7 que el cardinal de A es 15, que el de B es 26, y que los conjuntos A y B son disjuntos. La suma de 15 más 26 expre- sa el cardinal de la unión de los conjun- tos A y B. Es decir, si se reúnen los ele- mentos de A y de B en un solo conjunto (el conjunto unión de A y B), éste contarácon41elementos:41eslasuma de 15 y 26.
Así que, para pensar en la suma de dosnúmeros,debemosimaginarnosque haydosconjuntos;queunodeellosposee tantos elementos como lo indica uno de los números; que el otro posee tantos elementoscomoloindicaelotronúmero a sumar; que no hay elementos compar- tidosentreambosconjuntos;queseunen los dos conjuntos en uno solo; y que se cuentan los elementos de este nuevo conjunto. El resultado de este conteo es la suma de los dos números iniciales.
LA SUMA DE DOS NúMEROS NATURALES REPRE- SENTA, PUES, EL CARDINAL DE LA UNIóN DE DOS CONJUNTOS DISJUNTOS,EN EL SUPUESTO DE QUE LOS DOS NúMEROS REPRESENTAN INICIALMENTE –UNO CADA UNO– LOS CARDINALES DE LOS DOS CONJUNTOS.
Insistimos: lo que va hasta aquí es larespuestaformalalapreguntadequé es la adición. Pero, afortunadamente, ésta no es la única respuesta. Porque la 2. Situaciones de agregar, añadir… algo a lo que ya existe.
Estassituacionessuelenvenircarac- terizadas –en la interpretación verbal
+ adición también puede ser vista como unmodelodesituacionesdelavidadia- ria, o de situaciones lúdicas, o de otras áreas del saber. En este sentido, la adi- ción se convierte en una herramienta que nos permite interpretar matemáti- camente las situaciones que se pre- sentan en nuestra vida.
¿Y cuáles, o de qué naturaleza, son estassituacionesparalasquelaadición puede presentarse como modelo? Fundamentalmente, dos:
1. Situaciones de agrupar, reunir, juntar… lo que aportan varios simul- táneamente.
=
8 que de ellas hace el sujeto– por verbos tales como recibir, agregar, ganar, reu- nir, adquirir, obtener, acumular, guar- dar… y otros similares. En estas cir- cunstancias,laoperaciónaritméticade laadiciónnosayudaallegaralresultado de calcular el total de las cantidades re- cibidas, agregadas, ganadas, reunidas, etc.
EN RESUMEN,HAY DOS FORMAS DE CONSIDERAR LA ADICIóN: COMO UN MODELO DE SITUACIONES DE LA VIDA DIARIA Y COMO UN OBJETO DE ESTUDIO FORMAL DENTRO DE LA MATEMáTICA (VERGNAUD, 1991;GADINO,1996).
Obsérvese que no hay contradicción entre ambas formas de considerar la suma, sino más bien complementarie- dad. Basta ?jarse en que la situación de juntar, reunir, se corresponde perfecta- mente con el concepto formal de suma comosede?nióanteriormente(formarla unióndelosdosconjuntosycontarelnú- merodesuselementos).Perosíconviene resaltarqueenelprocesodeadquisición delconcepto,delosprocedimientosyde las destrezas propias de la suma, es preferible entrar por la vía del modelo de situaciones, y considerar el estudio for- mal –con su lenguaje especí?co– como una meta posterior. Y justamente al tomar esa vía perci- bimos que en las situaciones de reunir o de agregar de las que es modelo la adición, resulta imprescindible que los elementos que se reúnen o agregan sean de la misma naturaleza.
2. Numeradores y denominadores Másdeun(a)lector(a)avispado(a)se estará preguntando: pero bueno, si estamoshablandodesumadenúmeros naturales, ¿para qué evocar aquí, de re- pente, las fracciones? Si nos pica la cu- riosidad, sigamos leyendo.
