Rec´iprocamente, si f2 = f 2 para todo f ? A, entonces f2 dondequiera que |?| > f MA. Si se ?ja un ? que satisfaga |?| > f MA, el supremo anterior debe ser ?nito para todos los funcionales lineales continuos L sobre A. Por el principio de acotaci´on uniforme se tiene que sup n fn |?|n+1 = M < 8, por lo que l´im sup fn n?8 1/n = l´im supM1/n|?|1+1/n = ? n?8 Puesto que esto es cierto siempre y cuando |?| > f MA, se obtiene que l´im sup fn n?8 1/n = f MA, complet´andose as´i la demostraci´on. Q.e.d. Corolario 1.1.1 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con
identidad. La transformada de Gelfand f ? f es una isometr´ia si y solo si f2 = f 2 para todo f ? A. Demostraci´on: Si f ? f es una isometr´ia, entonces f2 = f2 MA = f 2 MA = f 2 . n = f 2n para todo n > 1. De esta manera se tiene que f = f2 n 1/2n = f MA. Q.e.d. ´ En esta secci´on se estudiar´an las propiedades de las ´algebras C(X), siendo X un espacio de Hausdor? compacto. Con este prop´osito se introduce una versi´on abs- tracta del operador de conjugaci´on complejo, que transforma a una funci´on en su conjugado complejo. 18
´ Definicion 1.5 Sea A un ´algebra de Banach conmutativa con identidad. Una involuci´on de A es una operaci´on f ? f* de A en A, que satisface (i) f** = f, (ii) (f + g)* = f* + g*, (iii) (?f)* = ?f*, (iv) (fg) = f*g*, donde f y g son elementos cualesquiera de A y ? es un n´umero complejo. Una B*-´algebra conmutativa es un ´algebra de Banach conmutativa A con una involuci´on f ? f* que satisface f*f = f 2 ?f ? A. El siguiente teorema se re?ere a la transformada de Guelfand en una B*-´algebra conmutativa. Teorema 1.13 Sea A una B*-´algebra conmutativa. Entonces la transformada de Gelfand es un isomor?smo isom´etrico de A en C(MA), el cual satisface f* = f ?f ? A. La a?rmaci´on m´as importante de este teorema es el hecho de que la transformada de Gelfand convierte a la involuci´on en conjugaci´on compleja. Antes de comenzar la prueba, conviene demostrar algunos lemas. Lema 1.1.3 Sea A una B*-´algebra conmutativa. Si f ? f* es una involuci´on de A, entonces 1* = 1. Q.e.d. Demostraci´on: 1* = 11* = 1**1* = (1*1)* = 1** = 1. Lema 1.1.4 Si A es una B*-´algebra conmutativa y f ? A, entonces se cumple que f2 = f 2 y f = f* . 19
(e ) = = eh . Demostraci´on: f2 2 = (f2)*f2 = (f*f)*(f*f) = f*f 2 = f 4 , de esta manera es f2 = f 2 . As´imismo es f 2 = f*f = f**f* = f* 2, por lo que f = f* . Q.e.d. Lema 1.1.5 Sea A una B* -´algebra conmutativa. Si f ? A satisface f* = f-1, entonces |f| = 1. Si g ? A satisface g* = g, entonces g es real. Demostraci´on: Sea f* = f-1. Entonces tambi´en (f-1)* = f. As´i es 1 = f*f = f 2 y 1 = (f-1)*f-1 = f-1 2. Esto se deduce de que s(f) y s(f-1) est´an contenidos en el disco unidad ?, lo cual s´olo sucede cuando |?| = 1 para todo ? ? s(f), es decir, cuando f tiene m´odulo 1. Ahora, si h pertenece a cualquier ´algebra de Banach, la serie 8 n=0 hn n! converge a un elemento eh que satisface eh = eh. Puede comprobarse f´acilmente que eh es inversible y su inverso es e-h. En este caso, la involuci´on h ? h* es continua, por el lema 1.1.4. Consecuentemente para h ? A es h * 8 n=0 (hn)* n! = 8 n=0 (h*)n n! n Sea ahora g* = g y sea f = eig. Entonces * Por la primera parte del lema, s(f) es un subconjunto del c´irculo unidad. Por lo tanto, s(g) debe ser real. Esto completa la prueba. Q.e.d. Demostraci´on del teorema 1.14: Por el corolario del teorema 1.12 y el lema 1.1.4, la transformada de Gelfand es una 20
