeno) pretendía demostrar que el movimiento de la Tierra (alrededor del sol) producía las mareas, mientras que los astrónomos jesuitas ya postulaban con acierto que las mareas eran producidas por la atracción de la Luna.

Aunque oficialmente, desde la Iglesia, no se le instó personalmente, no obstante se le rogó a Galileo exponer su tesis presentándola como una hipótesis y no como un hecho comprobado, cosa que el sabio no hizo a pesar de que no le fue posible demostrar dicha tesis. Esta intransigencia de Galileo, que rechazó la equivalencia veritativa de las hipótesis copernicana (heliocentrismo) y ptolemaica (geocentrismo), pudo haber precipitado los eventos que le llevaron a un desenlace desfavorable. Un estudio del proceso por Paul Feyerabend (aparentemente no comprometido con ninguna ideología religiosa) muestra que la actitud del inquisidor católico Roberto Belarmino contra Galileo fue al menos tan científica como la de Galileo, siguiendo los criterios modernos de la metodología de la ciencia.

En el proceso inquisitorial, que hizo caer en desgracia a Galileo, se presentaron argumentos que refutaban el método supuestamente experimental que el sabio decía utilizar para probar el heliocentrismo como un hecho consumado, en lugar de una hipótesis. Y lo cierto es que, frente a las poderosas mentes inquisitoriales y con el menoscabo añadido de haber cometido fraude en la declaración de los resultados de determinados experimentos (tal como expone la revista Despertad citada anteriormente), la argumentación galileana no pudo menos que perder mucha fuerza.

Ahora bien, la Iglesia Católica, como institución, a pesar de haber sido asistida por mentes tan brillantes como las de Agustín de Hipona, Tomás de Aquino, Roberto Belarmino y otros, ha fracasado rotundamente en cuanto a aferrarse a la verdad bíblica y difundirla. Al haber hecho un sincretismo entre el cristianismo primitivo y las doctrinas filosóficas de Platón (inmortalidad del alma humana), Aristóteles y el fariseísmo (omnipresencia divina), entre otros, ha adulterado la sagrada escritura para que su mensaje case con creencias de filósofos clásicos prominentes y determinadas otras enseñanzas antibíblicas (como las doctrinas del tormento eterno en un infierno de fuego y una santísima trinidad). Ha tricotado teóricamente a partir de falsas premisas, usando el método deductivo, hasta componer una teología que no es más que un engendro religioso abominable que ofende al Dios de las sagradas escrituras.

En 1600, Galileo, con cierta ambigüedad, rechazó la idea del infinito matemático como paradójica, ya que, según él, atentaba contra la razón. Galileo llegó a esta conclusión después de observar que los puntos de dos segmentos de recta de diferentes longitudes podían hacerse corresponder biunívocamente, es decir, punto a punto. O sea, el infinito permitía que la parte fuera del mismo tamaño que el todo. Otro ejemplo muy utilizado por Galileo, y popular en su época, fue el del conjunto de los "números cuadrados perfectos" (un número se dice "cuadrado perfecto" cuando es un número natural elevado al cuadrado): el conjunto de los números cuadrados perfectos es apenas una parte del conjunto de los números naturales, sin embargo cada número natural es la raíz cuadrada de un único número cuadrado perfecto (n ® n2); o sea, ambos conjuntos poseen la misma cantidad infinita de elementos (el todo, o conjunto de números naturales, tiene el mismo tamaño o cantidad de elementos que una de sus partes: el conjunto de los números cuadrados perfectos).

Galileo no escribió ningún libro sobre los aspectos matemáticos de su trabajo, pero, a pesar de rechazar por sin sentido el infinito actual, frecuentemente consideró un segmento de recta formado por un número infinito de puntos y aceptó el continuo de la recta como un infinito actual. Esto significa que el sabio italiano necesitaba aceptar el infinito de la recta para poder desarrollar su trabajo científico, pero, a su vez, el análisis de la idea le generaba paradojas insoportables desde el punto de vista de la razón. ¿Cómo conciliar lo uno con lo otro, si es que en verdad es posible ello?

Todo indica que ni Galileo ni muchas otras mentes privilegiadas que vinieron después de él consideraron reconciliables ambos aspectos, y algunos trataron incluso de evadir el infinito actual introduciendo artificios matemáticos que aparentemente eludían la necesidad de recurrir a dicho concepto.

El indigesto infinito actual.

Immanuel Kant (1724-1804) coincidía con Aristóteles al señalar que el límite absoluto es imposible en la experiencia, es decir, nunca podemos llegar al infinito (actual). Afirmaba que las cosas existen en el espacio cuando son percibidas por la mente; en consecuencia, los espacios infinitos no existirían, ya que no pueden ser percibidos por la mente tras reflexionar un período de tiempo finito (Kant, 1781).

