ntinuas sobre C[a,b] con los elementos de C[a,b], en contraste con lo que suced´ia con l2 de acuerdo al teorema de Riesz-Frechet. Por otra parte, se conoce que para el espacio L2 es posible, debido al Teorema de Riesz-Fischer (ver, 3 
˜ ˜ por ejemplo, [9]), identi?car a sus elementos con sucesiones num´ericas. Sin embargo, tal identi?caci´on no es posible en el caso del espacio C[a,b], por lo que se tiene que trabajar directamente con estos elementos y no con sus coordenadas. En su tesis de 1935, Izrail Moiseevich Gelfand (1913-) extiende la de?nici´on de fun- ci´on de variaci´on acotada a la de funci´on abstracta de variaci´on acotada (ver [4]). Entre otros resultados, generaliza el teorema de representaci´on de Riesz, demostran- do que el espacio de los operadores lineales y continuos U : C[a,b] ? E, donde E es un espacio normado d´ebilmente completo, es isomorfo al espacio de las funciones abstractas de variaci´on acotada. El concepto de p-continuidad absoluta de una funci´on real de?nida sobre el intervalo [a,b] para 1 < p < 8 aparece por primera vez en el ano 1937, en los trabajos de E.R. Love y L.C. Young (ver [11]), quienes desarrollaron tambi´en la noci´on de funci´on de p-variaci´on acotada sobre el intervalo [a,b]. En esta l´inea se destacan tambi´en los po- lacos Musielak y Orlicz (ver [13]), quienes en el ano 1959 demostraron en conjunto la separabilidad del espacio Cp[a,b] de las funciones absolutamente p-continuas en [a,b]. En 1984 aparece un trabajo del matem´atico ruso V.Kisliakov (ver [8]), donde se demuestra de forma indirecta que el espacio bidual a Cp[a,b] de las funciones ab- solutamente p-continuas en [a,b] es isomorfo al espacio V p[a,b] de las funciones de p-variaci´on acotada en [a,b]. De esta forma, la b´usqueda de una demostraci´on direc- ta de la relaci´on C**[a,b] Vp[a,b] se convierte en la piedra angular del desarrollo de 1 q ˜ la tesis de doctorado (ver [16]) de la cubana Rita A. Rold´an durante su estancia en Alemania (Jena) en 1989. Entre otros resultados, en la b´usqueda de un isomor?smo isom´etrico entre los espacios Cp[a,b] y Vq[a,b] con p + 1 = 1 en analog´ia con el caso cl´asico para q = 1 y p = 1, ya que C8[a,b] = C[a,b], se da una representaci´on de las funcionales lineales y continuas sobre Cp[a,b] a trav´es de integrales de Stieltjes respecto a funciones de q-variaci´on acotada en [a,b]. Se hace notar que Vq[a,b] no puede ser el espacio dual de Cp[a,b], mostr´andose, no obstante, una condici´on su?- ciente para la existencia de la integral de Stieltjes de forma tal que esta representa un funcional continuo. De la misma forma se tratan propiedades importantes de los espacios Vp[a,b] y Cp[a,b] como, por ejemplo, la relaci´on de estos con el espacio Lipa[a,b] de las funciones a-lipchitzianas (0 < a < 1), al igual que la no separabili- dad de Vp[a,b] y la separabilidad de Cp[a,b]. A partir de este momento, en la literatura a disposici´on del autor de esta tesis, s´olo se encuentran referencias a estos espacios en relaci´on con otro tipo de problemas (por ejemplo, probabil´isticos), y no se tiene noticia de que se haya continuado el estudio de la representaci´on del espacio dual de Cp[a,b] o de Vp[a,b] hasta el ano 2005, donde Y. Puig de Dios retoma el tema. En su tesis de licenciatura (ver [15]), 4 
Puig de?ne los espacios de funciones abstractas de p-variaci´on acotada y absoluta- mente p-continuas fuerte y d´ebil, generalizando el problema y presentando algunos resultados importantes en esta direcci´on. Motivados por todo lo anterior y atendiendo a la belleza y utilidad de la Teor´ia de ´ aborda el problema de la dualidad del espacio Vp = Vp(R) de las funciones complejas de p-variaci´on acotada de?nidas sobre el campo de los n´umeros reales, teniendo en cuenta su estructura de ´algebra de Banach, obteniendo un teorema de representaci´on y algunos resultados de importancia sobre el espacio de ideales maximales de Vp. La tesis se estructura en una introducci´on y tres cap´itulos, cerrando la presentaci´on con las conclusiones y recomendaciones del autor. En el primer cap´itulo (“Premilinares”) se exponen los resultados b´asicos de la Teor´ia ´ absolutamente p-continuas, que ser´an de utilidad posteriormente. El objetivo central del segundo cap´itulo (“Un teorema de representaci´on”), como su t´itulo indica, es la obtenci´on de un teorema de representaci´on para el espacio dual de Vp. Para ello, en un primer ep´igrafe se de?nen los espacios Vp y Cp, enunciando algunas propiedades interesantes de ellos. Adem´as se demuestra que Vp es un ´algebra de Banach conmutativa unitaria y semisimple, lo cual permite concluir en el segundo ep´igrafe con la demostraci´on del teorema de representaci´on que da t´itulo al cap´itulo. En dicho teorema se representa a los funcionales continuos sobre Vp a trav´es de su espacio de ideales maximales, del cual no se tiene una caracterizaci´on adecuada, lo que conduce a la necesidad de su estudio. A partir de ello, en el tercer cap´itulo (“Acerca de los ideales de Vp”) se presentan algunos resultados en relaci´on con la estructura del espacio de ideales de Vp, los cuales contribuyen en la b´usqueda de una caracterizaci´on de dicho espacio. Finalmente se presentan las “Conclusiones y recomendaciones”, donde se resumen los resultados fundamentales del trabajo, indicando posibles v´ias de desarrollo para el trabajo futuro. 5 