isometr´ia de A sobre la sub´algebra cerrada A de C(MA). Si f ? A, sean g = f + f* 2 y h = f – f* 2i . Entonces f = g + ih, g = g* y h = h*. De esta manera es f* = g* – ih*. Aplicando el lema 1.1.5, se obtiene f* = g* – ih* = g – ih* = f. Esta f´ormula
muestra, en particular, que si f ? A, entonces el conjugado complejo f de f tambi´en est´a en A. Puesto que A contiene a las constantes y separa los puntos de MA, A debe coincidir con C(MA), por el teorema de Stone-Weierstrass (ver [1]). Esto completa la demostraci´on. Q.e.d. ´ El teorema de representaci´on de Riesz (ver [7]) para funcionales continuos de?nidos en el espacio de las
funciones continuas que se anulan en el in?nito ser´a de gran
utilidad en el
desarrollo de los resultados esta
tesis. Teorema 1.14 (de representaci´on de Riesz) Sea X un espacio de Hausdor? compacto. Entonces para cada funcional lineal continuo ? sobre C0(X), existe una unica medida regular µ ? MR(X), tal que para todo f ? C0(X) se tiene la representaci´on ?f = fdµ ´ y se cumple que ? = µ . Tambi´en resultar´a util el teorema de la unicidad de la transformada de
Fourier en L1(G) (ver [5]), para un
grupo localmente compacto G. Teorema 1.15 Si x,y ? L1(G) con G un grupo localmente compacto, y x(g)ei?(g)dg = y(g)ei?(g)dg para todos los los caracteres ? del grupo G, entonces x(g) y y(g) coinciden para toda g ? G. 21
1.2. Los espacios Vp[a,b] y Cp[a,b] ´ En este ep´igrafe se presentan (sin demostraci´on) las de?niciones y resultados cono- cidos sobre los espacios Vp[a,b] y Cp[a,b] (ver [16]), los cuales ser´an generalizados y ´ Definicion 1.6 Una funci´on f de?nida sobre el intervalo cerrado [a,b] es de p-variaci´on aco- tada (1 = p < 8) si el
valor Vp(f) = sup p n i=1 |f(ti) – f(ti-1)|p 1 p es ?nito, donde el supremo se toma sobre todas las particiones p = {ti}ni =0 de [a,b]. El espacio Vp[a,b] de la funciones de p-variaci´on acotada con el valor inicial f(a) = 0 es un espacio de Banach con la norma · Vp= Vp(·) (1 = 1 q p < 8). Resulta sencillo comprobar que toda funci´on de p-variaci´on acotada en el intervalo cerrado [a,b] es acotada en ese intervalo. Teorema 1.16 Toda funci´on de p-variaci´on acotada en [a,b] es tambi´en de q-variaci´on acotada para todo n´umero real q > p y tiene a lo sumo una cantidad numerable de discontinuidades, todas evitables o no evitables de primera especie. Teorema 1.17 El espacio Vp[a,b] no es separable y contiene un subespacio isomorfo a c0. Teorema 1.18 Para dos funciones f,g de p-variaci´on acotada y q-variaci´on acotada respecti- vamente en [a,b] con p+ 1 > 1 y para partici´on cualquiera p de [a,b] se cumple la acotaci´on |sp(f,g)| = 1+ ? 1 p + 1 q Vp(f)Vq(g), donde sp(f,g) es la suma de Riemann-Stieltjes de f respecto a g y p y 1 q 8 1 ?(t) = nt n=1 es la funci´on Zeta de Riemann. En el caso p + 1 = 1 el valor 1 + ? 1 p + 1 q no puede ser sustituido por una constante. 22
