Introducción a los métodos numéricos para los problemas de contorno

2. Breve introducción a las ecuaciones diferenciales
3. Planteamiento general del problema de contorno
4. Ideas generales de los métodos numéricos para los problemas de contorno
5. Generalidades del Método en Diferencias Finitas (MDF)
6. Bibliografía

Introducción

Las nuevas Tecnologías de la Informática y las Comunicaciones marcan los avances científicos más relevantes de los siglos XX y comienzos del XXI, lo que obliga a los profesionales del siglo XXI a una superación constante y sistemática que les permita contar con herramientas y métodos efectivos para explotar las tecnologías existentes y enfrentar con éxitos las misiones en sus esferas de actuación.

El rápido ritmo de cambio en el entorno actual caracterizado por la relación creciente entre la Informática, la Matemática y las restantes ciencias, presenta la utilización de las teorías y métodos matemáticos en las investigaciones en todas las esferas del conocimiento como una necesidad para la solución de los más variados problemas de la producción y los servicios.

Dentro de estas teorías y métodos de la Matemática se encuentran las ecuaciones diferenciales, las cuales unidas a las restricciones del problema (condiciones iniciales y/o de contorno) hace de estas un lenguaje más exacto y claro que sirve de modelo (modelo diferencial) para expresar y estudiar la dinámica de fenómenos y procesos de diversas áreas del conocimiento humano.

Una vez que el modelo ha sido formulado, el problema más importante que se presenta es hallar su solución. En general determinar la solución de las ecuaciones diferenciales es un problema complejo, pues la clase de ellas que pueden ser resueltas en cuadratura (la obtención de la solución en forma analítica) es realmente muy pequeña. Si consideramos que las ecuaciones diferenciales a las que hacemos referencia son obtenidas como resultado de un proceso de idealización (modelación) y los coeficientes que intervienen se obtienen de mediciones experimentales, podemos formularnos la interrogante: ¿De ser posible obtener la solución en términos de una función, que garantía tendremos de que la misma sea capaz de describir las regularidades fundamentales del fenómeno objeto de estudio?. La respuesta a la pregunta anterior es sin duda compleja.

Lo anterior unido a las posibilidades que nos brindan los recursos computacionales, define algunos de los elementos que hacen a los métodos numéricos una opción nada despreciable para la solución de los modelos diferenciales.

Dentro de los modelos diferenciales se encuentran aquellos en que están presentes las condiciones de contorno (frontera). Sobre el tema existe una variada bibliografía que en general está caracterizada por no ser una lectura fácil, sobre todo para aquellos que por primera vez se enfrentan al tema y no poseen la suficiente preparación Matemática.

Nosotros vamos a tratar que nuestro trabajo sirva de ayuda a aquellos que comienzan ha introducirse en este complicado pero fascinante mundo de los Métodos Numéricos para los Problemas de Contorno, así como en la utilización del Asistente Matemático MatLab.

DESARROLLO:

Breve introducción a las ecuaciones diferenciales

Muchos modelos matemáticos empleados para el estudio de diversos fenómenos aparecen caracterizados por la relación entre las derivadas o diferenciales de las funciones incógnitas (las funciones que expresan el comportamiento del fenómeno) respecto a una o varias variables independientes, son las conocidas Ecuaciones Diferenciales (ED). Las mismas aparecen en problemas de mecánica, dinámica de fluidos, resistencia de materiales, electricidad, propagación del calor, oferta–demanda, propagación de epidemia, estudio de poblaciones, estudio de ecosistemas, entre otros campos de estudio e investigación.

De acuerdo al número de variables independientes presentes en la ecuación diferencial estas se clasifican en: EDO (Ecuaciones Diferenciales Ordinarias), si está presente una variable independiente y EDP (Ecuaciones en Derivadas Parciales) si esta presente más de una variable independiente.

Ejemplos 1:

(1)

(2)

(3)

(4)

Por L definimos al operador diferencial. Las ecuaciones (1) y (3) son ejemplos de EDO, al estar presente la derivada ordinaria de la función incógnita respecto a la variable independiente, (2) y (4) EDP, están presentes las derivadas parciales de la función incógnita respecto a las variables independientes. Las ecuaciones diferenciales también se clasifican de acuerdo al mayor orden de las derivadas o el diferencial presente en las mismas. Las ecuaciones (1) y (2) representan ecuaciones diferenciales (ordinaria y en derivadas parciales) de primer orden, (3) y (4) de segundo orden. De forma análoga se definen las ecuaciones diferenciales de orden mayor que dos (ecuaciones diferenciales de orden superior).