Algebras de Banach conmutativas Cap´itulo 1 PRELIMINARES En este cap´itulo se exponen los resultados que constituyen la base para el posterior desarrollo del trabajo. 1.1. ´ ´ Las de?niciones y resultados de este ep´igrafe se pueden consultar (siempre que no se indique otra cosa) en [3]. Definicion 1.1 Un ´algebra de Banach es un espacio de Banach complejo A, el cual es tambi´en un ´algebra asociativa, donde la multiplicaci´on y la norma estan ligadas por la relaci´on fg = f g , para todas f,g ? A El ´algebra de Banach A es conmutativa si se cumple fg = gf para todas f,g ? A. Se dice que el ´algebra de Banach A tiene una identidad si existe en ella un elemento 1 ? A, tal que 1 = 1 y 1f = f1 para toda f ? A. En esta tesis se centrar´a el inter´es en las ´algebras de Banach conmutativas con iden- tidad. Espectro y resolvente La teor´ia espectral de operadores acotados encuentra su hom´ologo en los resultados sobre las ´algebras de Banach que se exponen a continuaci´on. 7 
´ ´ Definicion 1.2 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad. Se dice que un elemento f ? A es inversible si existe un elemento g ? A tal que fg = 1. En ese caso, el inverso g de f es evidentemente unico, y se denota por f-1. La familia de los elementos inversibles de A se denota por A-1. Se dice que un n´umero complejo ? es elemento del conjunto resolvente de f ? A si ?-f = ?1-f es inversible. El conjunto resolvente de f se denota por ?(f). Si el n´umero complejo ? no pertenece al conjunto resolvente, se dice que ? es elemento del espectro de f, el cual se denota por s(f). Para el espectro de un elemento de un ´algebra de Banach conmutativa con identidad se cumple: Teorema 1.1 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad y sea f ? A. En- tonces el espectro s(f) es un subconjunto compacto no vac´io del plano comple- jo. Adem´as, si ? ? s(f), la funci´on (?-f)-1 depende anal´iticamente de ?; es decir, (?-f)-1 es localmente expresable como serie de potencias convergente. Demostraci´on: Si |?| > f , entonces la serie 8 n=1 fn ?n+1 converge a la funci´on g(?), la cual es anal´itica en el in?nito. Un c´alculo directo muestra que g(?)(?-f) = 1; es decir, g(?) = (?-f)-1. Luego, s(f) est´a contenido en el disco cerrado de radio f . Por otra parte, si ?0 ? ?(f), entonces la serie 8 n=0 (?0 – ?)n (?0 – f)n+1 converge a la funci´on h(?), la cual es anal´itica en el disco ? ? C; |? – ?0| < 1 (?0 – f)-1 . Nuevamente un c´alculo directo muestra que h(?) = (?-f)-1. Consecuentemente el conjunto resolvente de f es abierto y (? – f)-1 es anal´itica en ´el. Ahora, para cualquier funcional lineal continuo L de?nido sobre A, se tiene que L((?-f)-1) es una funci´on de ?, anal´itica sobre el conjunto resolvente de f, que se 8 
anula en 8. Si el espectro s(f) fuera vac´io, entonces la funci´on L((? – f)-1) ser´ia identicamente nula. Por el teorema de Hahn-Banach (ver, por ejemplo [9]) (? – f)-1 ser´ia tambi´en cero, lo cual es imposible. Entonces s(f) no es vac´io, quedando as´i demostrado el teorema. Q.e.d. En el curso de la demostraci´on anterior se han establecido los siguientes resultados: Teorema 1.2 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad y sea f ? A. Si ? es un elemento del espectro s(f), entonces se cumple que |?| = f . Teorema 1.3 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad y sea f ? A. Si ? es un elemento del conjunto resolvente ?(f) y d(?,s(f)) es la distancia de ? a s(f), entonces d(?,s(f)) = 1 (? – f)-1 . El siguiente teorema es crucial en la teor´ia. Teorema 1.4 (Gelfand-Mazur) Un ´algebra de Banach conmutativa y unitaria, que es un campo, es isom´etri- camente isomorfo al campo de los n´umeros complejos. Demostraci´on: Toda ´algebra de Banach con identidad A contiene una sub´algebra isom´etricamente isomorfa al campo de los n´umeros complejos, (el ´algebra de los m´ultiplos complejos de la identidad). Esto es su?ciente para mostrar que si A es un campo, entonces cualquier f ? A es un m´ultiplo complejo de la identidad. Sea f ? A. Por el teorema 1.1, existe un n´umero complejo ?, tal que ? – f no es inversible. Como A es un campo, entonces debe ser ? – f = 0; es decir, f = ?, lo cual demuestra el teorema. Q.e.d. El espacio de ideales maximales De suma importancia por su estructura algebraica resulta el estudio de los ideales de un ´algebra de Banach. A continuaci´on se presentan algunos detalles importantes relativos a estos subconjuntos. 9 
´ / I Definicion 1.3 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad. Un subconjunto I ? A es un ideal si para todos f ? I y g ? A se cumple que fg ? I. Un ideal J de A se dice maximal si J = A y J no est´a contenido en otro ideal de A. El conjunto de los ideales maximales de A es llamado espacio de ideales maximales de A y se denota por MA. M´as adelante se introducir´a una topolog´ia para el espacio de ideales maximales MA. El siguiente lema es elemental y es v´alido en general para anillos conmutativos con identidad. Lema 1.1.1 Cualquier ideal propio de un ´algebra de Banach A conmutativa con identidad est´a contenido en un ideal maximal. Un ideal J es maximal si y solo si A/J es un campo. Teorema 1.5 Todo ideal maximal de un ´algebra de Banach conmutativa con identidad A es cerrado. Si J es un ideal maximal de A entonces A/J es isom´etricamente isomorfo al campo de los n´umeros complejos. Demostraci´on: N´otese que cualquier funci´on de A que cumpla 1-f < 1 es inversible. En efecto si 1-f < 1, entonces 1 es elemento del conjunto resolvente de 1-f por el teorema 1.2 y se cumple que f = 1 – (1 – f) ? A-1. Si I es cualquier ideal propio y f ? I, entonces f ? A-1, por lo que 1 – f = 1. Esta misma desigualdad es tambi´en v´alida para f en la clausura ¯ de I. Luego, la clausura de todo ideal propio es un ideal propio, y todos los ideales maximales deben ser cerrados. Sea ahora J un ideal maximal de A. Como J es cerrado, A/J es un espacio de Banach con la norma f + J = ´inf f + g . g?J Resulta sencillo comprobar que para f,g ? A se cumple fg + J = f + J g + J , siendo entonces A/J un ´algebra de Banach. Como g + 1 = 1 para todo g ? A, se cumple que 1 + J = 1. Consecuentemente 1 + J es la identidad para A/J. 10 