a- 2 cos(2panx) ´ Definicion 1.7 El m´odulo de p-continuidad (1 < p < 8) de una funci´on f de?nida en [a,b] est´a de?nido por la
igualdad ?p(d)(f) = sup pd n i=1 |f(ti) – f(ti-1)|p 1 p , ´ f(x) = donde el supremo se toma sobre todas las particiones pd : a = t0 < … < tn = b del intervalo cerrado [a,b], para las que se cumple (ti – ti-1) < d para toda 1 = i = n. Una funci´on f se dice absolutamente p-continua si se cumple l´im?p(d)(f) = 0. d?0 El espacio Cp[a,b] de las funciones absolutamente p-continuas con el valor inicial f(a) = 0 es un subespacio cerrado de Vp[a,b]. La unica funci´on que es absolutamente 1-continua es f = 0. Un ejemplo interesante resulta la conocida funci´on de Weierstrass 8 n x ? [0,1], 1 1 n=1 para un n´umero entero cualquiera a > 1, la cual es de 2-variaci´on acotada y absolu- tamente p-continua para todo n´umero real p > 2. Teorema 1.19 Toda funci´on absolutamente p-continua en [a,b] es continua en ese intervalo. El rec´iproco de esa proposici´on no se cumple en general. Teorema 1.20 Para toda funci´on f de p-variaci´on acotada sobre [a,b] se de?ne la funci´on f(x) = Vp(f,a,x), la cual es mon´otona creciente. Si f es absolutamente p- continua, entonces f tambi´en es absolutamente p-continua en [a,b]. Una funci´on f de?nida en el intervalo cerrado [a,b] se dice Lipschitz-continua del orden a para 0 < a = 1, si para cualesquiera dos puntos x,y de [a,b] se cumple la desigualdad |f(x) – f(y)| = M|x – y|a, con una constante M que s´olo depende de f. Teorema 1.21 Toda funci´on Lipschitz-continua del orden a es de a-variaci´on acotada y ab- solutamente p-continua en [a,b] para todo n´umero real p > a. 23
21+ q 1 q Teorema 1.22 El espacio Cp[a,b] es separable. Teorema 1.23 La inclusi´on Idp de Cp[a,b] (p > 1) en el espacio C[a,b] de las funciones continuas sobre [a,b] no es compacta. Teorema 1.24 (de representaci´on) Sea f una funci´on absolutamente p-continua y g una funci´on de q-variaci´on acotada en [a,b] con p + 1 > 1, entonces existe la integral de Riemann-Stieltjes de f respecto a g en [a,b] y se cumple la acotaci´on b a f(x)dg(x) = 1+ ? 1 p + 1 q Vp(f)Vq(g), F(f) = donde ?(t) es la funci´on Zeta de Riemann. Teorema 1.25 (rec´iproco de representaci´on) Toda funcional lineal continua F sobre Cp[a,b] para 1 < p < 8 se puede representar a trav´es de una integral de Riemann-Stieltjes de la forma b a f(x)dg(x), 1 p + 1 q = 1. Se donde g es una funci´on de q-variaci´on acotada en [a,b] con cumple g Vq= 1 F . Pero el espacio dual del espacio Cp[a,b] no puede ser identi?cado con Vq[a,b]. 24
|f(ti) – f(ti – i)|p)p, Cap´itulo 2 UN TEOREMA DE ´ 2.1. Las ´algebras Vp y Cp ´ ´ En el presente ep´igrafe se generaliza la de?nici´on de los espacios de funciones de p-variaci´on acotada y de funciones absolutamente p-continuas al caso de funciones complejas de variable real y se exponen algunas propiedades que son utiles para la comprensi´on del
