Espacios afines y variedades

2. Introducción
3. Reseña histórica
4. Formulación del problema
5. Justificación
6. Definiciones básicas
7. Afinidades
8. Conclusión
9. Bibliografía

PRESENTACIÓN

La inquietud que me lleva a investigar este tema es debido a mi interés en los espacios vectoriales y espacios afines, así como sus respectivas aplicaciones en los diferentes campos del saber humano, para poder contribuir en el avance de las Matemáticas y de esta manera sirva como referencia para posteriores investigaciones.

Lo que se hace en el presente trabajo es presentar algunos conceptos de la geometría pero desde el punto de vista del álgebra, motivo por el cuál se verá que no es necesario graficar para poder ver las propiedades geométricas, en otras palabras se presenta las propiedades de la geometría en forma axiomática.

El presente trabajo consta de tres capítulos, en el primer capítulo se enuncia definiciones básicas para trabajar con conceptos ya conocidos, así como resultados de teoremas y proposiciones que serán de gran utilidad en los capítulos posteriores. El segundo capítulo trata sobre los espacios afines y las variedades así como sus respectivas propiedades. El tercer capítulo estará referido a las afinidades, desarrollo de algunos ejemplos de afinidades y las propiedades que este conserva sobre las variedades lineales.

Es mi propósito alcanzar el presente trabajo con el esmero posible, no sin antes agradecer a mis padres quienes con su buen ejemplo y su apoyo constante hicieron de mi una profesional.

INTRODUCCIÓN:

En el plano euclideo , dado un punto cualquiera P y un vector libre arbitrario , existe en el mismo plano un punto Q y sólo uno talque .

Se designará por E el conjunto de todos los puntos del plano y el conjunto de todos los vectores libres en el mismo plano por V, entonces para cada punto P se establece una aplicación biyectiva talque sí y sólo si . Además se tiene que .

El espacio afín está representado por la terna donde es una función biyectiva , la cual no puede ser arbitraria sino debe cumplir ciertas condiciones que relacionen los elementos de la terna.

Con la notación se representa indistintamente un vector fijo y el vector libre correspondiente, lo cual permite escribir en lugar de .

Los sub espacios más sencillos de un espacio afín son las variedades lineales, el calificativo de lineal proviene del hecho de que un sub conjunto de un espacio afín es una variedad lineal sí y sólo si contiene la recta que une dos puntos cualesquiera del mismo.

Las afinidades son aplicaciones entre espacios afines bajo ciertas condiciones puesto que no toda aplicación entre espacios afines es una afinidad.

RESEÑA HISTÓRICA

Pierre de Fermat (1601-1665) y René Descartes (1596-1650), obsesionados por la necesidad de métodos cuantitativos en geometría e impresionados por el poder del álgebra, iniciaron la aplicabilidad de ésta al estudio de la geometría, creando los sistemas de coordenadas al asociar ecuaciones algebraicas a curvas y superficies. Esta idea ha sido una de las más fructíferas en el desarrollo de las matemáticas.

Tanto Fermat como Descartes estaban motivados por las necesidades de la ciencia y por un interés en la metodología. Especialmente Descartes hizo de la metodología el objeto principal de toda su obra.

Las primeras nociones nebulosas de un hiperespacio de dimensión mayor de 3 se pierden en la oscuridad del pasado y se mezclan con consideraciones metafísicas. El primer artículo científico que trata explícitamente el tema se debe a Arthur Cayley (1821 – 1895) y se remota a 1843. Le siguen una serie de trabajos del mismo autor, de James Joseph Silvestre (1814 – 1897) y de William Kingdin Clifford (1845 – 1879) en Inglaterra y Hermann Günther Grassmann (1809 – 1877) y Ludwig Schläfli (1814 -. 1895). La introducción de coordenadas se lleva acabo durante la segunda mitad del siglo XIX a través de los estudios de los espacios aritméticos.

En 1818, August Ferdinand Möbius (1790 – 1868) ya había tenido la idea de un análisis geométrico en los espacios de dimensión 2 y 3, que desarrolló a partir de 1823 bajo el nombre de "Cálculo Baricéntrico", inspirado en la teoría de centros de gravedad. Eso es lo que hoy llamamos un sistema de coordenadas baricéntricas. No es sin embargo, hasta finales del siglo que Schläfli y Camilla Jordan (1838 – 1922) desarrollan explícitamente las nociones de la geometría afín y de la euclidiana de dimensión n.

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

En el caso de los sub espacios afines ¿los sub espacios afines conservan su estructura afín?, las variedades lineales son sub conjuntos de los espacios afines ¿ son sub espacios afines o no?. Por otro lado las afinidades transforman espacios afines, ¿que pasa con la imagen directa e imagen inversa de ellas luego de ser transformadas?, es lógico pensar que conservan sus estructuras afines pero para ello la afinidad tiene que cumplir ciertas condiciones, ya que cualquier aplicación entre espacios afines no siempre es una afinidad.

Y desde luego el resultado de las operaciones entre las variedades tales como la unión, la intersección, la suma, etc. debe ser también una variedad y así al ser transformadas mediante una afinidad estas variedades conserven su estructura.

HIPÓTESIS

Las variedades lineales conservan su estructura afín y la transformación de ellas mediante una afinidad también conserva su estructura afín.

JUSTIFICACIÓN:

Cuando hablamos de grupo y de espacios vectoriales tanto los sub grupos y los sub espacios vectoriales conservan su estructura mediante homomorfismos y transformaciones, entonces es lógico proyectar que en los espacios afines ocurrirá lo mismo.

Por otro lado cuando determinadas estructuras son relacionadas mediante ciertas condiciones estas conservan su estructura inicial, esto no ocurre con cualquier transformación ya que no toda transformación preserva las estructuras iniciales; motivo por el cual se desarrollara el presente trabajo para establecer las condiciones que debe cumplir una aplicación para poder ser una afinidad y así poder ver si hace conservar la estructura afín.

OBJETIVOS GENERALES

• Fomentar el interés por las matemáticas, en particular por los temas referidos a estructuras afines y las relaciones entre éstas

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Demostrar que las variedades lineales conservan su estructura afín.
• Demostrar que las afinidades conservan la razón simple
• Demostrar que el paralelismo de variedades es invariante bajo las afinidades.
• Demostrar que el único punto fijo de una afinidad homotecia es su centro.

MÉTODO

En la exposición del presente trabajo se ha utilizado el método analítico explicativo, con un fin demostrativo, utilizando la teoría de espacios afines.