Modelos Cuantitativos

Capitulo 1

Programación lineal

Historia de la programación lineal

Se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las perdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publico el algoritmo simplex, en 1947, John Von Neumman, que desarrollo la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantorovich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y gano el premio nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachinyan, demostró que el problema de la programación lineal era resoluble en tiempo polinomial. Mas tarde, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituirá un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área.

El objetivo de la programación linear es encontrar las condiciones en que se maximiza la denominada función objetivo, una ecuación que determina, por ejemplo, el ingreso que se obtendrá produciendo determinadas mercancías; dicha función esta sujeta a ciertas restricciones, constituidas por un grupo de ecuaciones lineales que indican el consumo de los diversos factores productivos que se necesitan para obtener un determinado producto. De este modo se establece que pueden producirse ciertas cantidades de los bienes a, b,… etc., cada uno de los cuales produce un ingreso determinado. La programación lineal indica entonces la combinación óptima de bienes a producir para obtener el máximo beneficio a partir de un conjunto finito de recursos.

Es una de las principales ramas de la Investigación Operativa. En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las funciones que lo componen, es decir, función objetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de decisión.

Los modelos de programación lineal por su sencillez son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.

Los modelos matemáticos se dividen básicamente en modelos deterministas (md) o modelos estocásticos (me). En el primer caso (md) se considera que los parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a diferencia de los modelos estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada. Los cursos introductorios a la Investigación Operativa se enfocan solo en modelos deterministas.

En resumen:

• La programación lineal es una técnica de modelado (construcción de modelos).

• La programación lineal es una técnica matemática de optimización, es decir, un método que trata de maximizar o minimizar un objetivo.

• Su interés principal es tomar decisiones óptimas.

• Se usa mucho en la industria militar y en la petrolera. Si bien esos sectores han sido quizá los principales usuarios de ella, el sector servicios y el sector publico de la economía también le han aprovechado ampliamente.

• La estructura básica de un problema de programación lineal consta de una función objetivo por maximizar o minimizar, sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades.

Un problema de maximización

RMC Inc. es una pequeña empresa que fabrica una variedad de productos basados en sustancias químicas. En un proceso de producción particular, se emplean tres materias primas para producir productos: un aditivo para combustible y una base para solvente. El aditivo se vende a las compañías petroleras y se utiliza en la producción de gasolina y combustibles relacionados. La base para solvente se vende a una variedad de compañías de productos químicos y se emplea en artículos de limpieza para el hogar y la industria.

Las tres materias primas se mezclan para formar el aditivo para combustible y la base para el solvente, tal como se indica en la siguiente tabla.

Se muestra que una tonelada de aditivo para combustible es una mezcla de 0.4 ton de material 1 y 0.6 ton de material 3, mientras que una tonelada de base para solvente es una mezcla de 0.5 ton de material 1, 0.2 ton de material 2 y 0.3 ton de material 3.

La producción de RMC esta restringida por una disponibilidad limitada de las tres materias primas. Para el periodo de producción actual, RMC tiene disponibles las siguientes cantidades de cada materia prima:

Debido al deterioro y a la naturaleza del proceso de producción, los materiales que no se lleguen a usar en una corrida de producción no se pueden almacenar para las subsiguientes, son inútiles y deben desecharse.

El departamento de contabilidad analizo las cifras de producción, asigno todos los costos relevantes y llego a precios para ambos productos que generarían una contribución a las utilidades de $40 por cada tonelada de aditivo para combustible y $30 por cada tonelada producida de base para solvente.

¿Qué cantidad de toneladas de aditivo para combustible y de base para solvente debe producirse con el fin de maximizar la contribución total a las utilidades?

Formulación del problema

Es el proceso de traducir una descripción verbal de un problema en un enunciado matemático. El enunciado matemático del problema se conoce como modelo matemático.

RMC quiere determinar cuánto de cada producto debe producir para maximizar la contribución total a las utilidades. El número de toneladas disponibles de los tres materiales que se requieren para fabricar los dos productos delimitan la cantidad de toneladas de cada producto que puede elaborarse.