El gran matemático Karl Friedrich Gauss (1777-1855), en 1831, enfatizaba su protesta contra el uso del infinito como algo consumado (infinito actual): "Protesto contra el uso de una cantidad infinita como una entidad actual; ésta nunca se puede permitir en matemática. El infinito es sólo una forma de hablar, cuando en realidad deberíamos hablar de límites a los cuales ciertas razones pueden aproximarse tanto como se desee, mientras otras son permitidas crecer ilimitadamente". Pero Gauss no fue el único matemático de su época en rechazar el infinito actual.

También Cauchy (1789-1857) rechazó la idea de una colección infinita, por razones parecidas a las de Galileo; es decir, la existencia de una "biyección" (o estricta correspondencia uno a uno) entre la totalidad infinita y una de sus partes, lo cual echaba por tierra el axioma euclidiano de que el todo es mayor que la parte (es decir, que una parte más pequeña de ese "todo"). Sin embargo, para esa época la geometría euclidiana comenzaba a ser cuestionada y poco después fue considerada como un caso particular de un tipo de geometría no euclidiana. A pesar de todo, el citado axioma euclidiano permaneció incuestionable en aquel tiempo.

NOTA:

Euclides (325-265 antes de la EC) fue un matemático y geómetra griego, al que se conoce como "Padre de la geometría". Vivió en Alejandría (Egipto) durante el reinado del faraón helenista Tolomeo I Soter (323-285 antes de la EC) quien, deseando modernizar los tratados de geometría existentes, encomendó a Euclides escribir una compilación o refundición completa. El resultado fue los "Elementos", en 13 volúmenes, a los que posteriormente se añadieron 2 volúmenes más, atribuidos a Hipsicles de Alejandría.

Se cuenta que el faraón Tolomeo preguntó a Euclides si no habría alguna manera más simple de aprender Geometría, en lugar de tener que estudiar los "Elementos"; a lo que el autor respondió: "No existe un camino real hacia la geometría". Los "Elementos" de Euclides sistematizan todos los conocimientos de su época, estando ordenadas las enseñanzas a la manera del autor y estando demostrados los teoremas siguiendo el método axiomático; es decir, todo se deduce a partir de cinco axiomas y cinco postulados, cuyas verdades se consideran evidentes o cuasi evidentes. Los axiomas son:

1.Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.

2.Si cantidades iguales se suman a cantidades iguales, las sumas son iguales.

3.Si cantidades iguales se restan de cantidades iguales, las diferencias son iguales.

4.Dos figuras que coinciden son iguales entre sí.

5.El todo es mayor que cualquiera de sus partes. Los postulados son:

1.Es posible trazar una línea recta entre dos puntos cualquiera.

2.Todo segmento puede extenderse indefinidamente en línea recta.

3.Un círculo puede tener cualquier centro y cualquier radio.

4.Todos los ángulos rectos son iguales.

5.Por un punto exterior a una recta no puede trazarse más que una paralela a ella.

Como quiera que el 5º postulado nunca ha resultado demasiado evidente, durante mucho tiempo los geómetras lucharon por demostrarlo a partir de los otros cuatro postulados y de los cinco axiomas precedentes, sin conseguirlo. A partir del siglo XIX de la EC surgieron nuevas geometrías llamadas "no euclidianas", que niegan este postulado o que lo sustituyen por otros diferentes.

Por ejemplo, una forma equivalente del 5º postulado es "Dos rectas paralelas nunca se cortan", el cual se sustituye por otro que dice: "Dos rectas paralelas pueden cortarse en el infinito". De esta manera se introduce una geometría no euclidiana que alberga a la euclidiana como caso particular: la geometría euclidiana vendría a ser una geometría que no se extiende hasta el infinito, por eso, en su dominio, el 5º postulado puede afirmar que dos rectas paralelas nunca se tocarán. En cambio, si extendemos dicha geometría hasta el infinito, el 5º postulado permitiría que ambas paralelas se interceptaran.

Los "Elementos" de Euclides tuvieron una influencia enorme sobre los matemáticos árabes y occidentales, y se han mantenido en vigor como el exponente máximo de la geometría durante más de 2000 años. Ello se ha debido a la exquisitez teórica con la que fueron elaborados. Sin embargo, a principios del siglo XX de la EC, el 5º axioma de Euclides ("El todo es mayor que cualquiera de sus partes") también fue cuestionado. ¿De qué manera?

Fue cuestionado de forma similar a como lo fue el 5º postulado, a saber, por medio de introducir la noción del infinito en el asunto. Al introducirse la idea de conjunto formado por infinitos elementos, fue fácil probar que una parte propia de un conjunto infinito puede ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto completo, dando como resultado que "el todo es igual a una de sus partes" (ver página 8, números cuadrados perfectos y conjunto de los números naturales). Los matemáticos contemporáneos Bolzano, Cantor y Dedekind contribuyeron decisivamente al derrocamiento del 5º axioma euclidiano, al aceptar y hacer aceptar el infinito actual en las matemáticas.

