El uso aplicado de las matemáticas (página 2)

7. a.

7. c.

7. d.

7.e.

8. a. X1 =0.8507 X2 =0.8507

b. X1 =1.3 X2 =-2.3

c. X1 =2.5

d. X1 =4 X2 =3

b. X1 =0.368 X2 =-1.632

b. X1 =5.825 X2 =0.175

9. a. X 1=028 X2=-1.78 V(-0.7, -2.1)

b. . X 1=7.89 X2=-1.895 V(3, -24)

c. . X 1=-7 X2=4 V(-1.5, -30.2)

d. X 1=-3.27 X2=0.6 V(-1.3, 11.3)

10. a. P(27.61,17.91) P(-17.9,-27.9)

b. P(-5,0) P(4,9)

c. P(-5,0) P(0,10)

d. P(4,144) P(10,180)

EJERCICIOS MODELO

• 1. Un fabricante produce lámparas, que vende a $8.200= sus costos de producción son los siguientes: $130.000= en arriendo, y $3.500 por el material y la mano de obra de cada lámpara producida. ¿Cuántas lámparas debe producir para obtener utilidades de $246.000=?

U=I-C UTILIDAD= INGRESOS -COSTOS

CF=CV+CF COSTOS= COSTOS FIJOS+COSTOS VARIABLES

I=P.X INGRESOS= PRECIO X NUMERO DE ARTICULOS

P=8200

CV=3500

CF=130000

U=246000

I=8200

246000=8200 x – (3500x + 130000)

246000=8200 x – 3500x – 130000

246000+130000=8200x – 3500x

376000=4700x

x = 80

Para obtener una utilidad de $246000 se deben de producir ( 80 ) lamparas

• 2. directiva de una compañía quiere saber cuántas unidades de su producto necesita vender para obtener una utilidad de $100.000. Está disponible la siguiente información; precio de venta por unidad, $20; costo variable por unidad, $15; costo fijo total, $600.000. A partir de estos datos determine las unidades que deben ser vendidas para alcanzar el punto de equilibrio

P=20 PRECIO

CV=15x COSTO VARIABLE

CF=600000 COSTO FIJO

U=100000 UTILIDAD

I=20x INGRESO

Aplicado la fórmula para la Utilidad U= I-CV-CF

100000=20x – (15x + 600000)

100000=20x – 15x – 600000

100000+600000= 20x-15x

700000=5x

X=140000

la compañía debe producir 140000 unidades para obtener utilidad de $100000

Para hallar el punto de equilibrio aplicamos

U= I-CV-CF

U= 20x-600000-15x En el punto de equilibrio U=0, entonces

20x-600000-15x =0 despejando x, obtenemos

X=120000

Para alcanzar el punto de equilibrio se deben vender 120000 unidades

TALLER No. 4

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES

PROBLEMAS DE APLICACIÓN:

• 1. La tienda el Sol, vende cacahuates a $0.70 dólares la libra y almendras a $1,60 dólares la libra. Al final de un mes el propietario se entera que los cacahuates no se venden bien y decide mezclar cacahuates con almendras para producir una mezcla de 45 libras, que venderá a $1.0 dólar la libra.

¿Cuántas libras de cacahuates y de almendras deberá mezclar para mantener los mismos ingresos?.

• 2. El costo de fabricar 10 maquinas al día es de $3.500.000, mientras que cuesta $6.000.000. producir 20 maquinas del mismo tipo al día, suponiendo un modelo de costo lineal, determine la relación entre el costo total de producir x máquinas al día y dibuje su grafica.

• 3. Para un fabricante de relojes, el costo de mano de obra y de los materiales por reloj es de $15.000 y los costos fijos son de $2.000.000 al mes. Si vende cada reloj a $20.000 ¿Cuántos relojes deberá producir y vender cada mes con objeto de garantizar que el negocio se mantenga en el punto de equilibrio?, interprete gráficamente el punto de equilibrio.

• 4. Supóngase que el costo total diario (en dólares) de producir x sillas está dado por Y = 2.5X + 300

• a. Si cada silla se vende a $4 dólares ¿Cuál es el punto de equilibrio?.

