Espacios afines y variedades (página 4)

Observación:

• La afinidad está determinada por el par , pero por comodidad se dirá que T es una afinidad.
• La condición nos determina .
• Recuérdese que la estructura de espacio afín puede darse también por el conjunto de sus traslaciones (Pág. 27), de modo que sean:

dos traslaciones cualesquiera, es lógico exigir que las aplicaciones hiciesen conmutar el diagrama:

Es decir:

En particular si: entonces se tendrá , luego la aplicación asociada a se llama aplicación afín de E, y se dice que es el endomorfismo asociado a T.

PROPOSICIÓN 3.1: Las condiciones siguientes son equivalentes:

i)

ii)

DEMOSTRACIÓN:

Sean

Sea . Como

Dados se cumple que:

Consecuentemente:

• Se dice que una aplicación es una afinidad si existe una aplicación lineal que cumple con las condiciones de la proposición 3.1, por lo que a se le llama aplicación lineal asociada a

.

1. PROPIEDADES DE LAS AFINIDADES

En esta sección mostraremos algunas propiedades fundamentales de aplicaciones afines, tales como:

PROPOSICIÓN 3.2: La composición de aplicaciones afines es una aplicación afín.

DEMOSTRACIÓN:

Si son aplicaciones afines.

es una afinidad.

Además se puede observar que es la aplicación lineal asociada a .

PROPOSICIÓN 3.3:

La suma de afinidades y el producto de una afinidad por un escalar son aplicaciones afines.

DEMOSTRACIÓN:

Si son aplicaciones afines entonces:

1. 

   es una aplicación afín.

2. 
3. Sea c un escalar y

una afinidad:

es una afinidad..

PROPOSICIÓN 3.4:

Dada una afinidad de en :

1. es inyectiva es inyectiva.
2. es suryectiva es suryectiva.
3. es biyectiva

es biyectiva.

DEMOSTRACIÓN:

1. Sea , entonces .

   Si .

   Entonces

   Y como T es inyectivo

   Entonces

   es inyectivo.

   Supóngase que es inyectivo.

   Sea

   

   Entonces pero como es inyectiva

   es inyectiva.

2. Supóngase que T es inyectiva

   Dado , con . Existen , talque

   

   Entonces

   es suryectiva.

   Supóngase que es suryectiva

   Consideremos un vector , con A arbitrario en y .

   Como es suryectiva, existe un talque

   Si entonces:

   

   

   talque .

   es suryectiva.

3. Supóngase que T es suryectiva.
4. Consecuencia de a) y b).

Como consecuencia de esta proposición afirmamos que una afinidad biyectiva es un isomorfismo afín.

COROLARIO 3.1:

Si T es una afinidad biyectiva con aplicación lineal asociada entonces es una afinidad con aplicación lineal asociada .

DEMOSTRACIÓN:

Sea una afinidad biyectiva con la aplicación lineal asociada a T, entonces existe biyectiva. Por demostrar que es la aplicación lineal asociada a .

T es biyectiva si y sólo si lo es.

y como se tiene:

Luego:

por .

Por lo tanto es la aplicación lineal asociada a .

Observación:

• Si una aplicación afín T de E es biyectiva se dice que es una transformación afín de E.

TEOREMA 3.5:

Sean dos afinidades que coinciden sobre un punto P es decir , y que tienen la misma aplicación lineal asociada . Entonces .

DEMOSTRACIÓN:

Como es una afinidad

por hipótesis

Por lo tanto

3. PUNTOS INDEPENDIENTES:

Sea E un espacio afín asociado al espacio vectorial V sobre el cuerpo K. Se dice que los puntos son independientes si los vectores son linealmente independientes.

Como consecuencia de esta definición se tiene:

1. Dos puntos son independientes si y sólo si son diferentes.
2. Tres puntos son independientes si y sólo si no están alineados.
3. Se el número máximo de puntos independientes es

.

Observación:

• Los puntos

están alineados si y sólo si los vectores

Son linealmente dependientes.