Cuandoenunambientematemático –curso, taller, seminario, etc.– se pre- gunta qué signi?ca “numerador”, habi- tualmentesuelecontestarse:“elnúmero que va en la parte superior de las frac- ciones”. Y de una forma análoga se res- pondeparaelcasodeltérmino“denomi- nador”.Algunasrespuestasintentanser un poco más precisas y se re?eren, por ejemplo, al denominador como “el nú- mero que expresa la cantidad de partes igualesenquesehadivididolaunidad, cuando se habla de las fracciones”.
Ahora bien, tratemos de responder a estas otras preguntas: ¿Qué signi?ca “conductor”?Sencillamente,elquecon- duce.¿Y“extractor”?El–olo–queextrae. ¿“Animador”? El que anima. ¿“Relator”? El que relata. Y así siguiendo.
Volvamos ahora a nuestros dos tér- minos. ¿Qué signi?ca numerador? Lo que numera, lo que sirve para numerar; en particular, cada término o expresión que se utiliza para numerar. Y denomi- 1
1 2
2 3
3 +
+ =
= + = 1 100 2 100 3 100
9 nador, lo que denomina o sirve para de- nominar; y en particular, cada término o expresión que se utiliza para deno- minar. Si repasamos ahora la gramática, encontramos que existe una parte de la oración que se refiere a los términos utilizadosparanumerar:sonlosadjetivos numerales (dos, cinco, etc.). Y otra que se re?ere a los términos utilizados para denominar o nombrar cualquier objeto o entidad: son los sustantivos o nombres comunes(casa,mesa,decena,manzana, niña, kilo, metro, hora, etc.).
Deestaforma,cadavezqueennues- tro hablar expresamos un adjetivo nu- meral seguido de un sustantivo, esta- mos utilizando un binomio numerador- denominador. Así, en la locución “tres sillas”, tres es el numerador; sillas, el denominador. Análogamente, al hablar de“cincocentenas”.Comopuedeapre- ciarse, la aparición de los términos nu- merador y denominador en el discurso matemático no debe reservarse para el momento en que se entra en el terreno delasfracciones,sinojustamentedesde que se mencionan cantidades referidas a alguna entidad particular.
Estas precisiones tienen su aplica- ción inmediata en el ámbito de la suma. En efecto, si tengo 3 bananos, los puedo sumar con otros 5 para llegar a un total de 8 bananos. ¿Por qué puedo efectuar esta suma? Porque en ambos casos tenemos el mismo denominador: bana- nos. En cambio, si tengo 3 bananos y 7 peras, no puedo realizar la suma inme- diatamente. Pero nuestro(a) lector(a) avispado(a) ya ha llegado a una res- puesta: si reúno todo, tengo 10… frutas. ¿Por qué puedo dar esta nueva respues- ta?Porqueheencontradoundenomina- dor común para bananos y peras: frutas.
EN SITUACIONES CONCRETAS, SóLO SE PUEDEN SUMAR CANTIDADES REFERIDAS A UN MISMO DENOMINADOR. EN OTROS TéRMINOS, SóLO SE PUEDEN SUMAR NUMERADORES REFERIDOS A UN DENOMINADOR COMúN (Y NO ESTAMOS HABLANDO SOLAMENTE DE FRACCIONES…).
Peronopodemosquedarnossólocon lassituacionesconcretas.Lasumatam- bién es un objeto de estudio matemáti- co y, como tal, abstracto. Necesitamos estudiar la suma en el terreno de lo abs- tracto.Yelprimerpasohaciaeseterreno consiste en prescindir de los objetos o entidadesquesesuman,esdecir,delos denominadores. Y así llegamos a las expresionessimbólicasdelaadición.Por ejemplo, 3 + 7 = 10, con sus símbolos numéricos (numeradores) 3 y 7, y sus signos de relación “más” e “igual”.