• Describir el objetivo: RMC desea maximizar la contribución total a las utilidades.

• Describir cada restricción: Tres restricciones limitan la cantidad de toneladas de aditivo y de base para solvente que pueden producirse.

• Restricción 1: El número de toneladas de material 1 empleadas debe ser menor o igual que las 20 toneladas disponibles.

• Restricción 2: El número de toneladas de material 2 empleadas debe ser menor o igual que las 5 toneladas disponles.

• Restricción 3: El número de toneladas de material 3 debe ser menor o igual que las 21 toneladas disponibles.

• Definir las variables de decisión:

• El numero de toneladas de aditivo por producir.

• El numero de toneladas de solvente por producir.

Se utiliza la siguiente notación para las variables de decisión:

F = cantidad de toneladas de aditivo para combustible.

S = cantidad de toneladas de base para solvente.

• Escribir la función objetivo de las variables de decisión: La contribución a las utilidades de RMC proviene de la producción de F toneladas de aditivo para combustible y S toneladas de base para solvente. Debido a que RMC gana $40 por cada tonelada de aditivo y $30 por cada tonelada de solvente producida, la empresa ganara $40F de la producción de aditivo y $30S de la producción para solvente.

Por tanto:

Contribución total a las utilidades = 40F + 30S

Debido a que el objetivo es una función de las variables de decisión F y S, nos referimos a 40F + 30S como la función objetivo. Utilizamos "MAX" como una abreviatura para maximización, podemos escribir el objetivo de RMC de la siguiente forma:

MAX 40F + 30S

Escribir las restricciones en función de las variables de decisión.

• Restricción 1: Toneladas de material 1 utilizado = Toneladas de material 1 disponible

Cada tonelada de aditivo para combustible que produce RMC produce utiliza 0.4 toneladas de material 1, por tanto se utilizan 0.4F toneladas de material 1 para producir F toneladas de aditivo para combustible. Del mismo modo, cada tonelada de base para solvente que RMC produce utiliza 0.5 toneladas de material 1, así que se emplean 0.5S toneladas de material 1 que se usan para producir S toneladas de base para solvente. Por consiguiente, el número de toneladas de material 1 utilizado para producir F toneladas de aditivo y S toneladas de solvente es:

Toneladas de material 1 utilizadas = 0.4F + 0.5S

Debido a que se dispone de 20 toneladas de material 1 para la utilizar en la producción, la declaración matemática de la restricción 1 es:

0.4F + 0.5S = 20

• Restricción 2: Toneladas de material 2 empleadas = Toneladas de material 2 disponible

El aditivo para combustible no utiliza material 2, pero cada tonelada de solvente que RMC produce utiliza 0.2 toneladas de material 2, así que utiliza 0.2S toneladas de material 2 para producir S toneladas de base para solvente. Por consiguiente, el número de toneladas de material 2 empleadas para producir F toneladas de aditivo y S de solvente es:

Toneladas de material 2 utilizadas = 0.2S

Debido a que dispone de 5 toneladas de material 2 para la producción, el enunciado matemático seria:

0.2S = 5

• Restricción 3: Toneladas de material 3 utilizadas = Toneladas de material 3 disponible

Cada tonelada de aditivo que RMC produce utiliza 0.6 toneladas de material 3. Por tanto, se utilizan 0.6F toneladas de material 1 para producir F toneladas de aditivo. Del mismo modo, cada tonelada de base para solvente que RMC produce utiliza 0.3 toneladas de materia 3, así que se emplean 0.3S toneladas de material 1 para producir S toneladas de solvente. Por lo tanto, el número de toneladas de material 3 empleadas para producir F toneladas de aditivo y S toneladas de solvente es:

Toneladas de material 3 utilizadas = 0.6F + 0.3S

Dado que se dispone de 21 toneladas de material 3 para la producción, el enunciado matemático seria:

0.6F + 0.3S = 21

• Añadir las restricciones de no negatividad: RMC no puede producir una cantidad negativa de toneladas de aditivo ni una cantidad negativa de solvente. Por tanto, se deben añadir restricciones de no negatividad para prevenir variables de decisión F y S tengan valores negativos. Estas restricciones de no negatividad son:

F = 0 y S = 0

Las restricciones de no negatividad son una característica de los problemas de programación lineal.