Por el teorema de Gelfand-Mazur, A/J es isom´etricamente isomorfo al campo de los n´umeros complejos. Esto completa la demostraci´on. Q.e.d. ´ ´ Sea J un ideal maximal del ´algebra de Banach conmutativa con identidad A. La proyecci´on de A ? A/J es un homomor?smo de ´algebras, de n´ucleo J. El teorema de Gelfand-Mazur permite identi?car a A/J con el campo complejo. De esta manera J resulta el n´ucleo de un homomor?smo complejo no nulo f. Si f ? A, entonces se puede de?nir a f(f) expl´icitamente como el unico n´umero complejo ?, tal que f + J = ? + J; es decir, tal que f – ? ? J. Rec´iprocamente, si f es un homomor?smo complejo no nulo de A y Af es el n´ucleo de f, entonces A/Af es un campo, por lo que Af es un ideal maximal en A. Esto se resume en el siguiente teorema. Teorema 1.6 Sean A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad y f un homomor?smo complejo no nulo de A de n´ucleo Af. Entonces la correspondencia f ? Af es una correpondencia biyectiva del espacio de los homomor?smos complejos no nulos sobre A en el espacio de ideales maximales de A. En lo adelante se identi?car´an todos los ideales maximales de A con homomor?smos complejos, como es la costumbre. El siguiente lema permitir´a de?nir una topolog´ia para el espacio de ideales maximales MA de A. N´otese que la a?rmaci´on relativa a la continuidad de f se deduce del teorema 1.5, ya que que los funcionales lineales son continuos si y s´olo si su n´ucleo es cerrado. Lema 1.1.2 Sean A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad y f un homomor?smo complejo no nulo de A. Entonces f es continuo y se cumple que f = 1 = f(1). Demostraci´on: Como f2(1) = f(1), entonces es f(1) = 1 ´o f(1) = 0. El ultimo caso queda excluido, pues en caso contrario f ser´ia id´enticamente nulo. De aqu´i que f(1) = 1. Si f ? A y |?| > f , entonces ? – f es inversible. De la relaci´on f(? – f)f((? – f)-1) = f(1) = 1 11 
se deduce que f(? – f) = 0, o sea, f(f) = ?. Entonces es |f(f)| = f . Como ello es cierto para todo f ? A, f debe ser continuo y f = 1. Pero como f(1) = 1, entonces es f = 1. Q.e.d. El lema anterior permite identi?car a MA con un subconjunto de la esfera unitaria del dual A* de A y se de?ne en MA la topolog´ia heredada de A*. En otras palabras, una red fa en MA converge a f si y s´olo si fa(f) ? f(f) para todo f ? A. Una base de vecindades abiertas de ? ? MA est´a dada por conjuntos de la forma N(?;f1,…,fn;e) = {f ? MA; |f(fi) – ?(fj)| < e}, donde e > 0, n ? N y f1,…,fn ? A. Teorema 1.7 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad. Entonces el espacio de ideales maximales MA de A es un espacio de Hausdor? compacto. Demostraci´on: El l´imite *- d´ebil de homomor?smos que satisfacen f(1) = 1 es nuevamente un ho- momor?smo no nulo. Por lo tanto MA es un subconjunto cerrado en la topolog´ia *-d´ebil de la bola unidad de A*. Por el teorema de Alaoglu (ver [9]), la bola unidad de A* es *-d´ebil compacta. Consecuentemente MA es compacto. Q.e.d. ´ Definicion 1.4 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad y sea f ? A. La trans- formada de Gelfand de f ? A es la funci´on compleja f sobre MA, de?nida por f(f) = f(f). Teorema 1.8 Sean A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad. Entonces la trans- formada de Gelfand es un homomor?smo de A en el ´algebra A de las funciones continuas sobre MA. El ´algebra A separa puntos en MA y contiene a las cons- tantes. La transformada de Gelfand satisface la relaci´on f MA = f ; ?f ? A. f ˆ Demostraci´on: Resulta sencillo veri?car que f ? f es un homomor?smo de ´algebras. Por la de?ni- ci´on de la topolog´ia dada para MA, es claro que ˆ ? A es continuo en MA. Al ser f = 1 para todo f ? MA, se tiene que |f(f)| = f para todo f ? A, por lo que f MA = f . 12 
ˆ La transformada de Gelfand de la identidad de A es la funci´on que es id´enticamente uno en MA. De aqu´i que A contiene a las constantes. Si f(f1) = f(f2) para todo f ? A, entonces f1(f) = f2(f) para todo f ? A y f1 = f2. Entonces A separa los puntos de MA. Q.e.d. Teorema 1.9 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad. Si f ? A, entonces s(f) coincide con f(MA). Demostraci´on: Sea ? ? s(f). Entonces ? – f no es inversible y (? – f)A es un ideal propio. Por el lema 1.1.1, existe un un ideal maximal J que contiene a ? – f. Si J es el n´ucleo de f, entonces f(? – f) = 0 y f(f) = ?. De aqu´i que ? ? f(MA). Rec´iprocamente, sea ? ? f(MA). Si se selecciona f, tal que f(f) = ?, entonces f(? – f) = 0, por lo que ? – f no es inversible y ? ? s(f). Q.e.d. A continuaci´on se presentan algunos ejemplos cl´asicos que ilustran lo anteriormente expuesto. Ejemplo 1: El ´algebra C(X) de todas las funciones complejas continuas sobre un espacio de Hausdor? compacto X es un ´algebra de Banach con la norma usual del supremo f = sup|f(x)|. x?X Cualquier x ? X determina el homomor?smo evaluaci´on fx ? MC(X) de?nido por fx(f) = f(x), ?f ? C(X). 2 Teorema 1.10 Cualquier f ? MC(X) es un homomor?smo evaluaci´on en alg´un punto x ? X. Demostraci´on: Sea f ? MC(X) distinto de fx para toda x ? X. Entonces para cualquier x ? X, se selecciona fx ? C(X) tal que fx(x) = 0, mientras que f(f) = 0. De este modo |fx| es positivo en una vecindad de x y se tiene que f(|fx|2) = f(fx)f(fx) = 0. 13 
