La adición (página 3)

ETC. 0,4 + 0,6 =1 0,003 + 0,007= 0,01 17 de los órdenes del sistema decimal de numeración.

De esta forma podemos extender el cuadrodelasdestrezasasociativasydi- sociativas antes presentadas: Como puede apreciarse, la norma básica consiste en utilizar las propieda- desconmutativa,asociativaydisociati- va para buscar –y encontrar– el valor de 10 ó de las potencias de 10 (100, 1.000, etc.), y también para saber “romper” estas potencias en los sumandos más adecuados en cada caso. Un ejemplo sencillodeaplicacióninmediata,incluso en sumas escritas, puede verse en la realización de la siguiente:

73 144 55 316 + 67 51 + 90 = 100 + 50 = 100 + 0,9 = 1 + 0,5 = 1 20+ 80= 100 100+ 900 =1.000 0,2+ 0,8 = 1 0,001+0,009= 0,01 30 200 0,3 0,002 + 70 = 100 + 800 = 1.000 + 0,7 = 1 +0,008 = 0,01 10 50 0,1 0,5 ETC. 100 = 90 + 10 1 = 0,9 + 0,1 100 = 20 + 80 1 = 0,8 + 0,2 100 = 30 + 70 1= 0,7 + 0,3 100 = 40 + 60 1 = 0,6 + 0,4 100 = 50 + 50 1 = 0,5 + 0,5 ETC. Habitualmente solemos proceder sumando la columna de las unidades, luego la de las decenas, etc. Esta prác- tica está justi?cada por la propiedad disociativa de la suma, aplicada a to- dos los sumandos. Ahora bien, dentro de cada columna podemos utilizar la propiedad conmutativa (sumar en cualquier orden), lo que nos permite asociar los sumandos que se comple- mentan para obtener 10: visualmente asocio el 3 con el 7, el 4 con el 6 (ya llevo 20) y percibo que me quedan sin asociar el 5 y el 1. Así, la suma de las unidades es 26: escribo el 6 y “llevo” 2 decenas (no 2, simplemente, sino 2 decenas). De un modo análogo, en la columna de las decenas asocio rápidamente el 4 40 + 60 =100 con el 6, el 5 con el 5, y el 7 y el 1 con el 2 de la llevada, lo que me da un total de 30 decenas: escribo el 0 y “llevo” 3 centenas.Lasumadeéstasesmásfácil, 7. La suma total es 706. Volviendoacasosmásgenerales–no sóloalosdelassumasdispuestasverti- calmente– y partiendo de la base de las destrezas descritas, es posible precisar algunas sugerencias para facilitar las operaciones mentales de sumar (en lo que sigue, se mostrarán de nuevo los cálculos escritos como una orientación del proceso mental, pero tales cálculos no se escriben en la práctica).

1. Acercar alguno(s) de los suman- dos a potencias o múltiplos de 10. Por ejemplo,alsumar156+199=156+(200 – 1) = 156 + 200 – 1 = 356 – 1 = 355. O también, 412 + 84 = 400 + 10 + 2 + 80 + 4 = 400 + 90 + 6 = 496.

2. “Prestarse” entre los sumandos paraformarpotenciasomúltiplosde10. Porejemplo:46+88=44+2+88=40+ 4+90=130+4=134.Otambién:137+

18 63 = 137 + 3 + 60 = 140 + 60 = 100 + 40 + 60 = 200. O en el caso del ejercicio propuesto anteriormente, 156 + 199 = 155 + 1 + 199 = 155 + 200 = 355.

3. Sumar de izquierda a derecha, siempre que no resulte complicado. Por ejemplo, si se observa que en la suma no va a haber “llevadas”: 603 + 195 = 600 + 100 + 90 + 3 + 5 = 798.

Cuando trabajemos el siguiente Cuaderno, dedicado a la sustracción, ampliaremosotrasestrategiasdecálcu- lo mental para las sumas y las restas.

6. El apoyo de otras representaciones grá?cas Además del conjunto de las tablas de sumar antes presentadas, es posible elaborarotrasquenospermitenvisualizar la aplicación de las propiedades de la sumay,además,fomentareldesarrollode destrezas a la hora de efectuar diversas sumas.Laprimeradeestasrepresentacio- neseslatabladelosnúmerosde1a100: Deacuerdoconestepardecriterios, sisequieresumar,porejemplo,36+58, nos ubicamos en uno de los dos números(sea58);agregarle36signi?ca “bajar 3 pisos (llegar a 88) y correrse 6 números a la derecha (2 hasta 90, y 4 más hasta 94)”, o bien “correrse 6 números a la derecha (2 hasta 60, y 4 más hasta 64) y bajar 3 pisos (llegar a 94)”. De una forma análoga se procede si nos ubicamos inicialmente en 36. Como puede verse, hay cuatro formas de “visualizar” una sola suma… Enellapodemosdetectarlasregulari- dades,lospatronesquesehallanpresen- tes en esta distribución de números. Por ejemplo, todos los números de cada columna tienen la misma cifra en la posición de las unidades (¿y los números de cada ?la?). Asimismo, si se observa cada fila, el paso de un número a su siguientealaderechasigni?calaadición deunaunidad.Análogamenteparacada columna, el paso a cada número inferior –“bajar un piso”– representa la adición de una decena. 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

19 Otradelasrepresentacionesgrá?cas –sinlaslimitacionesqueimponelatabla anterior, en la que la suma no puede pasar de 100– utiliza la recta numérica como soporte visual. Sea, por ejemplo, la suma 358 + 674. Ubicamos uno de los números (sea 358) en un punto cualquieradelarecta.Ahoradisociamos convenientemente el otro sumando, de tal forma que busquemos oportuna- mente, a partir de 358, llegar a números que representen potencias o múltiplos de10,obienagreguemossumandosque sean potencias o múltiplos de 10. Enlaprimeradelasgrá?caspercibi- mos cómo vamos avanzando “por saltos” a medida que vamos añadiendo “pedacitos” del número 674 (que se rompió progresivamente en 2 + 40 + 600 + 30 + 2, a medida que se veía la conveniencia del siguiente sumando): Hayvariasalternativasparaefectuar esta suma por saltos, tantas como disociaciones adecuadas podamos obtener del segundo sumando. Una de estas alternativas es la siguiente: Como dijimos antes, el uso de estas representaciones grá?cas nos permite visualizar la aplicación de las propie- dades de la suma y, además, fomentar el desarrollo de destrezas a la hora de efectuar diversas sumas. El proceso debe partir de la construcción de tales representaciones para ir, poco a poco, haciaunaimagenmentaldelasmismas.