comportamiento de los mismos. Definicion 2.1 Sea ? el conjunto de todas las particiones de compactos K de R y p > 1 un n´umero real. Se dice que una funci´on compleja de?nida sobre la recta real es de p-variaci´on acotada, si para cualquier partici´on p = {ti}ni =0 ? ? se cumple que n 1 p < 8. |f(ti) – f(ti-1)|p i=1 En ese caso se llama p-variaci´on de f al valor pvar(f) = supsup( K ? n i=1 1 donde los supremos se toman sobre todos los compactos K de R y todas las particiones p ? ?. 26
Se denota por Vp al espacio de las funciones de p-variaci´on acotada, tales que f(-8) = 0 y existen y son ?nitos los l´imites f(+8), f(t+0) y f(t-0), para todo t ? R, con la norma f p = pvar(f) y el
producto (f * g)(t) = +8 f(t – t)dg(t), -8 donde la integral se toma en el sentido de Riemann-Stieltjes. Se cumple el siguiente teorema. Teorema 2.1 Vp es un espacio de Banach. Demostraci´on: Se puede comprobar f´acilmente que la p-variaci´on es una norma (la desigualdad triangular se veri?ca con la ayuda de la desigualdad de Minkowski). Sea ahora {fm}m?N una sucesi´on de Cauchy en Vp. Entonces para todo e > 0 existe Ne tal que fm – fn p < e para todos m,n = Ne, o sea, supsup K ? n i=1 |(fn – fm)(ti) – (fn – fm)(ti-1)|p 1 p < e, ?m,n = Ne. Entonces para todo t ?jo, la sucesi´on {fn(t)} es de Cauchy en R, pues para la partici´on pa = -a < t < a, con a su?cientemente grande se tiene |(fm – fn)(t)|p = |(fm – fn)(t) – (fm – fn)(-a)|p +|(fm – fn)(a) – (fm – fn)(t)|p < e. Sea f(t) = l´imfm(t) para todo t ? (-8,+8). Se busca una cota para fm – f p. n 1 p < e, ?m,n = Ne. |(fm – fn)(ti) – (fm – fn)(ti-1)|p i=1 Pasando al l´imite cuando n ? 8 es n |(fm – f)(ti) – (fm – f)(ti-1)|p 1 p < e, ?m = Ne, i=1 de aqu´i que sea fm – f p = e ?m = Ne. 27
Por otra parte, para un m = Ne se cumple f p = f – fm p + fm p = C, quedando as´i demostrado que Vp es un espacio de Banach. Q.e.d. Resulta importante notar que las propiedades relativas a la norma en el espacio Vp[a,b] presentadas en el cap´itulo anterior se extienden de manera natural al espacio Vp. Como ejemplo de ello se presenta la demostraci´on de la siguiente
propiedad. Teorema 2.2 Sean p,q ? R, p,q > 1 y p > q entonces se cumple que Vp ? Vq. Demostraci´on: Sea f de Vp dada. Resulta sencillo comprobar que f es acotada. Sea M = sup{|f(x) – f(y)|; x,y ? R}. Entonces es n i=1 |f(ti) – f(ti-1)|q 1 q = n i=1 |f(ti) – f(ti-1)|p|f(ti) – f(ti-1)|q-p 1 q , para toda partici´on p = {ti}ni =0 de un compacto cualquiera K de R, o sea, n |f(ti) – f(ti-1)|q 1 q = (Mq-p) 1 q n i=1 |f(ti) – f(ti-1)|p 1 q . i=1 De aqu´i se deduce entonces p qvar(f) = MVpq(f) < 8, siendo as´i M = M q-p q , y por tanto f pertenece tambi´en a Vq. Q.e.d. El siguiente teorema justi?ca el tratamiento del espacio Vp a partir de la teor´ia de las ´algebras de Banach. Teorema 2.3 El espacio Vp tiene
estructura de ´algebra de Banach conmutativa y unitaria. La unidad (t) es la funci´on de Heaviside (t) = . 1 t = 0 0 t< 0 28