Seleccionando x1…xn ? X, tales que |fx1|…|fxn| = g es positivo en X, se cumple que g es inversible en C(X). Esto contradice que el hecho de que f(g) = 0. Q.e.d. Este teorema muestra que X y C(X) son homeomorfos. En particular el espacio X est´a completamente determinado por la estructura de ´algebra de Banach de C(X). Ejemplo 2: Cualquier ´algebra uniformemente cerrada A de C(X) que contenga a las constantes es un ´algebra de Banach conmutativa con la norma del supremo. Si A separa los puntos de X, la correspondencia x ? fx es una inmersi´on de X como subconjunto cerrado de MA. El siguiente caso especial muestra c´omo pueden surgir ideales maxi- males que no est´en incluidos en X. Se denota por ? al disco unidad cerrado {z ? C; |z| = 1} en el plano complejo. Su frontera ?? es el c´irculo unidad {z ? C; |z| = 1}. La sub´algebra de las funciones en C(??) que pueden ser aproximadas uniformemente sobre ?? por polinomios en z se denota por P(??). El k-´esimo coe?ciente de Fourier de la funci´on f ? C(??) est´a dado por ck = 1 2p 2p 0 f(eif)eikfdf = 1 2pi b? f(z)z-k-1dz. Por el teorema de Fejer (ver [7]), f es el l´imite uniforme de las funciones sn = f0 + … + fn n +1 , donde fm = m k=-m ckeikf = m k=-m ckzk, z = eif. f Si los coe?cientes de Fourier negativos de la funci´on f ? C(??) se anulan, entonces las fm y las sn son polinomios en z. As´i f ? P(??). Adem´as, por el principio del m´odulo m´aximo, los polinomios sn convergen uniformemente sobre ? al pro- longamiento continuo ¯ de f a ?, el cual es anal´itico en int(?). Rec´iprocamente, si f ? C(??) puede ser prolongada continuamente a ? y anal´itica- mente en int(?), entonces, por el teorema de Cauchy, los coe?cientes de Fourier negativos de f se anulan. En particular, los coe?cientes de Fourier negativos de 14 
cualquier f ? P(??) se anulan. Esto muestra la equivalencia de las siguientes a?rmaciones para una funci´on f ? C(??) (i) f ? P(??). (ii) f se prolonga continuamente a ? y anal´iticamente en int(?). (iii) Los coe?cientes de Fourier negativos de f se anulan. Cualquier ? ? ? determina un homomor?smo f? de P(??), obtenido de evaluar el prolongamiento anal´itico de funciones de P(??) en ?. La correspondencia ? ? f? sumerge a ? como subconjunto cerrado en MP(??). Se acostumbra a identi?car a ? con su imagen por la inmersi´on en MP(??). Sea ahora f ? MP(??) y sea ? = f(z), donde z es la funci´on coordenada. Puesto que z ?? = 1, se tiene que |?| = 1, es decir, ? ? ?. Tambi´en se cumple que f(p(z)) = p(?) = f?(p) para todos los polinomios p. Puesto que los polinomios son densos en P(??), se deduce que f coincide con f?. Consecuentemente el espacio de ideales maximales de P(??) coincide con ?. Ejemplo 3: Sea 0 < a = 1 y sea Lipa[0,1] el conjunto de todas las funciones continuas con valores complejos en [0,1] que satisfacen una condici´on de Lipschitz de orden a. La norma en Lipa[0,1] est´a dada por f a = sup |f(t)| + sup 0=t=1 0=t=1 |f(s) – f(t)| |s – t|a El espacio Lipa[0,1] es un ´algebra de Banach con el producto puntual usual de fun- ciones. Se comprueba f´acilmente que el espacio de ideales maximales de Lipa[0,1] es [0,1]. Ejemplo 4: Sea G un grupo abeliano localmente compacto con medida de Haar s. El espacio de Banach L1(s), junto con el producto de convoluci´on de?nido por (f * g)(x) = f(x – y)g(y)ds(y), G es un ´algebra de Banach conmutativa, que se denota por L1(G). El ´algebra L1(G) no tiene identidad a menos que G sea discreto. 15 
Se de?ne un caracter de G como un homomor?smo continuo de G en el disco unidad. El conjunto G de todos los caracteres de G es un grupo, cuya operaci´on es la multi- plicaci´on puntual. Con la topolog´ia de la convergencia uniforme sobre compactos, G se convierte en un grupo abeliano localmente compacto, llamado el grupo caracter o grupo dual de G. El Teorema de la dualidad de Pontriaguin (ver [10]) establece que el grupo dual de G es G. Cualquier caracter ? de G determina un homomor?smo continuo de L1(G) a trav´es de la f´ormula (f * g)(x) = f(x)?(x)ds(x). G De esta manera, cualquier homomor?smo continuo no nulo de L1(G) se origina a partir de un caracter de G. El espacio de ideales maximales de L1(G) es homeomorfo a G. Sea ahora G el cuerpo de los n´umeros reales R. Todo caracter de R es de la forma s ? eist para alg´un n´umero real t. Luego R = R. La transformada de Gelfand se convierte entonces en la transformada de Fourier usual f(t) = +8 f(s)e-istds. -8 A continuaci´on se presentan dos teoremas que resultan b´asicos y sumamente im- portantes en el desarrollo de la teor´ia de las ´algebras de Banach. El primero es relativo a la aplicaci´on de determinadas funciones anal´iticas a elementos de ´algebras de Banach. El segundo es una f´ormula para el radio espectral. Teorema 1.11 Sean A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad y f ? A. Sea h una funci´on con valores complejos que est´a de?nida y es anal´itica en una vecindad de f(MA) = s(f). Entonces existe g ? A, tal que g = h ? f. Demostraci´on: La f´ormula de Cauchy establece que h(z0) = 1 2pi G h(z) z – z0 dz, z ? s(f), para un contorno apropiado G contenido en s(f). Se de?ne g = 1 2pi G h(z)(z – f)-1dz 16 
Esta integral existe en el sentido de Riemann. Aproximando la integral por sumas de Riemann ?nitas, se observa que para f ? MA se cumple f(g) = 1 2pi h(z)(z – f(f))-1dz = h(f(f)). Q.e.d. Consecuentemente es g = h ? f. El radio espectral de f ? A es por de?nici´on el valor sup |?|. ??s(f) Por teorema 1.9, el radio espectral de f coincide con f MA. Teorema 1.12 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad. El radio espectral de f ? A est´a dado por la f´ormula f MA = l´im fn n?8 1/n . Demostraci´on: Para cualquier entero positivo n y cualquier f ?,MA se cumple |f(f)| = |fn(f)|1/n = fn 1/n , Consecuentemente es f MA = l´im ´inf fn n?8 1/n . / Ahora, sea L un funcional lineal continuo sobre A. Se de?ne h(?) = L((? – f)-1) para ? ? s(f). Entonces h es anal´itica fuera de s(f) y se cumple que h(?) = 8 n=0 L(fn) ?n+1 para cualquier ?. Puesto que h es anal´itica para |?| > f MA, la representaci´on en serie debe ser convergente para todo ? que satisfaga |?| > f MA. Por lo tanto sup n < 8 |L(fn)| |?|n+1 17
