Espacios afines y variedades (página 2)

CAPÍTULO I: DEFINICIONES BÁSICAS

En esta unidad se presentan conceptos básicos del algebra, algunas propiedades que se requieren para el desarrollo del trabajo.

1. Un grupo es un conjunto que posee una operación interna, la cual es llamada producto interno y se puede representar por:

   : GxG  G

   El grupo G provisto de una operación interna puede ser representado por (G,), donde para dos elementos cualesquiera en G se tiene que también se encuentra en G.

   Además debe cumplir las siguientes condiciones:

   1. Para tres elementos cualesquiera G entonces

   2. Existe un único elemento e G talque, G

   3. Para todo elemento G existe un elemento G tal que

   Un Grupo G se llama Abeliano o Conmutativo si sus elementos cumplen lo siguiente:

   .

   El Orden de un grupo G finito, es definido como el número total de elementos, y se denota por .

2. GRUPO
3. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA

Una relación de equivalencia sobre un conjunto X es un sub conjunto de tal que: se cumple:

• 
• 
• y

1. ANILLO:

Un conjunto A se llama anillo si es un grupo con la operación adición, que es asociativo y conmutativo donde el elemento neutro respecto a la adición es cero.

Además existe una aplicación

Que se llama multiplicación y tiene las siguientes propiedades:

Se dice que A es un anillo con unidad si existe tal que .

A es conmutativo si .

1. IDEAL:

Un ideal de un anillo A es un sub grupo aditivo con las siguientes propiedades:

El conjunto que sólo contiene al elemento 0, y el conjunto formado por todo el anillo A, son ideales.

Dado un el conjunto se dice que es un ideal principal generado por .

1. CUERPO

Cuerpo es un conjunto con dos operaciones (llamadas adición y multiplicación), que asignan a cada par ordenado de elementos de , dos elementos de , llamados suma y denotado por , y su producto , de tal forma que:

• es un grupo abeliano respecto a la adición (con elemento identidad 0).
• *, el conjunto de los elementos de distintos de cero, es un grupo abeliano con respecto a la multiplicación.
• La multiplicación es distributiva respecto a la adición, es decir, para tres elementos cualquiera

se cumple que:

y

1. Se dice que un cuerpo K tiene característico , si es el menor entero positivo talque . Si , para todo entero positivo , entonces se dice que K tiene característico cero.

   Si es el característico del cuerpo K, entonces es un número primo, es decir sólo se puede descomponer en .

2. CARACTERÍSTICO DE UN CUERPO
3. ESPACIO VECTORIAL

Un espacio vectorial V sobre un cuerpo cualquiera, es un grupo aditivo (abeliano) en el cual esta definido la adición y la multiplicación de los elementos del cuerpo por elementos del espacio V, de modo que a cada par (,x), con y xV le corresponde un elemento x V, y cumple lo siguiente:

• Propiedad asociativa:

• Propiedad distributiva:

• , donde 1 designa a la identidad de ;

.

Los elementos de V se llaman vectores y los elementos de son llamados escalares.

El vector nulo se representa por 0.

1. SUB ESPACIO VECTORIAL

Un sub conjunto no vacío de un espacio vectorial V, es un sub espacio vectorial de V si:

Es decir: es también un espacio vectorial respecto a las mismas operaciones que son dadas en V.