En de?nitiva, y como puede apre- ciarse, existe una diversidad de cami- nos para llegar al resultado de la suma. No es conveniente cerrarnos en uno solo, por lo que dijimos en el Cuaderno 1. Es preferible exponer todos los que se puedan y dejar que nuestra creativi- dad –y la de nuestros alumnos– pueda hallarotros.Después,cadaquientermi- nará por seleccionar el que mejor se acomode a la situación propuesta o el que mejor vaya con su estilo personal de hacer las cosas: una diversidad abierta a la posibilidad de elegir…

EFECTúE MENTALMENTE LAS SIGUIENTES SUMAS (HáGALO DE TODAS LAS FORMAS QUE SE LE OCURRAN): A) 9 + 7 B) 13 + 8 C) 4 + 21 E) 35 + 56 F) 71 + 22 D) 27 + 14 G) 65 + 37 I) 602 + 399 K) 225 + 176 H) 148 + 454 J) 65 + 44 + 32 L) 599 + 87 N) 48 + 973 O) 806 + 199 M) 415 + 186 ñ) 134 + 807 + 59 P) 123 + 987 INVéNTESEOTRASERIEDEEJERCICIOSSIMILARES A LOS ANTERIORES Y RESUéLVALOS. 7. Estimar el valor de la suma Que,enestecaso,nosigni?caquerer, tener aprecio por lo que dé la suma…, sino dar el resultado aproximado de la suma. Y eso, ¿por qué y para qué? Porquemuchasvecesnoesnecesarioel valorexactodelasuma,sinoqueresulta su?ciente una aproximación adecuada a nuestros intereses o a la naturaleza del problema. 2 40 600 30 2 358 360 400 1.000 1.030 1.032 600 2 40 30 2 358 958 960 1.000 1.030 1.032

20 VOY A UNA TIENDA DE ROPA CON 20.000 PESOS EN EL BOLSILLO.VEO UNA BLUSA QUE VALE 7.990 PESOS,UNAFALDAPOR5.399PESOSYUNPANTALóN QUE CUESTA 6.495 PESOS.¿ME ALCANZA LA PLATA PARA COMPRAR LAS TRES PRENDAS?

UNA SALIDA SERíA LA DE SUMAR LAS TRES CANTI- DADESYCOMPARARELRESULTADOCONLOS20.000 PESOS. ESTO ES NECESARIO SI, POR EJEMPLO, QUIEROSABERCONEXACTITUDELVUELTOQUEME VAN A DAR.PERO PARA RESPONDER A LA PREGUNTA FORMULADA,PUEDO PENSAR DE OTRA MANERA.

Veamosquécompetenciasseponen de mani?esto al estimar el valor de una suma. En primer lugar, se produce un análisis inicial de la situación, análisis que lleva a la conclusión de la pertinen- cia del uso de la estimación. Ya dentro del proceso, se “leen” las cantidades y setomaencuentasuvalorglobal,loque permite redondearlas sin mayor riesgo. Esa lectura permite también dar su verdadero sentido al valor de posición decadacifra;así,porejemplo,enelcaso PRIMERO REDONDEO LOS PRECIOS Y LOS LLEVO A 8.000,5.400 Y 6.500,RESPECTIVAMENTE (PARA FACILITAR MIS CáLCULOS MENTALES). AHORA EMPIEZO A SUMAR POR LA IZQUIERDA, POR LAS UNIDADESDEORDENMáSALTO,QUESONLASMáS DETERMINANTES EN CUESTIóN DE PRECIOS:8 + 5 + 6 ME DAN 19.000 PESOS. AHORA, LAS CENTENAS SON LAS PROTAGONISTAS: 4 + 5 SON 9 CENTENAS. CONCLUSIóN: EL PRECIO ANDA ALRED- EDOR DE 19.900 PESOS, POR LO QUE DEDUZCO QUE Sí ME ALCANZA LA PLATA PARA LA COMPRA DE LAS PRENDAS.

del pantalón, 6 no es “seis”, sino “seis mil”.

Por otro lado, la suma de izquierda a derecha permite, desde el comienzo, dotardesentidorealalvalordelasuma: apenas se suman las unidades de mil, yasabemosqueelresultadoalcanzalos 19.000 pesos. Esta es la razón funda- mental que justi?ca el sumar de izqui- erda a derecha. Como puede observarse –además de permitirnos responder a preguntas como la formulada en el problema–, desde el punto de vista del desarrollo de destrezas y competencias por parte de las personas, todo es ganancia a la hora de estimar.

Con el ?n de facilitarnos las tareas de estimación en el caso de la suma, presentamos algunas estrategias reco- mendadas por la experiencia de los buenos estimadores:

1. Redondear el valor de los suman- dos, bien sea por exceso o por defecto, segúnlorecomiendelasituación(véase el caso de las prendas de vestir). Por ejemplo,lasuma3.015 + 692 + 11.890, puede llevarse a 3.000 + 700 + 12.000, o bien a 3.000 + 700 + 11.900, según seaelmargendeaproximaciónquenos podamos permitir.

2. Compensar el valor de la suma. Volviendo al ejemplo anterior, podemos optar por la primera aproximación: 3.000 + 700 + 12.000, que es más fácil de calcular, y llegar al resultado de 15.700. Pero advertimos que 11.900 es una mejor aproximación al tercer sumando (11.890) que 12.000. Enton- ces, al resultado obtenido (15.700) le restamos los 100 de exceso que llevaba 12.000 sobre 11.900 y llegamos a un resultado más ajustado, 15.600.

21 3. Compensar entre sí los valores de los sumandos. Obsérvese la siguiente suma: 38.465 40.719 42.174 + 37.002 41.945

Aquí la observación inicial (que es fundamental) nos permite percibir que los cinco sumandos están alrededor del valor de 40.000 y que el exceso de unos con respecto a ese valor puede compensarlafaltadeotros.Estapercep- ción puede llevarnos a calcular el valor aproximado de la suma simplemente multiplicando 40.000 por 5, es decir, 200.000. (Veri?que el valor exacto de la suma y califique la aproximación obtenida con 200.000…).