˜ ˜ por ejemplo, [9]), identi?car a sus elementos con sucesiones num´ericas. Sin embargo, tal identi?caci´on no es posible en el caso del espacio C[a,b], por lo que se tiene que trabajar directamente con estos elementos y no con sus coordenadas. En su tesis de 1935, Izrail Moiseevich Gelfand (1913-) extiende la de?nici´on de fun- ci´on de variaci´on acotada a la de funci´on abstracta de variaci´on acotada (ver [4]). Entre otros resultados, generaliza el teorema de representaci´on de Riesz, demostran- do que el espacio de los operadores lineales y continuos U : C[a,b] ? E, donde E es un espacio normado d´ebilmente completo, es isomorfo al espacio de las funciones abstractas de variaci´on acotada. El concepto de p-continuidad absoluta de una funci´on real de?nida sobre el intervalo [a,b] para 1 < p < 8 aparece por primera vez en el ano 1937, en los trabajos de E.R. Love y L.C. Young (ver [11]), quienes desarrollaron tambi´en la noci´on de funci´on de p-variaci´on acotada sobre el intervalo [a,b]. En esta l´inea se destacan tambi´en los po- lacos Musielak y Orlicz (ver [13]), quienes en el ano 1959 demostraron en conjunto la separabilidad del espacio Cp[a,b] de las funciones absolutamente p-continuas en [a,b]. En 1984 aparece un trabajo del matem´atico ruso V.Kisliakov (ver [8]), donde se demuestra de forma indirecta que el espacio bidual a Cp[a,b] de las funciones ab- solutamente p-continuas en [a,b] es isomorfo al espacio V p[a,b] de las funciones de p-variaci´on acotada en [a,b]. De esta forma, la b´usqueda de una demostraci´on direc- ta de la relaci´on C**[a,b] Vp[a,b] se convierte en la piedra angular del desarrollo de 1 q ˜ la tesis de doctorado (ver [16]) de la cubana Rita A. Rold´an durante su estancia en Alemania (Jena) en 1989. Entre otros resultados, en la b´usqueda de un isomor?smo isom´etrico entre los espacios Cp[a,b] y Vq[a,b] con p + 1 = 1 en analog´ia con el caso cl´asico para q = 1 y p = 1, ya que C8[a,b] = C[a,b], se da una representaci´on de las funcionales lineales y continuas sobre Cp[a,b] a trav´es de integrales de Stieltjes respecto a funciones de q-variaci´on acotada en [a,b]. Se hace notar que Vq[a,b] no puede ser el espacio dual de Cp[a,b], mostr´andose, no obstante, una condici´on su?- ciente para la existencia de la integral de Stieltjes de forma tal que esta representa un funcional continuo. De la misma forma se tratan propiedades importantes de los espacios Vp[a,b] y Cp[a,b] como, por ejemplo, la relaci´on de estos con el espacio Lipa[a,b] de las funciones a-lipchitzianas (0 < a < 1), al igual que la no separabili- dad de Vp[a,b] y la separabilidad de Cp[a,b]. A partir de este momento, en la literatura a disposici´on del autor de esta tesis, s´olo se encuentran referencias a estos espacios en relaci´on con otro tipo de problemas (por ejemplo, probabil´isticos), y no se tiene noticia de que se haya continuado el estudio de la representaci´on del espacio dual de Cp[a,b] o de Vp[a,b] hasta el ano 2005, donde Y. Puig de Dios retoma el tema. En su tesis de licenciatura (ver [15]), 4 Puig de?ne los espacios de funciones abstractas de p-variaci´on acotada y absoluta- mente p-continuas fuerte y d´ebil, generalizando el problema y presentando algunos resultados importantes en esta direcci´on. Motivados por todo lo anterior y atendiendo a la belleza y utilidad de la Teor´ia de ´ aborda el problema de la dualidad del espacio Vp = Vp(R) de las funciones complejas de p-variaci´on acotada de?nidas sobre el campo de los n´umeros reales, teniendo en cuenta su estructura de ´algebra de Banach, obteniendo un teorema de representaci´on y algunos resultados de importancia sobre el espacio de ideales maximales de Vp. La tesis se estructura en una introducci´on y tres cap´itulos, cerrando la presentaci´on con las conclusiones y recomendaciones del autor. En el primer cap´itulo (“Premilinares”) se exponen los resultados b´asicos de la Teor´ia ´ absolutamente p-continuas, que ser´an de utilidad posteriormente. El objetivo central del segundo cap´itulo (“Un teorema de representaci´on”), como su t´itulo indica, es la obtenci´on de un teorema de representaci´on para el espacio dual de Vp. Para ello, en un primer ep´igrafe se de?nen los espacios Vp y Cp, enunciando algunas propiedades interesantes de ellos. Adem´as se demuestra que Vp es un ´algebra de Banach conmutativa unitaria y semisimple, lo cual permite concluir en el segundo ep´igrafe con la demostraci´on del teorema de representaci´on que da t´itulo al cap´itulo. En dicho teorema se representa a los funcionales continuos sobre Vp a trav´es de su espacio de ideales maximales, del cual no se tiene una caracterizaci´on adecuada, lo que conduce a la necesidad de su estudio. A partir de ello, en el tercer cap´itulo (“Acerca de los ideales de Vp”) se presentan algunos resultados en relaci´on con la estructura del espacio de ideales de Vp, los cuales contribuyen en la b´usqueda de una caracterizaci´on de dicho espacio. Finalmente se presentan las “Conclusiones y recomendaciones”, donde se resumen los resultados fundamentales del trabajo, indicando posibles v´ias de desarrollo para el trabajo futuro. 5 Algebras de Banach conmutativas Cap´itulo 1 PRELIMINARES En este cap´itulo se exponen los resultados que constituyen la base para el posterior desarrollo del trabajo. 