El uso adecuado de las expresiones simbólicasrequieredominardosaspec- tos:elconceptualyelprocedimental.El dominio del aspecto conceptual signi- ?caentenderloqueestáexpresadoahí, en los símbolos numéricos y en los sig- nos de relación. Para nosotros los adul- tos no hay mayor problema; todo esto ya es parte de nuestra cultura básica. Pero, para quienes están asimilando estosconceptosporprimeravez,resulta fundamentallareferenciaaloconcreto, a situaciones concretas. 2 3 NO + = + = 2
FRUTAS 3
FRUTAS 5
FRUTAS
10 En otras palabras, quien empieza a construirsusconocimientossobrelasu- ma no puede entrar de una vez al terre- no abstracto de lo simbólico; necesita experimentar antes en el terreno de las situaciones concretas –con numera- dores y denominadores–. Sólo después puedeaventurarseconlosnumeradores aisladosdelosdenominadores,yconlas expresiones simbólicas.
Y si experimenta dificultades de comprensión en este terreno de lo sim- bólico,resultainútilintentarresolverlas en el mismo terreno: hay que regresar a lo concreto, hay que agregar denomi- nadores a los numeradores que se su- man, pues sólo de esta manera se dota de signi?cado a lo simbólico.
Decíamos más arriba que el uso adecuado de las expresiones simbó- licas requiere dominar también el as- pecto procedimental. Debemos hablar, pues, de los algoritmos de la suma, de los procedimientos para sumar. Y en este preciso momento, el sistema deci- mal de numeración nos está pidiendo permiso para entrar en escena. Ade- lante.
3. Sumar en el sistema decimal de numeración Si no dispusiéramos de sistemas de numeración,lasumaquedaríareducida adoptarunnuevodenominador,modi?- cando adecuadamente el numerador dado. Así, 5 centenas puede conver- tirse en:
50 decenas 500 unidades 5.000 décimas 0,5 unidades de mil 0,05 decenas de mil 0,0005 millones etc.
De esta forma, siempre puede su- marse cualquier conjunto de números, con tal de que se reduzcan a un deno- minadorcomún,elquesedeseeoelque más convenga. En esta tarea, el cartel de posición se convierte en un aliado e?caz,sobretodoalcomienzodelapren- dizaje.
Tomemos, por ejemplo, el ejercicio propuesto al comienzo del Cuaderno: ¿Esposiblelasumade0,0157millones y 26,83 decenas? Y de serlo, ¿en qué unidades puedo dar el resultado? Lle- vemos estos números al cartel de posi- ción y coloquémoslos en las dos prime- ras?las,reservandolaterceraparaelre- sultado de la suma –resultado que, intencionalmente, se escribirá sin nin- guna coma–: aunaoperacióndeapilamientoyconteo de elementos. Pero el aporte funda- mental de los sistemas –poder repre- sentar numéricamente las cantidades– resulta de vital importancia para operar con números. Y más todavía si se trata delsistemadecimaldenumeración,por su transparencia interna.
Lo primero que debemos tomar en cuenta es que todas las unidades de los diversos órdenes –en virtud de la “democracia” que reina dentro del sis- tema decimal– tienen rango de “deno- minadores”.Comodecíamosantes,po- demos hablar de 5 centenas, 13 déci- mas, etc. Por consiguiente, en princi- pio sólo podemos sumar directamente cantidades referidas a unidades del mismo orden –de igual denominador–. Así, 5 centenas + 12 centenas + 0,31 centenas nos da como resultado 17,31 centenas.