ESTIME MENTALMENTE EL VALOR DE LAS SIGUIENTES SUMAS (HáGALO DE TODAS LAS FORMAS QUE SE LE OCURRAN):

A) 295 + 3.016 + 9.940 B) 1.189 + 915 + 7.090 C) 523 + 471 + 546 + 450 D) 29,75 + 18,90 + 104,15 E) 0,105 + 0,93 + 1,87 + 0,16 F) 398 + 3.980 + 39.800 G) 6.050 + 978 + 2.844 + 9.485

Inventeunaseriedeejerciciossimi- lares a los anteriores y resuélvalos. 8. Tengo ante mí una situación de suma; y ahora, ¿qué hago? 1. Observo la situación y decido si necesitounresultadoexactoomebasta con una aproximación. En el segundo casoprocedoporlavíadelaestimación, tal como se ha presentado.

2. Si necesito un resultado exacto, veo si hay 2 ó más sumandos; además, los “leo” y observo si son grandes o pequeños, y si se van a producir –o no– llevadas.

3. En función del análisis anterior, decido la vía que voy a utilizar para realizarlasuma(algunadelassiguientes): • La visualizo y resuelvo sobre la ta- bla de números del 1 al 100. •Lavisualizoyresuelvosobrelarec- ta numérica. • Aplico las diversas estrategias de cálculo mental. •Resuelvolasumaenformaescrita, colocando ordenadamente los su- mandos uno sobre otro y proce- diendodederechaaizquierdaoen cualquier otro orden pertinente.

4. Reviso el resultado obtenido. Para ello,enprimerlugarevalúosuverosimili- tud, es decir, si a la vista de los suman- dos dados, el resultado tiene sentido (obsérvese que este es un ejercicio de estimación…). Y para validar la exacti- tud de la suma, puedo seguir una vía distinta a la utilizada.

Este proceso puede seguirse tanto si se trata de un ejercicio directo de suma o de estimación –con lo cual el paso1quedadecidido–,comosisetrata deunasituaciónproblemaqueimplique la adición como modelo adecuado.

LO QUE Sí CONVIENE DESTACAR ES QUE,ESCRITOS LOS SUMANDOS PARA HACER LA SUMA,SEA QUE SE DISPONGAN HORIZONTAL O VERTICALMENTE, ESTE “ESPACIO” DEL EJERCICIO ESCRITO NO ES NECE- SARIAMENTE EL ESPACIO EN EL QUE SE REALIZA EFECTIVAMENTE LA SUMA. LA SUMA PUEDE REALIZARSE CON TODA LIBERTAD POR CUALQUIERA DE LAS VíAS PROPUESTAS,Y ALGUNAS DE ELLAS NO NECESITANRECURSOSPARAESCRIBIR(PAPELYLáPIZ, O PIZARRA Y TIZA…),SINO UNA MENTE ACTIVA.EL “ESPACIO” DEL EJERCICIO ESCRITO ES SIMPLEMENTE EL ESPACIO EN EL QUE SE LEEN LOS SUMANDOS Y EN EL QUE LUEGO SE ESCRIBE LA RESPUESTA.

9. La resolución de «problemas de suma»… Los «problemas de suma» adoptan diversas formas. A veces se trata de situaciones sencillas de la vida diaria que,porejemplo,sere?erenaacumula- ciones de gastos al comprar, a canti- dades de objetos que se agrupan, etc., es decir, a situaciones en las que la

22 adición aflora sin dificultad como la operación matemática que sirve de modelo oportuno.

Otras veces, el formato de la situ- ación puede ser un poco más complejo e,incluso,presentaruncarácterlúdico, oreferirsearegularidadesocaracterísti- cas que presentan algunos números o series de números. Vamos a plantear algunosdeestostiposdeproblemas.Lo que sugerimos a nuestros lectores es que,unavezleídoelenunciadodecada situación,intentenresolverelproblema porcuentapropia,antesderevisarlavía de solución que se propone posterior- mente.

A) TENEMOS REUNIDAS A LAS SEñORAS AMELIA, BEATRIZ Y CLAUDIA. LA SUMA DE LAS EDADES DE LAS DOS PRIMERAS ES DE 85 AñOS;LA DE LAS SEñORAS BEATRIZ Y CLAUDIA, 80 AñOS; Y LA DE LAS SEñORAS AMELIA Y CLAUDIA,75 AñOS.¿CUáNTOS AñOS TIENE LA MáS JOVEN DE LAS SEñORAS?

B) A LA ELECCIóN PARA MADRINA DEL DEPORTE DE LA ESCUELA SE PRESENTARON 6CANDIDATAS.SERECOGIERON 400VOTOS VáLIDOS.SE SABE QUE TODAS OBTUVIERON UN NúMERO DIFERENTE DE VOTOS. ¿CUáL ES EL MENOR NúMERO DE VOTOS QUE PUEDE HABER OBTENIDO LA GANADORA? C) ALBERTO ESTá LANZANDO DARDOS SOBRE UNA DIANA QUE PRESENTA 5 ANILLOS CIRCULA- RES CON SUS RESPECTIVAS PUNTUACIONES: 1, 3, 5, 7 Y 9.ALBERTO LANZA 6 DARDOS, QUE SE CLAVAN TODOS SOBRE LA DIANA. ¿PUDO HABER OBTENIDO UN TOTAL DE 31 PUNTOS? ¿Y UN TOTAL DE 28 PUNTOS? ¿DE CUáNTAS MANERAS PUDO HABER ALCANZADO ESTE úLTIMO TOTAL? D) EN LA SUMA A A A B B B + A A A C SI A, B Y C REPRESENTAN TRES DíGITOS DIFERENTES,¿CUáLES SON ESTOS DíGITOS?

E) CONSIDERE TODOS LOS NúMEROS DE 4 CIFRAS QUE SE PUEDEN FORMAR CON LOS DíGITOS 1 Y 2 (P.EJ.,2.112,1.111,1.222, ETC.).¿CUáL ES LA CIFRA DE LAS UNIDADES DE LA SUMA DE TODOS ELLOS?

F) SI JUNTAMOS 6 MONTONES DE ARENA CON 3 MONTONES DE ARENA, ¿CUáNTOS MONTONES DE ARENA TENDREMOS AL ?NAL?

G) EN LA SUMA IRA +ARO + ORA LAS LETRAS REPRESENTAN LOS DíGITOS 1,3,8 Y 9 (CADA LETRA UN DíGITO DISTINTO) ¿CUáL ES LA MAYOR SUMA POSIBLE? ¿Y LA MENOR?