1.1. ´ ´ Las de?niciones y resultados de este ep´igrafe se pueden consultar (siempre que no se indique otra cosa) en [3]. Definicion 1.1 Un ´algebra de Banach es un espacio de Banach complejo A, el cual es tambi´en un ´algebra asociativa, donde la multiplicaci´on y la norma estan ligadas por la relaci´on fg = f g , para todas f,g ? A El ´algebra de Banach A es conmutativa si se cumple fg = gf para todas f,g ? A. Se dice que el ´algebra de Banach A tiene una identidad si existe en ella un elemento 1 ? A, tal que 1 = 1 y 1f = f1 para toda f ? A. En esta tesis se centrar´a el inter´es en las ´algebras de Banach conmutativas con iden- tidad. Espectro y resolvente La teor´ia espectral de operadores acotados encuentra su hom´ologo en los resultados sobre las ´algebras de Banach que se exponen a continuaci´on. 7 ´ ´ Definicion 1.2 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad. Se dice que un elemento f ? A es inversible si existe un elemento g ? A tal que fg = 1. En ese caso, el inverso g de f es evidentemente unico, y se denota por f-1. La familia de los elementos inversibles de A se denota por A-1. Se dice que un n´umero complejo ? es elemento del conjunto resolvente de f ? A si ?-f = ?1-f es inversible. El conjunto resolvente de f se denota por ?(f). Si el n´umero complejo ? no pertenece al conjunto resolvente, se dice que ? es elemento del espectro de f, el cual se denota por s(f). Para el espectro de un elemento de un ´algebra de Banach conmutativa con identidad se cumple: Teorema 1.1 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad y sea f ? A. En- tonces el espectro s(f) es un subconjunto compacto no vac´io del plano comple- jo. Adem´as, si ? ? s(f), la funci´on (?-f)-1 depende anal´iticamente de ?; es decir, (?-f)-1 es localmente expresable como serie de potencias convergente. Demostraci´on: Si |?| > f , entonces la serie 8 n=1 fn ?n+1 converge a la funci´on g(?), la cual es anal´itica en el in?nito. Un c´alculo directo muestra que g(?)(?-f) = 1; es decir, g(?) = (?-f)-1. Luego, s(f) est´a contenido en el disco cerrado de radio f . Por otra parte, si ?0 ? ?(f), entonces la serie 8 n=0 (?0 – ?)n (?0 – f)n+1 converge a la funci´on h(?), la cual es anal´itica en el disco ? ? C; |? – ?0| < 1 (?0 – f)-1 . Nuevamente un c´alculo directo muestra que h(?) = (?-f)-1. Consecuentemente el conjunto resolvente de f es abierto y (? – f)-1 es anal´itica en ´el. Ahora, para cualquier funcional lineal continuo L de?nido sobre A, se tiene que L((?-f)-1) es una funci´on de ?, anal´itica sobre el conjunto resolvente de f, que se 8 anula en 8. Si el espectro s(f) fuera vac´io, entonces la funci´on L((? – f)-1) ser´ia identicamente nula. Por el teorema de Hahn-Banach (ver, por ejemplo [9]) (? – f)-1 ser´ia tambi´en cero, lo cual es imposible. Entonces s(f) no es vac´io, quedando as´i demostrado el teorema. Q.e.d. En el curso de la demostraci´on anterior se han establecido los siguientes resultados: Teorema 1.2 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad y sea f ? A. Si ? es un elemento del espectro s(f), entonces se cumple que |?| = f . Teorema 1.3 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad y sea f ? A. Si ? es un elemento del conjunto resolvente ?(f) y d(?,s(f)) es la distancia de ? a s(f), entonces d(?,s(f)) = 1 (? – f)-1 . El siguiente teorema es crucial en la teor´ia. Teorema 1.4 (Gelfand-Mazur) Un ´algebra de Banach conmutativa y unitaria, que es un campo, es isom´etri- camente isomorfo al campo de los n´umeros complejos. Demostraci´on: Toda ´algebra de Banach con identidad A contiene una sub´algebra isom´etricamente isomorfa al campo de los n´umeros complejos, (el ´algebra de los m´ultiplos complejos de la identidad). Esto es su?ciente para mostrar que si A es un campo, entonces cualquier f ? A es un m´ultiplo complejo de la identidad. Sea f ? A. Por el teorema 1.1, existe un n´umero complejo ?, tal que ? – f no es inversible. Como A es un campo, entonces debe ser ? – f = 0; es decir, f = ?, lo cual demuestra el teorema. Q.e.d. El espacio de ideales maximales De suma importancia por su estructura algebraica resulta el estudio de los ideales de un ´algebra de Banach. A continuaci´on se presentan algunos detalles importantes relativos a estos subconjuntos. 9 ´ / I Definicion 1.3 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad. Un subconjunto I ? A es un ideal si para todos f ? I y g ? A se cumple que fg ? I. Un ideal J de A se dice maximal si J = A y J no est´a contenido en otro ideal de A. El conjunto de los ideales maximales de A es llamado espacio de ideales maximales de A y se denota por MA. M´as adelante se introducir´a una topolog´ia para el espacio de ideales maximales MA. El siguiente lema es elemental y es v´alido en general para anillos conmutativos con identidad. Lema 1.1.1 Cualquier ideal propio de un ´algebra de Banach A conmutativa con identidad est´a contenido en un ideal maximal. Un ideal J es maximal si y solo si A/J es un campo. Teorema 1.5 Todo ideal maximal de un ´algebra de Banach conmutativa con identidad A es cerrado. Si J es un ideal maximal de A entonces A/J es isom´etricamente isomorfo al campo de los n´umeros complejos. Demostraci´on: N´otese que cualquier funci´on de A que cumpla 1-f < 1 es inversible. En efecto si 1-f < 1, entonces 1 es elemento del conjunto resolvente de 1-f por el teorema 1.2 y se cumple que f = 1 – (1 – f) ? A-1. Si I es cualquier ideal propio y f ? I, entonces f ? A-1, por lo que 1 – f = 1. Esta misma desigualdad es tambi´en v´alida para f en la clausura ¯ de I. Luego, la clausura de todo ideal propio es un ideal propio, y todos los ideales maximales deben ser cerrados. Sea ahora J un ideal maximal de A. Como J es cerrado, A/J es un espacio de Banach con la norma f + J = ´inf f + g . g?J Resulta sencillo comprobar que para f,g ? A se cumple fg + J = f + J g + J , siendo entonces A/J un ´algebra de Banach. Como g + 1 = 1 para todo g ? A, se cumple que 1 + J = 1. Consecuentemente 1 + J es la identidad para A/J. 10 Por