Por cierto, esta es la razón –mu- chas veces silenciada– de por qué suele sugerirse la norma de “ordena y suma” cuando se trata de resolver su- mas con los sumandos escritos verti- calmente…
Afortunadamente, ya sabemos que todo número puede tener múltiples lec- turas, al poder referirse a cualquiera de losórdenesdeunidadesdelsistemade- cimal.Esdecir,cualquiernúmeropuede
11 PARTE DECIMAL ORDEN Y NOMBRE DE LAS UNIDADES PARTE ENTERA ORDEN Y NOMBRE DE LAS UNIDADES 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 CENTéSIMA MILéSIMA DIEZ- CIEN- MILLO- MILéSIMA MILéSIMA NéSIMA MILLóN CENTENA DECENA UNIDAD CENTENA DECENA UNIDAD DE MIL DE MIL DE MIL 1 5 7 2 6 8 1 5 9 6 8 DéCIMA
3 3 Elresultadoadmitediversaslecturas (diversosbinomiosnumerador-denomi- nador): 0,0159683 millones 15,9683 unidades de mil 1.596,83 decenas 15.968,3 unidades 1.596.830 centésimas (agregue alguno más…)
4. El asunto de la “llevada” Un segundo aspecto en el que de- bemos tomar en cuenta las caracterís- ticas del sistema decimal de numera- cióneseldela“llevada”,esdecir,cuan- do la suma de dos dígitos correspon- dientes al mismo orden de unidades sobrepasa el valor de 9. Aquí entra en juego el propio ser del sistema decimal, yaquesuesenciaconsisteprecisamen- te en que al llegar a tener 10 unidades de un orden, estas se convierten en 1 unidad del orden inmediatamente su- perior. Así, 10 decenas equivalen a 1 centena, 10 milésimas equivalen a 1 centésima, 10 centenas de mil equi- valen a un millón, etc.
Esteprincipio,tanbásicoytansenci- llo en su formulación, tarda en ser asimi- lado y llevado a la práctica. Los errores delosniños–ydealgunosadultos–alres- pecto son frecuentes y, generalmente, producto de un aprendizaje mecánico, privado de signi?cado. Errores graves, porcuantodenotanquenosecomprende el funcionamiento del sistema decimal.
Lo peor del caso es que habitual- mente se intenta corregirlos sobre el propio esquema numérico escrito en que se propone la suma
(por ejemplo: 467 793 + )
insistiendo en ?jarse en las sumas par- ciales en las que hay “llevada”, ?jarse en que hay que colocar un “1” sobre las columnas a las que “se lleva”, etc., sin percatarsedequeloserrorescometidos al utilizar los esquemas simbólicos –esquemas que son abstractos–, sólo puedencorregirseretornandoalterreno de lo concreto, que es donde se puede alcanzar el signi?cado de la suma.
¿Cuálpuedeseresteterrenoconcre- to en el que se respete la esencia del sistema decimal? Puede ser el de los billetesdedenominacióndecimal(1,10, 100, 1.000, 0,1, 0,01, etc.). Por ejemplo, en el caso de la suma anterior, sumar 467 + 793 signi?ca, en primer lugar, entender cada uno de los números: 467 es un número “complejo”, compuesto por 4 centenas, 6 decenas y 7 unida- des; y análogamente lo es 793.
Sumarambosnúmerossigni?caque voy a recibir, primero, 4 billetes de 100, 6 de 10 y 7 de 1, y después, 7 billetes