Modelo matemático para el problema de RMC

Ahora está completa la formulación del problema. Ahora podemos traducir la dedición verbal del problema de RMC en el siguiente modelo matemático:

MAX 40F + 30S

Sujeto a:

0.4F + 0.5S = 20

0.2S = 5

0.6F + 0.3S = 21

F = 0 y S = 0

Nuestra tarea ahora es encontrar la mezcla de productos (es decir, la combinación de F y S) que satisfaga todas las restricciones y, al mismo tiempo, produzca un valor máximo para la función objetivo. En cuanto se calcula los valores de F y S, encontraremos la solución optima para el problema.

• 1. Para resolver este ejercicio, damos clic en el icono para abrir el programa, después seleccionamos "programación lineal" y luego "ok".

• 2. Elegimos la opción "file" y luego "new".

• 3. Indicamos el número de variables y de restricciones, seleccionamos "maximizar" y luego "ok".

En el primero indicamos el numero de variables en este caso son 2. En el segundo el numero de restricciones del problema que son 3. Elegimos en este caso maximizar porque es lo que buscamos en el problema.

• 4. Procedemos a llenar el cuadro con la información del modelo matemático que obtuvimos del problema y posteriormente damos clic en "solución" y luego en "resolver".

Ingresamos los coeficientes de la función objetivo, después llenamos el cuadro de las restricciones.

• 5. En la última ventana obtendremos el resultado.

Ahora interpretemos la solución por computadora para el problema. Primero, observamos que el numero 1600.000, aparece a la derecha del valor de la función objetivo, indica que al solución optima a este problema proporcionara una utilidad de $1600. Directamente debajo del valor de la función objetivo están los valores de las variables de decisión de la solución óptima. Por tanto, tenemos que F = 25 toneladas de aditivo y S = 20 toneladas de solvente como cantidades de producción optima.

Variables de Holgura

Además de la solución optima y su contribución a las utilidades asociadas, los gerentes de RMC querrán información sobre los requerimientos de producción para los tres materiales. Podemos determinar esta información al sustituir los valores de la solución óptima en las restricciones del programa lineal.

La solución óptima indica que la gerencia de la producción de 25 toneladas de aditivo y 20 toneladas de solvente requerirá todo el material 1 y material 3 disponible pero solo cuatro de cinco toneladas de material 2. La tonelada que queda sin utilizar del material 2 se conoce como holgura. En la terminología de programación lineal, cualquier capacidad sin utilizar o desocupada para una restricción de = se conoce como una holgura asociada con la restricción. Por ende, la restricción del material 2 tiene una holgura de una tonelada.

La capacidad sin utilizar no contribuye en lo absoluto a las utilidades, por lo que las variables de holgura tienen coeficientes de cero en la función objetivo.

CAPITULO 2:

Análisis de Decisiones

La toma de decisiones es el proceso mediante el cual se realiza una elección entre las alternativas que se tienen, o son formas para resolver diferentes situaciones de la vida, estas se pueden presentar en diferentes contextos: a nivel laboral, familiar, sentimental, empresarial (utilizando metodologías cuantitativas que brinda la administración), etc., es decir, en todo momento se toman decisiones, la diferencia entre cada una de estas es el proceso o la forma en la cual se llega a ellas. Para los administradores, el proceso de toma de decisión es sin duda una de las mayores responsabilidades.

Debemos empezar por hacer una selección de decisiones, y esta selección es una de las tareas de gran trascendencia. Para tomar una decisión, no importa su naturaleza, es necesario conocer, comprender, analizar un problema, para así poder darle solución; en algunos casos por ser tan simples y cotidianos, este proceso se realiza de forma implícita y se soluciona muy rápidamente, pero existen otros casos en los cuales las consecuencias de una mala o buena elección puede tener repercusiones en la vida y si es en un contexto laboral en el éxito o fracaso de la organización. Para los cuales es necesario realizar un proceso más estructurado que puede dar más seguridad e información para resolver el problema. Las decisiones nos atañen a todos ya que gracias a ellas podemos tener una opinión crítica.