H) UN PADRE LE DA A SU HIJO 15.000 PESOS,MIENTRAS QUE OTRO PADRE LE DA AL SUYO 10.000 PESOS. AL REUNIRSE LOS DOS HIJOS SE DAN CUENTA DE QUE SóLO HAN AUMENTADO SU CAPITAL CONJUNTO EN 15.000 PESOS.¿CóMO PUEDE SER ESTO?

I) ¿CUáL ES EL MAYOR NúMERO DE BUZONES QUE SE NECESITAN PARA DISTRIBUIR 105 CARTAS, SI CADA BUZóN GUARDA POR LO MENOS 1 CARTA Y TODOS ELLOS DEBEN TENER UN NúMERO DIFERENTE DE CARTAS?

J) LA SUMA DE TRES NúMEROS IMPARES CONSECUTIVOS ES 81.¿CUáL ES EL MENOR DE ELLOS? K) ¿QUé NúMERO SIGUE EN LA SECUENCIA: 1,1,1,3,5,9,17,31,__?

L) JUGANDO AL BALONCESTO, DANIEL HA ENCESTADO 40 BALONES DURANTE 5 DíAS CONSECUTIVOS.SI CADA DíA LOGRó ENCESTAR 3 BALONES MáS QUE EL DíA ANTERIOR, ¿CUáNTASCESTASCONSIGUIó EL PRIMER DíA?

M) ENTRE LOS NúMEROS 300 Y 600, ¿CUáNTOS NúMEROS HAY,TALES QUE LA SUMA DE LOS TRES DíGITOS SEA EL DOBLE DE LA CIFRA DE LAS CENTENAS DEL PROPIO NúMERO?

N)CUANDOANACUMPLIó16AñOS,NOTó QUE SI INVERTíA LAS CIFRAS DE SU EDAD, OBTENíA LA DE SU ABUELITA. ¿CUáNTOS AñOS DEBEN TRANSCURRIR PARA QUE SE REPITA UNA SITUACIóN ANáLOGA?

23 ñ) SI A Y B SON DOS CIFRAS ESCONDIDAS DIFERENTES DE 0, ¿CUáNTAS CIFRAS DEBE TENER LA SUMA 9.876 +A32 + B1?

O)SIELNúMEROQUEHAYENCADACASILLA ES LA SUMA DE LOS NúMEROS QUE SE ESCONDEN TRAS LOS SíMBOLOS EN LAS DOS CASILLASINMEDIATAS–ALOSLADOSOARRIBA Y ABAJO–,¿CUáL ES LA SUMA TOTAL DE LOS 4NúMEROSESCONDIDOSTRASLOSSíMBO- LOS? (LA CASILLA CENTRAL SE CONSIDERA VACíA).

Vamos,pues,areportaralgunasvías desoluciónparapodercontrastarlascon las que hemos podido obtener entre todos. A) PRIMERO, OBSERVAMOS LOS DATOS. POR LA CON?GURACIóNDELASTRESPAREJAS,PARECEQUE CLAUDIAES LA SEñORA DE MENOR EDAD,PUESTO QUE APARECE EN LAS DOS úLTIMAS PAREJAS, QUE SON LAS DE MENOR EDAD CONJUNTA. UN RAZONAMIENTO ANáLOGO NOS INDICA QUE BEATRIZESLADEMAYOREDAD,PORQUEAPARECE EN LAS DOS PRIMERAS PAREJAS. POR OTRO LADO, NO PARECE DESCABELLADO PENSAR QUE LAS TRES EDADES PUEDEN SER MúLTIPLOS DE 5, YA QUE LAS TRES SUMAS PARCIALES LO SON.

CON ESTAS PEQUEñAS INTUICIONES Y AYUDAS, LO QUE SIGUE ES AVENTURAR POSIBLES EDADES PARA LAS TRES SEñORAS. PODEMOS PENSAR EN QUEBEATRIZTIENE50AñOS,CONLOQUEAMELIA TENDRíA 35 Y CLAUDIA 30, PERO LA SUMA DE ESTAS DOS úLTIMAS EDADES NO NOS DARíA 75. POR CONSIGUIENTE,BEATRIZ DEBE TENER MENOS EDAD (¿POR QUé?). SI LE ASIGNAMOS 45 AñOS, AMELIA TENDRíA 40 Y CLAUDIA 35,EDADES QUE Sí SATISFACEN LAS CONDICIONES PROPUESTAS.

B)AQUí TENEMOS QUE IMAGINARNOS POSIBLES SITUACIONES PARA PODER PRECISAR QUé DEBEMOS HACER. IMAGINéMONOS QUE LA CANDIDATA GANADORA «BARRIó» EN LAS ELEC- CIONES.ES DECIR,QUE LAS DEMáS SACARON 1,2, 3, 4 Y 5 VOTOS (15 VOTOS EN TOTAL). ESTO LE DARíA A LA GANADORA 385 VOTOS. EVIDENTE- MENTE,ESTA NO ES LA RESPUESTA,PUESTO QUE NOS PIDEN EL MENOR NúMERO DE VOTOS POSIBLE PARA GANAR. SI, POR EJEMPLO, SUPONEMOS QUE LAS NO GANADORAS OBTUVIE- RON 30,40,50,60 Y 70 VOTOS (250 VOTOS EN TOTAL),ESTA SITUACIóN DEJA 150 VOTOS PARA LA GANADORA.LóGICAMENTE,SE PUEDE GANAR CON MENOS VOTOS.

¿HASTA DóNDE PUEDO BAJAR EL TECHO PARA GANAR?PROBABLEMENTEYASENOSHAOCURRIDO QUE ESA SITUACIóN PODRíA PENSARSE PARA EL CASO EXTREMO EN QUE TODAS LAS CANDIDATAS HAYAN OBTENIDO CANTIDADES CONSECUTIVAS DE VOTOS. TENGO QUE BUSCAR, PUES, «DISOCIAR» 400 EN 6 SUMANDOS CONSECUTIVOS: ESTE ES MI MODELO MATEMáTICO DE SUMA PARA ESTA SITUACIóN.