12 de 100, 9 de 10 y 3 de 1. Agrupados por “denominadores”, voy a disponer de 11 billetes de 100, 15 de 10 y 10 de 1. El proceso de “ir al banco” para cambiar billetesproducelossiguientesresultados: Los10billetesde1seconviertenen1 de 10; no me queda ningún billete de 1 y tengo 1 billete más de 10, con lo que el número de éstos llega a 16. Llevados 10 de estos billetes al banco, se convierten en 1 de 100; me quedan 6 de 10 y tengo 1billetemásde100,conloqueelnúmero de éstos llega a 12. Finalmente, estos úl- timosseconviertenen1billetede1.000, al cambio de 10 de 100, y 2 sobrantes de 100.Al?naldelprocesodecambiostengo: 1 billete de 1.000, 2 de 100, 6 de 10 y ninguno(0)de1.Lacomposicióndeestas partes me lleva al número suma, 1.260. Todo este proceso puede simbolizar- se de la siguiente forma (UM, C, D y U representan,respectivamente,Unidades de Mil, Centenas, Decenas y Unidades): UM C D U 4 6 7 7 9 3 + 1 0 UNIDADES (DE SUMAR 7 + 3) 1 5 DECENAS (DE SUMAR 6 + 9) 1 1 CENTENAS (DE SUMAR 4 + 7) 1 2 6 0
Pero obsérvese que esta suma, así desglosada, puede realizarse en cual- quier orden: UM C 4 7 1 1 1 D U 6 7 9 3 + CENTENAS (DE SUMAR 4 + 7) 5 DECENAS (DE SUMAR 6 + 9) 1 0 UNIDADES (DE SUMAR 7 + 3) 1 2 6 0 UM C 4 7 1 1 1 D U 6 7 9 3 + 5 DECENAS (DE SUMAR 6 + 9) CENTENAS (DE SUMAR 4 + 7) 1 0 UNIDADES (DE SUMAR 7 + 3) 1 2 6 0 Demodoque–yrespondiendoauna delaspreguntasinicialesdelCuaderno– sí es posible sumar de izquierda a de- recha (y después veremos su utilidad, las circunstancias en que conviene su- mar de este modo). Pero lo que más importa resaltar, siguiendo la línea del discurso anterior, es que este recurso a lo concreto –bi- lletes decimales– y a la diversidad de los esquemas operativos simbólicos, debe preceder al ejercicio de la suma de números dispuestos en columna, tal comoseproponehabitualmente.Ydebe A B 467 + A B C 4
6 7 7
9 3 + = +
+ + 11
15 10 = 793
13 quedar ahí, disponible, para dotar de signi?cado a dicho ejercicio cada vez que el aprendiz presente di?cultades o cometa errores en su realización.
2. EN LOS EJERCICIOS QUE SIGUEN,EFECTUARE- MOS LA SUMA DE LOS RESPECTIVOS NúMEROS AYB(ENTREPARéNTESIS,ELORDENDEUNIDA- DES EN QUE FORMULAREMOS LA RESPUESTA):
A) A: 173 UNIDADES Y 48 MILéSIMAS B:37 CENTENAS,907 DéCIMAS Y 3 MILéSIMAS (EN DéCIMAS) B)A:0,136 DECENAS DE MIL B:68DECENASY2DéCIMAS(ENDECENAS) C)A:356 DIEZMILéSIMAS B: 39 DéCIMAS Y 5 MILéSIMAS (EN UNIDADES) D)A:1.003 CENTéSIMAS B: 40,89 DéCIMAS (EN MILéSIMAS) E)A:23 CENTENAS DE MIL,805 DECENAS B: UN MILLóN Y 46 CENTENAS (EN UNIDADES DE MIL) 3. UNA ENCICLOPEDIA ESTá COMPUESTA DE TRES TOMOS QUE SE ALMACENAN EN UN ESTANTE DE LA BIBLIOTECA DEL SIGUIEN- TE MODO (LO QUE VEMOS SON LOS LOMOS DE LOS LIBROS):
CADA TOMO CONTIENE 800 PáGINAS. CADA HOJA TIENE UN ESPESOR DE 0,005 CM,Y CADA TAPA,DE 3 MM.UN COMEJéN (UN GUSANITO COME-LIBROS) SE UBICA ENTRE LA TAPA DELANTERA Y LA PáGINA 1 DEL TOMO 1,E INICIA DESDE AHí SU BAN- QUETE ATRAVESANDO LOS TOMOS HASTA LA úLTIMA PáGINA DEL TOMO 3. ¿CUáNTO HABRá RECORRIDO AL ?NAL DE SU BANQUE- TE? (RECUERDE QUE CADA 2 PáGINAS CONSTITUYEN 1 HOJA). D E 5. El desarrollo de destrezas para sumar Todo lo expresado en los dos puntos anteriores hace referencia a la conside- ración de la suma en el ámbito del sis- tema decimal de numeración. Su apli- cación más inmediata se ubica en los casos de suma escrita en la que los su- mandos se colocan verticalmente. Pero aquí no termina todo lo que se puede decir acerca de esta operación aritmé- tica. Podemos explorar, por ejemplo, el terreno de la adquisición de destrezas –no sólo de reglas– para sumar.
