El uso aplicado de las matemáticas

I. JUSTIFICACIÒN

El enfoque acumulativo ha sido adoptado tradicionalmente para la elaboración y diseño de los currículos. Supone que la formación del estudiante se va dando mediante una serie de Actividades académicas básicas. Cuando el conocimiento matemático se hace objeto del discurso didáctico, es indispensable tomar en consideración la acción de los procesos de transposición, así como las diferentes dimensiones del conocimiento, propias de la disciplina. La educación matemática reconoce que el análisis histórico critico, las teorías cognitivas, la teoría de la información, suministran elementos substanciales que deben ser incorporados como parte de la reflexión permanente sobre nuestro campo.

El sentido de estas actividades, es permitir al estudiante revisar sus bases y fundamentos matemáticos, buscando una nivelación de los conceptos básicos indispensables para emplearlos en las demás actividades académicas que requieren de la matemática como herramienta para su estructuración y comprensión. El estudiante en este nivel debe hacer conciencia, que realiza una carrera profesional, la cual requiere de un amplio dominio de la matemática y que sus deficiencias deben ser superadas de una u otra forma, mediante la consulta permanente de textos, solución de talleres, discusión en clase, retroalimentación y cualquier otro mecanismo que le permita la apropiación, relación y utilización de los conocimientos.

II. OBJETIVOS:

1. OBJETIVOS GENERALES

Empleando modelos matemáticos, desarrollar habilidades y destrezas que le permitan razonar lógica, critica y objetivamente; adquiriendo independencia en su actividad intelectual y personal, perseverando en la búsqueda del conocimiento y su relación con el medio.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

1. Identificar los conjuntos numéricos en diferentes contextos. Representarlos en diversas formas y establecer relaciones entre ellos; redefinir las operaciones básicas entre estos números establecer relación entre ellos.

2. Comprender y utilizar los fundamentos de lógica matemática básicos necesarios para la carrera.

• 3. Construir e interpretar fórmulas, ecuaciones, desigualdades e inecuaciones para representar situaciones que requieren variables, operar con cualquiera de ellos.

• 4. Aplicar los sistemas de ecuaciones lineales n x n en situaciones cotidianas resolviéndolo mediante matrices, determinantes, regla de cramer y gauss Jordán.

5. Representar y analizar funciones, utilizando para ello criterios tablas, expresiones algebraicas, ecuaciones, gráficas e interpretar estas representaciones.

6. Adquirir habilidad y destreza en el planteamiento y solución de problemas cotidianos.

III. LOGROS ESPERADOS DEL PROGRAMA

Al finalizar el curso el estudiante debe estar en la capacidad de comprender y aplicar los conceptos y experiencias adquiridas en situaciones de la vida real y poder plantear un modelo matemático con habilidad y destreza que pueda dar soluciones a problemas que se le presenten en el transcurso de su vida profesional.

IV. METODOLOGÍA DEL TRABAJO ACADÉMICO

• A través de la apropiación por parte del estudiante de algunas propiedades, se construirán modelos matemáticos aplicados a la administración de negocios (AA).

• Teniendo en cuenta los conceptos teóricos adquiridos y las condiciones del entorno el estudiante resolverá problemas prácticos de aplicación a su especialidad (AH).

• Partiendo de talleres y actividades colectivas el estudiante desarrollará la capacidad del trabajo en equipo y la tolerancia necesaria para una mejor convivencia. (AC).

• Establecer el marco teórico, que otorgue las herramientas necesaria para que el estudiante desarrolle su iniciativa y creatividad. (AS).

• V. EJES TEMATICOS Y ENCUENTROS TUTORIALES.

UNIDAD No 1:

SISTEMAS NUMERICOS

• Números reales

Propiedades

• Razones y proporciones

Propiedades

Cálculo de términos desconocidos en una proporción

• Aplicación de transposición de términos en ecuaciones y fórmulas

• Potenciación

Propiedades

• Notación científica

• Radicales

Propiedades

Simplificación

Multiplicación de radicales de igual índice

Multiplicación de radicales de diferente índice

Racionalización de radicales.

• Exponentes racionales

Relación entre la potenciación y la radicación.

• Logaritmos

Propiedades de los logaritmos

Relación entre potenciación y logaritmos

UNIDAD No 2:

• Expresiones algebraicas.

Clasificación

Monomio

Binomio

Polinomio

Términos Semejantes.

Reducción de términos semejantes.

• Valor numérico do una expresión algebraica.

• Operaciones con polinomios algebraicos:

Suma

Resta

Multiplicación

División.