3. PROPIEDADES CONSERVADAS POR LAS AFINIDADES:

En esta sección mostraremos que las afinidades conservan puntos alineados, así como la razón simple de tres puntos alineados.

RAZÓN SIMPLE

Dados tres puntos alineados de un espacio afín E se denomina razón simple y se escribe al elemento tal que se cumple que:

Está definido siempre que:

1. , pues si fuera , r sería indeterminado porque
2. , pues si fuera , se tendría lo cual contradice nuestra hipótesis.
3. , pues si fuera , se tendría

lo cual contradice nuestra hipótesis.

PROPOSICIÓN 3.6: Las afinidades conservan la razón simple de tres puntos alineados.

DEMOSTRACIÓN:

Sea una afinidad y la aplicación lineal asociada a .

Sean y la razón simple, por definición se cumple:

Porque es lineal.

PROPOSICIÓN 3.7:

Una aplicación es una afinidad si y sólo si conserva puntos alineados y sus razones simples.

DEMOSTRACIÓN:

Se debe demostrar que T conserva puntos alineados.

Para que T conserve puntos alineados se debe demostrar que los puntos están alineados, siendo puntos alineados.

Sean los vectores y en por demostrar que son linealmente dependientes.

Como puntos alineados, entonces y son linealmente dependientes.

Por lo tanto , entonces los vectores y son linealmente dependientes y los puntos están alineados.

Sea una aplicación sea A fijo en y sea definida por .

Por demostrar que T es una afinidad, para ello se debe demostrar que es lineal.

En efecto:

1. Sean

   Sea el punto medio del par y el punto medio del par

   

   Como: o lo que es lo mismo se deduce que

   

   Por otro lado se puede observar que: cuando decimos que es punto medio del par esto ocurre si y sólo si de la misma forma ocurre que .

   Como T conserva sus razones simples entonces

   

   Con punto medio del par y punto medio del par , Además se cumple que

   

   También se cumple que:

   

   

   

2. Por demostrar que:
3. Por demostrar que:

Sea .

Sea

Por lo tanto de a. y b. se tiene que es lineal, que es la aplicación lineal asociada, entonces T es una afinidad.

Observación:

• Como todo vector admite muchas representaciones de la forma , se fijo un punto

y tomamos todos los vectores con origen A.

Ejemplo:

Considérese la afinidad tal que asocia a cada punto de coordenadas el plano de coordenadas en un cierto sistema de referencia del plano afín de manera que:

Probar que la razón simple es constante, siendo Q el punto de intersección de la recta que pasa por los puntos P y con el eje .

Solución:

Obsérvese la siguiente figura:

Se puede observar que y . Entonces:

Por lo tanto:

TEOREMA 3.2: (imagen directa e imagen inversa de una afinidad)

Si es una afinidad y es una variedad lineal de , . Si es una variedad lineal de y , entonces .

DEMOSTRACIÓN:

Lo que demuestra la primera parte.

Para la segunda parte, obsérvese que:

Sea

Por lo tanto .

Observación:

• La imagen de una variedad lineal de dirección , mediante una afinidad , es una variedad lineal de dirección .
• La imagen recíproca de una variedad lineal de dirección , mediante una afinidad, es una variedad lineal de que si no es vacía tiene por dirección .
• Por el teorema anterior se puede concluir que la es una variedad lineal de , pues

COROLARIO 3.2:

Si T es una afinidad, T transforma variedades paralelas en variedades paralelas. En particular, T transforma puntos alineados en puntos alineados.

DEMOSTRACIÓN:

Sean y dos variedades paralelas, entonces se tiene que .

por lo tanto son también paralelas.

Observación:

• De esta propiedad se puede concluir que una afinidad conserva el paralelismo de variedades y la alineación de puntos.

PROPOSICIÓN 3.8:

Sea B el conjunto de todos los puntos fijos de una afinidad , V el espacio vectorial asociado a T y W el sub espacio vectorial de V con vectores de valores propios igual a uno. Si entonces es una variedad lineal de dirección W.

DEMOSTRACIÓN:

Sea , entonces y sea el sub espacio vectorial de vectores propios de valor uno, entonces .

Por otro lado:

Como T es una afinidad por la proposición 3.1. se tiene:

Entonces los puntos son todos fijos, por lo tanto .

Demostrando la inclusión inversa:

Para cualquier punto se tiene

De y se concluye que .

Por lo tanto, el conjunto de todos los puntos fijos de T es la variedad donde W es el sub espacio de todos los vectores propios de valor uno.

5. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS:

Una aplicación afín está determinada dando la transformación de un punto y la aplicación lineal asociada. Y una aplicación lineal está determinada dando las imágenes de los vectores de una base.

Consecuentemente:

Supóngase que es un espacio afín de dimensión n y sea un sistema de referencia de . Dados un punto Q de y una familia de vectores de , existe una afinidad , y sólo una, talque , y si es la aplicación lineal asociada a T, entonces , donde los

TEOREMA 3.3:

Sea una aplicación afín, considérese el sistema de referencia cartesiana y de los espacios afines y respectivamente. Si las coordenadas de X en el sistema son e indicamos por x la matriz columna formada por estas coordenadas, es la matriz de en las bases y de los espacios vectoriales asociados y , y las coordenadas del punto en el sistema de referencia e indicamos por b la matriz columna formada por estas coordenadas. Entonces, las coordenadas de son los elementos de la matriz columna y que cumple la siguiente ecuación matricial:.

DEMOSTRACIÓN:

Se sabe que

Si las coordenadas de X en el sistema son y es la matriz de en las bases y de los espacios vectoriales asociados y , las coordenadas del vector son los términos de la matriz columna Mx, donde:

Sean ahora las coordenadas del punto en el sistema de referencia , e indiquemos por b la matriz columna formada por estas coordenadas. Entonces, las coordenadas de son los elementos de la matriz columna .

Observación:

• La ecuación matricial

puede también escribirse del siguiente modo:

de donde:

y ;

La matriz se llama matriz de la afinidad T en el sistema de referencia y . La expresión desarrollada

Son las ecuaciones de la afinidad T en las coordenadas anteriores.

TEOREMA 3.4:

Sean dos espacios afines. Toda aplicación dada por las ecuaciones

Es una aplicación afín.

DEMOSTRACIÓN:

Considérese la aplicación lineal que tiene por matriz a en las bases correspondientes en los sistemas de referencias fijados.

Si son las coordenadas de , las coordenadas de son:

La imagen de cualquier punto X tiene por coordenada es decir, .

Esto nos dice que T es una afinidad con aplicación lineal asociada .

Observación:

• Este resultado prueba que la matriz y las ecuaciones de una afinidad es un sistema de referencia fijado están unívocamente determinados.

Ejemplo:

Sea E un espacio afín real de dimensión tres. Considérese la aplicación afín T definida por las ecuaciones siguientes:

Donde y representan las coordenadas de un punto de E y de su transformado.

Determinar, si es posible las ecuaciones de .

Solución:

Se tiene .

Se puede observar que , por lo tanto T es biyectiva y la matriz de la aplicación afín biyectiva es:

Por lo tanto la matriz de es

Entonces las ecuaciones de son:

es decir:

5. PRINCIPALES AFINIDADES:

Como consecuencia de las aplicaciones afines y sus propiedades, ahora mostraremos que las afinidades por si mismas resultan principales en la geometría lineal, así que en esta sección desarrollaremos las principales afinidades, tales como:.

1. TRASLACIÓN

Sea E un espacio afín y V se espacio vectorial asociado sobre el cuerpo K, se llama traslación del vector a la aplicación

Tal que .

• Sea una traslación del vector . Si :

Donde I es la aplicación identidad de V.

Esto implica que es una afinidad sí, y sólo si, la aplicación lineal asociada es I.

Observación:

• es una afinidad junto con la aplicación lineal
• El vector

está determinado por un punto y su imagen que es independiente del punto escogido.

Ejemplo 1:

Escribir las ecuaciones de una traslación referidas a un sistema de referencia cartesiana de un espacio afín de dimensión 3.

Solución:

Si las coordenadas del vector de traslación en la referencia dada son , las ecuaciones de la traslación son:

y en forma matricial

O bien: .

Ejemplo 2:

Una aplicación afín transforma los puntos en los puntos respectivamente. Comprobar si la afinidad es o no una traslación.

Solución:

Por demostrar que .

Entonces por definición, .

En consecuencia:

Por lo tanto T es una traslación del vector .

1. PROYECCIÓN

Definición: Una afinidad se llama una proyección si,

Consecuencias:

es una proyección.

En efecto:

Sea

• Todo punto de

es fijo.

En efecto:

Es claro que .

Además si es fijo, entonces . Así es el conjunto de todos los puntos fijos de T.

Observación:

• Si se dice que

es un proyector de V.

Puesto que T es una proyección de E y es un proyector de V y se cumple que por lo tanto, el polinomio mínimo de T es un divisor del polinomio , el cual puede ser representado por: . Entonces sean entonces y como es un polinomio mónico entonces y también lo son, por lo tanto se presentan tres casos:

1. es un polinomio mónico y como es solución del polinomio se tiene que .

   Por otro lado:

   Por lo tanto se puede ver que T aplica a todo E en el mismo punto.

2. Si el polinomio mínimo es .

   Como es solución del polinomio se tiene que:

   

   Por lo tanto T es una traslación por tener como aplicación lineal asociada a y como T tiene puntos fijos es una traslación del vector , es decir

3. Si el Polinomio mínimo es .
4. Si el polinomio mínimo es

donde es sub espacio invariante sobre el que y es un espacio invariante sobre el que por el teorema de descomposición.

Sea P un punto fijo en E, entonces se tiene:

Si

Entonces el conjunto de todos los puntos fijos de T es, en este caso ó (pues todo punto de imagen de T es punto fijo).

• Por otro lado

por (*)

Entonces

Por lo tanto

Por los dos casos anteriores se tiene que

Observación:

• Sea E un espacio afín y V es su espacio vectorial asociado sobre el cuerpo K. Una afinidad T de E es una proyección, sí y sólo si existen dos sub espacios vectoriales de V y una variedad lineal de de dirección tales que para punto , es la intersección de y

.

En tal caso se dice que T es la proyección sobre paralela a . La variedad lineal se llama base de la proyección y es sub espacio se llama dirección de la proyección.

Ejemplo:

En un espacio vectorial de dimensión 3 considérese la base y los sub espacios suplementarios y en V.

Donde . Elegimos un punto O del espacio afín E, Considérese el sistema de referencia . Además considérese la variedad lineal con , hallar las ecuaciones de las proyección sobre L paralelas a .

Solución:

Los sub espacios y son suplementarios ya que .

Sea R la proyección sobre L paralelamente a .

Sea un punto cualquiera de E y , su imagen por R

Por otro lado se tiene que:

sustituyendo se tiene:

De aquí obtenemos las ecuaciones de la proyección:

O bien en forma matricial:

1. SIMETRÍA

Definición: Una afinidad se llama simetría, si se cumple que: .

Consecuencias:

• Los puntos medios formados por un punto y su imagen

son fijos.

En efecto: Sea M punto medio de A y .

Sea

Por lo tanto

es una simetría.

En efecto:

.

Observación:

• Si se cumple que ,

es llamado una simetría vectorial.

Si T es una simetría de E. Puesto que , también , el polinomio mínimo de es un divisor de . Por lo tanto hay tres posibilidades.

1. 

   es una traslación y como la única traslación que tiene punto fijo es .

2. Si el polinomio mínimo de es

   

   Si D es un punto fijo, para todo se tiene:

   

   Como

   Por lo tanto existe un único punto fijo D que es punto medio del punto y su imagen.

   Entonces se dice que T es una simetría central de centro D.

3. Si el polinomio mínimo de es
4. Si el polinomio mínimo de es

Sea por el teorema de descomposición es un sub espacio invariante con y es un sub espacio invariante con .

Sea P un punto fijo:

Entonces los puntos fijos de T pertenecen a la variedad

Por otra parte:

Por lo tanto

De (*) y (**) se determina .

Observación:

• Sea E un espacio afín y V es su espacio vectorial asociado sobre el cuerpo K. Una afinidad T de E es una simetría, sí y sólo si existen dos sub espacios vectoriales de V y una variedad lineal de de dirección tales que para punto , se cumple donde es la proyección de A sobre paralelamente a . Entonces se dice que T es la simetría respecto a paralela a . La variedad lineal se llama base de la simetría y el sub espacio

se llama dirección de la simetría.

Ejemplo:

Sea E un espacio afín real y un sistema de referencia de E. Sea Q un punto de coordenadas y T la simetría respecto a la recta de ecuación paralela al sub espacio . Hallar las soluciones de T.

Solución:

Sea el sub espacio de dirección de la recta, suplementario a . Sea un punto cualquiera de la recta. Entonces se cumple:

De donde:

Sea M la proyección de Q sobre la recta paralelamente a , se tiene que , entonces .

Por otro lado: sustituyendo se tiene:

O en la forma matricial:

1. HOMOTECIA

Definición: Una afinidad se llama homotecia de razón y , si: .

Consecuencia:

Una homotecia tiene un único punto fijo.

En efecto:

Supóngase que es punto fijo y B cualquier punto de E donde , entonces:

Esta relación es válida .

Supóngase que C es otro punto fijo en E, es decir .

Entonces el único punto fijo de la homotecia es A, al que se llamará centro de la homotecia.

Definición: El único punto fijo de una homotecia, se llama centro de la homotecia.

Consecuencias:

• La imagen de cualquier otro punto es:

• La composición de homotecias afines es otra homotecia.

En efecto:

Sean y dos homotecias afines con razones respectivamente.

se tiene:

Por lo tanto la composición de homotecias es otra homotecia con razón .

Observación:

• Si la homotecia T para cualquier es la transformación identidad.
• La homotecia es afinidad sí y sólo si

.

Ejemplo 1:

Escribir las ecuaciones de una homotecia de centro y razón r referida a un sistema de referencia cartesiana de un espacio afín de dimensión 3.

Solución:

Como Q es el centro de la homotecia, entonces es un punto fijo.

Por lo tanto las ecuaciones de la homotecia son:

O bien

Ejemplo 2:

Calcular el transformado del punto por la homotecia de razón 2.

Solución:

CONCLUSIONES:

En el presente trabajo, lo que se hizo fue mostrar algunas propiedades que se cumplen en la geometría euclidiana con los métodos del algebra lineal, lo cual nos permite presentar las propiedades de forma axiomática.

Por otro lado se puede observar que la aplicación del álgebra lineal a la geometría es una perspectiva adicional que ratifica la teoría, y consecuentemente considero como conclusiones; los siguientes resultados:

• Las afinidades conservan la razón simple.
• La imagen directa e inversa de una variedad lineal mediante una afinidad es otra variedad lineal.
• El paralelismo de variedades lineales es invariante bajo aplicaciones afines.
• El único punto fijo de una afinidad homotecia es su centro.

BIBLIOGRAFÍA:

1. Por : José Tola Pasquel

   Editorial : PUCP – 1º Parte 1978 Lima

2. Algebra Lineal y Multilineal

   Por : José Tola Pasquel

   Editorial : PUCP – 2º Parte 1989 Lima

3. Algebra Lineal y Multilineal

   Por : Manuel Castellet e Irene Llerena

   Editorial : Reverté, S.A. – 1994 Barcelona

4. Algebra Lineal Y Geometría

   Por : Juan De Burgos

   Editorial : Alhambra. S.A. – 2º edición 1980

5. Curso de Algebra y Geometría

   Por : Alecandre A. Martins Rodríguez

   Editorial : Uniao Pan – Americana

6. Algebra Lineal Y Geometría Euclidiana
7. Algebra Lineal

Por : Kenneth Hoffman y Ray Kunze

Editorial : Grupo Impresa S.A. de C.V. – México.

Autor:

Lic. Sandra Salazar Palomino

Br. Wilbert Colque Candia

APURÍMAC – PERÚ

2007