Para ello contamos con las propie- dades de la adición, tan sabidas como poco utilizadas:
1. Conmutativa: El orden en que se consideran dos sumandos no modi?ca su suma. Por ejemplo, sumar 5 a 8 ó sumar8a5produceelmismoresultado.
2. Asociativa: Si hay más de dos su- mandos,elordenprogresivoenque“en- tran”enlasumaesindiferente:elresul- tado siempre es el mismo. Por ejemplo, si hay que sumar 15, 37 y 25, puede hacerse en cualquier orden: 15 más 37 yluegomás25,ó37más25yluegomás 15, ó 25 más 15 y luego más 37 (mejor de esta última manera, ¿no?), etc.
3. Disociativa (es decir, la misma propiedad asociativa, pero al revés): 11
16 = F 1
2
6 12
6
1.260
3 4 7 8 9 1 12 14 Todo sumando puede descomponerse en partes o sumandos menores de la forma que se quiera, siempre que su “asociación” equivalga al sumando ini- cial. Por ejemplo, si hay que sumar 117 y23,sefacilitalasumasi117sedisocia (mentalmente, en la práctica) en 110 + 7, y 23 en 20 + 3, lo que permite un rea- comodo en la suma: 117 + 23 = 110 + 20 + (7 + 3) = 130 + 10 = 140.
4. Existencia de elemento neutro: Es decir, el 0; cuando se suma a una can- tidad, ésta no varía. Con lo cual se pue- de romper la falsa creencia de que su- mar dos números siempre produce un resultadomayorqueambossumandos…
De lo anterior tiene que quedarnos algobienclaro(yconestorespondemos a otra de las preguntas iniciales del Cuaderno): las propiedades de la suma no son simplemente para aprenderlas –porque forman parte de lo que hay que saber–, sino sobre todo para utilizarlas. Porque las propiedades están ahí para facilitarnoslaoperacióndelasuma,para darnosmayorlibertadalahoradesumar.
Estamos a las puertas del cálculo mental (y de la estimación, como vere- mosmástarde),quenoessimplemente el cálculo que se hace “con la cabeza” –es decir, sin papel ni lápiz pero visua- lizando y simulando mentalmente el mismoprocesodelasumaescrita–,sino el cálculo que se hace utilizando las propiedades de la suma.
Atención: TODO LO QUE SE VA A DECIR AHORA NO ES SóLO PARA ENTENDERLO. ES, SOBRE TODO, PARA PRAC- TICARLO.PERO NO UN PAR DE VECES,Y YA.LA EJER- CITACIóN FRECUENTE Y ABUNDANTE ES REQUISITO INDISPENSABLE PARA DESARROLLAR DESTREZAS DE CáLCULO MENTAL.Y ESTO ES MUY IMPORTANTE, PORQUE, SI NO LAS POSEEMOS, NO PODREMOS CONSTRUIRLAS CON NUESTROS ALUMNOS.