1. TOMA DE DECISIONES SIN PROBABILIDAD

"Pittsburg Development Corporation (PDC) compro un terreno donde construirá un nuevo complejo de condominios de lujo. La localización proporciona una vista espectacular del centro de Pittsburg y el Goleen Triangle, donde los ríos Allegheny y Monongahela se unen para formar el rio Ohio. PDC planea asignar precios a las unidades de condominios individuales entre 300,000 y 1,400,000.

PDC encargo los planos arquitectónicos preliminares para tres proyectos diferentes: uno con 30 condominios otro con 60 y el último con 90. El éxito financiero del proyecto depende del tamaño del complejo de condominios y el evento fortuito concerniente a la demanda que tengan los mismos. El problema de decisión de PDC es seleccionar el tamaño del nuevo proyecto de condominios de lujo que generara la mayor utilidad dada la incertidumbre de la demanda.

Un factor en la selección de la mejor alternativa de decisión es la incertidumbre asociada al evento fortuito concerniente a la demanda de los condominios. Cuando se le pregunto por la demanda posible para el condominio, el presidente de PDC reconoció una amplia variedad de posibilidades, pero decidió que seria adecuado considerar dos posibles de los eventos fortuitos: una demanda fuerte y una demanda débil."

En el análisis de decisiones los resultados posibles para un evento fortuito se conocen como estados de la naturaleza, los cuales se definen de modo que ocurra uno y solo uno de todos los estados posibles. Para el problema de PDC, el evento fortuito relativo ala demanda de los condominios tiene dos estados de la naturaleza:

Enfoque optimista:

En el enfoque optimista se evalúa cada alternativa de decisión en función del mejor resultado que pueda ocurrir la alternativa de decisión que se recomienda es aquella que proporciona el mejor resultado posible. Para un problema en el cual se desea obtener las máximas utilidades, como el problema de PDC, el enfoque optimista llevara al tomador de decisiones a elegir la alternativa que corresponde a la utilidad mayor que en este caso corresponde ala alternativa tres que es construir un complejo grande de 90 condominios, al enfoque optimista solo le interesa la alternativa de las mayores ganancias sin tomar en cuenta las consecuencias de que exista una demanda baja sobre la alternativa elegida.

1.-Para Utilizar el TMS (The Management Scientist) se hace doble clic en el icono para abrir el programa, al hacer esto se abrirá la siguiente ventana.

2.-Se abre el siguiente cuadro en el cual se presentan todos los módulos que ofrece el programa para auxiliar a los administradores o tomador de decisiones de las empresas. En este caso se seleccionara el modulo o la casilla 10 de "Decision Analysis" y se hará clic en el botón "OK".

3.-Al aceptar la opción se abre la nueva ventana en la cual se hace clic en el menú "File" y se elegirá la opción "New…"

4.-Con ello se abrirá una nueva ventana en la que se especificara el numero de decisiones y de estados de la naturaleza, en este problema las decisiones son 3 y los estados de la naturaleza serán 2, y dejamos en blanco la casilla, porque será un problema sin probabilidad.

5.-Seguidamente nos saldrá una ventana en donde tenemos que poner el numero de alternativas y el numero de estados de naturaleza.

6.-Despues se le da clic en solution, y acto seguido en solve, luego el programa arrojara nuevamente un cuadro para seleccionar las opciones deseadas.

7.-Luego se seleccionan las casillas correspondientes. Para mostrar el resultado máximo para cada alternativa de decisión para PDC en este caso el criterio optimista y se le da clic en ok.

8.- A continuación el programa arrojara la mejor alternativa de decisión para un punto de vista optimista que este caso es la alternativa tres con 20 millones de dólares a ganar.

Enfoque conservador:

Evalúa cada alternativa de decisión desde el punto de vista del peor resultado que pueda ocurrir. La alternativa de solución recomendada es aquella que proporciona el mejor de los peores resultados posibles. Para un problema en el cual la medida de salida son las utilidades, como el problema de PDC, el enfoque conservador llevaría al tomador de decisiones a elegir la alternativa que maximice las utilidades mínimas posibles que se pudieran obtener. Para problemas que involucran la maximización, este enfoque identifica la alternativa que minimizara el resultado máximo.

Para explicar el enfoque conservador, desarrollamos una recomendación para el problema de PDC utilizando este enfoque. Primero se identifica el resultado mínimo para cada una de las alternativas de decisión; luego se selecciona la alternativa de decisión que maximiza el resultado mínimo.

Como 7, que corresponde a la alternativa 1 (d1), produce el valor máximo de los resultados mínimos, se recomienda la alternativa de decisión de un complejo de condominios pequeño.

Este enfoque de decisión se considera conservador debido a que identifica los peores resultados posibles y luego recomienda la alternativa de decisión que evita la posibilidad de obtener resultados sumamente "malos". En el enfoque conservador se garantiza que PDC obtenga una utilidad de al menos $7 millones. Aunque PDC puede hacer mas, no puede ganar menos de $7 millones.

8.-Seguidamente le damos ok y nos dará el máximo de los valores del resultado mínimo.

Enfoque de arrepentimiento Minimax:

El enfoque de arrepentimiento minimax para la toma de decisiones es solamente optimista o solamente conservador. Explicaremos el enfoque de arrepentimiento minimax al mostrar como se utiliza para seleccionar una alternativa de decisión para el problema de PDC.

Suponga que PDC construye un complejo de condominios pequeño decisión 1 (d1) y la demanda y la demanda resulta ser fuerte (s1). Sin embargo, dado que ha ocurrido el estado de la naturaleza de demanda fuerte (s1), nos damos cuenta de que la mejor decisión hubiera sido construir un complejo de condominios grande (d3) que produce una utilidad de $20 millones. La diferencia entre el resultado de la mejor alternativa de decisión ($20 millones) y el resultado de la decisión de construir un complejo de condominios pequeño ($8 millones) es la perdida de oportunidad, o arrepentimiento, asociada con la alternativa de decisión d1 cuando ocurre el estado de la naturaleza s1; por tanto, para este caso, la perdida de oportunidad o arrepentimiento es $20 millones – $8 millones = $12 millones. Asimismo, si PDC toma la decisión de construir un complejo de condominios mediano (d2) y ocurre el estado de la naturaleza de demanda fuerte (s1), la perdida de oportunidad, o arrepentimiento, asociada con (d2) seria $20 millones – $14 millones = $6 millones.

Resolvemos el problema de maximización con el enfoque de arrepentimiento minimax.

Basándonos en el ejemplo anterior cambiamos a arrepentimiento minimax

Y al final nos da el siguiente resultado:

Capitulo 3

Inventarios

Inventario se refiere a mercancías o materiales mantenidos en reserva por una organización para usarlos en el futuro. Los artículos contenidos en el inventario incluyen materias primas, piezas adquiridas, componentes sub ensambles, trabajo en proceso, artículos terminados y suministros. Algunas razones por las que una organización mantiene el inventario se relacionan con las dificultades para predecir con precisión los niveles de venta, los tiempos de producción, la demanda y las necesidades de uso.

Por tanto, el inventario sirve como reserva contra el uso fluctuante e incierto y mantiene una existencia de artículos disponibles en caso de que sean requeridos por la organización o sus clientes. Aun cuando el inventario desempeña un rol importante y esencial, el gasto asociado con el financiamiento y mantenimiento de los inventarios es una parte significativa del costo de realizar negocios. En organizaciones grandes, el costo asociado con el inventario puede llegar a ser millones de dólares.

En aplicaciones que implican inventario, los gerentes deben responder dos preguntas importantes:

¿Qué tanto debe ordenarse cuando se renueva el inventario?

¿Cuándo se debe renovar el inventario?

El propósito es mostrar como los modelos cuantitativos pueden ayudar a la toma de decisiones de cuánto y cuándo ordenar. Primero se consideran modelos de inventario determinísticos en los cuales suponemos que el grado de demanda del artículo es constante o casi constante. Después se consideran modelos de inventario probabilísticos en los que la demanda del artículo fluctúa y puede describirse en términos de probabilidad.

Modelo de cantidad económica del pedido (EOQ)

Es pertinente cuando la demanda de una articulo muestra una tasa, constante o casi constante, y cuando toda la cantidad solicitada llega al inventario en un momento dado. El supuesto de tasa de demanda constante significa que el mismo número de unidades se toma del inventario cada determinado tiempo, tal como cinco unidades cada día, veinticinco unidades cada semana, cien unidades cada cuatro semanas, etc.

Para ilustrar este modelo, consideremos la situación confrontada por R&B Beverage Company. Esta empresa distribuye cerveza, vino y bebidas refrescantes. Desde su almacén principalmente localizado en Columbus, Ohio, R&B le suministra bebidas a casi mil tiendas minoritarias. El inventario de cerveza, el cual constituye aproximadamente 40% del inventario total de la empresa, promedia aproximadamente 50 mil casas. Con un costo promedio por caja aproximado de $8, R&B calcula que el valor de su inventario den cerveza es de $400 mil.

El gerente de almacén decidió realizar un estudio detallado de los costos de inventario asociados con Bub Beer, la cerveza de mayor venta de R&B. el propósito del estudio es establecer las decisiones de cuánto y cuándo ordenar la cerveza, que den como resultado el menor costo posible. Como primer paso, el gerente del almacén obtuvo los siguientes datos de demanda de las últimas 10 semanas:

(En rigor, estas cifras de demanda semanal no indican una tasa de demanda constante. Sin embargo, dada la relativamente baja variabilidad de la demanda semana (la cual va de 1900 cajas hasta 2100 cajas) la planeación del inventario con una tasa de demanda constante de 2000 cajas por semana parecería razonable)

La decisión de cuánto ordenar implica seleccionar una cantidad que constituya un compromiso entre:

Mantener inventarios pequeños y ordenar con frecuencia.

Mantener inventarios grandes y ordenar de vez en cuando.

La primera alternativa produce "costos a ordenar" indeseablemente altos, en tanto que la segunda produce "costos de retención" indeseablemente altos. Para determinar un compromiso optimo entre estas alternativas de control, consideremos un modelo matemático que expresa el costo total como la suma del costo de retención y el costo de ordenar.

Los costos de retención son asociados con el mantenimiento de un nivel de inventario determinados; estos dependen del tamaño del inventario. El primer costo de retención es el costo de financiar la inversión del inventario. Cuando una empresa pide dinero prestado, incurre en un costo de interés por el capital empleado en el inventario. Este costo de capital en general se expresa como un porcentaje de la suma invertida. R&B estima su costo de capital a una tasa anual de 18%.

Otros costos de retención, como seguros, impuestos, rotura, robos y gastos generales del almacén también dependen del valor de inventario. R&B estima una tasa anual aproximada (de estos costos) de 7% del valor de su inventario. Por lo tanto, el costo de retención seria 18% + 7% = 25% del valor del inventario. El costo de una casa de Bub Beer es de $8. Con una tasa del costo de retención anual de 25%, el costo de retención de una caja de Bub Beer en inventario durante un año es de 0.25 ($8) = $2.00.

Lo siguiente en el análisis es determinar el costo de ordenar. Este, considerado fijo sin importar la cantidad solicitada, cubre la preparación de la factura, en el procesamiento del pedido incluido el pago, porte de correos, teléfono, transporte, recepción, etc. Para R&B Beverage, la mayor parte del costo de ordenar involucra los salarios de los compradores. Un análisis del proceso de compra mostro que un comprador pasa 45 minutos preparando y procesando un pedido de Bub Beer. Con un costo salario y prestaciones de los compradores de $20 por hora, la porción de mano de obra del costo de ordenar es de $15. Al considerar un margen por los costos de papelería, porte de corres, transporte, teléfono y recibo de $17 por pedido, el gerente estima que el costo de ordenar es de $32 por pedido. Es decir, R&B paga $32 por pedido haciendo caso omiso de la cantidad solicitada en el pedido.

El costo de retención, el costo de ordenar y la información sobre la demanda son los tres datos que deben conocerse antes de utilizar el modelo EOQ. Después de recabar todos los datos podemos observar como se utilizan para desarrollar un modelo de costo total. Comenzamos por definir Q como la cantidad a ordenar. Por tanto la decisión de cuanto ordenar implica encontrar el valor de Q que minimizara la suma de los costos de retención y ordenar.

El inventario para Bub Beer tendrá un valor máximo de Q unidades cuando reciba un pedido de tamaño Q del proveedor. R&B tendrá entonces la demanda del cliente del inventario hasta que este se agote, momento en el cual se recibirá otro embarque de Q unidades.

Patrón del inventario correspondiente al modelo de Inventario EOQ

El costo de retención se calcula con la ayuda del inventario promedio. Es decir, calculamos el costo al multiplicar el inventario promedio por el costo de guardar una unidad en el inventario durante el periodo establecido. El periodo seleccionado para el modelo podría ser una semana, un mes, un año, o más. Sin embargo, como el costo de retención para muchas industrias y negocios se expresa como un porcentaje anual, la mayoría de los modelos de inventario se desarrollan con base en un costo anual.

Sean:

I = Tasa de costo de retención anual

C = Costo unitario del articulo de inventario

Ch = Costo anual de mantener una cantidad en el inventario.

El costo anual de mantener la unidad una unidad de inventario es:

Ch = I C

Para completar el modelo de costo total, ahora debemos incluir el costo anual de ordenar. El objetivo es expresar el costo de ordenar anual en función de la cantidad solicitada Q. La primera pregunta es ¿Cuántos pedidos se colocara durante el año? Sea D la demanda anual del producto. Para R&B Beverage, D = (52 semanas) (2000 cajas por semana) = 104,000 cajas por año. Sabemos que solicitando Q unidades cada vez que hacemos un pedid, tendremos que hacer D/Q pedidos por año. Si Co es el costo de colocar un pedido, la ecuación general para el costo de ordenar anual es:

Costo anual de ordenar = (Numero de pedidos por año) (Costo por pedido)

= (D/Q) Co

Costo anual total = Costo de retención anual + Costo por pedido

= ½ Q Ch + D/Q Co

Utilizando los datos de Bub Beer:

Ch = IC = (0.25) ($8) = $2

Co = $32

D = 104,000

El modelo de costo anual seria:

TC – ½ Q ($2) + 104,000/Q ($32)

Q + 3,328,000/Q

El desarrollo del modelo de costo tola se adentra en la solución del problema de inventario. Ahora se podrá expresar el costo anual total como una función de cuánto deberá ordenarse. El desarrollo de un modelo de costo total realista es quizá la parte mas importante de la aplicación de métodos cuantiaos relacionada con inventarios. La ecuación del costo anual total es la ecuación del costo total general para situaciones de inventario en las que validas las suposiciones del modelo de cantidad económica a ordenar.

Decisión de cuanto ordenar

El siguiente paso es determinar la cantidad de pedido Q que reduzca al mínimo el costo anual total para Bub Beer. Al utilizar el procedimiento de prueba y error, podemos calcular el costo anual total de varias cantidades de pedido posibles. Como punto de partida, considere Q = 8000. El costo anual total para Bub Beer es:

TC = Q + 3,328,000/Q

= 8000 + 3,328,000/8000 = $8416

La cantidad de pedido probada de 5000 da:

TC = Q + 3,328,000/Q

= 5000 + 3,328,000/5000 = $5666

La ventaja del método de prueba y error es que es un tanto fácil para realizar y proporciona el costo anual total correspondiente para varias decisiones de cantidad a ordenar posibles.