el teorema de Gelfand-Mazur, A/J es isom´etricamente isomorfo al campo de los n´umeros complejos. Esto completa la demostraci´on. Q.e.d. ´ ´ Sea J un ideal maximal del ´algebra de Banach conmutativa con identidad A. La proyecci´on de A ? A/J es un homomor?smo de ´algebras, de n´ucleo J. El teorema de Gelfand-Mazur permite identi?car a A/J con el campo complejo. De esta manera J resulta el n´ucleo de un homomor?smo complejo no nulo f. Si f ? A, entonces se puede de?nir a f(f) expl´icitamente como el unico n´umero complejo ?, tal que f + J = ? + J; es decir, tal que f – ? ? J. Rec´iprocamente, si f es un homomor?smo complejo no nulo de A y Af es el n´ucleo de f, entonces A/Af es un campo, por lo que Af es un ideal maximal en A. Esto se resume en el siguiente teorema. Teorema 1.6 Sean A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad y f un homomor?smo complejo no nulo de A de n´ucleo Af. Entonces la correspondencia f ? Af es una correpondencia biyectiva del espacio de los homomor?smos complejos no nulos sobre A en el espacio de ideales maximales de A. En lo adelante se identi?car´an todos los ideales maximales de A con homomor?smos complejos, como es la costumbre. El siguiente lema permitir´a de?nir una topolog´ia para el espacio de ideales maximales MA de A. N´otese que la a?rmaci´on relativa a la continuidad de f se deduce del teorema 1.5, ya que que los funcionales lineales son continuos si y s´olo si su n´ucleo es cerrado. Lema 1.1.2 Sean A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad y f un homomor?smo complejo no nulo de A. Entonces f es continuo y se cumple que f = 1 = f(1). Demostraci´on: Como f2(1) = f(1), entonces es f(1) = 1 ´o f(1) = 0. El ultimo caso queda excluido, pues en caso contrario f ser´ia id´enticamente nulo. De aqu´i que f(1) = 1. Si f ? A y |?| > f , entonces ? – f es inversible. De la relaci´on f(? – f)f((? – f)-1) = f(1) = 1 11 se deduce que f(? – f) = 0, o sea, f(f) = ?. Entonces es |f(f)| = f . Como ello es cierto para todo f ? A, f debe ser continuo y f = 1. Pero como f(1) = 1, entonces es f = 1. Q.e.d. El lema anterior permite identi?car a MA con un subconjunto de la esfera unitaria del dual A* de A y se de?ne en MA la topolog´ia heredada de A*. En otras palabras, una red fa en MA converge a f si y s´olo si fa(f) ? f(f) para todo f ? A. Una base de vecindades abiertas de ? ? MA est´a dada por conjuntos de la forma N(?;f1,…,fn;e) = {f ? MA; |f(fi) – ?(fj)| < e}, donde e > 0, n ? N y f1,…,fn ? A. Teorema 1.7 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad. Entonces el espacio de ideales maximales MA de A es un espacio de Hausdor? compacto. Demostraci´on: El l´imite *- d´ebil de homomor?smos que satisfacen f(1) = 1 es nuevamente un ho- momor?smo no nulo. Por lo tanto MA es un subconjunto cerrado en la topolog´ia *-d´ebil de la bola unidad de A*. Por el teorema de Alaoglu (ver [9]), la bola unidad de A* es *-d´ebil compacta. Consecuentemente MA es compacto. Q.e.d. ´ Definicion 1.4 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad y sea f ? A. La trans- formada de Gelfand de f ? A es la funci´on compleja f sobre MA, de?nida por f(f) = f(f). Teorema 1.8 Sean A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad. Entonces la trans- formada de Gelfand es un homomor?smo de A en el ´algebra A de las funciones continuas sobre MA. El ´algebra A separa puntos en MA y contiene a las cons- tantes. La transformada de Gelfand satisface la relaci´on f MA = f ; ?f ? A. f ˆ Demostraci´on: Resulta sencillo veri?car que f ? f es un homomor?smo de ´algebras. Por la de?ni- ci´on de la topolog´ia dada para MA, es claro que ˆ ? A es continuo en MA. Al ser f = 1 para todo f ? MA, se tiene que |f(f)| = f para todo f ? A, por lo que f MA = f . 12 ˆ La transformada de Gelfand de la identidad de A es la funci´on que es id´enticamente uno en MA. De aqu´i que A contiene a las constantes. Si f(f1) = f(f2) para todo f ? A, entonces f1(f) = f2(f) para todo f ? A y f1 = f2. Entonces A separa los puntos de MA. Q.e.d. Teorema 1.9 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad. Si f ? A, entonces s(f) coincide con f(MA). Demostraci´on: Sea ? ? s(f). Entonces ? – f no es inversible y (? – f)A es un ideal propio. Por el lema 1.1.1, existe un un ideal maximal J que contiene a ? – f. Si J es el n´ucleo de f, entonces f(? – f) = 0 y f(f) = ?. De aqu´i que ? ? f(MA). Rec´iprocamente, sea ? ? f(MA). Si se selecciona f, tal que f(f) = ?, entonces f(? – f) = 0, por lo que ? – f no es inversible y ? ? s(f). Q.e.d. A continuaci´on se presentan algunos ejemplos cl´asicos que ilustran lo anteriormente expuesto. Ejemplo 1: El ´algebra C(X) de todas las funciones complejas continuas sobre un espacio de Hausdor? compacto X es un ´algebra de Banach con la norma usual del supremo f = sup|f(x)|. x?X Cualquier x ? X determina el homomor?smo evaluaci´on fx ? MC(X) de?nido por fx(f) = f(x), ?f ? C(X). 2 Teorema 1.10 Cualquier f ? MC(X) es un homomor?smo evaluaci´on en alg´un punto x ? X. Demostraci´on: Sea f ? MC(X) distinto de fx para toda x ? X. Entonces para cualquier x ? X, se selecciona fx ? C(X) tal que fx(x) = 0, mientras que f(f) = 0. De este modo |fx| es positivo en una vecindad de x y se tiene que f(|fx|2) = f(fx)f(fx) = 0. 