¿Por dónde puedo empezar la prác- tica del cálculo mental, es decir, la ad- quisición de las destrezas para sumar? Por los dedos de las manos. En primer lugar, puedo asociar cada número del 1 al 10 con un dedo especí?co. Para ello, extiendo las manos (con las palmas ha- ciaabajo)antemíynumeromentalmen- te los dedos desde 1, empezando con el meñique de la mano izquierda y termi- nandoen10,conelmeñiquedelamano derecha. a 10. Al tocar un dedo de la mano de- recha debo acostumbrarme a descom- ponerloen5(todoslosdedosdelamano izquierda) más el número complemen- tario de dedos de la mano derecha. Así (lo estoy visualizando), 9 equivale a 5 más 4. Si toco un dedo de la mano iz- quierda, puedo ?jarme en cuántos de- dosfaltanparacompletaresamano.Así (y lo vuelvo a visualizar), a 1 le faltan 4 para llegar a 5. La práctica debe pasar delofísicoalavisualizacióndelofísico, y de aquí a lo mental. Obsérvese, de paso, que estamos utilizando la propie- dad disociativa…
Unavezquehayamosadquiridoesa destreza, podemos pasar a la siguiente: tocar un dedo y ver en ese toque dos cosas:elnúmeroquecorrespondeaese dedo y el número que corresponde a los dedosquefaltanhasta10(todoslosque se encuentran a su derecha). Si se trata de un dedo de la mano derecha, es más sencillo: si toco el dedo 7, faltan 3 para llegar a 10. Los dedos de la mano izquierda “van” de 1 a 5, y los de la derecha, de 6
2 10 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3
15 Si se trata de un dedo de la mano izquierda,puedovercuántosfaltanpara llegar al pulgar de esa mano (es decir, hasta 5) y luego agregarle 5 por los dedos de la mano derecha. Así, si toco el dedo 2, faltan 3 para completar la mano izquierda, y los 5 de la mano derecha, es decir, 8 (8 pensado como 5 + 3) dedos. La idea orientadora de esta práctica consiste en acostumbrarnos –si traba- jamos con los dígitos del 1 al 9– a ver con cada uno de ellos su complemento a 10. Y esto, de una forma inmediata y espontánea.
En de?nitiva, al tocar un dedo de la mano izquierda tengo que: •identi?carelnúmeroquelecorresponde, • asociar el número que le falta para 5, • asociar el número que le falta para 10.
Y al tocar uno de la mano derecha: •identi?carelnúmeroquelecorresponde, • disociar el número como 5 + …, • asociar el número que le falta para 10.
En resumen, se trata de adquirir las siguientes destrezas asociativas y diso- ciativas(particularmente,estasúltimas):
1+4 = 5 2+3 = 5 3+2 = 5 4+1 = 5 1+9 = 10 2+8 = 10 3+7 = 10 4+6 = 10 5+5 = 10 5 = 1+4 6 = 5+1 10 = 9+1
10 = 4+6 5 = 2+3 5 = 3+2 5 = 4+1 7 = 5+2 8 = 5+3 9 = 5+4 10 = 8+2 10 = 7+3 10 = 6+4 10 = 5+5 10 = 3+7 10 = 2+8 10 = 1+9 Otra de las destrezas que es conve- niente alcanzar temprano es la de los dobles de los dígitos menores que 5. Paraellopuedenjuntarselasdosmanos, palma con palma y dedo con dedo, y contar: si considero 1 dedo de cada mano, tengo 2 dedos; si considero 2 dedos de cada mano, tengo 4 dedos; y así sucesivamente.
EL DOBLE DE 1 ES 2; EL DE 2,4; EL DE 3,6; EL DE 4,8; EL DE 5,10.
10 ES EL DOBLE DE 5; 8,EL DE 4; 6,EL DE 3; 4,EL DE 2; 2,EL DE 1. 1 2 3 4 1 2 5 6 1 3 Tomandocomobaselasdestrezasan- teriores, podemos pasar a la situación de sumar dos dígitos cualesquiera. Veamos algunoscasos(enlapráctica,loscálculos noseescriben,sinoqueserealizanmen- talmente;aquílosescribimosparailustrar la marcha del proceso mental).
Sumar 3 + 4 (dos dígitos menores que 5). Podemos: – disociar 4 en 3 +1; calcular el doble de 3 (6) y sumar 1 – disociar 4 en 2 + 2; asociar 3 con 2 (5) y sumar 2 – disociar 3 en 2 +1; asociar 4 con 1 (5) y sumar 2 Sumar2+5(5yundígitomenorque 5). El resultado es inmediato: es una destreza ya adquirida.