UNA PRIMERA APROXIMACIóN CONSISTE EN PENSAR QUE TODAS LAS VOTACIONES ESTáN EN 60 Y PICO VOTOS:YA ESTO NOS GARANTIZARíA UN TOTAL DE MáS DE 360 VOTOS, CERCA DEL TOTAL DE LOS 400. AHORA ES CUESTIóN DE ENSAYAR CON MáS CUIDADO,SABIENDO QUE LOS «PICOS» QUE VAMOS A AñADIR DEBEN ACERCARSE A 40. UNA ASIGNACIóN DE 64 A 69 VOTOS NOS DA UNA SUMA DE 399 VOTOS. COMO NOS FALTA 1 VOTO, DEBEMOS AGREGáRSELO A LA GANADORA (¿POR QUé NO A NINGUNA DE LAS OTRAS 5 CANDIDATAS?).ASí QUE 70 VOTOS ES EL MíNIMO DE VOTOS QUE SE DEBEN OBTENER PARA GANAR COMO MADRINA DEL DEPORTE EN ESA ESCUELA (CON LO CUAL –OJO– TAMPOCO SE GARANTIZA GANAR,PERO CON MENOS ES IMPOSIBLE).

C) PUES, LA VERDAD, NO PUEDE HABER TOTALI- ZADO 31 PUNTOS, PORQUE ESTARíA SUMANDO ?

24 FUERA 0) O A (SI B FUERA 0). COMO LA SUMA POSEE UNA A EN LA POSICIóN DE LAS UNIDADES DE MIL, EL DíGITO ESCONDIDO DEBE SER 1, PROVENIENTE DE LA úLTIMA LLEVADA. POR OTRO LADO, SI A = 1 Y LAS SUMAS DE LOS DíGITOS DE LAS CENTENAS Y DE LAS DECENAS (A + B) REPORTAN UN 1 EN EL RESULTADO,ES PORQUE B DEBE VALER 9. DE ESTA FORMA C = 0. LOS NúMEROS QUE SE SUMAN SON 111 + 999,Y EL RESULTADO ES 1.110.

E)LAIDEAPARARESOLVERELPROBLEMAPARECE SENCILLA:HAY QUE FORMAR TODOS LOS NúMEROS POSIBLES CONSTITUIDOS POR LOS DíGITOS 1 Y 2.Y UNA MANERA DE HACERLO ES ESCRIBIRLOS ORDENADAMENTE DESDE EL MENOR (1.111) HASTA EL MAYOR (2.222). DE ESTA FORMA SE OBTIENEN 16 NúMEROS: LA MITAD DE ELLOS ACABA EN 1, Y LA OTRA MITAD EN 2. POR CONSIGUIENTE, LA CIFRA QUE APARECERá EN LA POSICIóN DE LAS UNIDADES SERá 4 (8 VECES (1 + 2)) ES IGUAL A 24: DEJAREMOS EL 4 EN LAS UNIDADES Y «LLEVAREMOS» 2 DECENAS).

F) PUES NO, NO TEN- DREMOS9MONTONES DEARENA:TENDREMOS UNO SOLO, ESO Sí, DE MAYOR TAMAñO. ESTE NO ES UN EJERCICIO TONTO,SINOUNASITUA- CIóN PARA PREVENIR- NOS CONTRA CIERTAS «?JACIONES»DELENGUAJE: NOSIEMPRE«JUNTAR» SETRADUCEPORSUMAR.HAYQUEESTARPENDIEN- TES DE LAS CARACTERíSTICAS DE LA SITUACIóN…

G) COLOQUEMOS LAS CANTIDADES EN FORMA VERTICAL,PARA OBSERVARLAS MEJOR:

I R A A R O + O R A

VEMOS QUE EN LA POSICIóN DE LAS CENTENAS APARECEN I, A Y O; QUE R ESTá REPETIDA TRES VECES EN LAS DECENAS,Y QUE EN LAS UNIDADES APARECEN A, A Y O. PARA OBTENER LA MAYOR SUMA POSIBLE,LO QUE NOS INTERESA ES QUE LOS SUMANDOS DE LAS CENTENAS SEAN LOS MAYORES. POR CONSIGUIENTE,LOS VALORES 3,8 Y 9 DEBEN SERASIGNADOSAI,AYO(TODAVíANOSABEMOS EN QUé ORDEN);ADEMáS,R = 1.SI AHORA NOS ?JAMOS EN LAS UNIDADES,CONVIENE QUE A SEA EL DíGITO MAYOR (9) Y O EL SIGUIENTE (8),CON LO QUE I = 3. LOS NúMEROS QUE SE ESTáN SUMANDO SON: 319 + 918 + 819 Y SU SUMA, 2.056. DE UNA FORMA ANáLOGASEPUEDERAZO- NAR PARA EL CASO DE LA MENOR SUMA POSIBLE.

H) SENCILLO, ¿NO? EN ESTA HISTORIA NO HAY CUATRO PERSONAS, SINO TRES:UN ABUELO,SU HIJO ? ?

SEIS NúMEROS IMPARES,Y UNA SUMA ASí DEBE SER PAR. PARA UN TOTAL DE 28 PUNTOS, ES CUESTIóN DE ENSAYAR CON COMBINACIONES DE SUMANDOS (EN CADA COMBINACIóN HABRá, AL MENOS, UN SUMANDO QUE SE REPITE). AQUí YA ES CUESTIóN DE HACER LAS COSAS CON ORDEN.

POR EJEMPLO,SI SUMAMOS LOS 5 PUNTAJES DE LOS ANILLOS, OBTENEMOS 25 PUNTOS; BASTA ENTONCES CON ASIGNAR 3 PUNTOS AL OTRO LANZAMIENTO.UNA FORMA SERíA,PUES,1 + 3 + 3 + 5 + 7 + 9 (EN CUALQUIER ORDEN DE OBTENCIóN). NO EXISTE OTRA FORMA DE OBTENER 28 CON UN SOLO NúMERO REPETIDO (VERIFíQUELO…).

DEBEMOS PASAR,PUES,A CONSIDERAR MáS DE UN NúMERO REPETIDO, LO QUE LLEVA A LA SITUACIóN DE QUE NO TODAS LAS PUNTUACIONES DE LOS ANILLOS VAN A APARECER EN LA CUENTA.EL NúMERODECASOSCONQUEENSAYARESMAYOR. POR EJEMPLO, SI DOS NúMEROS VAN A ESTAR REPETIDOS, PODRíAMOS TENER: 1 + 1 + 5 + 5 + 7 + 9;1 + 1 + 3 + 7 + 7 + 9;1 + 1 + 3 + 5 + 9 +9; 1 + 3 + 5 + 5 + 7 + 7, ETC. EL ASUNTO ESTá EN LLEVAR LAS COSAS CON ORDEN, PORQUE FALTAN TODAVíA ALGUNAS RESPUESTAS.