[(f * g) * h](t) = Demostraci´on: Sean f,g,h ? Vp. Entonces es +8 -8 (f * g)(t – u)dh(u) = +8 -8 +8 -8 f(t – u – t)dg(t) dh(u). Por otra parte, es [(f * h) * g](t) = +8 (f * h)(t – u)dg(u) = +8 +8 f(t – u – t)dh(t) dg(u), [(f * h) * g](t) = -8 y por simetr´ia de f(t – u – t) se cumple +8 -8 (f * h)(t – u)dg(u) = -8 +8 -8 -8 +8 -8 f(t – u – t)dh(u) dg(t). Si se considera sobre R a la tribu boreliana y a la medida de Stieltjes, el teorema de Fubini garantiza la igualdad de [(f * g) * h](t) y [(f * h) * g](t), de donde, haciendo f(t) = (t), se deduce ( * g) * h = ( * h) * g ? g * h = h * g, ?g,h ? Vp, (f * )(t) = l´im l´im b?8 n?8 siendo (t) es la funci´on de Heaviside. (t) es la identidad en Vp, pues n i=1 f(t – ?i)[ (ti) – (ti-1)], donde los ti son puntos de una partici´on del intervalo [-b,b],b > 0, que contiene al cero, y adem´as ?i = ti (i = 1,…,n). De aqu´i que (f * )(t) = f(t). Haciendo el
cambio u = t – t e integrando se deduce de ello que ( * f)(t) = f(t). Por otra parte se veri?ca inmediatamente que (t) = 1. La asociatividad se obtiene a partir de la conmutatividad y la igualdad (f * h) * g = (f * g) * h, pues de esta se deduce que g * (f * h) = (g * f) * h. Resta demostrar la relaci´on f * g p = f p g p 29
xp cos(2 p x) x ? (0,1] entre la norma y el producto. Al respecto se tiene f * g p = supsup K ? n i=1 +8 -8 [f(ti – t) – f(ti-1 – t)]dg p 1 p = supsup K ? n i=1 +8 -8 |f(ti – t) – f(ti-1 – t)|p|dg|p 1 p = supsup K ? +8 -8 n i=1 |f(ti – t) – f(ti-1 – t)|p|dg|p 1 p = f p supsup K ? +8 -8 |dg| p 1 p = f p g p. Con ello queda demostrada la proposici´on. Q.e.d. ´ De gran importancia resulta el estudio del subespacio Cp de Vp formado por las funciones absolutamente p-continuas. Definicion 2.2 Sea d? el conjunto de todas las particiones de compactos K de R y p > 1 un n´umero real. Se llama m´odulo de p-continuidad de f ? Vp en R al valor ?p(d)(f) = supsup K d? n i=1 |f(ti) – f(ti-1)|p 1 p , donde las particiones de d? son tomadas tales que ti – ti-1 < d para todo i = 1,…,n. Una funci´on f ? Vp se dice absolutamente p-continua (f ? Cp) si se cumple que l´im?p(d)(f) = 0. d?0 Es obvio que Cp ? Vp y que toda f ? Cp es continua. Sin embargo, no toda funci´on continua es necesariamente absolutamente p-continua, como muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo: Sea de?nida en R la funci´on continua f(x) = 1 / 0 x ? (0,1] , (2.1) 30
donde p es un n´umero real cualquiera con p = 1 (ver ?gura 2.1). Figura 2.1: i Este ejemplo resulta interesante por presentar una funci´on que es de q-variaci´on acotada para todo n´umero real q > p, pero no es de q-variaci´on acotada para q = p. Demostraci´on: Como f se anula fuera del intervalo [0,1], basta demostrar estas relaciones en ese intervalo. Para ello sea la partici´on p : 0 = t2n+1 < t2n < … < t1 = 1 del intervalo cerrado [0,1] con ti = 1. Entonces para k = 1,…,n es f(t2k-1) = 0 f(t2k) = (-1)k 1 2k 1 p En este caso la suma 2n |f(ti) – f(ti-1)|q 1 p i=1 corresponde a la serie arm´onica 2n k=1 1 2k q p 1 q , (2.2) la cual diverge para q = p. Entonces para q = p, existe una sucesi´on pn de particiones de [0,1], tal que las sumas 2n i=1 |f(ti) – f(ti-1)|q 1 p 31