Sumar7+5(5yundígitomayorque 5). Podemos: – disociar 7 en 2 + 5; asociar 5 con 5 (10) y sumar 2 – disociar 5 en 3 + 2; asociar 7 con 3 (10) y sumar 2
Sumar 8 + 6 (dos dígitos mayores que 5). Podemos: – disociar 6 en 2 + 4; asociar 8 con 2 (10) y sumar 4 – disociar 8 en 5 + 3 y 6 en 5 + 1; asociar 5 con 5 (10) y sumar 3 + 1 – disociar 8 en 4 + 4; asociar 4 con 6 (10) y sumar 4 7 8 9 10 2 34 5
16 Sumar 9 + 9 (el doble de los dígitos mayores que 5). Podemos: – disociar 9 en 5 + 4 dos veces; asociar 5 con 5 (10) y sumar el doble de 4 – disociar un 9 en 1 + 8; asociar el otro 9 con 1 (10) y sumar 8
Apartirdelaejercitacióndeestasdes- trezas, y como resultado de las mismas, podemos ahora (no antes) construir las tablasdelasuma(elnúmeroencadaca- sillaeslasumadelosdígitosqueencabe- zan la columna y la ?la correspondientes aesacasilla;porotrolado,cadacolumna, ocada?la,eslatabladesumarcorrespon- diente al dígito que la encabeza):
Estastablasdebenllegaraserapren- didas de memoria, porque este es el modoadultodemanejarlas.Peroestono signi?ca que aprenderlas de memoria sea el punto de partida; más bien es el puntodellegada.Elpuntodepartidaes- táenlaadquisicióndelasdestrezasque, medianteconmutaciones,asociaciones, disociacionesyotraspropiedadesdelos sumandos, nos permiten llegar a los resultados mentalmente.
Estas destrezas, además, no deben perderseauncuandoselleguenadomi- narlastablasdememoria.Ynosólopor- que pueden auxiliarnos en un instante de duda u olvido momentáneo, sino so- bre todo porque poseen un gran valor matemático intrínseco, por lo que su- ponendedominiodelaspropiedadesde la suma (Mialaret, 1977).
Incluso, antes de aprenderlasde memoria, todavía podemos sacar- les mucho jugo a estas tablas observando y des- tacando las regularida- des que se hallan pre- sentes. Una muy intere- sante es ver, en sus ca- sillasinteriores,cómolos números se repiten “dia- gonalmente” (de la parte superior hacia la inferior y, a la vez, de derecha a izquierda). Esto nos ayuda a resaltar la propiedad disociativa de la suma. Por ejemplo, observamos cómo el 8 puede desglosarse en la suma de 0 y 8, de 1 y 7, de 2 y 6, etc., y así en los demás casos.
También podemos observar que la diagonal principal –la que se inicia en la parte superior izquierda con el 0 y llega a la parte inferior derecha con el 18– contiene los dobles de los dígitos. Igualmente, que esa diagonal funciona como un eje de simetría para los núme- ros que se ubican a sus lados. Es decir, que si la tabla total fuera exactamente cuadrada y se doblara por esa diagonal, losnúmerosdelascasillasdeunadelas caras dobladas “caerían” exactamente sobre los mismos números de la otra cara doblada –por ejemplo, el 13 de 8 + 5 coincidiría con el 13 de 5 + 8–. Esta situación expresa grá?camente la pro- piedad conmutativa de la suma.
Otra observación –aparentemente tonta,peroqueenalgúnmomentopue- de tener su interés– es percibir que la suma de dos dígitos nunca llega a 20 y que, por consiguiente, cuando se trata dedossumandos,las“llevadas”nopue- den ser mayores que 1.
Hemoshabladodedestrezasutiliza- bles a la hora de sumar dígitos. No está demásdecirque,puestoquehablamos dedígitos,estasdestrezaspuedenapli- carsealcasodelasumadelasunidades, de las decenas, de las centésimas, etc., es decir, de las unidades de cualquiera
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