La desventaja de este método es que no proporciona la cantidad a ordenar de costo total mínimo exacta.

Ecuación para el costo anual total del modelo EOQ:

TC = ½ QCh + D/Q Co

Podemos determinar la cantidad a ordenar Q que minimice el costo anual total igualando la derivada dTC/dQ a cero y resolviendo para Q*:

Q* = v2DCo7Ch

Esta formula se conoce como al formula de la cantidad económica a ordenar (EOQ).

Al utilizarla, la cantidad a ordenar de costo anual total mínimo para Bub Beer es: 1824 cajas.

Q* = v2 (104,000) 32/2 = 1824

En realidad, el Q* de la ecuación es 1824.28, pero como no podemos ordenar fracciones de cajas de cerveza, lo indicado es manejarlo a enteros.

El uso de una cantidad a ordenar de 1824 muestra que la política de inventario de costo mínimo para Bub Beer tiene un costo anual de $3648.56.

Solución en el programa

• 1. Damos clic sobre el icono para abrir el programa y después seleccionamos "inventario", luego presionamos "ok".

• 2. Seleccionamos el menú "archivo" y damos clic en "nuevo". En la siguiente ventana seleccionamos el modelo que utilizaremos, y damos clic en "ok" en este caso es el "EOQ" (Modelo Económico de Cantidad a Ordenar).

• 3. Procedemos a llenar el cuadro utilizando los datos de Bub Beer y posteriormente damos clic en "solve".

• 4. En la siguiente ventana obtenemos el resultado.

Cantidad optima a ordenar (cantidad de pedido de costo anual total mínimo para Bub Beer)

Costo anual de retención de inventario

Costo anual de ordenar

Costo anual total

Decisión de cuándo ordenar.

Ahora que sabemos cuánto ordenar, deseamos abordar la pregunta de cuándo ordenar. Para responder esta cuestión, tenemos que introducir el concepto de posición de inventario, que se define como la cantidad del inventario disponible más la cantidad del inventario ordenada o perdida. La decisión de cuándo ordenar se expresa en función de un punto de reorden, la posición del inventario en la cual se debe colocar un nuevo pedido.

El fabricante de Bub Beer garantiza una entrega de dos días de cualquier pedido colocado por R&B Beverage. Por consiguiente, suponiendo que R&B opera 250 días por año, la demanda anual de 104,000 cajas implica una demanda diaria de 104,000/250 = 416 cajas. Por tanto, esperamos que se vendan (2 días) (416 cajas por día) = 832 cajas de Bub Beer durante dos días que un nuevo pedido tarda en llegar al almacén de R&B. En terminología de inventario, el periodo de entrega de dos días se conoce como tiempo de espera de un nuevo pedido y la demanda de 832 cajas anticipada durante este periodo se conoce como demanda de tiempo de espera. Por tanto R&B debe solicitar un nuevo envió de Bub Beer al fabricante cuando el inventario alcance 832 cajas. Para los sistemas de inventarios basados en el supuesto de tasa de demanda constante y un tiempo de espera fijo, el punto de reorden es el mismo que la demanda de tiempo de espera. Para estos sistemas, la expresión general para el punto de reorden es como sigue:

r = dm

Donde:

r = punto de reorden

d = demanda por día

m = tiempo de espera de un pedido nuevo en días

Ahora se puede responder la pregunta de qué tan frecuentemente se colocará el pedido. El periodo entre pedidos se conoce como tiempo en ciclo.

Anteriormente la ecuación del costo anual de ordenar definimos como D/Q como el número de pedidos que se colocara por año. Por tanto D/Q* = 104,000/1824 = 57 es el numero de pedidos de Bub Beer que R&B Beverage colocara cada año. Si R&B coloca 57 pedidos a lo largo de 250 días hábiles, ordenada aproximadamente cada 250/57 = 4.39 días hábiles. Por lo tanto, el tiempo del ciclo es 4.39 días hábiles.

Solución en el programa

• 1. Damos clic sobre el icono para abrir el programa y después seleccionamos "inventario", luego presionamos "ok".