• Productos Notables

Producto de la suma y la diferencia de dos cantidades

Cuadrado de un binomio o

Cubo de un binomio o

Producto de dos binomios de la forma

Producto de dos binomios de la forma

Forma

Forma

• Cocientes notables

• Factorización

Factor común monomio y polinomio

Factor común por agrupación de términos

Trinomio cuadrado perfecto

Diferencia de cuadrados perfectos

Trinomio de la forma

Trinomio de la forma

Cubo perfecto de binomios

Suma o diferencia de cubos perfectos

Casos especiales

• Operaciones con fracciones algebraicas

Suma

Resta

Multiplicación

División

Fracciones complejas

UNIDAD No 3:.

RELACIONES Y FUNCIONES

• Pareja ordenada.

• Producto cartesiano de conjuntos

Representación gráfica

• Concepto de relación

• Funciones

Concepto de función

Elementos de una función

Conjunto de partida

Conjunto de llegada

Dominio

Codominio

Rango

• Álgebra de funciones

Suma

Resta.

Multiplicación

División

Funciones compuestas

• Gráfica de funciones

Dominio

Rango

Intercepto o puntos de corte

Simetrías

Asintotas

Tabla

• Función Inversa

Procedimiento para hallar la inversa de una función

• Función Lineal

Pendiente

intersecto

Gráfica

• Función cuadrática o de segundo grado

Gráfica

• Aplicaciones

UNIDAD No 4:

ÁLGEBRA LINEAL

• Matrices

• Operaciones con matrices, sumas, resta

• Producto punto, producto cruz

• Tipos de matrices

• Solución de matrices mediante el método de Gauss –Jordan

• Determinantes

• Regla de Cramer

• Aplicaciones

UNIDAD No 5:.

APLICACIONES A LA ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS

• Problemas prácticos de aplicación.

EJERCICIO MODELO

• 1. Solucionar la siguiente ecuación utilizando las propiedades de los logaritmos

Tomamos logaritmos a ambos lados

entonces aplicando propiedades tenemos

Transponiendo términos

Factorizando obtenemos

despejando x se obtiene

entonces

operando obtenemos

• 2. Un comerciante perdió el primer año 1/5 de su capital, el segundo año gano una cantidad igual a los 3/10 de lo que le quedaba; al tercer año gano 3/5 de lo que tenía al terminar el segundo año y tiene 13312 dólares. ¿Cuál es su capital inicial?

Asumamos que x es el capital inicial, entonces

Es lo que le quedo después de la pérdida del primer año

Queda después de haber ganado en el segundo año

Para el tercer año le queda, entonces

Tomando las perdidas y las ganancias tenemos, entonces

Esto es lo que le queda, por lo tanto

En consecuencia

El capital inicial era de 8000 dólares

TALLER

1. realiza las siguientes operaciones

a)

b)

c)

d) e)

f)

g) h)

i) Un poste tiene 2/7 de su longitud bajo tierra, 2/5 del resto sumergido en agua, y la parte emergente mide 6 metros. ¿Cuál es la longitud total del poste?.

j) Para llegar a un bonito refugio he realizado las 3/5 partes del recorrido en tren, los 7/8 del resto en autobús y los últimos 10 kilómetros andando. ¿Cuántos kilómetros he recorrido en total?.

k) De una varilla larga le han cortado 36 cm, si dicho pedazo corresponde a los ¾ de los 4/5 del total de la varilla ¿cuál es la longitud de la varilla?.

l). Un hombre compra por $5.350.000 las 4/5 partes de un negocio. El negocio estaba evaluado en?.

EXPONENTES Y RADICALES

Algunas propiedades sobre la potenciación

2.Aplique las propiedades de la potenciación y simplifique dando sus respuesta con exponentes positivos.

a. b. c.

d. e.

f. g. h.

i. j. . k.

• 1. Simplifique las siguientes expresiones. Racionalice el denominador cuando sea necesario.

a. b.

c. d.

4. exponentes racionales, exprese como exponentes y simplifique.

a. b. c. .

LOGARITMOS

Propiedades de los logaritmos:

5. Calcule las valores de las expresiones siguientes usando la definición de logaritmos.

a) b) c)

d) e) f)

6. Verifique las proposiciones siguientes y rescríbalas en forma logarítmica con una base apropiada.

a) b) c)

d) e) f)

7. Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de los logaritmos.

a) b)

c) d)

8. Determinar el valor de la incógnita

• a.  b. c. d.

e. f.

APLICACIONES:

Resolver los ejercicios 10 y 11 aplicando las propiedades de los logaritmos.