D)AQUí –COMO EN TODO…– LO PRIMORDIAL ES OBSERVAR CON CUIDADO. NI A NI B PUEDEN SER 0, PORQUE SI NO, EN LA SUMA DE LAS UNIDADES (A + B) DEBERíA OBTENERSE B (SIA

25 BUSCAMOS UNA RELACIóN DE ESTOS TRES CON LOS QUE SIGUEN. ASí, SE PUEDE LLEGAR A VER QUE,A PARTIR DEL 3,CADA NúMERO ES LA SUMA DE LOS TRES ANTERIORES.EL NúMERO SOLICITADO ES 57 (9 + 17 + 31).

L)UNAFORMASENCILLADEPROCEDERESTANTEAR A PARTIR DE UN NúMERO PEQUEñO PARA EL PRIMER DíA Y FORMAR ASí LA SERIE DE 5 SUMANDOS,DISTANCIADOSDE3EN3,CUYASUMA SEA 40.EL ENSAYO DEBE LLEVARNOS A 2 CESTAS EL PRIMER DíA.

M) OTRO CASO MUY SENCILLO. SE TRATA DE HALLAR LOS NúMEROS «TRESCIENTOS» TALES QUE LA SUMA DE LOS DíGITOS DE LAS DECENAS Y LAS UNIDADES SUMEN 3 (¿POR QUé?). ELLOS SON: 303,312,321 Y 330. ANáLOGAMENTE CON LOS «CUATROCIENTOS» (QUE SUMEN 4) Y CON LOS «QUINIENTOS» (QUE SUMEN 5). N) ÉSTE ES TAMBIéN UN PROCESO DE TANTEO Y DE OBSERVACIóN. SE VA PROBANDO CON LOS NúMEROS DE LAS EDADES SIGUIENTES (17, 18, ETC.,PARA ANA,Y LOS CORRESPONDIENTES DE LA ABUELITA: 62, 63, ETC.) Y VERI?CANDO SI SE CUMPLE LA RELACIóN DE ESCRITURA «INVERSA». ESTA SE OBTIENE A LOS 27 AñOS DE ANA, ES DECIR, 11 AñOS MáS TARDE. ¿CUáNDO SERíA LA SIGUIENTEVEZ?¿SECUMPLEALGUNAREGULARIDAD? ?

Y SU NIETO. OJO CON LAS CARACTERíSTICAS DE CADA SITUACIóN… LA OBSERVACIóN INICIAL ES FUNDAMENTAL.

I) EN LAS CONDICIONES SEñALADAS Y PARA OBTENER EL MAYOR NúMERO DE BUZONES NECESARIOS,LOMEJORESEMPEZARPROGRESIVA- MENTE DESDE 1 (UN BUZóN CON 1 SOLA CARTA), AñADIRLE 2 (UN BUZóN CON 2 CARTAS), ETC. LA SUMA 1 + 2 + 3 +…SE INTERRUMPE CUANDO SU RESULTADO LLEGUE A 105.EFECTIVAMENTE,EL MAYOR NúMERO DE BUZONES NECESARIOS ES DE 14.

J) BASTA CON APROXIMARNOS POR TANTEO. SE LLEGA AL VALOR DE 25 (25 + 27 + 29 = 81).

K) ESTE ES TAMBIéN UN EJERCICIO QUE EXIGE OBSERVACIóN PARA TRATAR DE DESCUBRIR EL PATRóN(LAREGULARIDAD)QUERIGELAFORMACIóN DEESTASERIEDENúMEROS.LOSTRESPRIMEROS SONIGUALES,LOQUENOSSUGIEREQUEELPATRóN DE FORMACIóN NO PUEDE DESCUBRIRSE SI NO ñ) COMO PUEDE OBSERVARSE, SE TRATA DE SABER SI EL 9 DE LAS UNIDADES DE MIL RECIBIRá, O NO,UNA UNIDAD DE «LLEVADA» DE LAS CENTENAS. LAS CIFRAS QUE OCUPAN ESTA POSICIóN SON 8 Y A. SIAVALEMáSQUE1,HABRáLLEVADA Y 5 CIFRAS EN LA RESPUESTA.EL CASO CRíTICO SE PRESENTA CUANDO A VALGA 1. EN ESTE CASO, TENEMOS QUE MIRAR HACIA LAS DECENAS, CUYOSDíGITOSSON7,3YB:SEACUAL SEAELVALORDEB,LASUMADEESTOS DíGITOS ES MAYOR QUE 10 DECENAS, LO QUE PRODUCIRá 1 CENTENA DE LLEVADA; A SU VEZ, LAS CENTENAS LLEGARáN A 10,Y CON LA UNIDAD DE MIL DE LLEVADA TENDREMOS 10 UNIDADES DE MIL.DECUALQUIERMODO,PUES,LASUMATENDRá SIEMPRE 5 CIFRAS.

O) PODEMOS ABORDAR ESTE PROBLEMA DANDO UN VALOR ARBITRARIO A UNO DE LOS SíMBOLOS Y,A PARTIR DE AHí, DEDUCIR LOS DE LOS DEMáS. POR EJEMPLO, SI HACEMOS ? = 10, ENTONCES, = 13, ? = 15 Y ? = 24, Y LA SUMA DE TODOS ELLOS ES 62.OTRA ASIGNACIóN PUEDE SER: = 2,DEDONDE:?=35,?=4Y?=21;TAMBIéN EN ESTE CASO LA SUMA DE LOS CUATRO ES 62. CUALQUIER OTRA ASIGNACIóN DE VALORES DA EL MISMO RESULTADO.USTED PUEDE DESCUBRIR LA RAZóN DE ESTA REGULARIDAD SI OBSERVA QUE LA SUMA DE LOS VALORES OPUESTOS EN LAS CASILLAS TAMBIéN DA 62 (39 + 23 Y 25 + 37).

26 No podemos terminar esta parte dedicada a los problemas de suma sin hacer una re?exión sobre la forma en que los hemos abordado y resuelto. He aquíalgunasconclusiones,quesegura- mente compartimos todos:

1. El método que aparece como más utilizado y eficiente es el del tanteo razonado, sobre todo en los tipos de situaciones en que, dada la suma, hay que descubrir los sumandos. Identi?- camoselmétodocomodetanteoyaque, efectivamente, se adelanta una posible solución que –esto es lo importante– debe ajustarse a las condiciones inicia- lesexpuestasenelenunciado.Elensayo (acierto o error) nos indica hacia dónde debevariarlasolución–haciasumandos mayores,menores,etc.–,loquejusti?ca el cali?cativo de razonado, no a ciegas.