• b. Si el precio de venta se incrementa a $5 dólares por silla, ¿Cuál es el nuevo punto de equilibrio?.

• c. Si se sabe que al menos 150 sillas pueden venderse al día ¿qué precio debería fijarse con el objeto de garantizar que no haya perdida?.

• 5. Una compañía de dulces vende sus cajas de chocolates a $2 dólares cada una. Si x es el número de cajas producidas a la semana (en miles), entonces el administrador sabe que los costos de producción están dados en dólares por

• 

• Determine el valor de producción en que la compañía no obtiene utilidades ni perdidas (punto de equilibrio).

• 6. Una empresa compra maquinaria pro $15.000.000, se espera que la vida útil de la maquinaria sea de 12 años, con valor de desecho cero. Determine la cantidad de depreciación por año y una fórmula para el valor depreciado después de x años.

• 7. La demanda mensual x, de cierto artículo al precio P dólares por unidad está dado por la relación El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 dólares por unidad y los costos fijos de $2000 dólares al mes. ¿Qué precio por unidad P deberá fijarse al consumidor con objeto de obtener una utilidad máxima mensual?.

• 8. El señor Carlos Alberto es propietario de un hotel con 60 habitaciones. Él puede alquilarlas todas si fija un alquiler mensual de $200.000 pesos por habitación. Con un alquiler más alto, algunas habitaciones quedarán vacías. En promedio, por cada incremento de alquiler de $5.000 pesos una habitación quedará vacía sin posibilidad de alquilarse. Determine la relación funcional entre el ingreso mensual total y el número de habitaciones vacías. ¿Qué alquiler mensual maximizaría el ingreso total?. ¿Cuál es este ingreso máximo?.

• 9. El costos de producir x artículos a la semana está dador por

• a. Si cada artículo puede venderse a $7.000 pesos, determine el punto de equilibrio.

• b. Si el fabricante puede reducir los costos variables a $4.000 por artículo incrementando los costos fijos a $1.200.000. a la semana, ¿le convendría hacerlo?.

• 10. Una compañía tiene costos fijos de $2.500 dólares y los costos totales por producir 200 unidades son $3.300 dólares.

• a. Suponiendo linealidad, escriba la ecuación costo-producción.

• b. Si cada artículo producido se vende a $5.25 dólares. Encuentre el punto de equilibrio.

• c. ¿Cuántas unidades deberá producir y vender de modo que resulte una utilidad de $200 dólares?.

• 11. Una Agencia Inmobiliaria maneja 50 apartamentos. Cuando el alquiler es de $280.000. mensuales, todos los apartamentos están ocupados, pero si es de $325.000, el promedio de ocupados baja a 47.Supongamos que la relación entre la renta mensual (P) y la demanda (X) es lineal:

• a. Escribir una ecuación de la recta que da X en términos de P.

• b. Usar la Ecuación para predecir el número de apartamentos ocupados su la renta de alquiler se eleva a $355.000.

• c. Predecir el numero de apartamentos ocupados si la renta de alquiler fuese de $295.000.

• 12. Hallar el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas, si la función oferta para cierto articulo es:

S(p) = p –10 y la función de demanda es

• 13. Una empresa de Plásticos, tiene ingresos anuales por un valor de $120.000.000, sus costos fijos mensuales son $4.000.000 y el costo por producir cada bolsa plástica es de $50.

• a. ¿Cuántas bolsas produce mensualmente, si su gasto total es de $6.500.000?

• b. ¿A qué precio está vendiendo sus bolsas?

• c. ¿Cuánto es la utilidad?

• d. ¿A qué precio debe vender las bolsas para no disminuir la producción y alcanzar un punto de equilibrio?

• 14. Un fabricante produce diario 150 artículos que vende al doble del costo menos $1000 ¿Cuánto es el costo de producir cada artículo, si sus utilidades son de $360.000?

• 15. Un comerciante de ganado compró 1000 reses a $150.000 cada una, vendió 400 de ellas obteniendo una ganancia del 25%. ¿ A qué precio deberá vender las restantes 600 reses, si la utilidad promedio del lote completo ha de ser el 30%?

• 16. Un comerciante de autos usados compra dos automóviles en $29.000.000. Vende uno con una ganancia del 10% y el otro perdiendo el 5% y aún obtuvo una ganancia de $1.850.000. por la transacción completa. Encuentre el costo de cada automóvil.

• 17. El fabricante de cierto producto puede vender todo lo que produce al precio de $20.000 cada uno. Le cuesta $12.500 producir cada articulo por los materiales y la mano de obra, y tiene un costo adicional de $7.000.000 al mes con el fin de operar la planta. Encuentre el número de unidades que debe producir y vender para obtener una utilidad de $5.000.000 al mes.

• 18. El costo de fabricar 10 bolsas de cartón al día es de $2,20, mientras que fabricar 20 bolsas del mismo tipo cuesta $ 3,80. Suponiendo que se trate de un modelo de costo lineal, determine la fórmula correspondiente a producir x bolsitas de papel en el día y construya su gráfica.

• 19. Sabiendo que la función de oferta de lápices automáticos marca "Profiti" está dada por: q = 2 p – 5  y que la demanda de los mismos es lineal y tiene como regla de definición: q = – 4/3 p + 20/3 donde p representa el precio (en $) de los lápices y q la cantidad de los mismos (en miles de unidades).

• a. Hallar analíticamente las coordenadas del Punto de Equilibrio.

• b. Corroborar gráficamente lo obtenido en a.

• 20. Una empresa que tiene costos fijos mensuales de $4.800.000,por arrendamiento y salario de los ejecutivos, que se deben pagar sin importar el nivel de producción, el cual tiene un costo variable mensual de $800, si su producción semanal es de 125 unidades.

• a. ¿Cuántos son sus gastos mensuales?

• b. ¿Cuánto debe ser el precio de venta para alcanzar un punto de equilibrio?

• c. ¿Cuánto debe producir para tener una utilidad semanal de $500.000?.

HOJA DE RESPUESTAS TALLER No 4.

• 1. 30 Libras de cacahuetes y 15 Libras de almendras

• 2. 

• 3. 400 relojes

• 4. a. P (200,800) b. (120,600) c. 4.5 dólares

• 5.  Entre 2000 y 5000

• 6. 

• 7. P=17.5 U = 5031,25

• 8. I=-5000×2+100000x+12000000 alquiler=250000 Imax=12500000

• 9. a. 500, 3500000 b. 400, 2800000 U=0 en ambos casos

• 10. a. C(X)=2500+4x b. x=2000 c. 2160 unidades

• 11.  a. b. 45 apartamentos c. 49 Aptos

• 12.  p=27.91 S(p)=17.91 precio de equilibrio

• 13.  a. 50000 bolsas b. p=200 pesos c. U=3500000 p=130 pesos

• 14.  Costo=3400 pesos

• 15.  200000 pesos

• 16.  x=22000000 pesos y =7000000 pesos

• 17.  1600 unidades

• 18.  Y= 0.16x+06

• 19.  a. P (3.5,2)

• 20.  a. C=5200000 b. p=10400 c. 173 artículos

• BIBLIOGRAFÍA:

• ESLAVA, María Emilia, VELASCO, José R. Introducción al las matemáticas Universitarias, McGraw Hill

• JAGDISH. C. Ayra, ROBIR W. Lardner, Matemáticas aplicadas a la Administración y la Economía. Pearson Educación (Tercera Edición).

• GOODMAN/HIRSCH. Álgebra y trigonometría Analítica. Editorial Prentice Hall.

• DOWLING. Edward. Cálculo para Administración, Economía y ciencias Sociales.Textos Matemáticas de Básica Secundaria

Fuentes de Internet:

• www.matematicas.net

• www.deberesmatematicas.com

• www.matematica.udl.es

• www.apuntes21.com/matematicas

• www.mundopc.net/freeware/educacion/matematicas.php

• www.mismates.net/matematicas

Autor:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

Santiago de los Caballeros,

República Dominicana,

2014.