9. En el 2000 la población de cierta ciudad de Colombia era de 2 millones de habitantes y estaba creciendo a una tasa del 5% anual. ¿Cuándo rebasará la población la marca de los 5 millones, suponiendo que la tasa de crecimiento es constante?.

10. La suma de $1000 dólares se invierte a un interés compuesto anual del 6% ¿cuándo tardará la inversión en incrementar su valor a $1500 dólares?.

11. Un container de artículos se vende por $120.000.000 con una utilidad del 35%. Halle el costo inicial del lote.

12. En el testamento de Federico Porras, figura una cuenta por un valor de $48.964.000 para repartir entre su viuda y sus tres hijos, de dicho valor se deben deducir $8.950.000 por gastos de entierro, honorarios del abogado e imprevistos y el resto debe de ser repartido así: 5/8 de lo que quedo para la viuda y el resto debe de distribuirse en partes iguales entre sus tres hijos. ¿Cuánto recibirá la viuda y cuánto cada hijo?.

13. El ingreso anual de Edgar durante el año 2004 fue de $45.900.000. el gasto en alquiler el 25%, en alimentación el 13%, en ropas el 28%, en otros artículos el 23% y el resto lo ahorro. ¿Qué porcentaje de su entrada anual ahorro?, ¿Cuánto dinero ahorro?, ¿cuánto gastó en cada uno de los puntos especificados?.

14. Si 9 bombas levantan 1050 toneladas de agua en 15 días, trabajando 8 horas diarias, ¿en cuántos días 10 bombas levantarán 1.400 toneladas, trabajando 6 horas diarias?.

15. Un ciclista marchando a 12 km por hora recorre en varias etapas un camino empleando 9 días a razón de 7 horas por día. ¿A qué velocidad tendrá que ir si desea emplear sólo 6 días a razón de 9 horas diarias?.

16. Una pileta se llenó en 3 días dejando abiertas 2 canillas que arrojan 20 litros por hora, durante 6 horas diarias. ¿Cuántos días se necesitarán para llenar la misma pileta si se dejan abiertas, durante 5 horas diarias, 4 canillas que arrojan 18 litros por hora?.

17. Un padre de familia al fallecer deja una herencia de $4.340.000, de la cual la mitad corresponde a su esposa y la otra mitad se distribuye inversamente proporcional a la edad de sus tres hijos de 10, 15 y 25 años. ¿Cuánto corresponde a cada hijo?

18. Un granjero tiene concentrado para 30 cerdos que le duran 12 días. Si quiere que el concentrado le dure 3 días más. ¿Cuántos cerdos debe vender?

19. En un galpón 20 gallinas en 12 días producen 190 huevos. ¿Cuántos huevos producen 2200 gallinas del galpón en 48 días?

20. Con 40 bultos de concentrado de 50 Kg. se pueden alimentar 30 animales durante 35 días. ¿Cuántos animales podremos alimentar durante 15 días con 60 bultos de 40 Kg. del mismo concentrado?

RESPUESTAS TALLER NUMERO UNO

1.a = -1 9. = año 2018

1.b = – 35/16 10. = 7 años

1.c = – 98/255 11. = $ 88"888.888,89 pesos

1.d = 7/32 12. = $25"008.750 y $ 5"001.750 pesos

1.e = 81/224 13. = 11% y $ 5"049.000 pesos

1.f = – 85 /16 14. = 24 días

1.g = 21/20 15. = 14 kms/h

1.h = 16/7 16. = 2 días

1. i = 14 mts 17. = $ 434.000 $ 651.000 y $ 1"085.000 pesos

1.j = 200 mts 18. = 6 cerdos

1.k = 60 cms 19. = 83.600 huevos

1.l = 6"887.500 pesos 20. = 84 animales

5.a = – 4

5.b = 5/3

5.c = 4

5.d = – 3

5.e = – 5

5.f = 100

7.a = 45

7.b = 10

7.c = 0,44

7.d = 0,71

EJERCICIOS MODELO

• 1. Descomponer en factores la siguiente expresión

Esta es una expresión de la forma

Para descomponerla en factores utilizamos el siguiente artificio matemático

Multiplicamos y dividimos entre 12 para que no se altere

Ahora factorizamos (buscando dos números que multiplicados den como resultado -420 y sumados den como resultado -13)

Después de simplificar obtenemos

• 2. 5 personas han comprado un negocio contribuyendo por partes iguales. Si hubiera habido 2 socios más, cada uno hubiera pagado 800 dólares menos. ¿Cuánto costó el negocio?

Supongamos que x es el valor en dólares del negocio

Cada socio aportó dólares

Para dos socios más

Trasponiendo términos

Esto es una ecuación lineal de primer grado despejando la incógnita tenemos que

El valor del negocio es de US 14000

TALLER No. 2

Antes de iniciar el taller tenga bien claro

¿Qué es constante?

¿Qué son variables?

¿Qué son expresiones algebraicas?

¿Qué es un polinomio algebraico?

¿Qué significa factorizar?

¿Cómo puede aplicar estos conceptos en la vida cotidiana?

• 1. En los ejercicios siguientes, efectúe la operación indicada y simplifique.

a.

b.

c. d.

e. f.

g. h.

i.

j.

k.

l.

m.

n.

• 2. Simplifique cada uno de los siguientes polinomios, utilizando factor común.

a.

b.

c.

d.

e.

• 3. Factorice por completo las expresiones siguientes:

a. b. c.

d. e. f.

g. h. j.

k. l. m.

n. o. p.

q. r. r.

• 4. Resuelva los siguientes productos notables teniendo en cuenta las siguientes reglas.

• a. 

• b. 

• c. 

• d. 

• e. 

• f. 

• g. 

• h. 

• i. 

• j. 

• k. 

• l. 

• m. 

n.

• 5. Dados los siguientes polinomios, factorizarlos empleando División Sintética

a.

b.

c.

d.

e.

• 6. Plantear y resolver los siguientes problemas:

• a. Juan José vende dos camisas A y B por $190.000; si el costo de A fue de $20.000 menos dos veces el costo de B, ¿cuál fue el precio de cada una?.

• b. Daniela tiene entre conejos y palomas 56 animales. Si las palomas suman 12 menos que los conejos ¿cuántos animales hay de cada especie?.

• c. En el primer semestre de Administración de Negocios de la Universidad del Quindío, hay entre hombres y mujeres 56 estudiantes. Si las mujeres suman 12 menos que los hombres, ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres hay?.

• d. La Edad de Esneda es tres veces la edad de Daniela, si ambas edades suman 64 años, ¿Cuál es la edad de cada una?.

• e. Fernando tiene $2.300.000 que quiere repartir entre sus dos hijos, pero quiere que su hijo mayor reciba $240.000 más que su hijo menor, ¿Cuánto debe dar a cada uno de ellos?.

• f. Él número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces él número de días que ha trabajado Enrique. Si Pedro hubiera trabajado 15 días menos y Enrique 21 días más, ambos habrían trabajado igual número de días. ¿Cuantos días trabajo cada uno?.

• g. Edgar tiene 7 años más que su esposa Martha. Hace 10 años tenía el doble de la edad de ella. ¿Cuántos años tiene cada uno?.

• h. Una vendedora gana un salario base de $600.000 por mes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma horas realizar ventas por un valor de $100.000. ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2.000.000?.

RESPUESTAS TALLER NUMERO DOS

6.a = $ 70.000 y $ 120.000 pesos

6.b = 22 palomas y 34 conejos

6.c = 34 hombres y 22 mujeres

6.d = 16 y 48 años

6.e = $ 1"030.000 y $ 1"270.000 pesos

6.f = 48 y 12 días

6.g = 17 y 24 años

6.h = 210 horas mensuales

EJERCICIOS MODELO

Hallar los puntos de intersección (puntos de equilibrio) para las siguientes funciones

RECUERDE

los puntos de equilibrio se encuentran en las intersecciones (ó sea donde las gráficas se cortan), es decir cuando:

f(x) = g(x)

Es decir,

Esta es una ecuación de segundo grado

Ahora reagrupando términos y reduciendo términos semejantes obtenemos:

resuelva esta ecuación solo y luego compare para un mejor aprendizaje

Se debe resolver esta ecuación cuadrática, aplicando la formula general o Descomponiendo en factores, vamos a resolverla aplicando la formula general

Reemplazando valores tenemos

Realizando operaciones obtenemos dos soluciones y

Estas son las coordenadas de los puntos de equilibrio en x, debemos hallar y para definir completamente los puntos de equilibrio

Para hallar las coordenadas en y reemplazamos x en cualquiera de las dos ecuaciones, f(x) o g(x)

Yo reemplazando en g(x), pero usted compañero realice el reemplazo en f(x). ¿Que encontró? ¿Por que?

Entonces los puntos de equilibrio son

y

Ahora pasemos a graficar las funciones dadas

Gráfica de la función g(x)=16x+180

Esta es una función lineal, por lo tanto su gráfica es una recta hallemos cortes con los ejes

Para hallar cortes con el eje x hacemos g(x)= 0

Para hallar cortes con el eje y hacemos x = 0, entonces y = 180

Los puntos de corte son:

(-11.25 , 0) (0 , 180 )

GRAFICA DE LA FUNCION

Se observa que:

• Por ser una función cuadrática, la gráfica es una parábola

• Por el coeficiente negativo de x2 la parábola es cóncava hacia abajo

VERTICE DE LA PARABOLA

X = 9

Encuentro el valor correspondiente de y

Y= 324

El vértice esta en: V(9, 324 )

Cortes con el eje x: entonces y = 0

Resolviendo por factorización

Punto de corte ( 0, 0 )

El otro punto de corte lo encontramos haciendo

El punto es: (18 , 0)

Con estos puntos podemos graficar la parábola, en el mismo plano que graficamos la recta

ACLARACIONES

Las gráficas fueron elaboradas con un programa descargado de Internet llamado Graphmatica.

TALLER No. 3

INVESTIGAR:

• a. ¿Qué es pendiente?.

• b. ¿Cuándo dos rectas son paralelas?.

• c. ¿Cuándo dos rectas son perpendiculares?.

• d. ¿Qué es una función Matemática?.

• 2. Estimar la pendiente y la ecuación de la recta asociada a cada grafico.

a.

b.

• 3. a) Dibujar la grafica de la recta que pasa por los siguientes puntos, encontrar la pendiente.

a. (2, 1) y (5, 7) b. (5, -2) y (1, -6) c. (1/2, 2), (6,2)

d. (-3/2, -5) y (5/6, 4) e. (2, -1) y (4, -1) f. (7/8, 3/4) , (5/4, -1/4)

• 4. Encuentre la ecuación de las líneas rectas que satisfacen las condiciones de cada uno de los ejercicios siguientes:

• a. Pasa a través del punto (2, 1) y tiene pendiente 5

• b. Pasa por (7/8, 3/4) , (5/4, -1/4).

• c. Tiene pendiente –2 y ordenada al origen 5

• d. Pasa por (0, 3) con m = ¾

• e. Y-intersección en 2 con m = 4

• f. Y-intersección en –2/3 con m = 1/6

• g. Pasa pro (2, -1) y es paralela a la recta

• 

• h. Pasa por (-1,2) y es perpendicular a la recta

• 

• i. Pasa por (0, -1) y es paralela a la recta determinada por (2, 2) y (3, 1).

• j. Pasa por (2,3) y es perpendicular a la recta determinada por (-1, -2), y (2, 1).

• 5. Escribir una ecuación de la recta que pase por el punto dado y sea:

a) Paralela a la recta dada.

b) Perpendicular a la recta indicada.

a. (2, 1), 4X – 2Y = 3

b. (7/8, 3/4) 5X + 3Y = 0

c. (-6 , 4) 3X + 4Y = 7

• 6. Halle el punto de equilibrio de las siguientes ecuaciones lineales por los métodos de sustitución, igualación, reducción y corrobore lo obtenido gráficamente de los siguientes sistemas de ecuaciones:

a. 2X – 3Y = 7 y 3X –Y = 7

b. X + Y = 8 y 2X – Y = 1

c. 3X –2Y = 8 y 2X + 5Y = -1

d. 3X –1 = 2Y y 3Y – 2X = 6

e. 6X + 3Y = 3 y 5X + 4Y = 7

• 7. Para cada función dada, construya una tabla de valores y realice la grafica.

a. b. c.

d. e.

• 8. Resuelva las siguientes ecuaciones por la fórmula cuadrática.

a. b.

c. d.

e. f.

• 9. Bosqueje las parábolas siguientes y determine: su vértice, puntos de corte con el eje x, dominio y rango de:

a. b.

c. d.

• 10. Halle los puntos de intersección (puntos de equilibrio) empleando procedimientos matemáticos, de las siguientes funciones y grafíquelas.

a. y

b. y

c. y Y= 2X + 10

d. y

• 11. Efectué las operaciones indicadas y simplifique:

a. b.

c.

d.

e.

f. Sea

hallar A X B y B X A

• 12. En los problemas siguientes, resuelva el sistema dado (si la solución existe) usando el método de reducción.

a. b.

• 13. Hallar la Inversa de las siguientes matrices.

a. b. c.

• 14. Hallar el determinante de las siguientes matrices.

a. b.

c. d.

• 15. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss o por regla de Cramer.

a. b.

c. d.

e. f.

HOJA DE RESPUESTAS TALLER No 3.

• 3. a. m=2. 4.

• b. m=1

• c. m=0

• d. m=

• e. m=0

• f. 

5. a.

b.

6. a. P(2,1) b. P(3,5) c. P(2,-1) d. P(3,4)