13 Seleccionando x1…xn ? X, tales que |fx1|…|fxn| = g es positivo en X, se cumple que g es inversible en C(X). Esto contradice que el hecho de que f(g) = 0. Q.e.d. Este teorema muestra que X y C(X) son homeomorfos. En particular el espacio X est´a completamente determinado por la estructura de ´algebra de Banach de C(X). Ejemplo 2: Cualquier ´algebra uniformemente cerrada A de C(X) que contenga a las constantes es un ´algebra de Banach conmutativa con la norma del supremo. Si A separa los puntos de X, la correspondencia x ? fx es una inmersi´on de X como subconjunto cerrado de MA. El siguiente caso especial muestra c´omo pueden surgir ideales maxi- males que no est´en incluidos en X. Se denota por ? al disco unidad cerrado {z ? C; |z| = 1} en el plano complejo. Su frontera ?? es el c´irculo unidad {z ? C; |z| = 1}. La sub´algebra de las funciones en C(??) que pueden ser aproximadas uniformemente sobre ?? por polinomios en z se denota por P(??). El k-´esimo coe?ciente de Fourier de la funci´on f ? C(??) est´a dado por ck = 1 2p 2p 0 f(eif)eikfdf = 1 2pi b? f(z)z-k-1dz. Por el teorema de Fejer (ver [7]), f es el l´imite uniforme de las funciones sn = f0 + … + fn n +1 , donde fm = m k=-m ckeikf = m k=-m ckzk, z = eif. f Si los coe?cientes de Fourier negativos de la funci´on f ? C(??) se anulan, entonces las fm y las sn son polinomios en z. As´i f ? P(??). Adem´as, por el principio del m´odulo m´aximo, los polinomios sn convergen uniformemente sobre ? al pro- longamiento continuo ¯ de f a ?, el cual es anal´itico en int(?). Rec´iprocamente, si f ? C(??) puede ser prolongada continuamente a ? y anal´itica- mente en int(?), entonces, por el teorema de Cauchy, los coe?cientes de Fourier negativos de f se anulan. En particular, los coe?cientes de Fourier negativos de 14 cualquier f ? P(??) se anulan. Esto muestra la equivalencia de las siguientes a?rmaciones para una funci´on f ? C(??) (i) f ? P(??). (ii) f se prolonga continuamente a ? y anal´iticamente en int(?). (iii) Los coe?cientes de Fourier negativos de f se anulan. Cualquier ? ? ? determina un homomor?smo f? de P(??), obtenido de evaluar el prolongamiento anal´itico de funciones de P(??) en ?. La correspondencia ? ? f? sumerge a ? como subconjunto cerrado en MP(??). Se acostumbra a identi?car a ? con su imagen por la inmersi´on en MP(??). Sea ahora f ? MP(??) y sea ? = f(z), donde z es la funci´on coordenada. Puesto que z ?? = 1, se tiene que |?| = 1, es decir, ? ? ?. Tambi´en se cumple que f(p(z)) = p(?) = f?(p) para todos los polinomios p. Puesto que los polinomios son densos en P(??), se deduce que f coincide con f?. Consecuentemente el espacio de ideales maximales de P(??) coincide con ?. Ejemplo 3: Sea 0 < a = 1 y sea Lipa[0,1] el conjunto de todas las funciones continuas con valores complejos en [0,1] que satisfacen una condici´on de Lipschitz de orden a. La norma en Lipa[0,1] est´a dada por f a = sup |f(t)| + sup 0=t=1 0=t=1 |f(s) – f(t)| |s – t|a El espacio Lipa[0,1] es un ´algebra de Banach con el producto puntual usual de fun- ciones. Se comprueba f´acilmente que el espacio de ideales maximales de Lipa[0,1] es [0,1]. Ejemplo 4: Sea G un grupo abeliano localmente compacto con medida de Haar s. El espacio de Banach L1(s), junto con el producto de convoluci´on de?nido por (f * g)(x) = f(x – y)g(y)ds(y), G es un ´algebra de Banach conmutativa, que se denota por L1(G). El ´algebra L1(G) no tiene identidad a menos que G sea discreto. 15 Se de?ne un caracter de G como un homomor?smo continuo de G en el disco unidad. El conjunto G de todos los caracteres de G es un grupo, cuya operaci´on es la multi- plicaci´on puntual. Con la topolog´ia de la convergencia uniforme sobre compactos, G se convierte en un grupo abeliano localmente compacto, llamado el grupo caracter o grupo dual de G. El Teorema de la dualidad de Pontriaguin (ver [10]) establece que el grupo dual de G es G. Cualquier caracter ? de G determina un homomor?smo continuo de L1(G) a trav´es de la f´ormula (f * g)(x) = f(x)?(x)ds(x). G De esta manera, cualquier homomor?smo continuo no nulo de L1(G) se origina a partir de un caracter de G. El espacio de ideales maximales de L1(G) es homeomorfo a G. Sea ahora G el cuerpo de los n´umeros reales R. Todo caracter de R es de la forma s ? eist para alg´un n´umero real t. Luego R = R. La transformada de Gelfand se convierte entonces en la transformada de Fourier usual f(t) = +8 f(s)e-istds. -8 A continuaci´on se presentan dos teoremas que resultan b´asicos y sumamente im- portantes en el desarrollo de la teor´ia de las ´algebras de Banach. El primero es relativo a la aplicaci´on de determinadas funciones anal´iticas a elementos de ´algebras de Banach. El segundo es una f´ormula para el radio espectral. Teorema 1.11 Sean A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad y f ? A. Sea h una funci´on con valores complejos que est´a de?nida y es anal´itica en una vecindad de f(MA) = s(f). Entonces existe g ? A, tal que g = h ? f. Demostraci´on: La f´ormula de Cauchy establece que h(z0) = 1 2pi G h(z) z – z0 dz, z ? s(f), para un contorno apropiado G contenido en s(f). Se de?ne g = 1 2pi G h(z)(z – f)-1dz 16 Esta integral existe en el sentido de Riemann. Aproximando la integral por sumas de Riemann ?nitas, se observa que para f ? MA se cumple f(g) = 1 2pi h(z)(z – f(f))-1dz = h(f(f)). Q.e.d. Consecuentemente es g = h ? f. El radio espectral de f ? A es por de?nici´on el valor sup |?|. ??s(f) Por teorema 1.9, el radio espectral de f coincide con f MA. Teorema 1.12 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad. El radio espectral de f ? A est´a dado por la f´ormula f MA = l´im fn n?8 1/n . Demostraci´on: Para cualquier entero positivo n y cualquier f ?,MA se cumple |f(f)| = |fn(f)|1/n = fn 1/n , Consecuentemente es f MA = l´im ´inf fn n?8 1/n . / Ahora, sea L un funcional lineal continuo sobre A. Se de?ne h(?) = L((? – f)-1) para ? ? s(f). Entonces h es anal´itica fuera de s(f) y se cumple que h(?) = 8 n=0 L(fn) ?n+1 para cualquier ?. Puesto que h es anal´itica para |?| > f MA, la representaci´on en serie debe ser convergente para todo ? que satisfaga |?| > f MA. Por lo tanto sup n < 8 |L(fn)| |?|n+1 17| Página siguiente |