Tenemosqueinsistirenlapertinencia de este método, muchas veces deste- rrado del aprendizaje y de la enseñanza de la matemática por no se sabe qué prejuicio sin fundamento acerca de una supuesta «exactitud» y «formalidad» propias de la disciplina, en la que «no se debe jugar al ensayo y error». Quien a?rma esto desconoce la historia de la matemática y de la ciencia en general.

No debemos dejarnos llevar por estos prejuicios sin sentido, sino, más bien, practicar y enseñar el tanteo razonado. En de?nitiva, es un método cientí?co excelente, que nos acostum- bra a formular hipótesis razonables –ajustadas a las condiciones de la situación–yaveri?carlasenlapráctica. Todoestore?ejaunprocesopermanente de toma de decisiones, así como de control sobre la propia actividad. ¿Y no es esto lo que queremos de nosotros mismos y de nuestros alumnos?

2. La valoración del método de tanteo razonado no debe excluir la con- sideración y práctica de otros métodos a la hora de resolver problemas. Por ejemplo, algunos de los problemas que acaban de trabajarse podían haberse planteado y resuelto por la vía alge- braica, es decir, utilizando incógnitas y ecuaciones. Es más, así es la forma en que habitualmente se procede en la escuela, y ésta es la razón por la que tales problemas no aparecen sino en el contexto de aplicación de las ecu- aciones algebraicas y no antes, en el contexto de la aritmética.

Nuestra intención no es invalidar el uso de los métodos algebraicos –que valoraremos oportunamente–, sino fomentar la diversidad en la utilización de tales métodos de resolución. Vale lo aritmético y vale lo algebraico… y vale logeométrico.Loimportanteescapaci- tarnos para el uso de todos y cada uno de ellos. 3. Volviendo a las formas en que hemos trabajado los problemas anteri- ores, nunca insistiremos demasiado acerca del valor de la observación: observar el enunciado de la situación, las condiciones que afectan a las vari- ables, los casos posibles, las hipótesis queformulamos,losresultadosparciales que vamos obteniendo…

4. Otro punto a destacar es la pres- encia de ciertas técnicas que van apa- reciendoendeterminadosproblemas:a veces, hay que inducir casos generales o regularidades a partir de casos par- ticulares, pero otras veces hay que considerartodosloscasosposibles…Es la práctica de resolver problemas por vías aritméticas la que nos enseñará la selección oportuna de la vía más adec- uada en cada caso.

5. Finalmente, debemos subrayar la atención que siempre hay que prestar alenunciadodelasituación.Nohayque dejarse llevar por ciertas expresiones: «juntar», «juntos», «más», y similares, como si su presencia garantizara automáticamente la aplicación de la suma como modelo de la situación y como operación que, aplicada a los datos, nos lleva indefectiblemente a la respuesta.

27 10. Y en la escuela, de la suma, ¿qué? Este es un punto para re?exionar individualmenteyparadiscutircolecti- vamente. Hay que llegar a acuerdos acerca de lo que se tiene que hacer con este tema en la escuela, en los diversos grados. No vamos a entrar en detalle –porque éste no es el lugar para ello–, pero ya los lectores deben haber que- dado claros: hay mucho que hacer, más alládelashabitualesyrutinarias“cuen- tas”, y más allá de los primeros grados. Saber sumar es mucho más que eso, como se habrá apreciado.

• Hay que abrir el campo, amplia- mente, al cálculo mental, porque nos interesa el desarrollo de destrezas. Este puede ser el punto de partida.

• Las sumas escritas pueden venir posteriormente y más dosi?cadas, en menor cantidad. Eso sí, se debe alcan- zar la competencia necesaria en este punto.

•Trabajarconlasumadebebasarse –y a la vez, proporcionar un fortaleci- miento– en el dominio del sistema decimal de numeración.

• Ante una suma propuesta, la primera tarea debe ser la de observar y leerlossumandosyestimarelresultado. Luego puede obtenerse el resultado exacto, bien sea efectuando la suma escrita, bien sea por la vía del cálculo mental o bien utilizando la calculadora (ésta puede ser muy útil en tareas de veri?cación…), y validarlo. Uno de los objetivosdelaobtencióndelarespuesta exacta debe ser el de juzgar la esti- mación hecha, con el ?n de ir a?nando dicho proceso.

• La resolución de problemas debe propiciarelplanteamientodeejercicios yproblemasmotivadores,alestilodelos propuestos aquí. No tengamos miedo deexigiranuestrosalumnos;másbien, ellos están esperando que lo hagamos.

Una última sugerencia. Quizá sea éste un buen momento para revisar el contenidodelCuadernonº1yprofundi- zar en lo que signi?ca la matemática que debemos aprender y enseñar…

11. Y ahora, otros ejercicios “para la casa”…

4. UN LIBRO TIENE 100 PáGINAS.¿CUáNTOS DíGITOS SE NECESITAN PARA ESCRIBIR TODOS LOS NúMEROS DE LAS PáGINAS? ¿CUáL ES EL DíGITO QUE MáS VECES SE UTILIZA?

5. ¿QUé NúMERO DEBE AñADIRSE A 45 + 25 PARA DUPLICAR LA SUMA DE ESTOS NúMEROS?

28 6. EN LA EXPRESIóN: YA +YA +YA +YA + YA = HOY, CADA LETRA DIFERENTE ESCONDE UN DíGITO DIFERENTE COMPRENDIDO ENTRE EL 1 Y EL 6.¿QUé DíGITO CORRESPONDE A CADA LETRA?

7. ¿CUáNTOS NúMEROS HAY DE CUATRO CIFRAS,TALES QUE LA SUMA DE SUS DíGITOS SEA 3?

8. LUIS TIENE 19 PALILLOS. ¿DE CUáNTAS FORMAS DIFERENTES PUEDE AGRUPARLOS EN TRES MONTONES,DE TAL MANERA QUE CADA MONTóN TENGA UN NúMERO IMPAR DE PALILLOS? ¿Y SI, AHORA, LAS CANTIDADES DE CADA MONTóN TIENEN QUE SER DIFERENTES?

9. EN UNA CARRERA INFANTIL DE BICICLETAS Y TRICICLOS HAY7 “PILOTOS”Y19RUEDAS. ¿CUáNTOS TRICICLOS PARTICIPAN?

10. ¿CUáNTAS PáGINAS TIENE UN LIBRO SI PARA NUMERAR TODAS SUS PáGINAS SE UTILIZARON 3.093 DíGITOS?

11. ¿CUáNTOS AñOS TRANSCURRIERON ENTRE EL 01/01/325 A.C.Y EL 01/01/325 D.C.?

12. SE TIENEN TRES NúMEROS TALES QUE, SUMADOSENPAREJASDIFERENTES,DANCOMO RESULTADOS 38,52 Y 44.¿CUáL ES EL MAYOR DE LOS TRES NúMEROS INICIALES? 13. EN UN PE- RíODO DE 12 HORAS, ¿DURANTE CUáNTOS MINUTOS EL NúMERO DE LA HORA ES MAYOR QUE EL NúMERO DE LOS MINUTOS?

14. LA SUMA DE 5 NúMEROS ENTEROS DIFERENTES ES 147. SI M ES EL MAYOR DE LOS 5 NúMEROS, ¿CUáL ES EL MENOR VALOR QUE PUEDE TENER M?

15. AL LANZAR TRES DADOS, LAS CARAS SUPERIORES SUMAN 13;¿CUáNTO SUMAN SUS CARAS OPUESTAS?

NUMERA LOS 8 VéRTICES DE UN CUBO CON LOS DíGITOS DEL 1 AL 8,DE TAL FORMA QUE LA SUMA DE LOS VéRTICES DE CADA UNA DE LAS SEIS CARAS DEL CUBO SEA 18.

16. ¿DE CUáNTAS MANERAS PUEDE EXPRESARSE 15 COMO SUMA DE Nú- MEROS NATURALES CONSECUTIVOS?

17. ¿CUáNTO VALE LA SUMA DE LOS 50 PRIMEROS NúMEROS PARES (EMPEZANDO EN 0)? ¿CóMO PUEDO USAR ESTE RESULTADO PARA OBTENER LA SUMA DE LOS 50 PRIMEROS NúMEROS IMPARES?

UNA DIANA PRESENTA CINCO ANILLOS CIRCULARES CON SUS RESPECTIVAS PUNTUA- CIONES: 16, 17, 23, 24 Y 39. EN SEIS TIRADAS, JULIáN HA CONSEGUIDO UN TOTAL DE 100 PUNTOS,PERO NO SABEMOS SI EN ALGUNA DE ELLAS EL DARDO CAYó FUERA DE LA DIANA. ¿PUEDE INDICAR AL MENOS UNA FORMA –SIN IMPORTAR EL ORDEN– EN QUE JULIáN PUDO OBTENER ESA PUNTUACIóN?

18. EN LA EXPRESIóN: C O B R E E S T A Ñ O + B R O N C E

CADA LETRA DIFERENTE ESCONDE UN DíGITO DIFERENTE. ¿CUáL ES EL DíGITO QUE CO- RRESPONDE A CADA LETRA PARA QUE LA SUMA SEA CORRECTA?

19. UN GRUPO DE ARTESANOS TEJEDORES ADQUIERE EL COMPROMISO DE ENTREGAR 14.950 MANTAS A UNA EMPRESA MAYO- RISTA, EN LOTES DIARIOS, DE LUNES A VIERNES. EL ACUERDO ES EL SIGUIENTE: LA PRIMERA SEMANA,LLEVARáN 100 MANTAS DIARIAS, Y EN CADA UNA DE LAS SEMANAS QUE SIGAN,INCREMENTARáN EN 25 –CON RESPECTO A LA SEMANA ANTERIOR– LA CANTIDAD DIARIA A ENTREGAR.SI EMPIEZAN LA ENTREGA EL LUNES 1 DE SEP- TIEMBRE, ¿LLE- GARáNATENERLAS LISTAS PARA EL VIERNES 28 DE NOVIEMBRE?

29 OBSERVE ESTA DISTRIBUCIóN:

TRATE DE DIVIDIR LA TABLA EN SEIS REGIONES –NO NECESARIAMENTE TIENEN QUE SER DE LA MISMA FORMA– DE SEIS CASILLAS CONSECUTIVASCADAUNA,DETALMANERAQUE LA SUMA DE LOS DíGITOS DE LAS SEIS CASILLAS DE CADA REGIóN SEA EXACTAMENTE 30.

20.EN LA SIGUIENTE DISTRIBUCIóN:

LA SUMA DE LOS SíMBOLOS DE LA 1ª ?LA ES 10;DE LOS DE LA 3ª ?LA,9;DE LOS DE LA 1ª COLUMNA, 8; Y DE LOS DE LA 2ª COLUMNA, 12. ¿QUé VALOR TIENE CADA SíMBOLO? SELECCIONE TRES NúMEROS DIFERENTES COMPRENDIDOS ENTRE 3,01 Y 3,02 Y EFECTúE SU SUMA.

Y como despedida, la indicación de queenelsiguienteCuaderno,dedicado a la operación de sustracción, volvere- mos a plantear estrategias y problemas referentes a la suma. Referencias bibliográ?cas

– Gadino, A. (1996). Las operaciones aritméticas, los niños y la escuela. Buenos Aires: Magisterio del Río de la Plata. – Mialaret, G. (1977). Las matemáti- cas, cómo se aprenden, cómo se enseñan. Madrid: Pablo del Río. – Vergnaud, G. (1991). El niño, las matemáticas y la realidad. México: Trillas.

Respuestas de los ejercicios propuestos 1. 0 2. 39.637,51 décimas / 204,02 decenas / 3,9406 unidades / 141.119 milésimas / 3.312,65 unidades de mil 3. 3,2 cm 4. 192 dígitos 5. 70 6. A = 3, Y = 5, O = 6, H = 2 7. 10 8. 10 formas / 5 formas 9.5triciclos10.1.050páginas 11. 649 años 12. 29 13. 78 minutos 14. 32 15. 8 16. 3 maneras 17. 2.450 18. 40.736 + 689.510 19. Sí 20. ? = 4, ? = 3, ? = 2, ? = 5

2 372.7 AND. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMáTICO: LA ADICIóN FEDERACIóN INTERNACIONAL FE Y ALEGRíA,2004. 30 P.;21,5 X 19 CM. ISBN:980-6418-68-9 ADICIóN,SUMA,RESOLUCIóN DE PROBLEMAS.