El teólogo y matemático checo Bernhard Bolzano (1781-1848) fue el primero en tratar de fundamentar la noción de infinito actual. En su obra póstuma "Paradojas del infinito" (1851), defendió la existencia de un infinito actual y enfatizó que el concepto de equivalencia entre dos conjuntos (nota: dos conjuntos son equivalentes cuando admiten la biyección) era aplicable tanto a conjuntos finitos como infinitos. Bolzano, pues, aceptó como algo normal el que los conjuntos infinitos fueran equivalentes a una parte propia de ellos mismos. Esta definición del infinito (a saber: un conjunto es infinito si y sólo si es equivalente a una parte propia de sí mismo) fue utilizada posteriormente por Cantor y Dedekind.

A pesar de que la obra de Bolzano, "Paradojas del infinito", era más bien de corte filosófico que matemático, ya que carecía de conceptos cruciales tales como "conjunto" y "número cardinal" (potencia), podríamos decir que Bolzano fue el primer matemático en sentar las bases para la construcción de una teoría de conjuntos.

Los transfinitos.

A finales del siglo XIX, Cantor (1845-1918) desarrolló una teoría formal sobre el infinito actual. Todos los argumentos dados, señaló Cantor, en contra del infinito han sido insensatos, ya que han tratado la aritmética de los números infinitos como una extensión de la aritmética de los números finitos. Uno de los objetivos de su obra "Grundlagen" era demostrar que no había ninguna razón para aceptar las viejas ideas en contra del infinito actual. Si los conjuntos infinitos se comportan de manera diferente a los conjuntos finitos no quiere decir que éstos sean inconsistentes, sino que obedecen a una aritmética diferente.

Cantor demostró, contra la famosa paradoja de "la aniquilación de lo finito por lo infinito" ("a + 8 = 8", página 3), que los números infinitos eran susceptibles de ser modificados por los números finitos. Esto lo hizo por medio de introducir en 1897 la noción de " números ordinales transfinitos". En la "teoría de números ordinales infinitos o transfinitos" (se llama "número cardinal transfinito" al que expresa la cantidad de elementos que tiene un conjunto infinito, y se llama "número ordinal transfinito" al que expresa el orden más allá de lo finito que ocupa un elemento alejado infinitamente de otro elemento que lo antecede en un conjunto infinito que está "bien ordenado") se hace distinción entre "w" ( primer ordinal transfinito) y "w +1", demostrándose, dentro de la teoría de los números transfinitos, que los números finitos podían ser sumados a los números infinitos sin ser aniquilados.

Así, pues, en el caso infinito, los ordinales ofrecen una distinción mas fina que los cardinales, que sólo representan la cantidad de elementos. Por tanto, mientras sólo existe un cardinal infinito numerable, qu es À0 (alef-sub-cero), existen infinitos ordinales infinitos y numerables, a saber: w, w+1, w+2, w+3, … , w·2, w·2+1, w·2+2, …, w·n, w·n+1, … , w2, …, wn, … , ww, … , los cuales se corresponden con distintas maneras de ordenar el conjunto infinito de los números naturales.

Por otra parte, Cantor también rechazó la distinción aristotélica entre infinito actual e infinito potencial, ya que, según Cantor, en matemáticas todo infinito potencial presupone la existencia de un infinito actual. En efecto, al ser atemporales (esto es, la noción de tiempo no está definida), las matemáticas no pueden albergar la noción de cambio, movimiento o progreso en el tiempo, sino que cualquier cambio u operación matemática se considera actual o atemporal. De hecho, si en una teoría matemática se tuviera en cuenta la dimensión del tiempo, entonces, automáticamente, dicha teoría pasaría al campo de la Física.

Georg Cantor fue el creador de la teoría de conjuntos transfinitos y, siguiendo los pasos de Bolzano, consideró que la idea de una biyección sería el principio básico para comparar conjuntos infinitos. Si existe al menos una biyección entre dos conjuntos, podemos decir que dichos conjuntos son equipolentes, equipotentes o que tienen la misma potencia. El término de potencia de un conjunto dio paso al término de número cardinal o cardinal de un conjunto (cantidad de elementos de ese conjunto).

Infinita cantidad de infinitos.

El conjunto de los números naturales se denota por N y está formado por toda la infinidad de números que sirven para contar, hecho que se representa así:

La representación de N en la recta numérica es así:

N = {1, 2, 3, 4, … }

Como N carece de último elemento (es decir, se prolonga hasta el infinito), debe tener una cantidad infinita de elementos y a dicha cantidad se la llama CARDINAL o POTENCIA de N, y se la denota por "card(N)". Dicho cardinal se conoce también como POTENCIA DEL NUMERABLE y es el infinito más pequeño que existe, esto es, no hay un infinito matemático menor que "card(N)". George Cantor designó a dicho cardinal como "??"(alef-sub-cero).

El conjunto de los números enteros se forma a partir de los números naturales, dando signos negativo y positivo a éstos y añadiendo el cero. Se denota por Z y está formado por toda la infinidad de los números positivos y negativos, hecho que se representa así:

Z = { … -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, … }

También, los números positivos pueden escribirse sin el signo + delante, con lo que entonces Z se podría expresar así:

Z = { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } La representación de Z en la recta numérica sería: