Espacios afines y variedades (página 3)

1. INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL

Sea V un espacio vectorial sobre K. Los vectores se dicen linealmente dependientes si existen n elementos , donde no todos son iguales a cero tales que:

…..…..(*)

Los vectores son linealmente independientes si la relación (*) implica que:

………………….(**)

• Si se tiene que A es linealmente dependiente, pero si

es linealmente independiente.

1. Un sub conjunto S de un espacio vectorial V, se llama sistema de generadores de V, si cada vector es una combinación lineal de vectores de S. V constituye un sistema de generadores de si mismo.

2. SISTEMA DE GENERADORES DE UN ESPACIO VECTORIAL

   Una familia de vectores de un espacio vectorial V se llama base del espacio si es un sistema de generadores de V, y es un conjunto linealmente independiente.

   La familia de vectores es una base, si y sólo si, cada vector puede ser escrito de una y sólo de una manera:, donde los escalares se llama coordenadas de V respecto de la base .

3. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
4. DIMENSIÓN

Se dice que n es la dimensión de un espacio vectorial , si n es el número máximo de vectores de una base de V. Se escribe .

• Si hay infinitos vectores linealmente independientes, se dice que la dimensión es infinita.

EJEMPLO:

• En el caso del plano los vectores y , no colineales son independientes y no hay tres vectores independientes, por lo tanto la dimensión del plano es 2 y , forman una base.
• Sea el espacio

y consideremos los vectores:

Estos forman una base llamada canónica, ya que una relación de la forma:

Implica

Luego:

Entonces: son linealmente independientes.

Como todo vector se puede escribir:

=

Los vectores generan todo el espacio .

1. TRANSFORMACIÓN LINEAL

Sean U y V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K, la aplicación T: U V es una transformación lineal si, dado un par de vectores U se cumplen las condiciones:

• 
• ;

El conjunto de todas las transformaciones lineales de U en V es un espacio vectorial respecto a las operaciones de adición y producto por un escalar definidas por:

• ;U
• ;U y α

Este espacio se denomina espacio vectorial de transformaciones lineales, la que denotaremos por (U,V).

Las transformaciones lineales inyectivas se llaman transformaciones regulares; las biyectivas se llaman isomorfismos. Si existe un isomorfismo de U sobre V se dice que dichos espacios son isomorfos.

Las transformaciones lineales de un espacio U en si mismo se llaman endomorfismos, y el espacio vectorial de los endomorfismos se designa por (U). Las transformaciones lineales biyectivas de U sobre U se llaman automorfismos.

Las transformaciones lineales de U en se llaman funciones o formas lineales, y el espacio de las funciones lineales definidas en U se designa por

1. Sea la aplicación lineal . La imagen de f es el conjunto de los vectores:

   

   El núcleo de o espacio nulo de es el conjunto de los elementos de U que se transforman en el elemento nulo de .

   Es decir:

   Sea una transformación lineal con dimensión de finito, entonces:

2. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN

   Se dice que el sub espacio del espacio vectorial es un sub espacio invariante o estable respecto al endomorfismo T de si se cumple la condición . Es decir la imagen por T de cada elemento pertenece a .

3. SUB ESPACIO INVARIANTE O ESTABLE

   Una matriz mn sobre el cuerpo es una función A del conjunto

   en el cuerpo K, esto es:

   

   

   La cual puede ser representado como un arreglo rectangular con m filas y n columnas.

   Es decir: donde

4. MATRIZ
5. MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN

Sean U y V dos espacios vectoriales de dimensión m y n respectivamente, y sea una transformación lineal cualesquiera. Supóngase que y son bases de U y V respectivamente.

Si para cada , se tiene entonces, se puede representar por:

= ;

Donde son los componentes o coordenadas de respecto a la base , o lo que es lo mismo:

De esta manera la matriz M = cuyas columnas son las componentes o coordenadas de los vectores , representa la matriz de la transformación lineal T respecto a la base .

La matriz de la transformación T respecto a las bases ξ y ζ se representa por y si no hay ambigüedad respecto a las bases se representa por M(T).

La matriz que representa a una transformación lineal respecto a bases dadas depende del orden de los vectores de las bases. Por lo tanto es importante considerar a las bases como conjuntos ordenados.

Observación:

• Sea una transformación, con V espacio vectorial. Se dice que un elemento es un punto fijo ó elemento doble de T si

.

Por ejemplo: La transformación entre números reales , admite el numero 2 como un punto fijo, porque .

1. SUMA DIRECTA DE UN ESPACIO VECTORIAL

Dados un espacio vectorial V y dos de sus sub espacios vectoriales se dice que V es suma directa de y se escribe , si se cumple:

Además: .

1. Sean cuatro espacios vectoriales sobre el cuerpo K. Dadas las transformaciones lineales:

   

   Se llama suma directa de y designado por en definido por:

   

2. SUMA DIRECTA DE TRANSFORMACIONES LINEALES

   Un escalar se llama valor propio o valor característico del endomorfismo T del espacio vectorial V sobre el cuerpo K, si existe en V un vector no nulo , talque:

   

   Cada vector no nulo de V que satisface esa condición se llama vector propio o vector característico de T correspondiente al valor propio .

3. VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS
4. POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA TRANSFORMACIÓN

Dado un endomorfismo se llama polinomio característico de T, y se designa por , al polinomio característico de cualquiera de las matrices que representan a T, el cual es independiente de la base considerada.

En efecto:

Sea un valor propio de T, con un vector propio correspondiente a . Entonces o lo que es lo mismo donde es el automorfismo identidad de V sobre si mismo.

Sea una base cualquiera de V y la matriz que representa a T respecto a la base , entonces la matriz que representa a la transformación es donde I es la matriz identidad, además la transformación es no regular es decir:

Que expresa que es la raíz característica de la matriz que representa a T.

Sea que viene a ser el polinomio característico de la matriz M.

son independientes de la base que se haya elegido por lo tanto son invariantes de M, si todos los coeficientes son nulos se dice que es el polinomio cero. Caso contrario, el mayor número n talque se llama grado del polinomio y a se llama coeficiente director.

Entonces pero como M representa a T, el polinomio característico de T es el polinomio característico de la matriz que lo representa, es decir:

En particular:

• Se dice que un polinomio no nulo es mónico si su coeficiente director es igual a uno.

TEOREMA 1.1:

Sean y polinomios no nulos sobre el cuerpo K. Entonces:

1. es un polinomio no nulo.
2. 
3. es un polinomio mónico si y sólo si y

son polinomios mónicos

TEOREMA 1.2: (Algoritmo de la descomposición)

Sean y polinomios de . Existe entonces el polinomio Q y R de tales que:

Implica que:

• o bien

Donde los polinomios Q y R son los únicos que satisfacen a las condiciones anteriores.

DEMOSTRACIÓN:

Se puede encontrar en el libro de Algebra Lineal y Multilineal de José Tola Pasquel tomo I, páginas 147, 148, 149.

Observación:

• Si , se dice que es múltiplo de y es divisible por , es llamado divisor de

1. POLINOMIO MÍNIMO DE UNA TRANFORMACIÓN

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo K y , donde:

La aplicación definida para todo polinomio por:

es un homomorfismo de algebras.

En efecto:

1. es un algebra respecto de:

• suma de polinomios
• multiplicación por un escalar
• multiplicación de polinomios

es un álgebra respecto de:

• Suma de aplicaciones
• Producto por un escalar
• Composición de aplicaciones

1. Por demostrar que

es un homomorfismo algebraico.

• Sean

Por lo tanto es lineal.

• Sean

Entonces:

como

Lo cual prueba que es un homomorfismo de algebras.

Sea un elemento arbitrario de , se llama valor del polinomio P en T a la aplicación:

, donde es de dimensión infinita y dim, entonces no puede ser inyectiva.

Sea el conjunto de los polinomios no nulos que es un ideal de que no se reduce a . Por lo tanto no es inyectiva pues si lo fuese se cumple que T no es raíz de de ningún polinomio de ecepto del polinomio cero, entonces tiene que ser no inyectiva.

Sea M un polinomio de grado mínimo en G, demostremos que M es generador de G.

En efecto:

Sea M un polinomio de grado mínimo en G y sea P otro polinomio de G. Hacemos la división de P por M.

Entonces existe tal que

con ó bien

Como M es mínimo en G, no podemos tener

Se tiene entonces

Lo cual prueba que M genera a G.

Ahora supóngase que H divide a M, entonces existe un polinomio K tal que

Supóngase es biyectiva, entonces existe

Pero M es de grado mínimo en G; K divide M y entonces

Por lo tanto el polinomio M de grado mínimo es único, el cual es llamado polinomio mínimo del endomorfismo T.

Finalmente se enunciará algunos resultados importantes que se requieren, cuyas demostraciones pueden encontrarse en el libro de Manuel Castellet.

TEOREMA 1.2: (Hamilton – Cayley) Sea una transformación lineal de un espacio V donde , su polinomio característico y su polinomio mínimo. Entonces .

TEOREMA 1.3: (Teorema de descomposición) Si el polinomio mínimo de T es: con factores irreducibles, el espacio V es suma directa de sub espacios invariantes , y la restricción de T a es , entonces se cumple que:

DEMOSTRACIÓN:

Supóngase que tenemos una descomposición en sub espacios invariantes donde el polinomio mínimo de T es:

y el polinomio mínimo de la restricción de T a es pero T es solución del polinomio mínimo de la restricción de T a entonces , es decir .

Por otro lado:

Sea k la dimensión de V, entonces:

Como , entonces:

Remplazando en se tiene:

Pero por ser polinomios mínimos

En se tiene:

Pues k no es menor que si mismo.

Luego:

Por lo tanto:

.

CAPÍTULO II: AFINIDADES Y VARIEDADES

En este capítulo, se define el concepto de espacio afín, sus propiedades, variedades lineales así como el sub espacio afín.

1. ESPACIO AFÍN

1. DEFINICIÓN DE ESPACIO AFIN

Un espacio afín sobre un cuerpo K es una terna formado por el conjunto , un espacio vectorial V sobre K y una aplicación: , que satisface lo siguiente:

es biyectiva.

Se denota donde A es el origen y B el extremo del vector .

Los elementos de E se llaman puntos. A V se le llama espacio vectorial asociado al espacio afín E.

Observación:

• El espacio afín queda representado por la terna pero por comodidad en adelante será denotado simplemente por .
• La dimensión del espacio afín es la dimensión de V. Los espacios afines de dimensión 1 se llaman rectas afines, los de dimensión 2 planos afines, etc.
• La primera condición de la definición previa identifica el conjunto E con el espacio vectorial V. Esta identificación puede interpretarse de dos modos:

1. Si P,Q,R,S son puntos de E, son pares de puntos de primer elemento P que permite definir los vectores de V.
2. Si P, Q, R, S son puntos de E, con P punto de origen del espacio vectorial V, se puede representar al vector definido por el punto Q por el par

En el primer caso se consideró la estructura afín asociada al espacio vectorial V y en el segundo caso se considero la estructura del espacio vectorial asociado al espacio afín E al distinguir a uno de sus puntos, en este caso es un espacio afín de origen P.

2. VECTOR POSICIÓN:

Fijado el punto O del espacio afín sobre el cuerpo K, el vector se llama vector de posición P respecto a O.

Observación:

• Cuando el punto O se fija se sobreentiende que el vector en lugar de .
• No existe ninguna operación natural entre puntos y la expresión es sólo una alternativa de la expresión

cuya única finalidad es facilitar la escritura.

PROPOSICIÓN 2.1: Dados los puntos se cumplen:

a)

b)

c)

DEMOSTRACIÓN:

a)

Por otro lado

De como es biyectiva

b)

c)

Se puede observar que las demostraciones mostradas son consideradas como propiedades del espacio afín E; además:

• La propiedad c. de la proposición anterior puede interpretarse como ley del paralelogramo. Si en el plano, entonces son las vértices del paralelogramo y

1. TRASLACIONES:

Sea E un espacio afín sobre el cuerpo K y V un espacio vectorial asociado a E. Dado , se llama traslación del vector a la aplicación

tal que

Como E es un espacio afín, se tiene:

De y :

Es decir es un punto B talque . Al punto B se llama el traslado del punto A según el vector .

Observación:

• Se denotará este punto por la expresión de manera que la relación es equivalente a relación .
• Fijando, entonces la traslación del vector es la aplicación tal que

TEOREMA 2.1: Si , entonces se cumple:

1. 
2. es inyectiva,
3. Si existe un tal que , entonces .
4. Si ; no tiene puntos fijos.
5. 
6. 
7. Dados , existe y solo una tal que

.

DEMOSTRACIÓN:

1. 

   

   

   es biyectiva.

2. 

   y entonces

   

3. Obsérvese que: se tiene

   Por la condición 3.

   Pero si se tiene . Lo cual es una contradicción pues .

   Por lo tanto no tiene puntos fijos.

4. Sea y supóngase tiene puntos fijos y sea A un punto fijo arbitrario de , entonces:

   

   Por lo tanto .

5. 

   

6. Por 1. y 5. se tiene:
7. es equivalente a

.

Existencia:

Sean y definido por:

Además una traslación definida por:

Como se tiene que

Unicidad:

Supóngase que para se cumple pero por otro lado se tiene que

Entonces

Por lo tanto es único.

1. DEFINICIÓN ALTERNATIVA DE ESPACIO AFÍN:

Dado un conjunto y un espacio vectorial V sobre K, se dice que E es un espacio afín asociado al espacio vectorial V, si existe una aplicación

Donde ; está definido por:

Que satisface las condiciones siguientes:

1. , existe un único tal que .
2. 

se cumple

o lo que es lo mismo decir:

Observación:

• Con esta definición se puede observar que un espacio afín está determinado por el conjunto de sus traslaciones.

1. EJEMPLOS DE ESPACIO AFIN

• Ejemplo 1: Sea entonces tal que se cumple que:

En efecto:

1. Dados los puntos

ii) es inyectiva.

En efecto:

Sean

es biyectiva ya que por definición ya es sobre.

Por lo tanto este conjunto es un espacio afín al que se llamará

plano afín cartesiano bidimensional.

• Ejemplo 2: Sea y ;

con

Del mismo modo que el ejemplo anterior se puede demostrar que este conjunto es un espacio afín el cual se le llamará espacio afín cartesiano tridimensional.

1. VARIEDADES LINEALES:

En esta sección se desarrolla conceptos de variedades lineales y propiedades tales como paralelismo, suma, intersección de variedades lineales y la ecuacion de una variedad lineal.

1. Sea E un espacio afín asociado al espacio vectorial V y sea W un sub espacio vectorial de V.

   Se llama variedad lineal que pasa por y tiene la dirección de W al subconjunto de E:

   

   Para indicar , usaremos

   Por lo tanto una variedad lineal es un conjunto del tipo:

   

   Escribiremos en lugar de F .

2. DEFINICIÓN DE VARIEDADES LINEALES:
3. DIMENSIÓN DE VARIEDADES LINEALES:

La dimensión de una variedad lineal es la dimensión del sub espacio dirección.

Obsérvese que también es una variedad lineal. Si la dimensión de E es n, las variedades de dimensión uno, dos y n-1 se llaman rectas planos e hiperplanos respectivamente.

PROPOSICIÓN 2.2: Sea una variedad lineal de E, entonces

DEMOSTRACIÓN:

, luego:

Por lo tanto .

COROLARIO 2.1: Sea una variedad lineal de E, entonces implica

DEMOSTRACIÓN:

Si , por la proposición anterior, y si se tiene

.

Luego por lo tanto por la definición de variedad lineal.

3. VARIEDADES PARALELAS:

Sean dos variedades lineales. Se dice que L y L’ son paralelas, si

Ejemplo:

Sea una variedad lineal de dimensión n, y . Demostrar que existe una única variedad lineal L’ de dimensión n que pasa por y es paralela a L. Diremos que L’ es la variedad paralela a L que pasa por .

Solución:

Si entonces .

Si , entonces .

Para probar la unicidad, supóngase que es otra variedad paralela a L donde , es decir:

Pero como y son paralelas y se tiene que .

Por lo tanto , con lo que se muestra que la variedad paralela que pasa por B es única.

4. INTERSECCIÓN DE VARIEDADES:

TEOREMA 2.1: Dos variedades lineales y se intersecan sí y sólo si

DEMOSTRACIÓN:

Supóngase que las dos variedades y se cortan en el punto C, entonces y , se tiene que: .

Por otro lado:

.

Sea

Por las variedades y de intersecan en el punto C.

TEOREMA 2.2:

Si y son dos variedades lineales que tienen un punto C en común, entonces:

DEMOSTRACIÓN:

Sea C un punto común de las dos variedades y , entonces

.

Por otro lado:

Sea

Por lo tanto se cumple que .

Observación:

• Del teorema anterior se puede observar que la intersección de dos variedades lineales diferentes del vacío es una variedad lineal.
• En general la intersección de variedades lineales diferentes del vacío es otra variedad.

En efecto:

Sea una familia de variedades lineales de un espacio afín E, con donde es una variedad lineal.

Además su dirección es el sub espacio de intersecciones. es decir:

.

COROLARIO 2.2:

Dado un sub conjunto no vacío F de E, existe una variedad lineal que contiene a F y es la más pequeña entre todas las que contienen a F.

DEMOSTRACIÓN:

Considérese la familia de variedades lineales que contienen a F. Entonces es una variedad que contiene a F.

Si L es cualquier variedad que contiene a F,, por lo tanto .

5. Sea un sub conjunto no vacío de un espacio afín E. Se llama variedad lineal engendrada por , a la variedad más pequeña que contiene a .

   Ejemplo:

   Dados , demostrar que existe una variedad mínima que contiene a que se denomina variedad generada por .

   Prueba:

   La existencia queda demostrada en el corolario anterior.

   Sea la variedad que contiene es decir:

   

   

   La variedad

   

   Se tiene que cada puede ser expresado como que está contenido en entonces es una variedad generada por .

6. VARIEDADES ENGENDRADAS
7. SUMA DE VARIEDADES:

Sean L y L’ dos variedades lineales de E. Se llama variedad suma de L y L’ denotado por L+L’, a la variedad engendrada por .

Observación:

• La unión de variedades lineales no es en general una variedad lineal.

Ejemplo:

Sean dos vectores linealmente independientes y sean los puntos

que pertenecen a la unión donde y son variedades generadas por respectivamente.

Supóngase que L es una variedad.

Como , entonces es la dirección de L.

Por lo tanto cualquier otro punto puede ser escrito por:

Lo cual es una contradicción, pues son linealmente independientes, es decir:

Entonces P no puede estar en L.

Con lo que se prueba que L no es una variedad lineal.

1. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS:

Sea O un punto fijo del espacio afín E asociado al espacio vectorial V, entonces se cumple que: es biyectiva

Sea una base fija en V, como se tiene

Se llama sistema de referencia cartesiana o sistema de coordenadas cartesianas de E al conjunto formado por un punto y una base en V.

Observación:

• Las coordenadas de un vector en la base son las coordenadas de , es decir, son la diferencia de las coordenadas cartesianas de A y B en el sistema .
• Las coordenadas de O en el sistema son

.

8. ECUACIÓN DE UNA VARIEDAD LINEAL EN COORDENADAS CARTESIANAS:

Sea una variedad lineal de dimensión del espacio afín E asociado al espacio vectorial V. Sea un sistema de referencia fijo de E.

El propósito es encontrar las condiciones que debe cumplir las coordenadas de un punto Q para que sea de la variedad L.

Supóngase que:

Tenemos:

De la segunda matriz escogemos una matriz de orden menor k con determinante diferente de cero. Es decir, supóngase que:

Entonces las condiciones que deben cumplir las coordenadas de son:

Obsérvese que estas determinantes forman un sistema de ecuaciones con n incógnitas.

Recíprocamente, sea:

Un sistema de ecuaciones lineales cualesquiera.

Las soluciones del sistema homogéneo asociado, se interpreta como las coordenadas de vectores de V en la base que forman un sub espacio afín F de E.

Sea una solución particular del sistema dado, y sea P el punto con esas coordenadas respecto al sistema de referencia .

La solución general del sistema es la suma de y las soluciones del sistema homogéneo, es decir, el conjunto de coordenadas de los puntos de una variedad lineal .

El sistema

Son las ecuaciones de la variedad en el sistema de referencia cartesiana .

Observación:

• La dimensión de esta variedad es

Ejemplo:

Una ecuación no trivial, es decir no todos los coeficientes son iguales a cero, representa un hiperplano. En general si:

Son las ecuaciones de una variedad L, cada una de estas representa un hiperplano , y la variedad L resulta ser la intersección de estos r hiperplanos.

La ecuación de cualquier otro hiperplano que contengan a L será una combinación lineal de las ecuaciones del sistema:

Este conjunto de hiperplanos se llama se llama el haz de hiperplanos que pasan por L.

TEOREMA 2.3: Considérese dos sistemas de referencia y de E, y supóngase que el segundo es conocido en función al primero, es decir:

Dado , sea la matriz de cambio de base en V y

las matrices columna formada por las coordenadas de Q y P’ en , y de Q en respectivamente. Entonces .

DEMOSTRACIÓN:

Supóngase que y

Entonces se tiene:

Por otra parte:

Por lo tanto:

El cual puede representarse matricialmente de la siguiente forma:

o también

Ejemplo:

En el plano afín real se considera los sistemas de referencias y sabiendo que en la base , se pide:

1. La ecuación matricial correspondiente al cambio de sistemas de referencias de R a R’.
2. Si el punto Q tiene coordenadas

en el sistema de referencia R, hallar sus coordenadas en el sistema R’.

Solución:

1. Sea Q un punto arbitrario de coordenadas y

respecto a R y R’ respectivamente.

Entonces: es decir:

Por lo tanto:

Lo cual, en notación matricial, se escribe:

o bien

Del mismo modo se obtiene:

o bien

Por lo tanto P tiene coordenadas en R’.

3. SUB ESPACIO AFIN:

Sea un espacio afín, se dice que es un sub espacio afín de si:

• E es sub conjunto de E
• W es sub espacio vectorial de V
• una restricción de , es decir:

Consecuencia:

Los sub espacios afines son precisamente las variedades lineales.

En efecto:

Como una restricción de ; se cumple que

Entonces:.

En particular sea y S un punto arbitrario en F de la forma

De igual modo

o lo que es lo mismo

Pues

Pero

Entonces

Por lo tanto

Lo cual prueba que las variedades lineales son precisamente los sub espacios afines.

PROPOSICIÓN 2.3:

Dos Variedades lineales en el espacio afín E se cortan sí y sólo si .

DEMOSTRACIÓN:

Supóngase que las variedades se cortan en un punto , entonces, entonces y

Supóngase que

En particular sea

Entonces de donde se tiene que

Por lo tanto el punto C es un punto común entre las dos variedades.

Observación:

Como ya se probó que las variedades lineales son exactamente los sub espacios afines se tiene las siguientes consecuencias.

• Se dice que dos variedades se cruzan si no son paralelas ni se cortan.
• En la proposición anterior se puede ver que la intersección de dos variedades si no es vacía es una variedad lineal.

CAPÍTULO III: AFINIDADES

En esta sección definiremos una afinidad o aplicación afín, sus propiedades y fundamentalmente mostraremos las afinidades de traslación, proyección, simetría y homotecia, a las que se denomina afinidades principales, que a su vez son el objetivo fundamental del trabajo.

1. DEFINICIÓN DE APLICACIÓN AFÍN O AFINIDAD

Sean dos espacios afines ambos sobre el cuerpo K. Una aplicación afín o afinidad entre dos espacios afines es una aplicación junto con la aplicación lineal tales que equivalente a que estas aplicaciones conmutan, según el diagrama.

Esto es: